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2026 年九年级数学中考全真模拟考试试卷
一．选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．《九章算术》中对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之．”若盈余 3万元记作
+3万元，则﹣3万元表示（ ）
A．亏损﹣3万元 B．盈余 3万元 C．亏损 3万元 D．不盈余不亏损
2．下列音符图片是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将木条 a，b与 c钉在一起，∠1＝110°，∠2＝50°，要使木条
a与 b平行，木条 a顺时针旋转的度数至少是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
4．下列运算正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3 a4＝a12 C． a8 a4 a2 D．（a2）3＝a6
5．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有 2个黑色棋子和 1个白色棋子，
每个棋子除颜色外均相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，
则两次摸到不同颜色的棋子的概率是（ ）
A 1 B 5 2 4． ． C． D．
3 9 3 9
6．不等式组 ＜ 2 1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
3 ≤ 6
A． B． C． D．
7．如图，甲、乙两位登山者同时从点 A出发，一段时间后，甲步行 m米到达点 C，乙步行 n米到达
点 B．若坡角为α，则甲、乙两人的水平距离 BD可以表示为（ ）
A m n m n．（m﹣n）cosα米 B．（m﹣n）sinα米 C． 米 D． 米
cos sin
第 7 题图 第 8 题图
8．如图 1，动点 P从菱形 ABCD的点 A出发，沿边 AB→BC匀速运动，运动到点 C时停止．设点 P
的运动路程为 x，PO的长为 y，y与 x的函数图象如图 2所示，当点 P运动到 BC的中点时，PO
的长为（ ）
A 3． B．2 C 5 D 12． ．
2 2 5
二．填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
第 1页（共 4页）
9．若二次根式 2 6在实数范围内有意义，则 m的取值范围是 ．
10．平面直角坐标系 xOy中，点 M（a，a+3），N（﹣3，1），若直线 MN与 x轴平行，则点 M的坐
标是 ．
11．如图，正六边形 ABCDEF的边长为 6，以顶点 B为圆心、AB的长为半径作弧 AC，则 的长度
为 ．
第 11题图 第 12题图 第 13题图
12 ．如图，在平面直角坐标系 xOy中，Rt△ABC的顶点 A在反比例函数 = （k＞0，x＞0）的图象

上，∠BAC＝90°，点 B、C 分别在坐标轴上，且 AB＝AC，若 OB＝3，OC＝4，则 k 的值
为 ．
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， = = 6，点 D，E分别在 AC，BC上，连接 AE，BD
交于点 F，且∠ABD＝∠CAE，AD＝ 2 2，则 AF的长为 ．
三．解答题（共 7 小题，共 61 分）
14．（本题 6分）计算： ( 1) 2026 1 3 2 cos 30 o ( 1 ) 1 ．
2
2
15 6 x 6x 9．（本题 7分）先化简： (1 ) ，再从﹣3，0，3中选取一个适当的数代入求值．
x 3 x 3
16．（本题 8分）2026年 2月，教育部印发《关于全面推进健康学校建设的指导意见》，要求加强学
校劳动教育工作，实施劳动习惯养成计划．为落实政策，某校从七、八年级各随机抽取 40名学生
开展“学生周劳动时间”问卷调查，并对调查结果进行整理、描述、分析，部分信息如下．
七、八年级调查数据统计表
年级 中位数 众数 平均数
七年级 a 2 2.25
八年级 2 b 2.1
（1）在调查数据条形图中，七年级劳动时间为 3小时的有 人，并补全条形图；
（2）统计表中 a＝ ，b＝ ．
（3）若八年级有 400名学生，请估计八年级学生一周参与劳动时间不低于 2小时的人数．
（4）该校七年级学生和八年级学生一周参与劳动时间相比，哪个年级学生劳动时间更长？结合统计
数据说明理由．
第 2页（共 4页）
17．（本题 8分）某超市在端午节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是
1200元，购进乙种粽子的金额是 800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少 50个，甲种
粽子的单价是乙种粽子单价的 2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共 200个，若总金额不超过 1150元，
问最多购进多少个甲种粽子？
18．（本题 9分）如图，在四边形 ABCD中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝5，BD＝2 5．
（1）求证：BD⊥CD；
（2）请用不带刻度的直尺和圆规作△BCD的外接圆⊙O（不必写作法，但要保留作图痕迹），作图后
判断 AD是否为⊙O的切线，并说明理由．
19．（本题 11分）体育课上小李同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以
近似的看作是抛物线的一部分．如图﹣1是小李连续两次蛙跳的运动示意图．
规定小李距离地面的竖直高度为 y（m），距离起跳点的水平距离为 x（m），第一个蛙跳的起跳点为
原点，并在（1，0.4）达到最高点．在点 A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳．路线为抛物
线 L2：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线 L1相同．
（1）求小李第一个蛙跳的路线抛物线 L1的函数解析式；
（2）若小李第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点 2.6m时，到达最高点．
①求 k的值；
②在距离原点 3m处，水平放置一个距离地面高度为 0.12m的可调节支撑杆，判断小李在第二个
蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由；
（3）如图 2．为提高训练效果，老师指导小李在可调节坡度的斜坡（近似看作直线 y＝mx（m≠0））
1 1
上进行训练，P为斜坡与 L1的交点，在点 Q处设置可调节支撑杆，且 PQ⊥x轴．当 ≤ ≤ ，且8 5
抛物线 L2与抛物线 L1的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出 h的取值范围．
第 3页（共 4页）
20．（本题 12分）探究与思考
如图，在平行四边形 ABCD中，E，F分别是边 BC，CD上的点，AE与 BF交于点 P．
【特例感知】
（1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形，当∠APB＝∠D 时，则线段 AE 与 BF 的数量关系
为 ，位置关系为 ；
【思考探究】
（2）如图 2，若四边形 ABCD是菱形，且∠APB＝∠D，则线段 AE与 BF满足怎样的数量关系？
请证明你的猜想；
【类比迁移】
AE
（3）如图 3，若四边形 ABCD是菱形，E为 BC的中点，∠APB＝∠C＝60°，请求出 的值；
BF
【联系拓广】
（4）如图 4，在平行四边形 ABCD中，AD＝5，AB＝6，∠C＝120°，F是 CD边的中点，当点 E
在直线 BC上运动，且直线 AE与直线 BF所夹的锐角为 60°时，请直接写 BE的长．
图 1 图 2 图 3
图 4 备用图
第 4页（共 4页）2026 年九年级数学中考全真模拟考试评分标准
一．选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B D D B A C
二．填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
49
9. m≥3 10. （﹣2，1） 11. 4π 12. 13. 6 10
4 5
三．解答题（共 7 小题，共 61 分）
14 3．解：原式= 1 + ( 3 1) 2 × + 2 ………………………………………………………4分
2
= 1 + 3 1 √3 + 2 ………………………………………………………5分
= 2． ………………………………………………………6 分
15 +3 6 +3．解：原式= =
+3 ( 3)2
= 3 +3
+3 ( 3)2
= 1 ， ………………………………………………………4分
3
∵当 x＝﹣3或 3时，原分式无意义，
∴x＝0， ………………………………………………………5分
x 0 1 1当 ＝ 时，原式= = ． ………………………………………………………7分
0 3 3
16.（1）七年级劳动时间为 3小时的有 10 人，………………………………………………1 分
补全条形统计图如图所示； ………………………………………………… 2分
（2）统计表中 a＝ 2 ，b＝ 1 ． ………4分
（3）用 400乘以样本中八年级学生一周参与劳动时间不低于 2小时
的人数占比可得：400×（1﹣40%）＝240名，
答：估计八年级学生一周参与劳动时间不低于 2小时的人数
为 240名； ………6分
（4）七年级学生劳动时间更长，理由如下：两个年级学生劳动时间的中位数相同，但七年级学生
劳动时间的平均数和众数均高于八年级，所以七年级学生劳动时间更长． ………8分
17．解：（1）设乙种粽子的单价是 x元，则甲种粽子的单价是 2x元，
800 1200
依题意得： =50，
2
解得：x＝4， ……………………………………………………………2分
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， ……………………………………………3分
∴2x＝8，
答：甲种粽子的单价是 8元，乙种粽子的单价是 4元． …………………………………4分
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（2）设购进 m个，甲种粽子，则购进（200﹣m）个乙种粽子， …………………………………5分
依题意得：8m+4（200﹣m）≤1150，
解得：m≤87.5， ……………………………………………………7分
答：最多购进 87个甲种粽子． ……………………………………………………8分
18．（1）证明：∵AB＝4，BC＝5，BD= 2 5，
= = 2 5∴ ， ……………………………………………………1分
5
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD， ……………………………………………………2分
∴△ABD∽△DBC，
∴∠BDC＝∠A＝90°，
即 BD⊥CD． ……………………………………………………3分
（2）解：如图所示，⊙O即为所求． ……………………………………………………5分
AD是⊙O的切线． ……………………………………6分
理由如下：连接 OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ABD＝∠ODB， ……………………………………7分
∴AB∥OD．
∵∠A＝90°，
∴∠ADO＝90°， ……………………………………8分
∵OD为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线． ……………………………………9分
19．解：（1）依题意，设小李第一个蛙跳的路线抛物线 L1的函数解析式为 y＝a（x﹣1）2+0.4，代
入（0，0）得，0＝a+0.4
解得：a＝﹣0.4
∴y＝﹣0.4（x﹣1）2+0.4 ……………………… ……………………………………3分
（2）①∵第一个蛙跳在点 A处落地，
∴当 y＝0时，﹣0.4（x﹣1）2+0.4＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴A（2，0），
∵第二个蛙跳路线为抛物线 L2：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），其开口大小和方向均与第一个蛙跳的
路线抛物线 L1相同．
第 2页（共 4页）
∵在距离第一次蛙跳的起跳点 2.6m时，到达最高点，
∴y＝﹣0.4（x﹣2.6）2+k，
又∵A（2，0），
∴﹣0.4（2﹣2.6）2+k＝0，
18
解得： = ； …………………………………………………………6分
125
∴ = 0.4( 2.6)2 + 18，
125
②小李在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由如下，
当 x＝3时， = 0.4(3 2.6)2 + 18 = 0.08，
125
∵0.08＜0.12，
∴小李在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆， ……………………………………9分
3 2 ≤ ≤ 19（ ） ． …………………………………………………………11分
8
20．解：（1）线段 AE与 BF的数量关系为 AE＝BF ，位置关系为 AE BF ；…………4 分
（2）猜想 AE＝BF，证明如下：
如图在 BC边上取一点 M使 AM＝AB，则∠ABM＝∠AMB．
∵四边形 ABCD是菱形．
∴AB∥CD，AB＝BC＝AM，∠ABM+∠C＝180°，∠D＝∠ABE．
∵∠AME+∠AMB＝180°，∠ABM+∠C＝180°，
∴∠AME＝∠C．
∵∠APB＝∠D＝∠ABM＝∠AMB，
∴∠FBC＝∠APB﹣∠AEM＝∠AMB﹣∠AEM＝∠EAM．
在△AEM和△BFC中，∠FBC＝∠EAM，AM＝BC，∠AME＝∠C，
∴△AEM≌△BFC（ASA）．
∴AE＝BF． ……………………………………………7分
（3）如图，延长 AB，使 BG＝BE．
∵AB∥CD，
∴∠GBC＝∠C＝60°，
∴△BGE是等边三角形．
∴∠ = 60°， = = 1 = 1 ．
2 2
∵∠BAE+∠BEA＝∠BGC，∠PBE+∠BEP＝∠APB，∠APB＝∠C＝60°，
∴∠BAE＝∠PBE．
在△EAG和△FBC中，∠GAE＝∠CBF，∠G＝∠C，
∴△EAG∽△FBC．
1
+ + 3
∴ = = = 2 = ． …………………………………………………10分
2
9 48
（4）BE的长度为 或 ． …………………………………………………12分
4 5
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（参考答案）如图，当∠APF＝60°时，在 AB上取一点 G，使得 BG＝BE，
1 1
由题意可得：BC＝AD＝5，AB∥CD， = 2 = 2 = 3，
∴∠ABP＝∠BFC，
又∵∠APE＝60°，则∠APB＝∠BCD＝120°，
∴△ABP∽△BFC．
∴∠BAP＝∠FBC
∵AB∥CD，∠C＝120°
∴∠ABC＝60°
∴△BGE是等边三角形．
∴GE＝BE＝BG，∠BGE＝60°，
∴∠AGE＝∠C＝120°，
又∠BAE＝∠FBC，
∴△GAE∽△CBF，

∴ = = ，

设 BE＝x，则 AG＝AB﹣BG＝6﹣x，
6 5
∴ = ，
3
9
解得： = 4，
9 9 15
∴ = 4， = 6 4 = 4 ，
如图所示，当∠AP′B＝60°时，则∠BP′E＝120°
3 3 3 3
过点 F作 FJ⊥BC，垂足为 J，则 = ∠ = 2 = 2， = ∠ = 2 = 2 ，
∴BJ＝BC+JC＝5+ 32 =
13
2 .．
∴BF= ( 13 )2+( 3 3 )22 2 =7．
∵△GAE∽△CBF
5
∴ = 即 = ，
3 7
= 35∴ 3 ，
∵△ABP∽△BFC．
6
∴ = = ．即 = = ，
7 5 3
= 30 18∴ 7 ， = 7 ，
∴ ′ = + ′ = + = 18 + 30 = 487 7 7 ．
∵∠APF＝∠AP′B＝60°
∴△APP′是等边三角形，
∴AP＝PP′
又∵∠BAE＝∠FBC，∠BP′E＝∠AGE＝120°
∴△GAE∽△P′BE′

∴ =
′ ′
35 15
3 = 4∴
′ 48
7
48
解得：BE′= 5 ．
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