资源简介

第11章 三角形的证明及其应用
4 直角三角形
第1课时 勾股定理与互逆命题
夯基础
1.三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是 ( )
A.三个内角度数之比为3：4：5
B.三边之比为5:12:13
C.一个内角等于另外两个内角之差
D.三边长分别为 ,2,
2.已知下列命题:①若a>b,则 ②若a>1,则( ③两个全等的三角形的面积相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有 ( )
A.0个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ( )
A.24 B.36 C.40 D.44
4.已知,如图长方形 ABCD 中,AB =3 cm, AD=9 cm,将此长方形折叠,使点 B 与点D 重合,折痕为 EF,则△ABE 的面积为( )
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.12 cm
5.我们已经学习了一些定理，例如：
①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
②全等三角形的对应角相等
③三组对应边相等的两个三角形全等
④等腰三角形的两个底角相等
上述定理中存在逆定理的是 (填序号).
6.如图所示摆放的5个正方形,面积分别为 S ,S ,S ,S ,S ,其中 则
7.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C 都在格点上,以 A 为圆心,AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点 D，则CD 的长为 .
8.如图,已知△ABC 中,AB=17,AC=10,BC 边上的高AD=8,则△ABC 的周长为 ,面积为 .
9.如图,正方体的棱长为3cm，已知点 B 与点 C 间的距离为1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点 A 爬到点 C，需要爬行的最短距离为 .
10.如图，学校有一块三角形空地 ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形 ABDE 和三角形 EDC，分别摆放两种不同的花卉.经测量，∠EDC=90°, DC=15, DE=20, DB=35, AB=40,AE=5,求四边形 ABDE 的面积(单位:米).
11.如图，为让居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A,B,且 A,B 均位于地下管道AC 的同侧，售卖机 A，B之间的距离为500米，管道分叉口 M 与 B 之间的距离为 300 米，MN⊥AB 于点 N,M 到AB 的距离为240米，假设所有管道的材质相同.
(1)求 B,N 之间的距离;
(2)珍珍认为：从管道 AC 上的任意一处向售卖机 B 引出的分叉管道中，BM 是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确.
练能力
12.如图,已知四边形ABCD 中,AB∥CD,BC=AD=4,AB=CD=10,∠DCB=90°,E为CD 边上的一点,DE=7,动点 P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边AB 向终点 B 运动,连接 PE,BE,设点 P运动的时间为t秒.
(1)求 BE 的长;
(2)若△BPE 为直角三角形,求 t 的值.
13.【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形；
【性质探究】(1)如图1,垂美四边形 ABCD的两对角线交于点 O，试探究 AB，CD，BC，AD 之间有怎样的数量关系 写出你的猜想，并给出证明；
【性质应用】(2)如图2,分别以 Rt△ACB的直角边AC 和斜边 AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=8,AB=10,求GE 长.
第2课时 “HL”定理
夯基础
1.用三角尺可以画角平分线.如图所示，在已知∠AOB 的两边上分别取点M,N,使 OM=ON,再过点 M 画 OA 的垂线,过点 N 画OB 的垂线，两垂线交于点 P，那么射线OP就是∠AOB 的平分线.小明发现说明此画法的合理性时需要证明△POM 与△PON全等，其依据是 ( )
A. SAS B. SSS C. AAS D. HL
2.如图所示,已知在△ABC 中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB 交 AB 于点 D,若∠B=28°,则∠AEC= ( )
A.28° B.59° C.60° D.62°
3.如图,在△ABC 和△DFE中,∠A=∠D=90°,AC=DE,若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明 Rt△ABC≌Rt△DFE,则还需补充条件: .
4.如图,在△ABC 和△DBC 中,∠A =∠D = 90°,BC = 13,AC=CD=12,则点 A,D 距离是 .
5.如图,四边形ABCD 中,AB=AC,BF⊥AC 交AC 于点 E,AD⊥CD,∠ABE=∠ACD.若BF=11,CD=8,则CE 的长为 .
6.如图,△ABC 与△EFG中,AB=EF,BC=FG,AD⊥BC 于点D,EH⊥FG 于点 H,且 AD = EH.求证:AC=EG.
7.如图,已知AB=CD,DE⊥AC 于点 E,BF⊥AC 于点 F,且AE=CF,连接BD 交EF 于点M.
(1)求证:DE=BF;
(2)若DE=2,BD=6,求 EF 的长.
练能力
8.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,分别以 AB,AC 为边作等边△ABD 和等边△ACE,连接DE,若AB=6,AC=10,则ED= ,若延长线段ED 交BC 于点 F,则CF= .
第1课时勾股定理与互逆命题
1. A 2. A 3. D 4. C 5.①③④ 6.8
8.488 49.5cm
10.解:∵∠EDC=90°,DC=15,DE=20,
∴AC=AE+CE=30.
∵BC=BD+CD=35+15=50,AB=40,
∴△ABC 是直角三角形,且∠A=90°,
15×20=600-150=450(平方米),
答：四边形ABDE 的面积为450平方米.
11.解:(1)∵MN⊥AB,
∴∠BNM=90°.
在 Rt△BMN 中,BM=300 m, MN=240 m,由勾股定 理得 180m,
即B，N 之间的距离为180米；
(2)珍珍的观点正确，理由如下：
由(1)得 BN=180 m,
∴AN=AB-BN=500-180=320(m).
在 Rt△AMN 中,
由勾股定理得 400m.
250 000,
,即 BM⊥AM,
∴BM 是垂线段,
∴BM 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确.
12.解:(1)∵CD=10,DE=7,
∴CE=10-7=3,
在 Rt△CBE中,
(2)当∠BPE=90°时,AP=10-3=7,则t=7÷1=7(秒),
当∠BEP=90°时,
即
解得
综上所述，当t=7或 时,△BPE 为直角三角形.
13.解: 证明:∵AC⊥BD,
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理，得
(2)如图,连接 BE,CG,设AB 与CE 交于点M,
∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
在△GAB 和△CAE中,
∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC.
∵∠AEC+∠AME=90°,
∴∠ABG+∠BMC=90°,即CE⊥BG,
∴四边形CGEB 是垂美四边形，
则
第2课时 “HL”定理
1. D 2. B 3. BC=FE(或BE=CF)
5.4
6.证明:∵AD⊥BC于点D,EH⊥FG于点H,∴∠ADB=∠EHF=90°,
在 Rt△ABD 和 Rt△EFH 中,
∴Rt△ABD≌Rt△EFH(HL),
∴∠B=∠F,
在△ABC 和△EFG 中,
∴△ABC≌△EFG(SAS),∴AC=EG.
7.解:(1)证明:∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+FE,即AF=CE,在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中,
∴△ABF≌△CDE(HL),
∴DE=BF;
(2)∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠BFM=∠DEM=90°,
在△BMF 和△DME 中,
∴△BMF≌△DME(AAS),
∴MB=MD,ME=MF,
解析：如图，连接AF，
∵分别以 AB,AC 为边作等边△ABD 和等边△ACE,
∴AD=AB,AE=AC,∠BAD=60°.
∵∠EAC-∠DAC=∠BAD-∠DAC,
∴∠EAD=∠CAB,
在△ADE和△ABC 中,
∴△ADE≌△ABC(SAS),
∴ED=BC,∠ADE=∠ABC=90°,在 Rt△ABC 中,AB=6,∠ABC=90°,
∴ED=BC=8.
∵∠ADF=180°-∠ADE=90°,
∴∠ADF=∠ABC=90°,
在 Rt△ADF 和 Rt△ABF 中,
∴Rt△ADF≌Rt△ABF(HL),
∴∠DAF=∠BAF.
又∵∠BAD=∠DAF+∠BAF=60°,
∴∠DAF=∠BAF=30°,
∴AF=2BF,
设BF=x,则AF=2x,
整理得
∵x>0,

展开更多......

收起↑