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2026届高考确保60分的学生考前热身训练卷
注意事项：建议数学成绩力争60分以上的考生考前热身练习
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知命题，，那么为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
4．设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．18 B．26 C．34 D．42
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
6．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．已知曲线向右平移个单位长度得到曲线，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，则（ ）
A．向量的夹角为
B．若，则
C．若 ，则
D．向量在向量上的投影向量为
10．已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（ ）
A．若的极差为9，则 B．若的80%分位数是6，则
C．若的平均数为3，则 D．若，则的方差为6.8
11．已知双曲线，则（ ）
A．的虚轴长为
B．的离心率为
C．与直线仅有1个公共点
D．关于直线对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数在处的切线方程为，则的值为______．
13．在等比数列中，，，则________．
14．已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________．
四、解答题
15．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
16．（15分）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
17．（15分）已知函数
(1)讨论的单调性.
(2)若对任意都有恒成立，求的取值范围.
18.（17分）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：
品牌 性别
男性 15 30
女性 30 25
(1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联.
附：，其中.
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
品牌 性别
男性 15 30 45
女性 30 25 55
45 55 100
19．（17分）如图，底面是正方形的直棱柱中，，．
(1)求直线与所成角的正弦值；
(2)求证：．
2026届高考确保60分的学生考前热身训练卷（解析版）
注意事项：建议数学成绩力争60分以上的考生考前热身练习
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知命题，，那么为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.
【详解】原命题，，是存在量词命题，
其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，
所以为，.
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助交集定义即可得.
【详解】由，，则.
3．已知向量满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【详解】由，
，得．
．
故．
4．设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．18 B．26 C．34 D．42
【答案】B
【分析】利用等比数列连续相同项数的和仍成等比数列的性质，分别求出三组连续三项的和，相加即可.
【详解】由题，，
根据等比数列的性质，，成等比数列，
故，
，
所以.
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【分析】利用余弦定理将角的余弦转化为边的表达式，化简后得到两边相等即可判断三角形形状.
【详解】由余弦定理得，由题意得，
即，因为，整理得，
即，即，故一定是等腰三角形.
6．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】因为，即，移项整理得,
，所以，
故的虚部为1.
7．已知曲线向右平移个单位长度得到曲线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数平移方法及诱导公式即可求解．
【详解】由题得，．
8．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】抛物线准线方程为：，然后由准线到圆心距离为半径可得答案.
【详解】的准线方程为：，因准线与圆相切，则到圆心距离为1，
则，结合，可得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，则（ ）
A．向量的夹角为
B．若，则
C．若 ，则
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】AC
【分析】对于A，直接由夹角公式计算即可；对于B，转换成即可验算；对于C，由向量平行的充要条件即可求解；对于D，由投影向量的定义即可求解.
【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为，即向量的夹角为，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，若 ，则存在实数，使得，
因为，所以不共线，所以，故C正确；
对于D，向量在向量上的投影向量为，故D错误.
故选：AC.
10．已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（ ）
A．若的极差为9，则 B．若的80%分位数是6，则
C．若的平均数为3，则 D．若，则的方差为6.8
【答案】ABD
【详解】对于A，因为，其极差为9，所以，所以，故A正确；
对于B，中共5个数，，则80%分位数是从小到大排列后第4个数和第5个数的平均数，
因为80%分位数是6，则，即得，解得，故B正确；
对于C，由，解得，故C错误；
对于D，当时，由C项知的平均数为3，故的方差为，故D正确．
11．已知双曲线，则（ ）
A．的虚轴长为
B．的离心率为
C．与直线仅有1个公共点
D．关于直线对称
【答案】BC
【分析】根据双曲线的虚轴长、离心率、对称性，结合双双曲线的渐近线逐一判断即可.
【详解】由题意知的虚轴长为，A错误；
双曲线的离心率为，B正确；
为的渐近线，所以与平行，故与仅有一个公共点，C正确；
交换位置后的方程与原来的方程不同，故不关于直线对称，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数在处的切线方程为，则的值为______．
【答案】
【分析】先求出函数的导数，再根据导数的几何意义以及切点同时在函数和切线上这两个条件，列出关于的方程，进而求解的值，最后计算.
【详解】根据题意，，则，
又函数在处的切线方程为，
所以切线斜率为，即，解得，
又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为，
又切点在函数上，所以，解得，
所以.
13．在等比数列中，，，则________．
【答案】
【分析】根据等比数列的性质求解.
【详解】因为等比数列中，，，
所以，即，
所以，
所以.
14．已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为________．
【答案】
【分析】设出圆锥的底面半径，再表示出其侧面积与底面积计算即可得.
【详解】设圆锥的底面半径为，则其母线长，
该圆锥的底面积为，侧面积为，
所以其侧面积与底面积的比值为．
四、解答题
15．（13分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解；
（2）由同角三角函数基本关系、正弦定理结合两角和的正弦公式可得，再由三角形面积公式计算即可求解.
【详解】（1）由，结合正弦定理，
得，
即，即，
因为，所以，即．
（2）．
利用正弦定理得．
而，
故的面积．
16．（15分）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的离心率可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得，的值，求出椭圆的方程；
（2）设与平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离．
【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得，
可得，设椭圆的方程为：，，
又因为椭圆经过点，所以，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）设与直线平行的直线的方程为，
联立，整理可得：，
，可得，则，
所以直线到直线的距离．
所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
17．（15分）已知函数
(1)讨论的单调性.
(2)若对任意都有恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性；
（2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围.
【详解】（1）由题意可得，，
当时，在恒成立，所以函数在单调递增；
当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增，
综上所述，当，函数在单调递增；
当时，函数在单调递减,在单调递增.
（2）因为对任意都有，所以，即，
令，，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
故.
18.（17分）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：
品牌 性别
男性 15 30
女性 30 25
(1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联.
附：，其中.
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)；
(2)根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联.
【分析】（1）根据表格数据，应用古典概型的概率求法求概率即可；
（2）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论.
【详解】（1）由表格数据知，女性消费者偏好品牌的概率；
（2）列联表如下，
品牌 性别
男性 15 30 45
女性 30 25 55
45 55 100
由题设，，
所以根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联.
19．（17分）如图，底面是正方形的直棱柱中，，．
(1)求直线与所成角的正弦值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)
证明见解析.
【分析】（1）利用余弦定理求即可；
（2）利用直棱柱性质及正方形性质证明线面垂直，进而证得线线垂直.
【详解】（1）设与的交点为，
直线与所成角为，
由已知，同理可得，
所以，
所以，
因为 ， 所以 .
即直线 与 所成角的正弦值为 .
（2）证明：因为 是直棱柱， 所以 平面 .
又因为 平面 ， 所以 .
因为底面 是正方形， 所以 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，
所以 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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