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2026年中考数学预测试卷01
九年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（原创题）-5的倒数是（　　）
A． B． C．-5 D．5
2．（原创题）2026年一季度数据：作为“十五五”开局之年，杭州经济持续向好。2026年一季度，全市生产总值（GDP）达到6109亿元，同比增长5.6%，增速高于全国水平，且比上年全年和上年同期均加快了0.4个百分点.数值“6109亿元”用科学记数法可表示为(　　)
A． B． C． D．
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，且满足 若已知△AEF与△CEF的面积之差为k，则下列选项中的线段长能用含k的代数式表示的是(　　)
A．EF B．AD C．AE D．AF
4．《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何 译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与车各多少 设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
5．我国在太空通讯领域成就斐然，2026年初，中国向国际电信联盟(ITU)提交了总数超过20万颗卫星的轨道资源申请.卫星绕地运行的周期T与其轨道半径R之间存在如下关系： (K为常数).现有两颗人造卫星，其绕地运行周期之比 则其轨道半径之比 (　　)
A． B．2：3 C． D．3：4
6．为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，学生可根据自己的爱好选择一项．已知该校开设的体育社团有A：篮球，B：排球，C：足球，D：羽毛球，E：乒乓球．李老师对某年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（　　）
A．选社团E的有5人
B．选社团D的扇形圆心角是
C．选社团A的人数占体育社团人数的
D．选社团B的扇形圆心角比选社团D的扇形圆心角的度数少
7．如图，在中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿BCA运动，如图1所示，设，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
8．一次函数y=x+b(b为常数)与反比例函数 交于A，B两点，其中点A 的坐标为(2，1)，点C(a，y1)，D(a，y2)分别在该一次函数与反比例函数上，若 则a 的值可以为(　　)
A．– 2 B． C． D．1
9． 汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线OA会主动转至 OB，转动的角度∠AOB=α，若OA的长为m，则AB的长为(　　)
A．mtanα B． C．msinα D．
10．如图，在中，，．以为直径画半圆，交于点，过点作半圆的切线交于点，若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．10
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．（原创题）因式分解： 　 　.
12． 如图， BD为 的高线，以点D为圆心，DA长为半径的圆与BC相切于点E，与AC交于点 F， AE与BD交于点G.若CF=3.6，DG=4.8，则 BG的长为　 　.
13．【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现π可以用级数表达：
【数学应用】应用莱布尼茨π的级数表达公式，估算：当n=4时，π的近似值为　 　．(结果保留一位小数)
14．如图，在中，，，点O为中点，连接，正方形在内部，边交于点G，连接，．若点G为中点，，，则线段的长为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y=ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC长为　 　．
16．如图，在矩形中，是边中点，于点，连接，分析下列五个结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有　 　（填写序号）．
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（原创题）计算：
18．（原创题）解不等式组：
19．为进一步增强学生的自我保护意识，某校组织七、八年级学生开展“校园安全知识竞赛”.本次竞赛满分为10分，所有学生的成绩均为整数分，9分及以上为优秀等级.在两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计整理，获得如下统计图表.
七年级抽取学生的竞赛成绩统计表
成绩（分） 4 6 7 8 9 10
个数 2 4 3 6 3 2
七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 7.4 7.4
中位数 8 a
众数 b 7
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　.
（2）该校七、八年级共有学生1000名，估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数．
（3）你认为哪个年级的学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好 请说明理由．
20．如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD.点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE.
（1）求证：.
（2）当，求的值.
21．如图1，AC为 ABCD的对角线，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E

（1）求证：∠BAC＝∠ABE；
（2）如图2，当AB＝AC时，连接OA、OB，求证△GOB∽△GBA；
（3）如图3，在（2）的条件下，记AC、BE的交点为点F，当时，求sin∠EAG的值．
22．已知二次函数y=x2+bx+cb，c为常数)的图象经过A(m，p)，B(m+1，q)两点.
（1）已知，求该二次函数的表达式.
（2）当该二次函数图象经过点时.
①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)；
②若，求的取值范围.
23．在矩形ABCD中，ABEF为正方形，点G在EF射线上， 过A 作HA⊥AG交BC于点H，过H作HP⊥DG交DG于点 P，连结DH交EF于点Q.
（1）求证：四边形AHPG是正方形.
（2）已知AB=1，若Q为HD的中点，求 BC的长.
24．在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2026年中考数学预测试卷01
九年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（原创题）-5的倒数是（　　）
A． B． C．-5 D．5
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】互为倒数的两个数乘积为1，
故答案为：A
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数可求解。
2．（原创题）2026年一季度数据：作为“十五五”开局之年，杭州经济持续向好。2026年一季度，全市生产总值（GDP）达到6109亿元，同比增长5.6%，增速高于全国水平，且比上年全年和上年同期均加快了0.4个百分点.数值“6109亿元”用科学记数法可表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 6109亿=610900000000=6.109×1011
故选： B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和CD上，且满足 若已知△AEF与△CEF的面积之差为k，则下列选项中的线段长能用含k的代数式表示的是(　　)
A．EF B．AD C．AE D．AF
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
4．《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何 译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行.问：人与车各多少 设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得，
故选： A.
【分析】根据若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，可以列出相应的方程组.
5．我国在太空通讯领域成就斐然，2026年初，中国向国际电信联盟(ITU)提交了总数超过20万颗卫星的轨道资源申请.卫星绕地运行的周期T与其轨道半径R之间存在如下关系： (K为常数).现有两颗人造卫星，其绕地运行周期之比 则其轨道半径之比 (　　)
A． B．2：3 C． D．3：4
【答案】D
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：
又 (K为常数)，
故选： D.
【分析】根据立方根的定义进行计算即可.
6．为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，学生可根据自己的爱好选择一项．已知该校开设的体育社团有A：篮球，B：排球，C：足球，D：羽毛球，E：乒乓球．李老师对某年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（　　）
A．选社团E的有5人
B．选社团D的扇形圆心角是
C．选社团A的人数占体育社团人数的
D．选社团B的扇形圆心角比选社团D的扇形圆心角的度数少
【答案】C
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：∵选社团的人数为人，占比为．
∴总人数（人）．
∵选社团的占比为．
∴选社团的人数（人）．故项正确，不符合题意．
∵选社团的人数为人．
∴选社团的占比．选社团的扇形圆心角．故项正确，不符合题意．
∵选社团的人数（人）．
∴选社团的人数占比．
∵．
∴选社团的人数不占体育社团人数的．故项错误，符合题意．
∵选社团的人数为人．
∴选社团的占比．
∴选社团的扇形圆心角．
∵．
∴选社团的扇形圆心角比选社团的扇形圆心角的度数少．故项正确，不符合题意．
故选：D.
【分析】先根据社团的人数除以占比求出总人数，然后求出A、E社团的人数，D，B社团占比及对应扇形圆心角，解答即可．
7．如图，在中，，D为斜边的中点，动点P从B点出发，沿BCA运动，如图1所示，设，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；动点问题的函数图象；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：由图可知，BC=4，AC+BC=7，
∵D为斜边AB的中点，
∴当点P运动到点C时， 的面积最大，且为△ABC面积的一半，
∴y的最大值为
故选： C.
【分析】结合图形得出BC和AC的长，利用三角形中线分出的两三角形的面积相等求解即可.
8．一次函数y=x+b(b为常数)与反比例函数 交于A，B两点，其中点A 的坐标为(2，1)，点C(a，y1)，D(a，y2)分别在该一次函数与反比例函数上，若 则a 的值可以为(　　)
A．– 2 B． C． D．1
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由条件可知1=2+b，
解得b=-1，
即一次函数解析式为y=x-1，
∵点A(2，1)在反比例函数 上，
∴代入得
解得k=2，
即反比例函数解析式为
联立两个函数解析式得：
消去y整理得
因式分解得((x-2)(x+1)=0，
解得两个交点的横坐标为
根据反比例函数和一次函数的图象性质可得，当 时，a的取值范围是-12，
结合选项，只有 满足 符合条件.
故选： B.
【分析】先利用已知点A的坐标求出两个函数的解析式，再联立求出两个交点的横坐标，根据函数图象性质得到满足 时a的取值范围，结合选项即可得到答案.
9． 汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线OA会主动转至 OB，转动的角度∠AOB=α，若OA的长为m，则AB的长为(　　)
A．mtanα B． C．msinα D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据正切的定义解答即可.
10．如图，在中，，．以为直径画半圆，交于点，过点作半圆的切线交于点，若，则的长为（　　）
A．8 B． C． D．10
【答案】D
【知识点】切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：如图：连接、，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠CED=90°，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为直径画半圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：D．
【分析】连接AD、OD，由等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，则∠ODB=∠C，由同位角相等，两直线平行得出AC∥OD；由圆的切线垂直经过切点的半径得出∠ODE=90°，由二直线平行，内错角相等可推出∠CED=90°，由等角的同名三角函数值相等结合正切函数的定义得出CE=2；由直径所对的圆周角为直角可得，由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出， 由等角的同名三角函数值相等结合正切函数的定义得出AE=8，最后根据AC=AE+CE即可得出答案.
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．（原创题）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 5 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12． 如图， BD为 的高线，以点D为圆心，DA长为半径的圆与BC相切于点E，与AC交于点 F， AE与BD交于点G.若CF=3.6，DG=4.8，则 BG的长为　 　.
【答案】19.2
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连结 DE， EF，
则.
∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠ECD=90°，
设DE=4a，CE=3a，则DC=5a，
∴BG=BE，
∴设BG=BE=x，BD=x+4.8，
又∵∠BDE=∠ECD，
∴sin∠BDE=sin∠ECD，即
解得x=19.2
故答案为：19.2 .
【分析】连结 DE， EF，根据两角对应相等得到△DEG∽△CEF，根据对应边成比例得到然后推理得到即可得到BG=BE，然后根据正弦的定义得到解答即可
13．【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现π可以用级数表达：
【数学应用】应用莱布尼茨π的级数表达公式，估算：当n=4时，π的近似值为　 　．(结果保留一位小数)
【答案】2.9
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
∴，
故答案为：2.9.
【分析】将n=4代入公式中，然后按照公式的规律进行计算，最后将结果保留一位小数.
14．如图，在中，，，点O为中点，连接，正方形在内部，边交于点G，连接，．若点G为中点，，，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，作于，于，交于，
四边形是正方形，，
，，，
，，为中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，点G为中点，
，
，
，
，
，
即，
，
，
同理可求，，
，
中，，
，
中，.
故答案为：．
【分析】连接，作于，于，交于，分别证明、，则四边形是平行四边形，得，再根据SAS证明，则，根据勾股定理求得，根据及，可求，，同理可求，，在中，，在中，用勾股定理即可求的长．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y=ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC长为　 　．
【答案】4
【知识点】正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴x=﹣ =2，点B坐标（0，3），
∵四边形ABCD是正方形，点A是抛物线顶点，
∴B、D关于对称轴对称，AC=BD，
∴点D坐标（4，3）
∴AC=BD=4．
故答案为4．
【分析】先求出对称轴，再根据B、D关于对称轴对称，求出点D坐标，根据正方形的性质AC=BD即可解决问题．
16．如图，在矩形中，是边中点，于点，连接，分析下列五个结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有　 　（填写序号）．
【答案】①②④⑤
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（原创题）计算：．
【答案】3解：原式2．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算，再合并即可.
18．（原创题）解不等式组：
【答案】解：
解：解不等式①，得x<5.
解不等式②，得x>4.
所以原不等式组的解集是4【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
19．为进一步增强学生的自我保护意识，某校组织七、八年级学生开展“校园安全知识竞赛”.本次竞赛满分为10分，所有学生的成绩均为整数分，9分及以上为优秀等级.在两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计整理，获得如下统计图表.
七年级抽取学生的竞赛成绩统计表
成绩（分） 4 6 7 8 9 10
个数 2 4 3 6 3 2
七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 7.4 7.4
中位数 8 a
众数 b 7
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　，b=　 　.
（2）该校七、八年级共有学生1000名，估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数．
（3）你认为哪个年级的学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好 请说明理由．
【答案】（1）7.5；8
（2）解：人．
所以估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数为250人．
（3）解：七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
理由如下：从平均数来看，两年级相同．从“中位数”“众数”这两个统计量来看，七年级均高于八年级，从而说明七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）将八年级竞赛成绩从小到大排列，第10个数据和第11个数据分别为7和8，
∴a==7.5，
由统计表知：七年级抽取学生竞赛成绩8出现6次，此时最多，则众数b=8.
故答案为：7.5；8.
【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可；
（2）利用样本中七八年级优秀人数所占比例，乘以1000即得结论；
（3）根据平均数、中位数、众数的意义解答即可.
20．如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，连结CD.点E是CB延长线上的一点，连结AE，若AB平分∠CAE.
（1）求证：.
（2）当，求的值.
【答案】（1）证明：，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，进而等量代换得到，再根据角平分线的定义得到，从而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据题意得到，进而根据相似三角形的性质得到，再结合题意等量代换即可求解。
21．如图1，AC为 ABCD的对角线，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E

（1）求证：∠BAC＝∠ABE；
（2）如图2，当AB＝AC时，连接OA、OB，求证△GOB∽△GBA；
（3）如图3，在（2）的条件下，记AC、BE的交点为点F，当时，求sin∠EAG的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵弧BC＝弧BC，
∴∠BAC＝∠BEC，
∴∠BAC＝∠ABE；
（2）证明：∵AB＝AC，AO经过圆心，
∴∠BAG＝∠CAG，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAC＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBG，
又∠BGO＝∠AGB，
∴△GOB∽△GBA；
（3）解：延长AO交BC于点H，连接CG，

则AH⊥BC，BH=CH，
∴∠GBH=∠GCH，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠GCF=∠ABE=∠BEC，
∵∠CGF=∠EGC，
∴△CGF≌△EGC，
∴，
∴CG=，
∵∠ABE＝∠ACE＝∠BEC，
∴EF＝FC，
∵，
设EF＝CF＝7a，
则FG＝9a，GE＝16a，
∴BG＝CG＝＝12a，
∵，
∴，
∵∠GCF＝∠ECF，即CF是∠ECG的平分线，
∴点F到∠ECG两边的距离相等，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
即，
∴AB＝28a，
由（2）可知：OB是∠ABG的平分线，同理，
即，
∴，
设⊙O的半径为R，
∵BG2＝GO GA，
∴（12a）2＝，
解得：，
即，
设OH＝x，
在Rt△ABH和Rt△OBH中，（28a）2-（R+x）2＝R2-x2，
整理得：，
即，
∵∠CAE＝∠CBE，∠CAG＝∠OBG，
∴∠EAG＝∠OBH，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出∠ABE＝∠BEC，根据圆周角定理得出∠BAC＝∠BEC，即可证出∠BAC＝∠ABE；
（2）根据垂径定理和等腰三角形的性质得出∠OAB＝∠OBA＝∠OBG，再根据∠BGO＝∠AGB，即可证出△GOB∽△GBA；
（3）延长AO交BC于点H，连接CG，先求出的值，再求出∠EAG＝∠OBH，利用锐角三角函数定义即可得出.
22．已知二次函数y=x2+bx+cb，c为常数)的图象经过A(m，p)，B(m+1，q)两点.
（1）已知，求该二次函数的表达式.
（2）当该二次函数图象经过点时.
①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)；
②若，求的取值范围.
【答案】（1）把分别代入得
，解得该二次函数表达式为.
（2）①该二次函数图象经过和
对称轴为直线.
，最小值为.
②当时，，符合要求；
当时，关于对称轴的对称点为，
，而在对称轴右侧，随的增大而增大.
.故的取值范围是.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）①由于该二次函数图象经过和，根据对称性求出对称轴，继而求出b值，再将解析式化为顶点式，即得最小值；
②分和两种情况，分别利用二次函数的性质解答即可.
23．在矩形ABCD中，ABEF为正方形，点G在EF射线上， 过A 作HA⊥AG交BC于点H，过H作HP⊥DG交DG于点 P，连结DH交EF于点Q.
（1）求证：四边形AHPG是正方形.
（2）已知AB=1，若Q为HD的中点，求 BC的长.
【答案】（1）证明：∵∠AGP=∠GAH=∠HPG=90°，
∴四边形AHPG是矩形.
∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF，
∵∠BAF=∠HAG=90°，∴∠BAH=∠DAG.
∴△ABH≌△AFG，∴AB=AF，
∴四边形AHPG是正方形.
（2）解：设，
四边形是正方形，四边形是矩形，
，即．
．
为中点，
．
在和中：
．
．
，，
．
，，
，
，
，
．
，四边形为正方形，
，，
．
由（1）可知，
．
在中，
．
，
整理得：，
解得（舍去），．
．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据三个角是直角得到AHPG是矩形，然后根据正方形的性质，然后根据ASA得到，即可得到AB=AF，证明结论即可；
（2）根据正方形和矩形的性质，利用AAS得到，即可得到，设，则，再根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出．由（1）知，在中根据勾股定理列方程求出x的值解答即可．
24．在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
（1）求的值．
（2）过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】（1）解：∵点A的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点B的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）解：如图所示，
由题意可得，，，
∴设CD所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线CD经过原点．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A的横坐标代入直线y2=k2（x-2）+5算函数y的值，可得点A的坐标为（2，5），再将点A的坐标代入反比例函数 可求出k1的值，从而求出反比例函数的解析式，进而将点B的纵坐标-4代入反比例函数的解析式算出对应的x的值，从而得到点B的坐标，接着将点B的坐标代入y2=k2（x-2）+5可求出k2的值；
（2）根据点的坐标与图形的性质易得点C，D（2，-4），然后利用待定系数法可求出直线CD的解析式，再根据一次函数图象上的点的坐标特点，判断点（0，0）是否在直线CD上即可得出结论.
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