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重庆市九校2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题
一、单选题
1．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．2
2． （ ）
A． B． C． D．
3．已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．下图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中为圆台下底面圆心，分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为，，，圆台下底面圆半径为，则该组合体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
5．已知向量，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（ ）
A．3 B． C． D．4
7．已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面周长为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点
B．棱台的侧面都是梯形
C．因为四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥
D．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）
A．若，则为钝角三角形
B．若，则为锐角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列说法正确的是（）
A．存在点Q，使得平面 B．不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥外接球的表面积为
三、填空题
12．设是虚数单位，，则________
13．已知向量满足，，向量在向量上的投影向量的坐标为，则________
14．若向量满足，，则的最小值为________
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，．
(1)证明：．
(2)证明：平面平面．
16．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，且平面平面，分别是，的中点.
(1)证明：.
(2)求三棱锥的体积.
18．重庆市渝东北某规划部门计划在一个半径为2 km的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇形的圆心角为直角，，分别为公园的两条垂直边界道路.现要在弧上选取一个景观节点P，使得，其中.为提升广场实用性，规划方案如下：
1．过点P向，分别作垂直步道，，围出一个矩形，用于打造亲子游乐区，记该矩形区域的面积为；
2．连接，，，在区域内打造城市花境景观带，记该三角形区域的面积为.请你尝试帮助规划部门解决以下问题：
(1)分别用表示亲子游乐区面积与花境景观带面积；
(2)若综合考虑游乐区实用性与景观带观赏性，定义综合效益函数，求的最大值及对应此时景观点P的位置.
19．由代数基本定理，给定，方程有个复数根，且，将称为n次单位根.
(1)求三次单位根，并计算与的值.
(2)欧拉公式给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求模运算，可简化运算过程．例如，.
（i）证明：.
（ii）证明： .
参考答案
1．B
【详解】因为，所以，解得，
则，由模长公式得，故B正确.
2．B
【详解】.
3．B
【详解】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确；
选项B，若，，则或，故B错误；
选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确；
选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确.
4．B
【详解】圆柱的上底面面积为；圆柱的侧面面积为；圆台的下底面面积为；
圆台的母线长为，所以圆台的侧面面积为，
则该组合体的表面积为．
故选:B．
5．A
【详解】由得，
两式相减得，，所以，则.
故选：A.
6．C
【详解】若有两解，则，即：，所以.
7．A
【详解】正方体中，平面，则平面与平面的交线与平行，
取中点F，连接，，因为，有，
所以四边形为经过，D ，E三点的正方体的截面，
在梯形中，，，，，
所以四边形周长为.
8．B
【详解】

如图所示，作，因为，所以是中点，因为平面平面，所以平面，所以，
设，则，
在直角三角形中，，即：，解得：，即：，，
因为，，所以和是直角三角形，且，则，
设三棱锥内切球的半径为，则，
， 代入得：，解得：，即：三棱锥内切球的半径为.
9．ABD
【详解】对于A，由三棱台的性质得三棱台的各侧棱延长后必交于一点，故正确；
对于B，由棱台的性质可知，棱台的侧面都是梯形，故正确；
对于C，三棱台也是五面体，不满足，故错误；
对于D，当棱锥的各个侧面都是等边三角形，底面为正五边形时，这个棱锥为五棱锥，故正确.
10．AB
【详解】选项A，根据余弦定理
已知，则，因此.
又因为，所以为钝角，故为钝角三角形，A正确；
选项B，，说明三个余弦值全为正，或一正两负.
三角形中若有两个钝角，则内角和会超过，矛盾.
因此只能是三个余弦值全为正，即均为锐角，为锐角三角形，B正确；
选项C，，根据正弦函数性质或，
即或.
当时，为直角三角形，不一定是等腰三角形，C错误；
选项D，余弦函数在上单调递减.
若，且，则，而非，D错误.
11．AD
【详解】对于A，连接.当是的中点时，因为，且在正方体中易得，所以.
因为平面，平面，所以平面，故A正确.
对于B，连接.因为分别是的中点，所以.
又易得，所以，所以四点共面，
即当与点重合时，四点共面，故B错误.
对于C，连接.因为，
所以，故C错误.
对于D，分别取的中点，构造长方体，则经过四点的球即为长方体的外接球.
设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，
即，所以经过四点的球的表面积为，故D正确.
12．13
【详解】因为，所以.
13．或
【详解】设，因为，所以，，
因为向量在向量上的投影向量的坐标为，
所以向量在向量上的投影向量为，即，
因为，所以，将代入解得，
所以或.
14．2
【详解】由，所以，所以，
又由，
，
所以，
所以，
当且仅当与同向时，等号成立.
所以的最小值为.
15．(1)证明：
连接．
在中，因为E，F分别是，的中点，
所以是的中位线，则，
同理可得，
所以．
(2)证明：
设，连接．
因为四边形为平行四边形，
所以互相平分，
在中，，O是的中点，所以，
在中，，O是的中点，所以，
又，且平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
易知，则，即，
则或，所以或（舍去），
故；
（2）由余弦定理知，
即，当且仅当时取得等号，
所以，
即面积的最大值为.
17．(1)如图，连接，，作出符合题意的图形，
底面是菱形，，是等边三角形，
又是的中点，，
又 ，面，平面
而面，.
(2)
【详解】（1）略
（2）为的中点，，
又是的中点，，，
由（1）可知，平面平面，
且面，平面，
.
18．(1) ，
(2) ，此时景观点为弧的中点
【详解】（1）由题设，，得 ， ，
（2）（方法一）
，
，
则， ，对应，此时景观点P为弧的中点
（方法二） ．
令，则
，则 ，
当时， ，对应，此时景观点为弧的中点
19．(1)
(2)证明：（ⅰ）当时，，
即，所以，
所以，
因为是方程的根，所以.
（ⅱ）当为偶数时，为整数，则，则原式为，
当为奇数时，由题可知，，，，是方程的根，
所以，
令，可得，所以，
两边同时取模，可得，
因为，所以，
则，
又因为，
即与首末等距离的两项余弦值互为相反数，乘积为负，
所以，
所以，
所以 .
（1）解：由题意知
可得，，，
则
（2）略

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