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青海海南州高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．化简：等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
3．已知向量与的夹角是，且，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，为测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得，，，，则、两点的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．若，，则（ ）
A． B． C． D．或
7．已知函数（）在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数（）在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数图象关于直线对称
B．函数的最小正周期为
C．函数图象可看作是把函数的图象向左平移个单位而得到
D．函数在区间的最大值为2
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，，，则符合条件的△ABC有两个
D．若△ABC为锐角三角形，则
11．已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（ ）
A．若为的垂心，则
B．若为的重心，则
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则.
三、填空题
12．函数的最小值为___________.
13．在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______.
14．若，则的值为__________.
四、解答题
15．已知向量，，，且，.
(1)求与；
(2)若，，求向量，的夹角的大小.
16．（1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量.
（2）设两个非零向量，不共线，，，.
①若和共线，求实数的值；
②求证：、、三点共线.
17．已知函数.
(1)求的最小正周期和对称中心；
(2)求在区间内的单调递增区间.
18．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的最小值及的面积.
19．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C；
(2)若，的面积为，求边a，b的值．
参考答案
1．D
【详解】.
2．B
【详解】.
3．B
【详解】因为向量与的夹角是，且，，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
4．C
【详解】根据题意，，
则，即，
则，又，所以，
所以.
5．B
【详解】在中，，，故，
由正弦定理，得，
在中，，，
故为等腰直角三角形，且，，
在中，，，，
由余弦定理可得（米）.
故选：B.
6．B
【详解】因为，所以，而，
故，则，
故
.
7．B
【详解】解：，
，，
，
又函数（）在区间上单调递增，
，解得．
8．D
【详解】因为，所以．
因为在上恰有3个零点，所以，解得．
9．ABD
【详解】 ，故A正确.
，故B正确.
向左平移个单位，得，故C错误.
当时，，，故 ，D正确.
10．BCD
【详解】对于A，由诱导公式知，错误；
对于B，由和正弦定理可得，由大边对大角可知，正确；
对于C，若，，，则，
即，所以符合条件的△ABC有两个，正确；
对于D，∵，∴，∴，正确.
11．ACD
【详解】因为为的垂心，所以，故，
所以，故A正确；
延长交于中点，如图，

因为点O是的重心，，
所以，故B错误；
如下图所示：

若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理知，
所以，故C正确；
如图，

若为的内心，则，过作，
由余弦定理得，所以，
内切圆半径为，所以，
所以，而，所以，
所以，故D正确.
12．/
【详解】，
当时，等号成立，所以函数的最小值为.
13．或
【详解】在中，由正弦定理得，
又，，，所以，所以，
又因为，所以或.
14．
【详解】
.
15．(1)，；
(2).
【详解】（1）向量，，，由，得，则；
由，得，解得，所以.
（2）由（1）得，，
因此，，
，而，则，
所以向量，的夹角的大小为.
16．（1）（2）①；②证明见解析
【详解】（1）如图：保持不变，将平移，使其起点落在的终点上，
然后将向量平移，使其起点落在平移后的的终点上，
最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是，
（2）①和共线，则有，，
因为非零向量，不共线，所以有且，得 即；
②，
因为，所以和共线，所以A、B、D三点共线.
17．(1)最小正周期，对称中心为；
(2)和.
【详解】（1）函数
，
所以的最小正周期，
令，解得：，此时，
的对称中心为；
（2）令，
解得，
的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为；
在区间内单调递增区间和.
18．(1)
(2);
【详解】（1）由和正弦定理，
可得，整理得，
由余弦定理，，因，则.
（2）由化简得，
由余弦定理，，
当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为.
的面积为.
19．(1)
(2)或
【详解】（1）由，
结合正弦定理得：，
即，故，
因为，所以，可得 ，所以 ．
（2）由的面积 ，
又 ，所以①.
由及余弦定理得，
故，从而，所以②，
由①②联立解得或．

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