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陕西榆林市靖边县第一中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知为虚数单位，若，则（ ）
A． B．2 C． D．2i
2．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
7．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则
A．90 B．60 C．45 D．30
8．设，且，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、多选题
9．已知向量，，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则 D．在上的投影向量为
10．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜（不考虑水流出）.随着倾斜度的不同，下列说法正确的是（ ）

A．水的部分始终呈棱柱形 B．水面EFGH的面积不改变
C．棱始终与水面EFGH平行 D．当时，是定值
11．如图，在三棱锥中，，为的中点，点是棱上的中点，则（ ）
A．与平面所成的角为
B．异面直线与所成角的正弦值为
C．二面角的余弦值为
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．已知利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为的等腰直角三角形，则的面积是__________.
13．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为______.
四、解答题
15．设复数．
(1)若是实数，求；
(2)若是纯虚数，求．
16．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积．
17．如图，在菱形中，.
(1)若，求的值；
(2)若，，求.
18．在锐角中，内角、、所对的边分别为，，，，，向量，的夹角为．
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围．
19．如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求点到平面的距离.
参考答案
1．B
【详解】解：，
则．
故选：B．
2．A
【详解】图中几何体为组合体，由圆锥和圆台组合而成，故可由直角三角形和直角梯形绕同一个轴旋转而成，故A正确，BD错误，
C的图形绕轴旋转后得到的几何体上方为圆台，下方为圆锥，与题设不合，故C错误.
3．D
【详解】
故选：
4．A
【详解】，，所以当时，成立，即充分性成立；当时， 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以是的充分不必要条件，
故选：A
5．D
【详解】设AA1=2AB=2，因为，所以异面直线A1B与AD1所成角，
，故选D.
6．C
【详解】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
7．D
【详解】由正弦定理及得
,因为，所以；
由余弦定理、三角形面积公式及，得,
整理得，又,所以,故.
故选D
8．C
【详解】记，，，对应的点为，
则满足的点在线段的垂直平分线上，易知其方程为，即，
表示点到点的距离，由点到直线距离公式得．
故选：C．
9．BD
【详解】对于A：因为，所以，解得，故A错误；
对于B：若，则，即，
所以，即，解得，故B正确；
对于C：当时，，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：因为，，所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：BD
10．ACD
【详解】由长方体可得，面面，所以面面，
因为BC固定于地面上，所以面，因为，所以面，
根据线面平行的性质定理可得，所以，所以在倾斜过程中，始终为棱柱，所以A正确.
由A可知，四边形为平行四边形，因为长方体可得面，所以，因为，所以，所以四边形为矩形，
可知在倾斜过程中长度不变，但是随着倾斜加重，长度变大，所以面积会改变，所以B错误.
由A可知，面，面，所以始终与水面EFGH平行，C正确.
因为水的体积不变，即四棱柱体积不变，棱柱高不变，所以底面积不变，即四边形，因为，所以四边形为直角梯形，所以上下底不变，所以D正确.
故选：ACD.
11．ACD
【详解】在三棱锥中，由，为的中点，得,
由，得点在平面上的射影到三顶点的距离相等，
即点在平面上的射影为点，因此平面，
对于A，是与平面所成的角，而为正三角形，则，A正确；
对于B，由点是的中点，得，则是异面直线与所成的角，
而，，则，B错误；
对于C，取中点，连接，则，
是二面角的平面角，，C正确；
对于D，由选项C，得平面，而平面，则平面平面，
在平面内过点作于，而平面平面，
则平面，，
因此点到平面的距离为，D正确.
故选：ACD
12．
【详解】的直观图如下图所示：
设，，，
对应地，在中，，，，
则.
故答案为：.
13．
【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，
因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为，
因此圆锥的侧面积为．
14．
【详解】如图，由余弦定理得，
，又，
两式相加得，即，化简得，
所以.

故答案为：
15．(1)；
(2).
【详解】（1）由，得，而是实数，
于是，解得，
所以．
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以．
16．(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2）由（1）知，在三角形中，由余弦定理得，
又因为，所以，
又，所以，解得，
所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
18．(1)；
(2).
【详解】（1）因，，则，
而，且向量，的夹角为，则，
因此，在锐角中，，则，解得，
所以.
（2）由（1）知，又，由正弦定理得：，
则，，而，由锐角得，，即有，
显然有，于是得，有，，
所以周长的取值范围为.
19．(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3).
【详解】证明：取中点，连接，．
在中，，分别为，的中点，
所以，且．
由已知，，所以，且．
所以四边形为平行四边形．所以．
又因为平面，且平面，所以平面．
（2）在正方形中，．又由题知，
直线，在平面内，且相交于点，所以平面，
又平面，所以平面平面，即平面平面.
(3)在直角梯形中，，，可得，．
在中，，
所以．所以．
由(2)知，平面与平面垂直且交线为，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度
在直角三角形中，
，
所以
所以点到平面的距离等于．

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