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2026届高三命题趋势预测（二）
数学试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数，若的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
4．某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（ ）
A． B． C． D．
5．向量，，，，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知圆C的方程为，设一个公差为的项等差数列的各项均为圆过点的弦长，则公差的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（ ）
A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．的最小值为 D．的最小值为
10．设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则（ ）
A． B．可能为2
C． D．可能为0
11．正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等
D．点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是
三、填空题
12．的展开式中有常数项，则n的最小值为________．
13．设数列的前项和为，则 _____.
14．若，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题
15．已知在中，．
(1)求的值；
(2)若AB边上的高等于，求．
16．在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号 1 2 3 4 5
考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号 1 2 3 4 5
实测答对人数 16 16 14 14 4
(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.
17．如图，在三棱柱中，，为上的点，且.

(1)证明：平面；
(2)若底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，求二面角的正弦值.
18．已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)求四边形ACBD面积的最小值．
19．已知函数．
(1)当时，求在上的最大值；
(2)当时，证明：在上单调递增；
(3)证明：，，使得．
参考答案
1．D
【详解】可化为，解得，故，
又，故.
故选：D
2．D
【详解】，
所以，解得．
故选：D
3．A
【详解】因为，
所以，解得．
故选：A．
4．D
【详解】设1包糖果的质量为，则，
所以，
又，
所以.
故选：D
5．B
【详解】因为，，则，
且，所以．
6．C
【详解】由题意知，圆C的圆心为，半径为5，圆心C到点的距离为4，所以点在圆内．
圆中最长的弦为圆的直径，长度为10；
当与弦垂直时弦长最短，其长为，
所以弦长的取值范围为.
当，时，；
当，时，；
因此，公差d的取值范围为．
7．B
【详解】
；
其中，，
由于
；
则，；
故选：B.
8．A
【详解】令，
则，
所以为偶函数，
当时，，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以
因为
所以，
所以，
所以，
故选：A.
9．ABC
【详解】令双曲线的半焦距为，则，
由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，，
则，解得，于是，双曲线的方程为，
而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确；
双曲线C的渐近线方程为，B正确；
，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得，
即，因此，
当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确；
设点，，则，
，当且仅当时取等号，D错误.
10．AD
【详解】对于A，设，因为为奇函数，
所以，
且，即.令，
则，则的图象关于点对称.
设，故，
即，可得为偶函数，令，
则，则的图象关于直线对称，
若，则即是奇函数，又是偶函数，
故只能有，即对任意成立，
则对任意成立，与矛盾，故，故A正确；
对于B，由于，若，
则，与2矛盾，故B错误；
对于D，取，则的图象关于点对称，，
即存在使得为0，故D正确；
对于C，取，则的图象关于直线对称，
故，令，有，
由D得，故存在使得不为，故C错误.
故选：AD.
11．ABD
【详解】对于A，因为∥，所以.因为，所以，A正确；
对于B，如图取中点O，连接，因为，所以，即，且；
同理可得，，且；所以是等腰三角形.
记，则为和的中点，所以，
所以.
因为平面，所以平面ACO.
因为，所以过点.
所以，为定值，所以B正确；
对于C，易知正方体的体对角线与正方体的12条棱所在直线所成的角均相等，
所以过点A的体对角线及过分别平行于的直线均满足要求，所以C错误；
对于D，因为，所以点P在以的中点为球心，半径为的球面上，
所以动点P的轨迹为平面与球的球面的交线.
因为平面，所以平面，所以到平面的距离为.
所以球心到平面的距离为，且球心在平面的投影为的中点.
设平面截球所得截面圆的半径为r，则.
所以点P在平面内的轨迹是圆，因此动点P的轨迹长度为圆的周长，等于，所以D正确.
故选:ABD．
12．3
【详解】的展开式的通项公式为，
要有常数项，需满足x的指数为0，即，．
因为，且，所以n必须是3的正整数倍，
所以取时，n取得最小值3．
13．2760
【详解】数列中，，
当为奇数时，，数列是首项，公差为2的等差数列，
当为偶数时，，数列是首项，公差为4的等差数列，
所以 .
故答案为：2760
14．
【详解】因为，所以，
所以不等式等价于，
设，则，
令，解得，
令，解得，
故在区间 上单调递增，在区间上单调递减，
故；
设，则，
令，解得，
令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，
因为恒成立，
所以，即．
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1），解得．
又因为且A为三角形的内角，所以，所以．
（2）设，，，则AB边上的高为，的面积．
由面积公式，得，解得．
由，，得．
代入余弦定理，得
，
则．
代入，
得．
16．(1)人
(2)分布列见解析，
(3)是合理的，理由见解析
【详解】（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，
所以估计240人中有人实测答对第5题．
（2）的可能取值是0，1，2．
；；．
的分布列为：
0 1 2
．
（3）第1题的实测难度为，同理可得：第2题的实测难度为，
第3题的实测难度为，第4题的实测难度为，第5题的实测难度为0.2，
故．
因为 ，
所以，该次测试的难度预估是合理的．
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）如图，连接交于点，连接，
因为是平行四边形，故为的中点，
又，故为的中位线，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）设的中点为，因为底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，连接，，则，
又，且平面平面，平面，故平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.

设，则由几何关系可知，，，，
故，，.
设平面的法向量为，平面的法向量为，则有及
不妨取，，则，.
故.
故二面角的正弦值为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且.
所以，，即，得，
代入，得，即，所以.
故椭圆的标准方程为.
（2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为．
因为，所以直线CD的斜率为．
因为右焦点，所以直线AB的方程为，设，．
由，消去y得．
则，
可得，．
则，
同理可得．
因为，所以
．
当且仅当，即时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值；
当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换，
此时，，，或者，，
所以．
因为，所以四边形ACBD面积的最小值为．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，
求导得．
因为，所以令，得；令，得．
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为．
（2）证明：函数，
求导得．
由，得，
所以
．
当且时，，，
所以，，，
因此，所以当时，在上单调递增．
（3）证明：令，，则，，
，令，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，，
同理可证，当时，．
当时，由（2）知在上单调递增，取．
当时，，，满足题意．
当时，当时，，则；
当时，，此时．
若n为奇数，令，由，得，
；
若n为偶数，令 ，
则
．
综上，，，使得．

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