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第9讲 运动的合成与分解
必备知识自查
核心考点探究
备用习题
◆
◆
听课手册
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
一、曲线运动
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的______方向.
2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的______时刻在改变，所以曲线
运动一定是______运动.
切线
方向
变速
3.从两个角度描述曲线运动的条件
二、运动的合成与分解
1.运动的合成：已知分运动求合运动.
运动的分解：已知合运动求分运动.
2.遵循的法则：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵
循________________.
平行四边形定则
3.合运动与分运动的关系
(1) 等时性：合运动和分运动经历的______相等，即同时开始、同时进行、
同时停止.
时间
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其
他分运动的影响.
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.
4.合运动的性质判断
非匀变速
匀变速
直线
曲线
【辨别明理】
1.速度发生变化的运动,一定是曲线运动.( )
×
2.做曲线运动的物体的加速度一定是变化的.( )
×
3.做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧.( )
√
4.合运动的速度一定比分运动的速度大.( )
×
5.只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动.( )
×
6.曲线运动一定不是匀变速运动.( )
×
考点一 曲线运动的条件与轨迹分析
例1 在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直
线运动的小钢球，第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁，第二次在
其运动路线的旁边放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小钢球的运动轨迹.
观察实验现象，以下叙述正确的是( )
A.第一次实验中，小钢球的运动是匀变速直线运动
B.第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向
不在同一直线上
√
[解析] 第一次实验中，小钢球受到沿着初速度方向的磁铁的吸引力作用，
做直线运动，并且随着距离的减小，吸引力变大，加速度变大，故小钢球
做非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的
吸引力方向总是指向磁铁，是变力，故小钢球的运动不是类平抛运动，其
轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件
是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲
线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，选项
C错误，D正确.
变式 [2025·四川绵阳模拟] 为使汽车快速平稳转弯，驾驶员经常采用“入
弯减速，出弯加速”的技巧.汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯
道时，其所受水平合力为、速率为 .则下列方向关系图中，可能正确的
是( )
A. B. C. D.
[解析] 速度沿轨迹的切线方向，“减速入弯”时力和速度的夹角是钝角，
“加速出弯”时力和速度的夹角是锐角，故C正确，A、B、D错误.
√
[技法点拨]
1.运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动.
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动.
2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间.
3.速率变化的判断
考点二 运动的合成与分解
例2 [2025·福建厦门模拟] (多选)如图甲所示为厦门中秋节无人机灯光秀
的情景.以水平向右为轴正方向、以竖直向上为 轴正方向，某架无人机
在、方向上的分速度随时间变化图像如图乙所示，则其在 平面内的
运动轨迹及速度大小随时间 的变化图像可能是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 由图乙可知，经过时间 无人机的横坐标和纵坐标分别为
，，联立解得，在内
方向的位移为，方向的位移为，即方向的位移大小是 方向位移
大小的2倍，故图像过点，故A正确，B错误；经过时间无人机
方向和方向的速度分别为， ，故
，当时，，
当时， ，故C正确，D错误.
[技法点拨]
判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是
否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速 直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运 动 匀加速直线运动
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个初速度不为零的匀变速直线 运动 如果与 共线，为匀变速直线运动
如果与 不共线，为匀变速曲线运
动
续表
考点三 小船渡河问题
两类问题，三种情景
最短 时间 渡河 船头正对河岸时，渡河时间最短， 为河宽
最短 位移 渡河 若 ，当船头方向与上游河岸夹 角 满足 时，合速度垂直 河岸，渡河位移最短，
若 ，合速度不可能垂直于河 岸，无法垂直渡河.当船头方向 (即 方向)与合速度方向垂直时，渡河 位移最短，
续表
例3 [2025·湖北武汉联考] 2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛
在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝
中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年.已
知小船在静水中的速度为 ，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理
想的平行线，河宽为，水流速度为 ，方向与河岸平行.
(1) 欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
[答案]
甲
[解析] 当船以静水中的速度垂直河岸过河时，渡河时间最短，如图甲所示
最短时间为
这时小船的合速度为
此种情况下小船过河的位移为
例3 [2025·湖北武汉联考] 2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛
在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝
中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年.已
知小船在静水中的速度为 ，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理
想的平行线，河宽为，水流速度为 ，方向与河岸平行.
(2) 欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
[答案]
乙
[解析] 船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图乙所示
这种情况下，小船的合速度为
当过河位移最短时过河的时间为
例3 [2025·湖北武汉联考] 2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛
在浙江绍兴浙东运河越城区段举行，水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝
中华人民共和国成立75周年，同时也纪念中国大运河申遗成功10周年.已
知小船在静水中的速度为 ，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理
想的平行线，河宽为，水流速度为 ，方向与河岸平行.
(3) 若河水因涨水导致水流速度变为，小船在静水中的速度为
不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？
[答案]
丙
[解析] 若水流速度为
则
此种情况下过河如图丙所示
当船头方向(即 方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小为
这种情况下，小船的合速度为
过河时间为
[技法点拨]
解决小船渡河问题必须明确以下两点:
(1)解决这类问题的关键:正确区分船的分运动和合运动.船的航行方向也就
是船头指向,是分运动;船的运动方向也就是船的实际运动方向,是合运动,一
般情况下与船头指向不一致.
(2)运动分解的基本方法:按实际效果分解,一般用平行四边形定则沿水流方
向和船头指向方向进行分解.
考点四 “关联速度”类问题
关联体一般是两个(或两个以上)物体通过不可伸长的轻绳或轻杆联系在一
起或直接挤压到一起,它们的运动简称为关联运动.相互关联的两个物体一
般不是都沿轻绳或轻杆运动的，从而使两个物体的速度不相同，有时两个
物体即使在同一方向上运动，其速度的大小也不相等，但二者的速度存在
某种关系，此二者的速度称为“关联速度”.
1.模型特点
用绳、杆相连接的物体,在运动过程中，其两物体的速度通常不同,但物体
沿绳或杆方向的速度分量大小相等.该类问题我们称之为“关联速度”类问题.
2.解题关键
(1)物体的实际运动(速度)一定是合运动(速度).
(2)分速度的方向要按实际运动效果确定.一般分解时，两个分速度方向应
取沿绳(或杆)方向和垂直绳(或杆)方向.
(3)由于绳(或杆)不可伸长，沿绳(或杆)方向的分速度大小相等.
3.常见的模型如图所示
考向一 绳端关联速度
例4 [2025·黑吉辽内蒙古卷] 如图所示，趣
味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相
等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分
别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以
A.一直减小 B.一直增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小
相同速率相向运动.为使塔块沿竖直方向匀速下落，则 ( )
√
[解析] 设两边绳与竖直方向的夹角为 ，塔块沿竖直方向匀速下落的速
度为，将沿绳方向和垂直绳方向分解，将 沿绳子方向和垂直绳方向
分解，可得 ,解得 ，由于塔块匀速下落时 在
减小，故可知 一直增大.故选B.
考向二 杆端关联速度
例5 [2025·湖南长沙模拟] 如图所示为我国空间站
利用机械臂转运飞船的示意图，机械臂可近似视
为由两根长度分别为和的轻杆和 以及三
个含内置电机的关节组成，机械臂控制飞船空间
A. B. C. D.
站对接的过程中，飞船的中心始终沿空间站的轴线并以恒定的速度 靠近
空间站.当两杆与轴线方向的夹角分别为 和 时，杆绕
处关节转动的角速度 为( )
√
[解析] 将飞船的速度分解，如图甲所示，得到沿 杆的分速度
，再将点的线速度沿 杆分解，如图乙所示，分速度由几
何关系可得，而，可得 ，故选C.
考点一 曲线运动的条件与轨迹分析
1.钱学森弹道是我国科学家钱学森于
20世纪40年代提出的一种新型导弹弹
道的设想，这种弹道的特点是将弹道
导弹和飞航导弹的轨迹融合在一起，
A.位置 B.位置 C.位置 D.位置
使之既有弹道导弹的设突防性能力，又有飞航式导弹的灵活性.导弹在同
一竖直平面内的一段飞行轨迹如图所示，、、、 是轨迹上的四个位
置，导弹在这四个位置的速度与所受合外力 的关系可能正确且速度正
在减小的是( )
√
[解析] 做曲线运动的物体速度方向为轨迹在该点的切线方向，而合外力
应指向轨迹的凹侧，二者分居于轨迹两侧，故A、C错误；合外力方向与
速度方向夹角为锐角，物体正在做加速运动，合外力方向与速度方向夹角
为钝角，物体正在做减速运动，故B正确，D错误.
2.(多选)如图所示，质量为 的物体在四个共点力的作用下做匀速直线运
动，速度方向与力、 的方向恰好在同一直线上.下列说法正确的是
( )
A.若只撤去 ，物体做匀加速直线运动
B.若只撤去 ，物体做匀加速直线运动
C.若只撤去 ，物体做曲线运动，速度大小先减
小后增大
D.若只撤去 ，物体做曲线运动，速度大小先减
小后增大
√
√
[解析] 由于初始时物体做匀速直线运动，则可知初始时合力为零.由于初
始时合力为零，则只撤去时，剩余三个力的合力与 等大反向，与速度
方向相同，则可知物体做匀加速直线运动，故A正确；由于初始时合力为
零，则只撤去时，剩余三个力的合力与 等大反向，与速度方向相反，
则可知物体做匀减速直线运动，故B错误；
由于初始时合力为零，则只撤去时，剩余三个力的合力与 等大反向，
与速度方向夹角小于 ，则可知物体做曲线运动且速度越来越大，故C
错误；由于初始时合力为零，则只撤去时，剩余三个力的合力与 等大
反向，与速度方向夹角大于 ，则可知物体做曲线运动且速度先减小后
增大，故D正确.
考点二 运动的合成与分解
3.赣州市举办了“第六届全国青少年无人机大赛”.在某组比赛中，一无人机
在指定机位处由静止开始起飞，在起飞一段时间内，无人机在水平方向运
动的图，如图甲所示.无人机在竖直向上运动的 图，如图乙所
示.则静止在地面上的观众看到的该无人机的运动轨迹正确的是( )
甲
乙
A. B. C. D.
甲
乙
√
[解析] 由题图可知，该无人机在水平方向做匀加速直线运动，在竖直方
向，有 ，所以无人机在竖直方向也做匀加速直线运动.结合题意
可知，无人机从静止开始运动，所以对于无人机来说其满足做直线运动的
条件，即无人机的轨迹应该是直线，而且其水平和竖直方向均有位移，故
图像是一条倾斜直线，故选A.
甲
乙
4.[2023·浙江1月选考] 如图所示，在考虑空气阻力的
情况下，一小石子从点抛出沿轨迹运动，其中
是最高点.空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，则小
石子竖直方向分运动的加速度大小( )
A.点最大 B. 点最大
C. 点最大 D.整个运动过程保持不变
√
[解析] 在小石子运动整个过程中，一直都有速度，存在阻力，且阻力大
小随速度变化，因此合力不可能恒定，加速度不可能保持不变，选项D错
误；空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，即，从到 的过程中，
空气阻力有竖直向下的分量，设速度与竖直方向夹角为 ，则
，可知在点最大；而从到 的过程中，空气阻力有竖
直向上的分量，根据，可知在处 最
大，综上可知，小石子从到的整个过程，在 点竖
直方向分运动的加速度最大，选项A正确，B、C错误.
考点三 小船渡河问题
5.如图所示，直线和 表示笔直且彼此平
行的河岸，若河水不流动，小船船头垂直于
河岸由 点匀速驶向对岸，小船的运动轨迹
为直线 .若河水以稳定的速度沿平行于河岸
方向流动，且整个河流中水的流速处处相等，
现仍保持小船船头垂直于河岸由 点匀加速
A.直线 B.曲线 C.直线 D.曲线
驶向对岸，则小船实际运动的轨迹可能是图中的( )
√
[解析] 小船在流动的河水中行驶时，同时参与两个方向的分运动，一是
沿水流方向的匀速运动，二是沿垂直于河岸方向的匀加速运动.小船沿垂
直于河岸方向具有加速度，由牛顿第二定律可知，小船所受的合力垂直于
河岸方向指向对岸，根据曲线运动的加速度
方向指向轨迹凹侧可知，轨迹可能是曲线 .
6.如图所示，老师组织物理兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为
的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，水流的速度为 ，
其大小可以通过闸门调节；游船在静水中的速度为 ，其方向决定于船头
的朝向.游戏时，小组同学驾驶小游船从河的一边渡到河对岸，
(1) 若， ，则当小游船过
河时间最短时，其运动轨迹与河岸的夹角及经
过的距离为多少？
[答案]
， .
[解析] 船头的指向垂直于河岸方向时，过河时间最短，即分速度 的方
向垂直于河岸，水流速度为 ，速度矢量图如图甲所示
由图甲可求轨迹与河岸的夹角 ，有
得
过河经过的距离为
6.如图所示，老师组织物理兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为
的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，水流的速度为 ，
其大小可以通过闸门调节；游船在静水中的速度为 ，其方向决定于船头
的朝向.游戏时，小组同学驾驶小游船从河的一边渡到河对岸，
(2) 若， ，则当小游船过
河距离最短时，其船头朝向与河岸的夹角及过河
时间为多少？
[答案]
， .
[解析] 小游船的实际速度即合速度 垂直于河岸时，过河距离最短，速度
矢量图如图乙所示.由图可知，船头的指向即 的方向指向上游方向且与
河岸夹角为，有
得
过河时间为
由图可得
联立解得
6.如图所示，老师组织物理兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为
的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，水流的速度为 ，
其大小可以通过闸门调节；游船在静水中的速度为 ，其方向决定于船头
的朝向.游戏时，小组同学驾驶小游船从河的一边渡到河对岸，
(3) 若， ，则当小游船过河
距离最短时，其过河通过的最短距离为多少？
[答案]
， .
[解析] 由于小于，只有当合速度的方向与河岸夹角 最大，即 与
的方向垂直时，过河距离最小，速度矢量图如图丙所示.根据几何关系
有
得
所以最短距离为
考点四 “关联速度”类问题
7.(多选)钓鱼是一项越来越受到欢迎的运动，钓到大鱼时一般会先将鱼遛
至没有力气再收线，如图所示，在收尾阶段，鱼已经浮在水面上不再挣扎，
钓鱼者以恒定速率 收鱼线(钓鱼者和鱼竿视为不动)，鱼线与水平面的夹
角为 ，以下说法正确的是 ( )
A.鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大
B.当 时，鱼的速率为
C.当 时，鱼的速率为
D.鱼受到的合外力恒定
√
√
[解析] 如图所示，将鱼的速度分解为沿线方向的速度和垂直线方向的速
度，则 ，钓鱼者以恒定速率收鱼线过程中 增大，则 增
大，鱼做非匀变速运动，合外力不是恒定值，故A正确，D错误；根据
，可知当 时,，当 时,
，故B正确，C错误.
8.为了训练飞行员将舰载机降落在航空母舰上的能力，
在陆地上建设了模拟平台进行常规训练.如图所示，阻
拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻拦索对
飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后
停止.飞机挂钩与阻拦索间不滑动.若某一时刻阻拦索夹
A. B. C. D.
[解析] 飞机沿阻拦索方向的速度分量等于阻拦索移动的速度大小，即
，故选B.
角是 ，飞机沿中线运动的速度为 ，则阻尼器左侧阻拦索的移动速度
大小是( )
√
9.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为和的两个小球和
(可视为质点).将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到
达位置2时球与球形容器球心等高，其速度大小为 ，已知此时轻杆与水
平方向成 角，球的速度大小为 ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 球与球形容器球心等高，速度 方向竖直向下，速度分解如图所
示，有，将球此时速度 分解如图所示，因此
，沿杆方向两球速度相等，即 ，解得
，C正确.
作业手册
1.[2023·全国乙卷] 小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增
加.如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力.下列四幅
图可能正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 从左向右运动，速度的方向为轨迹的切线方向，小车做曲线运动
时合力指向轨迹的内侧，且与速度方向成锐角时，动能增加.
2.[2025·河北保定模拟] “风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程.简化
模型如下：一小球在光滑的水平面上以初速度 穿过一段风带，经过风带
时风会给小球一个与 方向垂直、水平向北的恒力，其余区域无风.小球
穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向表示正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 小球在光滑的水平面上以速度 向右运动，给小球一个向北的水
平恒力，则小球会做曲线运动，恒力指向运动轨迹的凹侧，速度方向沿着
轨迹的切线方向，故选C.
√
3.[2025·安徽卷] 在竖直平面内，质点绕定点 沿逆时针方向做匀速圆周
运动，质点沿竖直方向做直线运动，、 在运动过程中始终处于同一
高度.时，、与点位于同一直线上，如图所示.此后在 运动一周
的过程中，运动的速度随时间 变化的图像可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为、在运动过程中始终处于同一高度，所以的速度与
在竖直方向的分速度大小相等，设做匀速圆周运动的角速度为 ，
半径为，其竖直方向分速度,即 ,则D正确，
A、B、C错误.
4.如图所示，轨道车通过细钢丝跨过定滑轮拉着特技演员上升.轨道车
沿水平地面以速度 向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与
水平方向的夹角为 ，连接特技演员 的钢丝竖直，取
，，则该时刻特技演员 ( )
A.速度大小为
B.速度大小为
C.做匀速运动
D.处于失重状态
√
[解析] 轨道车、特技演员沿绳方向的速度相等，该时刻特技演员 速
度大小为 ，故A正确，B错误；轨道车
向左匀速前进， 逐渐减小，特技演员 速度逐渐增大，做加速运动，
故C错误；特技演员 做加速运动，有向上的加速度，处于超重状态，故D
错误.
5.[2025·辽宁沈阳模拟] 如图所示，四根等长的细
杆用铰链连成一个四边形， 点通过铰链固定在
墙上.现将点推至与 点重合，使四根细杆都紧
贴墙壁.从时开始拉着 点沿垂直于墙壁的方
向做初速度为0的匀加速直线运动，在 时
A. B. C. D.
发现四根细杆恰好构成一个正方形.则此时图中 杆的角速度是( )
√
[解析] 设四边形的边长为，点运动的加速度大小为 ，则有
，此时点的速度大小为，对 点速度分解，如图所示，
根据矢量关系可得，所以杆转动的角速度为 ，
联立解得 ，故选A.
6.[2025·北京东城区模拟] 一质量为的物块在光滑水平面上以速度 做匀
速直线运动.某时刻开始受到与水平面平行的恒力 的作用，之后其速度大
小先减小后增大，最小值为.下列图中初速度与恒力 夹角正确的是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，物块的速度先减小后增大，可知恒力与速度 的夹角
大于 ，将初速度沿方向和垂直方向分解，垂直 方向的分速度不变，
如图所示，根据几何关系有，可得 ，则力的方向与初
速度方向夹角为 ，故选D.
7.[2025·内蒙古赤峰模拟] 如图甲所示是家用的人字梯，结构简图如图乙
所示，该人字梯由两个完全相同的梯子和 通过顶端的铰链连接而成.
现需要将梯子收拢起来，底端、 两点均以相等的速率贴着地面向中间
匀速滑动过程中，顶端向上移动的速率( )
A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
√
[解析] 、两点的速率和顶端上移的速率关系为 ，即
，、 两点均以相等的速率贴着地面向中间匀速滑动，角
度变小，顶端向上移动的速率变小，故选B.
8.[2025·湖南卷] 如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，
物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用、、、 表
示.物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为
，加速度大小为，斜面倾角为 ，物块在水平方向上做匀减速直线运
动，初速度为 ，加速度大小为 ，则有
，整理可得，可知
图像为类似抛物线的一部分，故A、B错误；物块在竖直方向上做匀减速
直线运动，初速度为 ，加速度大小
为 ，则有 ，整理可
得，可知， 图
像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误.
9.如图所示，消防员正在宽度为、河水流速为 的河
流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟到下游危险区的距离为
，其在静水中的速度为 ，则( )
A.若冲锋舟由静止以船头垂直于岸的加速度
匀加速冲向对岸，则能安全到达对岸
B.为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中
的速度不得小于
C.若冲锋舟船头与河岸夹角为 斜向上游且以速度
匀速航行，则恰能到达正对岸
D.冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间
√
[解析] 冲锋舟的运动分解为沿船头与沿水流两个方向，有 ，解
得，沿水流方向的位移为 ，能安全到达
对岸，故A正确；冲锋舟沿 方向匀速航行恰能安全到达对岸，如图所示，
设冲锋舟的合速度与水流速度夹角为 ，则冲锋舟在静水中的速度至少应
为 ，由几何知识，可得 ，
联立解得，由图可知 ，冲锋舟以最小速度匀
速航行恰能安全到达对岸所用的时间为 ，故B、D错误；
若冲锋舟船头与河岸夹角为 斜向上游且以速度 匀速航行，
则有 ，可知冲
锋舟的合速度不指向正对岸，所以不能到达
正对岸，故C错误.
10.如图所示，杆以恒定角速度 绕 点在竖直平面内顺时针转动，并
带动同时套在水平杆及转动杆上的小环运动.已知点到水平杆
距离为，运动开始时 杆在竖直位置.从运动开始时计时，下列说法正确
的是( )
A.小环向 端匀速运动
B.小环向 端减速运动
C.时刻时，小环的速度大小为
D.时刻时，小环的速度大小为
√
[解析] 经过时间，则有，的长度为，则 杆
上所在的点绕点的线速度为，将小环的速度沿 杆方向和
垂直于杆方向分解，垂直于杆的分速度等于
所在的点绕点的线速度，则小环 的速度大小为
，联立解得 ，可知随着时间的
增加，小环向 端运动的速度增大，所以小环做加
速运动，故选C.
11.[2025·云南师大附中模拟] 如图所示，一
船在静水中的速度大小恒定，水流速度大
小恒定且方向沿着河岸向右，小船船速小
于水流速度，河岸宽度恒定为.小船从 点
开始渡河，图中垂直于河岸， .已知当小船划行方向垂直
于河岸时，小船正好航行到点，运动时间为 .下列说法中正确的是
( )
A.小船速度大小与水流速度大小之比为
B.若小船的划行方向沿方向，则小船最终会航行到 之间的某一点
C.若小船改变划行方向，最终到达对岸点，运动时间为，则
D.若小船改变划行方向，离点最近的距离为
√
[解析] ，则小船速度大小与水流速度大小之比为 ，故A
错误；如图甲所示，，， ，此
时过河时间 ，则代入得水平位移
，即小船最终会航行到 点右侧，
故B错误；
如图乙所示，，则 ，即
，则，即 ，故C错误；
如图丙所示，，则，离 点最近的距离为
，故D正确.
必备知识自查
一、1.切线 2.方向 变速
二、2.平行四边形定则 3.(1)时间 4.非匀变速 匀变速 直线 曲线
【辨别明理】 1.× 2.× 3.√ 4.× 5.× 6.×
核心考点探究
例1.D 变式.C 例2.AC
例3.(1) (2) (3)
例4.B 例5.C
基础巩固练
1.D 2.C 3.D 4.A 5.A 6.D
综合提升练
7.B 8.C 9.A 10.C
拓展挑战练
11.D第四单元　曲线运动
第9讲　运动的合成与分解
例1　D　[解析] 第一次实验中,小钢球受到沿着初速度方向的磁铁的吸引力作用,做直线运动,并且随着距离的减小,吸引力变大,加速度变大,故小钢球做非匀变速直线运动,选项A错误;第二次实验中,小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁,是变力,故小钢球的运动不是类平抛运动,其轨迹也不是一条抛物线,选项B错误;该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上,但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向,选项C错误,D正确.
变式　C　[解析] 速度沿轨迹的切线方向,“减速入弯”时力和速度的夹角是钝角,“加速出弯”时力和速度的夹角是锐角,故C正确,A、B、D错误.
例2　AC　[解析] 由图乙可知,经过时间t无人机的横坐标和纵坐标分别为x=at2=××t2=,y=v0t,联立解得y=,在t0内x方向的位移为,y方向的位移为v0t0,即y方向的位移大小是x方向位移大小的2倍,故图像过点,故A正确,B错误;经过时间t无人机x方向和y方向的速度分别为vx=at=t,vy=v0,故v==v0,当t=0时,v=v0,当t=t0时,v=v0,故C正确,D错误.
例3　(1)50 s　250 m　(2) s　(3)300 m　30 s
[解析] (1)当船以静水中的速度垂直河岸过河时,渡河时间最短,如图甲所示
最短时间为tmin== s=50 s
这时小船的合速度为v== m/s=5 m/s
此种情况下小船过河的位移为l=vtmin=5×50 m=250 m
甲
乙
(2)船在静水的速度大于水流速度,那么最短位移为河宽,如图乙所示
这种情况下,小船的合速度为v'== m/s= m/s
当过河位移最短时过河的时间为t'== s= s
(3)若水流速度为v水'=6 m/s
则v船此种情况下过河如图丙所示
丙
当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时,渡河位移最短,大小为l'== m=300 m
这种情况下,小船的合速度为v″== m/s=2 m/s
过河时间为t″== s=30 s
例4　B　[解析] 设两边绳与竖直方向的夹角为θ,塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块,将v块沿绳方向和垂直绳方向分解,将v沿绳子方向和垂直绳方向分解,可得v块cos θ=vsin θ,解得v= ,由于塔块匀速下落时θ在减小,故可知v一直增大.故选B.
例5　C　[解析] 将飞船的速度v分解,如图甲所示,得到沿CB杆的分速度v1=vcos β,再将B点的线速度沿CB杆分解,如图乙所示,分速度由几何关系可得v2=ωl1sin ,而v1=v2,可得ω=,故选C.第9讲　运动的合成与分解
1.D　[解析] 从左向右运动,速度的方向为轨迹的切线方向,小车做曲线运动时合力指向轨迹的内侧,且与速度方向成锐角时,动能增加.
2.C　[解析] 小球在光滑的水平面上以速度v0向右运动,给小球一个向北的水平恒力,则小球会做曲线运动,恒力指向运动轨迹的凹侧,速度方向沿着轨迹的切线方向,故选C.
3.D　[解析] 因为M、N在运动过程中始终处于同一高度,所以N的速度vN与M在竖直方向的分速度vMy大小相等,设M做匀速圆周运动的角速度为ω,半径为r,其竖直方向分速度vMy=ωrcos ωt,即vN=ωrcos ωt,则D正确,A、B、C错误.
4.A　[解析] 轨道车A、特技演员B沿绳方向的速度相等,该时刻特技演员B速度大小为vB=vAcos θ=5×0.8 m/s=4 m/s,故A正确,B错误;轨道车A向左匀速前进,θ逐渐减小,特技演员B速度逐渐增大,做加速运动,故C错误;特技演员B做加速运动,有向上的加速度,处于超重状态,故D错误.
5.A　[解析] 设四边形的边长为L,B点运动的加速度大小为a,则有L=at2,此时B点的速度大小为vB=at,对B点速度分解,如图所示,根据矢量关系可得v1=vBcos 45° ,所以OA杆转动的角速度为ω= ,联立解得ω=1 rad/s,故选A.
6.D　[解析] 根据题意,物块的速度先减小后增大,可知恒力与速度v0的夹角大于90°,将初速度沿方向和垂直F方向分解,垂直F方向的分速度不变,如图所示,根据几何关系有cos θ=,可得θ=60°,则力的方向与初速度方向夹角为60°+90°=150°,故选D.
7.B　[解析] M、N两点的速率和顶端上移的速率关系为vsin θ=v顶cos θ,即v顶=vtan θ,M、N两点均以相等的速率贴着地面向中间匀速滑动,角度变小,顶端向上移动的速率变小,故选B.
8.C　[解析] 根据题意可知,物块沿斜面向上做匀减速直线运动,设初速度为v0,加速度大小为a,斜面倾角为θ,物块在水平方向上做匀减速直线运动,初速度为v0x=v0cos θ,加速度大小为ax=acos θ,则有-=-2axx,整理可得vx=,可知vx x图像为类似抛物线的一部分,故A、B错误;物块在竖直方向上做匀减速直线运动,初速度为v0y=v0sin θ,加速度大小为ay=asin θ,则有-=-2ayy,整理可得vy=,可知,vy y图像为类似抛物线的一部分,故C正确,D错误.
9.A　[解析] 冲锋舟的运动分解为沿船头与沿水流两个方向,有d=at2,解得t= s,沿水流方向的位移为x水=v1t= m5 m/s,可知冲锋舟的合速度不指向正对岸,所以不能到达正对岸,故C错误.
10.C　[解析] 经过时间t,则有∠OAB=ωt,AM的长度为LAM=,则AB杆上M所在的点绕A点的线速度为v=,将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解,垂直于AB杆的分速度等于M所在的点绕A点的线速度,则小环M的速度大小为v'=,联立解得v'=,可知随着时间的增加,小环M向C端运动的速度增大,所以小环做加速运动,故选C.
11.D　[解析] tB==,则小船速度大小与水流速度大小之比为=,故A错误;如图甲所示,tan θ==,sin θ=,cos θ=,此时过河时间t1==,则代入得水平位移x1=(v2+v1cos θ)t1=L>2L,即小船最终会航行到C点右侧,故B错误;如图乙所示,==,则=,即sin α=+>,则tC=<=2tB,即tC<2tB,故C错误;如图乙所示,cos β==,则tan β=,离A点最近的距离为x2=dtan β=,故D正确.课程标准 核心考点
1.通过实验,了解曲线运动,知道物体做曲线运动的条件 2.通过实验,探究并认识平抛运动的规律.会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动.体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想.能分析日常生活中的抛体运动 3.会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动.知道匀速圆周运动的向心加速度的大小和方向.探究影响向心力大小的因素.能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力.了解生产生活中的离心现象及其产生的原因 运动的合成与分解
抛体运动
匀速圆周运动、角速度、 线速度、向心加速度
匀速圆周运动的向心力
实验:探究平抛运动的特点
实验:探究向心力大小与半径、角速度、 质量的关系
第9讲　运动的合成与分解
一、曲线运动
1.速度的方向:质点在某一点的速度方向,沿曲线在这一点的　　　　方向.
2.运动的性质:做曲线运动的物体,速度的　　　　时刻在改变,所以曲线运动一定是　　　　运动.
3.从两个角度描述曲线运动的条件
二、运动的合成与分解
1.运动的合成:已知分运动求合运动.
运动的分解:已知合运动求分运动.
2.遵循的法则:位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循　　　　　　　　.
3.合运动与分运动的关系
(1)等时性:合运动和分运动经历的　　　　相等,即同时开始、同时进行、同时停止.
(2)独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,不受其他分运动的影响.
(3)等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.
4.合运动的性质判断
【辨别明理】
1.速度发生变化的运动,一定是曲线运动. (　)
2.做曲线运动的物体的加速度一定是变化的. (　)
3.做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧. (　)
4.合运动的速度一定比分运动的速度大. (　)
5.只要两个分运动为直线运动,合运动一定是直线运动. (　)
6.曲线运动一定不是匀变速运动. (　)
　曲线运动的条件与轨迹分析
例1　在演示“做曲线运动的条件”的实验中,有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球,第一次在其运动路线的正前方放置条形磁铁,第二次在其运动路线的旁边放置条形磁铁,如图所示,虚线表示小钢球的运动轨迹.观察实验现象,以下叙述正确的是 (　)
A.第一次实验中,小钢球的运动是匀变速直线运动
B.第二次实验中,小钢球的运动类似平抛运动,其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
[反思感悟] 　



变式　[2025·四川绵阳模拟] 为使汽车快速平稳转弯,驾驶员经常采用“入弯减速,出弯加速”的技巧.汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时,其所受水平合力为F、速率为v.则下列方向关系图中,可能正确的是 (　)
A
B
C
D
【技法点拨】
1.运动轨迹的判断(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上,则物体做直线运动.(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上,则物体做曲线运动.2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系(1)速度方向与运动轨迹相切;(2)合力方向指向曲线的“凹”侧;(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间.3.速率变化的判断
　运动的合成与分解
例2　[2025·福建厦门模拟] (多选)如图甲所示为厦门中秋节无人机灯光秀的情景.以水平向右为x轴正方向、以竖直向上为y轴正方向,某架无人机在x、y方向上的分速度随时间变化图像如图乙所示,则其在xOy平面内的运动轨迹及速度大小v随时间t的变化图像可能是 (　)
A
B
C
D
【技法点拨】
判断两个直线运动的合运动性质,关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线,为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动
　小船渡河问题
两类问题,三种情景
最短 时间 渡河 船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=(d为河宽)
最短 位移 渡河 若v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时,合速度垂直河岸,渡河位移最短,xmin=d
若v船例3　[2025·湖北武汉联考] 2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行,水乡绍兴以这种特殊的活动方式庆祝中华人民共和国成立75周年,同时也纪念中国大运河申遗成功10周年.已知小船在静水中的速度为4 m/s,现让船渡过某条河,若此河的两岸是理想的平行线,河宽为d=200 m,水流速度为3 m/s,方向与河岸平行.
(1)欲使小船以最短时间渡河,最短时间是多少 小船的位移多大
(2)欲使小船以最短位移渡河,渡河所用时间是多少
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6 m/s,小船在静水中的速度为4 m/s不变,此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少
【技法点拨】
解决小船渡河问题必须明确以下两点:(1)解决这类问题的关键:正确区分船的分运动和合运动.船的航行方向也就是船头指向,是分运动;船的运动方向也就是船的实际运动方向,是合运动,一般情况下与船头指向不一致.(2)运动分解的基本方法:按实际效果分解,一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向方向进行分解.
　“关联速度”类问题
关联体一般是两个(或两个以上)物体通过不可伸长的轻绳或轻杆联系在一起或直接挤压到一起,它们的运动简称为关联运动.相互关联的两个物体一般不是都沿轻绳或轻杆运动的,从而使两个物体的速度不相同,有时两个物体即使在同一方向上运动,其速度的大小也不相等,但二者的速度存在某种关系,此二者的速度称为“关联速度”.
1.模型特点
用绳、杆相连接的物体,在运动过程中,其两物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等.该类问题我们称之为“关联速度”类问题.
2.解题关键
(1)物体的实际运动(速度)一定是合运动(速度).
(2)分速度的方向要按实际运动效果确定.一般分解时,两个分速度方向应取沿绳(或杆)方向和垂直绳(或杆)方向.
(3)由于绳(或杆)不可伸长,沿绳(或杆)方向的分速度大小相等.
3.常见的模型如图所示
考向一　绳端关联速度
例4　[2025·黑吉辽内蒙古卷] 如图所示,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动.为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v (　)
A.一直减小
B.一直增大
C.先减小后增大
D.先增大后减小
考向二　杆端关联速度
例5　[2025·湖南长沙模拟] 如图所示为我国空间站利用机械臂转运飞船的示意图,机械臂可近似视为由两根长度分别为l1和l2的轻杆AB和BC以及三个含内置电机的关节组成,机械臂控制飞船空间站对接的过程中,飞船的中心始终沿空间站的轴线并以恒定的速度v靠近空间站.当两杆与轴线方向的夹角分别为α=75°和β=60°时,AB杆绕A处关节转动的角速度ω为 (　)
A. B.
C. D.
一、1.切线　2.方向　变速
二、2.平行四边形定则　3.(1)时间　4.非匀变速　匀变速　直线　曲线
【辨别明理】
1.×　2.×　3.√　4.×　5.×　6.×　第9讲　运动的合成与分解 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1. [2023·全国乙卷] 小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加.如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力.下列四幅图可能正确的是 (　)
2.[2025·河北保定模拟] “风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程.简化模型如下:一小球在光滑的水平面上以初速度v0穿过一段风带,经过风带时风会给小球一个与v0方向垂直、水平向北的恒力,其余区域无风.小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向表示正确的是 (　)
A
B
C
D
3.[2025·安徽卷] 在竖直平面内,质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动,质点N沿竖直方向做直线运动,M、N在运动过程中始终处于同一高度.t=0时,M、N与O点位于同一直线上,如图所示.此后在M运动一周的过程中,N运动的速度v随时间t变化的图像可能是 (　)
A
B
C
D
4.如图所示,轨道车A通过细钢丝跨过定滑轮拉着特技演员B上升.轨道车A沿水平地面以速度v=5 m/s向左匀速前进,某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为θ=37°,连接特技演员B的钢丝竖直,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则该时刻特技演员B (　)
A.速度大小为4 m/s
B.速度大小为6.25 m/s
C.做匀速运动
D.处于失重状态
5.[2025·辽宁沈阳模拟] 如图所示,四根等长的细杆用铰链连成一个四边形,O点通过铰链固定在墙上.现将B点推至与O点重合,使四根细杆都紧贴墙壁.从t=0时开始拉着B点沿垂直于墙壁的方向做初速度为0的匀加速直线运动,在t=2 s时发现四根细杆恰好构成一个正方形.则此时图中OA杆的角速度是 (　)
A.1 rad/s B.2 rad/s
C.3 rad/s D.4 rad/s
6.[2025·北京东城区模拟] 一质量为m的物块在光滑水平面上以速度v0做匀速直线运动.某时刻开始受到与水平面平行的恒力F的作用,之后其速度大小先减小后增大,最小值为.下列图中初速度v0与恒力F夹角正确的是 (　)
A
B
C
D
7.[2025·内蒙古赤峰模拟] 如图甲所示是家用的人字梯,结构简图如图乙所示,该人字梯由两个完全相同的梯子AM和AN通过顶端的铰链连接而成.现需要将梯子收拢起来,底端M、N两点均以相等的速率贴着地面向中间匀速滑动过程中,顶端向上移动的速率 (　)
A.一直增大 B.一直减小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
8.[2025·湖南卷] 如图,物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面,物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示.物块向上运动过程中,下列图像可能正确的是 (　)
A
B
C
D
9.如图所示,消防员正在宽度为d=100 m、河水流速为 v1=5 m/s的河流中进行水上救援演练,可视为质点的冲锋舟到下游危险区的距离为x=75 m,其在静水中的速度为v2,则 (　)
A.若冲锋舟由静止以船头垂直于岸的加速度a=0.9 m/s2匀加速冲向对岸,则能安全到达对岸
B.为了使冲锋舟能安全到达河对岸,冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3 m/s
C.若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度v2=10 m/s匀速航行,则恰能到达正对岸
D.冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25 s
10.如图所示,AB杆以恒定角速度ω绕A点在竖直平面内顺时针转动,并带动同时套在水平杆OC及转动杆AB上的小环M运动.已知A点到水平杆OC距离为h,运动开始时AB杆在竖直位置.从运动开始时计时,下列说法正确的是 (　)
A.小环M向C端匀速运动
B.小环M向C端减速运动
C.t时刻时,小环M的速度大小为
D.t时刻时,小环M的速度大小为
11.[2025·云南师大附中模拟] 如图所示,一船在静水中的速度大小恒定,水流速度大小恒定且方向沿着河岸向右,小船船速小于水流速度,河岸宽度恒定为d.小船从O点开始渡河,图中OA垂直于河岸,AB=BC=L.已知当小船划行方向垂直于河岸时,小船正好航行到B点,运动时间为tB.下列说法中正确的是 (　)
A.小船速度大小与水流速度大小之比为
B.若小船的划行方向沿OB方向,则小船最终会航行到BC之间的某一点
C.若小船改变划行方向,最终到达对岸C点,运动时间为tC,则tC=2tB
D.若小船改变划行方向,离A点最近的距离为

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