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第10讲 抛体运动
必备知识自查
核心考点探究
备用习题
◆
◆
听课手册
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
一、平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿______方向抛出，物体只在______作用
下的运动.
2.性质：平抛运动是加速度为 的________曲线运动，运动轨迹是________.
水平
重力
匀变速
抛物线
3.研究方法：化曲为直.
4.基本规律
如图所示，以抛出点为坐标原点，以初速度方向(水平方向)为 轴正方
向，竖直向下为 轴正方向.
二、斜抛运动
1.定义：将物体以初速度 __________或斜向下方抛出，物体只在______
作用下的运动.
2.性质：斜抛运动是加速度为 的________曲线运动，运动轨迹是________.
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
3.研究方法：运动的合成与分解
(1) 水平方向：______直线运动；
(2) 竖直方向：________直线运动.
匀速
匀变速
4.基本规律：以斜抛运动的抛出点为坐标原点，水平向右为 轴的正方
向，竖直向上为轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系 .
初速度可以分解为 ， .
在水平方向，物体的位移和速度分别为
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
【辨别明理】
1.做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化.
( )
×
2.做平抛运动的物体的初速度越大，水平位移越大.( )
×
3.做平抛运动的物体的初速度越大，在空中飞行时间越长.( )
×
4.平抛运动和斜抛运动都是匀变速曲线运动.( )
√
5.做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的.( )
√
考点一 平抛运动规律及其应用
［推理证明］ 平抛运动的一般规律
①飞行时间取决于下落高度,与初速度 无关.
②水平射程由初速度和下落高度 共同决定,与其他因素无关.
③物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向为竖直向下.
[答案] 如图所示，以抛出点为坐标原点，以初速度方向(水平方向)为
轴正方向，竖直向下为 轴正方向.
①平抛运动在竖直方向上的运动为自由落体运动，由自由落体运动的规律
得,解得，与初速度 无关.
②由平抛运动规律得， ，解得水
平射程，即水平射程由初速度 和下落
高度 共同决定.
③因平抛运动为匀变速曲线运动，加速度，故在任意相等时间 内
的速度改变量为 ，方向竖直向下.
例1 [2025·云南卷] 如图所示，某同学将两颗鸟食从 点水平抛出，两只
小鸟分别在空中的点和 点同时接到鸟食.鸟食的运动视为平抛运动，两
运动轨迹在同一竖直平面内，则( )
A.两颗鸟食同时抛出
B.在 点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在 点接到的鸟食平抛的初速度较大
√
[解析] 鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 ,由于
，则，要同时接到鸟食，则在 点接到的鸟食先抛出，故
A、B错误；在水平方向有，如图，过 点作一水平面，可看出在
相同高度处，在点接到的鸟食的水平位移大，则在 点接到的鸟食平抛
的初速度较大，故C错误，D正确.
例2 [2025·山西太原模拟] 如图所示，一只蜘蛛
在地面与竖直墙壁间结网，蛛丝 与水平地面
之间的夹角为 ，到地面的距离为 ，重
力加速度取 ，空气阻力不计，若蜘蛛
从竖直墙上距地面的点以水平速度 跳
出，要到达蛛丝，水平速度 至少为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当蜘蛛做平抛运动的轨迹恰好与蛛丝相切时 最小，设蜘蛛跳出
后经时间到达蛛丝，根据平抛运动规律可得， ，蜘蛛到
达蛛丝时速度方向恰好沿蛛丝方向，所以
，由几何知识得 ，联
立解得 ，故选C.
考点二 落点有约束条件的平抛运动
［推理证明］ 平抛运动二级结论
①速度偏转角 的正切值与位移偏转角 的正切值关系： .
②过点作末速度的反向延长线,交初速度所在直线于点，则 点是水平
位移 的中点.
[答案] 如题图所示，以抛出点为坐标原点，以初速度 方向(水平方向)
为轴正方向，竖直向下为 轴正方向.
①由题图可知，速度偏转角的正切值 ,位移偏转角的正切值
，故 .
②过作末速度的反向延长线，交初速度所在直线于
点，设过点的竖直线与初速度所在直线的交点为 点，
则,而，由①知, ，
即，故，即点为 的中点.
考向一 落点在斜面上的平抛运动
图示 基本规律 运动时间
水平速度 ， 竖直速度 ， 合速度 由 得
由 得
图示 基本规律 运动时间
水平位移 ， 竖直位移 ，合位移 由 得
续表
图示 基本规律 运动时间
垂直斜面有， ， ， 离斜面最远距离 ； 沿斜面有 由 ,
得
续表
例3 (多选)[2025·福建厦门一中模拟] 如图所示，从
倾角为 的斜面上某点先后将同一小球以不同的初
速度水平抛出，小球均落在斜面上.当抛出的速度为
时，从抛出至落到斜面的运动时间为 ，位移大小
为，离斜面的最远距离为 ，小球到达斜面时速度
A. B. C. D.
方向与斜面的夹角为；当抛出速度为 时，从抛出至落到斜面的运动
时间为，位移大小为，离斜面的最远距离为 ，小球到达斜面时速度
方向与斜面的夹角为 ，不计空气阻力，则下列关系式正确的是( )
√
√
[解析] 由平抛运动规律可知 ，速度方向与水平方向的夹
角，则， 位移方向相同，则速度方向与斜面的夹
角相同，，故D正确；根据，可得 ，初速度
变为2倍时，则时间变为原来的2倍，即 ，故B正确；垂直斜面方向，
初速度为 ，加速度 ，则离斜面的最远距离 ，初速
度变为2倍时，则离斜面的最远距离变为原来的4倍，
故，故A错误；根据 ，初
速度变为2倍时，位移变4倍，即 ，故C错误.
变式1 [2025·河南许昌模拟] 如图所示，倾角为 的斜面体固定在水平
面上，，在距离水平面的 点外将一小球沿水平方向抛出，
经过一段时间小球刚好垂直地打在边的中点，重力加速度 取
，，， .则下列说法正确的
是( )
A.小球从抛出到击中点的时间为
B.小球抛出瞬间的速度大小为
C.抛出点到点的水平距离为
D.欲使小球落在点，抛出点到 点的水平距离应为
√
[解析] 由几何关系可知点到水平面的高度为 ，
抛出点到点的高度为 ，小球在竖直方向做自由落体
运动，则小球从抛出到击中点的时间为 ，A错误；小球击
中点时的竖直速度大小为 ，
则小球抛出瞬间的速度大小为
，B错误；
小球在水平方向做匀速直线运动，则有，又 两点的水
平间距为，所以抛出点到 点的水平距离为
，C正确；欲使小球落在 点，则小球下落的高度应
为，小球从抛出到落在 点的时间为
，该过程小球的水平位移为
，则抛出点到 点的水平距离
为 ，D错误.
考向二 落点在圆弧面上的三种常见情境
运动情景 物理量分析
在半圆内的平抛运动，
运动情景 物理量分析
小球恰好从圆柱体 点沿切线飞过，此时半径
垂直于速度方向，圆心角 与速度的偏转角
相等，
续表
例4 [2025·贵州黔南模拟] 如图所示，为一段四分之一圆轨道， 为圆
轨道最低点，且过 点的切线水平.一小球(可视为质点)从轨道右上方某点
以初速度 水平抛出，经过一段时间后，垂直击中圆弧轨道的中点，不计
空气阻力，重力加速度为，则小球在空中运动的时间 为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 小球垂直打在轨道中点时，此时速度方向与水平方向成 ，根据
，解得 ，B正确.
变式2 如图所示为四分之一圆柱体 的竖直截面，半
径为，在点上方的 点水平抛出一个小球，小球轨迹
恰好在点与圆柱体相切，与的夹角为 ，则
点到 点的距离为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设小球平抛运动的初速度为，由题意知小球通过 点时的速度与
圆柱体相切，则有，即 ，小球平抛运动的水平位移
，联立解得， ，设平抛运动的竖直位
移为，，解得 ，则
，故D正确，A、B、C错误.
考点三 平抛运动的临界和极值问题
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着
临界点.
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中
存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点.
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着
极值,这个极值点往往是临界点.
2.平抛运动临界问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质;
(2)根据题意确定临界状态;
(3)确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.
例5 [2025·福建厦门模拟] 如图甲所示为一长方形场地 ，一个发球机
固定在角处，可以将小球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距 点
高为.图乙为对应的俯视图，其中场地长 ，宽
.小球发出后落在阴影区域(包含虚线及边界)内为有效
发球.虚线为、中点的连线，则发球机有效发球时发出小球的速率
范围为忽略一切阻力，重力加速度取 ( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 要使小球发出后落在阴影区域，则小球最近落点为 的中点，根
据平抛运动有， ，联立解得
，小球最远落点为点，根据平抛运动有 ，
，联立解得 ，可知发球机有
效发球时发出小球的速率范围为 ，故选A.
考点四 斜抛问题
1.斜抛运动中的极值
在最高点，，由必备知识自查中④式得到，将⑤式代
入③式得物体的射高，物体落回与抛出点同一高度时，有
，由③式得总时间⑦，将⑦式代入①式得物体的射程
，当 时， 最大，射程最大.所以对于给定大小
的初速度，沿 方向斜向上抛出时，射程最大.
2.逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可对逆过程分析，看成平抛运动，
分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题.
例6 [2025·湖北卷] 某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均
为，离地高度分别为、 ，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分
别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为 .击球后网球均刚好直接掠
过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力， 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可画出示意图，如图所示.设球网的高度为 ，对于斜向下击
出的网球，在水平方向有 ，竖直方向有
.对于斜向上击出的网球，在水平方向有
,竖直方向有
,联立可得 ,
，结合 , 可得
，解得 ，C正确.
考点一 平抛运动规律及其应用
1.以某一初速度水平抛出一物体，若以抛出点为坐标原点 ，初速度方向
为轴的正方向，物体所受重力方向为 轴的正方向，它的运动轨迹恰好满
足方程 ，经过一段时间速度大小变为初速度的2倍，不计空气阻力，
重力加速度为 ，以下说法不正确的是( )
A.物体水平抛出的初速度为
B.该过程的运动时间为
C.该过程中的位移大小为
D.若该过程的位移方向与水平方向的夹角为 ，则
√
[解析] 根据平抛运动的规律，，联立解得 ，则
有，则物体水平抛出的初速度为 ，选项A正确；经过一段
时间速度大小变为初速度的2倍，则有 ，解得
，又，解得该过程的运动时间为 ，选项B正确；
该过程中的位移为，解得 ，
选项C正确； ，选项D错误.
2.学校游园会组织了投掷比赛.如图所示,小明将小球以的速度从较高的
点水平抛出,小芳将小球以的速度从较低的 点水平抛出,两小球从同一
点落入筒中,且落入筒口时两小球的速度方向相同.两小球可看作质点,不计
空气阻力,两小球从抛出到落入的时间分别为、 .则( )
A.两小球到落入筒口时的速度相等
B.
C.两小球抛出的速度
D.抛出点、与 共线
√
[解析] 根据,可得 ,因, 则,根据 ,可
知落入筒口中时的竖直速度,水平速度
为速度方向与水平方向的夹角）,可知两小球抛出的速度 ,两小球
落入筒口时的速度 ,可知两小球落入筒口时的速度不相等, 选项A、
B、C错误;因两球速度的偏转角相等,根据 ,可知位移与水平
方向夹角相等, 则抛出点、与 共线,选项D正确.
3.(多选)如图所示，某一小球以速度水平抛出，在落地之前经过空中 、
两点，在点小球速度方向与水平方向的夹角为 ，在 点小球速度方
向与水平方向的夹角为 ，、两点间的高度差 空气阻力忽
略不计，取 ，以下判断中正确的是( )
A.小球运动到的时间
B.小球经过、两点间的时间
C.初速度
D.初速度
√
√
[解析] 依题意，小球做平抛运动，则有、 ，又
，，根据几何关系 ，联立
解得、、，可得 ，故
选A、D.
考点二 落点有约束条件的平抛运动
4.如图所示，将一小球以水平速度从点向右抛出，经 小
球恰好垂直落到斜面上的点，不计空气阻力，取， 点是小球
做自由落体运动在斜面上的落点.以下判断正确的是( )
A.斜面的倾角是
B.小球的抛出点距点的高度是
C.若将小球以水平速度 向右抛出，它
一定落在的中点 的上方
D.若将小球以水平速度 向右抛出，它
一定落在的中点 处
√
[解析] 设斜面倾角为 ，对小球在点的速度进行分解有 ，解
得 ，A错误;小球距过点水平面的距离为 ，所以
小球的抛出点距点的高度一定大于 ，B错误;若小球的初速度为
，过 点作水平面，小球落到该水平面时的水平位移是小球以
初速度 抛出时的一半，小球下落时
间大于落在点的时间，故小球应该落在、 之
间，C正确，D错误.
5.如图所示，自斜面顶端 以不同的速度水
平抛出小球，准确命中目标、、 点.已
知斜面倾角为 ，、、 均在水
平面上，，为斜面 的中点，
以下说法正确的是( )
A.击中、两点的小球落地速度大小之比为
B.击中、 两点的小球速度变化量相等
C.击中、两点的小球在、两处速度与水平方向的夹角均为
D.击中、两点的小球水平方向的速度之比为
√
[解析] 击中、两点的小球运动时间相同，竖直方向有 ，
，水平方向有，又 ，解得落地时
，
，故击中、 两
点的小球落地速度大小之比为 ，故A错
误；由之前的分析可知，击中、 两点的
小球运动时间相同，由于，所以击中、 两点的小球速度变化量
相等，故B正确；
击中、 两点的小球有相同的位移偏转角，由位移偏转角与速度偏转角
之间关系有，所以其速度与水平方向的夹角均大于 ，
故C错误；击中、两点的小球运动时间之比为 ，由位移偏
转角有，水平方向有，竖直方向有，由于 点
和 点的位移偏转角相同，所以解得
，故D错误.
6.运动员在一半球形的土坑上进行投掷练习，如图所示，半球形土坑的半
径为，圆心为，是水平直径，人站在土坑的边缘 点，将一个质量为
的小球(视为质点)从点水平向右抛出，最终小球落到半圆弧上的 点.已
知、两点的连线正好垂直圆弧在点的切线，且 与水平方向的夹角
为 ，重力加速度大小为 ，忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
A.小球在点的速度方向正好垂直圆弧在 点的切线
B.、两点的连线不一定经过圆心
C.小球在空中运动的时间为
D.小球在点抛出时的速度大小为
√
[解析] 根据平抛运动规律可知，速度与水平方向夹角的正切值等于位移
与水平方向夹角的正切值的两倍，已知、两点的连线正好垂直圆弧在
点的切线，故过圆心，根据几何关系可知小球在 点的速度方向不与圆
弧在点的切线垂直，故A、B错误；根据几何关系可知 的高度为
，则根据 ，解得
，故C错误； 的水平位移
为 ，解得
，故D正确.
考点三 平抛运动的临界和极值问题
7.在如图所示的相同台阶中，水平部分长，竖直部分高 ，
现在正上方某一高度以 的速度平抛一小球(小球可以视为质点)，如果
小于某一值，无论取何值，小球均不会落在、 两点之间，则这个值
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 若小球刚好经过点和点，则无论 取何值，小球均不会落在
、两点之间，小球经过点，有， ，小球刚
好经过点，则有， ，综合以上各式解
得 .
8.带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为和 ，中
间球网高度为 .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同
方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 .不计空气的作用，重力加速度大
小为.若乒乓球的发射速率 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球
落到球网右侧台面上，则 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 当球落到右侧角上的时候，设飞行时间为，则 ，
，时间内的水平位移 ，发射速度
;当球刚好擦网落到台面中间线上的时候，设飞行时
间为，则，， 时间内的水
平位移，发射速度 ，则
，所以D正确.
考点四 斜抛问题
9.小孩站在岸边向湖面抛石子，三次的轨迹如图所示，最高点在同一水平
线上，忽略空气阻力的影响，下列说法正确的是( )
A.沿轨迹3运动的石子落水时速度最小
B.沿轨迹3运动的石子在空中运动时间最长
C.沿轨迹1运动的石子加速度最大
D.三个石子在最高点时速度相等
√
[解析] 石子只受重力，故运动的加速度均为 ，C错误；根据竖直方向运
动规律可知，高度决定运动时间，三条轨迹竖直方向位移相等，故三个石
子运动时间相等，B错误；石子在水平方向做匀速直线运动，水平分速度
与水平位移大小成正比，因此沿轨迹3运动的石子水平初速度最小，而最
高点处竖直分速度为零，故该点速度等于水平初速度，在最高点速度不等，
D错误；竖直方向运动时间相等，落水时竖直方向分速度相等，根据平行
四边形定则，沿轨迹3运动的石子落水速度最小，A正
确.
10.[2023·湖南卷] 如图甲,我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播
种.某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直
平面内，抛出点均为,且轨迹交于 点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分
别为和，其中方向水平， 方向斜向上.忽略空气阻力，关于两谷
粒在空中的运动，下列说法正确的是( )
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于
C.两谷粒从到 的运动时间相等
D.两谷粒从到 的平均速度相等
√
[解析] 抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均
为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，
A错误；谷粒2做斜上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从
点运动到 点，故位移相同，在竖直方向上谷粒2做
竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，故谷粒2运动时间较长，C错误；
谷粒2做斜上抛运动，水平方向上为匀速直线运动，运动到最高点的速度
即为水平方向上的分速度，与谷粒1比较，由至 过程水平位移相同，但
运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小，即在最高点的速度小于
，B正确；两谷粒从点运动到 点的位移相同，运动时间不同，故平均
速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误.
11.如图所示,一位网球运动员以拍击球,使网球沿水平方向飞出.第一个球飞
出时的速度为 ,落在自己一方场地上后弹跳起来,刚好擦网而过,并落在对
方场地的点处.第二个球飞出时的速度为,直接擦网而过,也落在 点处.
设球与地面碰撞时没有能量损失,且
不计空气阻力,求:
(1) 网球两次飞出时的速度之比 ;
[答案]
[解析] 两球被击出后都做平抛运动,由平抛运动的规律可知,从两球分别被
击出至各自第一次落地的时间是相等的.
由题意知两球第一次落地点的水平距离之比
为
故平抛运动的初速度之比为
11.如图所示,一位网球运动员以拍击球,使网球沿水平方向飞出.第一个球飞
出时的速度为 ,落在自己一方场地上后弹跳起来,刚好擦网而过,并落在对
方场地的点处.第二个球飞出时的速度为,直接擦网而过,也落在 点处.
(2) 运动员击球点的高度与网高 之
比 .
[答案]
设球与地面碰撞时没有能量损失,且
不计空气阻力,求:
[解析] 第一个球落地后反弹做斜抛运动,根据运动的对称性可知, 段和
段是相同的平抛运动,则两球下落相同高度 后水平距离之和为
而,,
联立可得
根据公式得,
即
解得
作业手册
1.[2024·湖北卷] 如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水
面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上.设低处
荷叶、、、和青蛙在同一竖直平面内，、 高
度相同，、高度相同，、分别在、 正上方.将
A.荷叶 B.荷叶 C.荷叶 D.荷叶
青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到
( )
√
[解析] 青蛙做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落
体运动，则有, ，联立解得 ，由此可知，水平
位移越小，竖直高度越大，则初速度越小，因此青蛙将跳到荷叶 上面，
故C正确.
2.[2025·辽宁重点高中联合体模拟] 网球训练
中，某同学从点先后以、 的速度水平抛
出两个网球(看作质点)，分别击中竖直墙壁上
的、 两点，且网球的速度方向与墙面的夹
角分别为 、 ，如图所示，不计空气
阻力，则 为( )
A. B. C. D.
[解析] 设抛出点到墙的距离为，则、 ，解得
，同理，解得 ，故选B.
√
3.[2025·江苏泰州四调] 如图所示，水平地面上方有一竖直固
定铺有复写纸的足够大硬纸板， 为其左侧正前方的一点，
小球从 点以大小相等的水平速度向右侧各个方向抛出
(不计阻力)，打到 上的小球留下的印迹连线可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 俯视图如图所示，为过抛出点作硬纸板的垂线，为垂足，以
点为原点建立直角坐标系，以水平方向为轴，竖直向下为 轴，垂线长为
，打到上的点的横坐标为 ，从抛出到碰撞的
时间 ，下落的高度也就是纵坐标
，是 二次
函数，所以图像是抛物线，故C正确、A、B、D错
误.
4.(多选)[2025·广东汕头三模] 飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目，其示
意图如图甲所示，靶面竖直固定，点为镖靶中心，水平、 竖直，
靶面图如图乙所示.若每次都在空中同一位置点水平射出飞镖，且 、
、三点在同一竖直平面，忽略空气阻力.关于分别射中靶面、、 三
点的飞镖，下列说法错误的是( )
A.射中 点的飞镖射出时的速度最小
B.射中 点的飞镖射出时的速度最小
C.射中 点的飞镖空中飞行时间最长
D.射中、 两点的飞镖空中飞行时间相等
√
√
[解析] 飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点有， ，联立解
得，因为，可知飞镖射中、 两点的飞镖空中
飞行时间相等，射中点的飞镖空中飞行时间最长，即 ，又因
为，则有，可知平抛初速度最小的是射中 点
的，所以A、B错误，C、D正确.
5.[2025·浙江温州三模] 如图所示是一种投弹式干粉消防车.某次灭火行动
中，消防车出弹口到高楼水平距离 ，发射灭火弹的初速度与水平
面夹角 ，且灭火弹恰好垂直射入建筑玻璃窗.已知灭火弹可视为质
点，不计空气阻力， ，则灭火弹在空中运动的轨迹长度最接
近于( )
A. B. C. D.
√
[解析] 灭火弹恰好垂直射入建筑玻璃窗，此时灭火弹的竖直分速度为0，
设灭火弹的初速度为，则有， 联立解
得， ，则灭火弹的竖直位移大小为
则灭火弹的合位移大小为
，则灭火弹在空中运
动的轨迹长度应略大于灭火弹的合位移大小，所以最接近于 ，故选C.
6.[2025·北京朝阳区模拟] 如图所示，一弹性小球从倾角为 的斜面 点正
上方处由静止下落，第一次与点碰撞弹起后，第二次与斜面碰撞于 点.
小球与斜面碰撞前后瞬间沿斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度大小不
变、方向相反.重力加速度为 ，不计空气阻力.下列说法正确的是( )
A.小球从到的过程中速度方向的变化方向沿 方向
B.小球从点弹起后距斜面的最远距离为
C.小球从到的时间为
D.、两点间的距离为
√
[解析] 小球从到 的过程中，受竖直向下的重力作用，速度方向的变化
方向沿竖直向下的方向，选项A错误；小球落到点时的速度 ，
反弹速度也为 ，将反弹后的运动分解为垂直斜面方向的上抛运
动和沿斜面向下的匀加速运动，则反弹后垂直斜面的速度
，小球从 点弹起后距斜面的最远距离为
，选项B错误；小球从到 的
时间为，选项C错误；、 两点间的
距离为 ，选项D正确.
7.(多选)如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球.乒乓球(可视为质点)与
竖直墙壁上的点碰撞后沿水平方向弹离，并恰好垂直于球拍拍面落在
点.已知球拍与水平方向的夹角为 ，、两点的高度差为，， 两点
的水平距离为 ，忽略空气阻力.下列说法正确的是( )
A.、 两点的连线与球拍垂直
B.乒乓球在空中飞行的过程中，单位时间内速度的变
化量相同
C.、两点的高度差和水平距离满足
D.若乒乓球弹离速度略变小后仍能落在球拍上，则乒
乓球在空中飞行的时间变长
√
√
[解析] 依题意，乒乓球恰好垂直于球拍拍面落在 点，根据平抛运动速度
与水平方向夹角 和位移方向与水平方向夹角 关系 ，可
知、 两点的连线(位移方向)与球拍不垂直，故A错误；乒乓球做平抛运
动，根据 ，可知乒乓球在空中飞行的过程中，单位时间内速度的变
化量相同，故B正确；根据平抛运动规律的推论，乒乓球速度的反向延长线
过水平分位移中点，如图甲所示,可得、两点的高度差和水平距离满足
，故C错误；
作球拍的延长线交墙壁于一点 ，如图乙所示，由几何关系可知
，若乒乓球弹离速度略
变小后仍能落在球拍上，则乒乓球的水平分位移
减小，在空中飞行的时间变长，故D正确.
8.[2025·湖北襄阳三模] 如图所示，将小球甲、乙先后水平抛出，小球甲、
乙将会在空中的 点相遇，相遇时两小球的速度方向相互垂直，已知小球
甲的抛出点到水平地面的高度比小球乙的抛出点到水平地面的高度 大，
小球甲、乙的抛出点水平距离为 ，小球甲、乙抛出时的速度大小
均为.重力加速度大小取 ，不计空气阻力，小球可看
成质点，则下列说法正确的是( )
A.小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为
B.小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同
C.小球甲在相遇前运动的时间为
D.小球甲、乙抛出点的高度差
√
[解析] 设小球甲、乙从抛出到相遇运动的时间分别为、，两球在 点
相遇，则在水平方向上有，代入数据解得 ，
故A错误；由题意知，在相遇时两小球的速度方向相互垂直，设小球甲落
在点时速度与竖直方向的夹角为 ，作出速度分析图，如图所示，
由图可知，小球甲、乙在相遇时速度偏转角不相
同，根据几何关系可得 ，可得
，又 ，且甲球下落的高度
更高，则有，联立解得， ，
故B、C错误；根据题意，可得小球甲、乙抛出点
的高度差 ，故D正确.
9.[2025·福建泉州模拟] 某公园的台阶如图甲所示，已知每级台阶的水平
距离，高度，台阶的侧视图如图乙所示，虚线 恰
好通过每级台阶的顶点.某同学将一小球置于最上面台阶边缘的 点，并沿
垂直于台阶边缘将其以初速度水平抛出，空气阻力不计，取 .
(1) 若要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上，求小球的初速度 ；
[答案]
[解析] 要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上，则有
，
得
9.[2025·福建泉州模拟] 某公园的台阶如图甲所示，已知每级台阶的水平
距离，高度，台阶的侧视图如图乙所示，虚线 恰
好通过每级台阶的顶点.某同学将一小球置于最上面台阶边缘的 点，并沿
垂直于台阶边缘将其以初速度水平抛出，空气阻力不计，取 .
(2) 若要使小球第一次碰到台阶只能
碰在第4级台阶的平台上，且又不撞
到顶点，求小球初速度 的取值范围；
[答案]
[解析] 要使小球第一次碰到台阶只能碰在第4级台阶的平台上，最近的临
界情况就是撞在第3级台阶的顶点，则有，
得
最远的临界情况就是撞在第4级台阶的顶点，
则有，
得
不撞到顶点，小球初速度范围为
9.[2025·福建泉州模拟] 某公园的台阶如图甲所示，已知每级台阶的水平
距离，高度，台阶的侧视图如图乙所示，虚线 恰
好通过每级台阶的顶点.某同学将一小球置于最上面台阶边缘的 点，并沿
垂直于台阶边缘将其以初速度水平抛出，空气阻力不计，取 .
(3) 若小球可直接击中点，求此种
情况下小球从抛出开始到离虚线
最远时所经历的时间.
[答案]
[解析] 若小球可直接击中点，
则有，
得
当小球的速度平行与时，小球离虚线最远，
则
且
得
10.[2025·河北邯郸模拟] 如图所示，
甲、乙两位同学在游乐场玩掷球游
戏，球场地面上 点有一个障碍物，
甲从场地最右侧高为的 点将小球水平抛出，小球恰经过障碍物的最高
点(未接触)后落入左侧场地，经两次反弹后恰被乙在左侧高为的 点接住，
乙再将小球水平抛出，恰经过障碍物的最高点(未接触)后落入场地最右侧
地面上的球洞中 (球洞大小不计，小球可视为质点).
已知小球每次与水平地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，
水平方向分速度大小方向都不变，空气阻力可忽略，则障碍物的高度为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，设小球从平抛到第一次落地用时为 ，竖直方向有
，利用逆向思维可知，小球每次从地面反弹至最高点用时也为 ，
可知甲抛出到乙接住小球用时为，乙抛出小球后到球落入球洞用时为 .
设甲抛出小球速度为，乙抛出小球速度为，在水平方向有 ,
，易知，可得 ，
如图所示，比较小球从障碍物最高点运动到和从障碍物最高点 运动
到球洞两过程，有洞，则的水平距离是水平距离的 倍，
小球由运动到障碍物最高点与由运动到球洞的时间之比为 洞
，设障碍物高度为，则有洞, ，解得
，故选B.
必备知识自查 一、1.水平,重力 2.匀变速,抛物线 4. ， ， ， ，, ， 二、1.斜向上方,重力 2.匀变速,抛物线 3.（1）匀速,（2）匀变速 【辨别明理】 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 核心考点探究 考点一 [推理证明]如图所示，以抛出点为坐标原点，以初速度方向（水平方向）为轴正方向，竖直向下为轴正方向.①平抛运动在竖直方向上的运动为自由落体运动，由自由落体运动的规律得,解得，与初速度
无关.②由平抛运动规律得，，解得水平射程，即水平射程由初速度
和下落高度共同决定.③因平抛运动为匀变速曲线运动，加速度，故在任意相等时间内的速度改变量为，方向竖直向下. 例1.D 例2.C 考点二 [推理证明] 如题图所示，以抛出点为坐标原点，以初速度方向（水平方向）为轴正方向，竖直向下为轴正方向.①由题图可知，速度偏转角的正切值,位移偏转角的正切值，故 . ②过作末速度的反向延长线，交初速度所在直线于点，设过点的竖直线与初速度所在直线的交点为点，则,而，由①知, ，即，故，即点为的中点. 例3.BD 变式1.C 例4.B 变式2.D 例5.A 例6.C
基础巩固练
1.C 2.B 3.C 4.AB 5.C
综合提升练
6.D 7.BD 8.D 9.(1) (2) (3)
拓展挑战练
10.B第10讲　抛体运动
[推理证明]
如图所示,以抛出点O为坐标原点,以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向.
①平抛运动在竖直方向上的运动为自由落体运动,由自由落体运动的规律得h=gt2,解得t=,与初速度v0无关.
②由平抛运动规律得x=v0t,h=gt2,解得水平射程x=v0,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定.
③因平抛运动为匀变速曲线运动,加速度a=g,故在任意相等时间Δt内的速度改变量为Δv=gΔt,方向竖直向下.
例1　D　[解析] 鸟食的运动视为平抛运动,则在竖直方向有h=gt2,由于hM例2　C　[解析] 当蜘蛛做平抛运动的轨迹恰好与蛛丝相切时v0最小,设蜘蛛跳出后经时间t到达蛛丝,根据平抛运动规律可得x=v0t,y=gt2,蜘蛛到达蛛丝时速度方向恰好沿蛛丝方向,所以=tan 45°,由几何知识得0.4 m+y=x,联立解得v0=2 m/s,故选C.
[推理证明]
如题图所示,以抛出点O为坐标原点,以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向.
①由题图可知,速度偏转角的正切值tan θ==,位移偏转角的正切值tan α===,故tan θ=2tan α.
②过P作末速度的反向延长线,交初速度所在直线于C点,设过P点的竖直线与初速度所在直线的交点为D点,则tan θ=,而tan α=,由①知,tan θ=2tan α,即=,故CD=OD,即C点为OD的中点.
例3　BD　[解析] 由平抛运动规律可知tan θ==,速度方向与水平方向的夹角tan β=,则tan β=2tan θ,位移方向相同,则速度方向与斜面的夹角相同,α1=α2,故D正确;根据tan θ=,可得t=,初速度变为2倍时,则时间变为原来的2倍,即t2=2t1,故B正确;垂直斜面方向,初速度为v0sin θ,加速度gcos θ,则离斜面的最远距离d=,初速度变为2倍时,则离斜面的最远距离变为原来的4倍,故d2=4d1,故A错误;根据x==,初速度变为2倍时,位移变4倍,即x2=4x1,故C错误.
变式1　C　[解析] 由几何关系可知D点到水平面的高度为h0=sin 37°=4.2 m,抛出点到D点的高度为h=H-h0=12.8 m,小球在竖直方向做自由落体运动,则小球从抛出到击中D点的时间为t==1.6 s,A错误;小球击中D点时的竖直速度大小为vy=gt=16 m/s,则小球抛出瞬间的速度大小为v0=vytan 37°=12 m/s,B错误;小球在水平方向做匀速直线运动,则有x=v0t=19.2 m,又AD两点的水平间距为xAD=cos 37°=5.6 m,所以抛出点到A点的水平距离为x0=x-xAD=13.6 m,C正确;欲使小球落在C点,则小球下落的高度应为h'=H-xACsin 37°=8.6 m,小球从抛出到落在C点的时间为t'==1.3 s,该过程小球的水平位移为x'=v1t'=15.6 m,则抛出点到D点的水平距离为x0'=x'-xCD=x'-xAD=10 m,D错误.
例4　B　[解析] 小球垂直打在轨道中点时,此时速度方向与水平方向成45°,根据tan 45°=,解得t=,B正确.
变式2　D　[解析] 设小球平抛运动的初速度为v0,由题意知小球通过D点时的速度与圆柱体相切,则有=tan 60°,即=,小球平抛运动的水平位移x=Rsin 60°=v0t,联立解得=,=,设平抛运动的竖直位移为y,=2gy,解得y=,则CB=y-R(1-cos 60°)=,故D正确,A、B、C错误.
例5　A　[解析] 要使小球发出后落在阴影区域,则小球最近落点为CD的中点,根据平抛运动有h=1.8 m=gt2,x==6 m=v1t,联立解得v1=10 m/s,小球最远落点为B点,根据平抛运动有h=1.8 m=gt2,x'==15 m=v2t,联立解得v2=25 m/s,可知发球机有效发球时发出小球的速率范围为10 m/s≤v0≤25 m/s,故选A.
例6　C　[解析] 由题意可画出示意图,如图所示.设球网的高度为h,对于斜向下击出的网球,在水平方向有L=v0cos θ·t1,竖直方向有L-h=v0sin θ·t1+g.对于斜向上击出的网球,在水平方向有L=v0cos θ·t2,竖直方向有-h=-v0sin θ·t2+g,联立可得t1=t2,=2v0sin θ·t1,结合L=v0cos θ·t1,可得4sin θ=cos θ,解得tan θ=,C正确.第10讲　抛体运动
1.C　[解析] 青蛙做平抛运动,水平方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动,则有x=v0t,h=gt2,联立解得v0=x,由此可知,水平位移越小,竖直高度越大,则初速度越小,因此青蛙将跳到荷叶c上面,故C正确.
2.B　[解析] 设抛出点到墙的距离为x,则x=vbt、tan 60°=,解得tan 60°=,同理tan 30°=,解得vb∶vc=∶1,故选B.
3.C　[解析] 俯视图如图所示,PO为过抛出点作硬纸板的垂线,O为垂足,以O点为原点建立直角坐标系,以水平方向为x轴,竖直向下为y轴,垂线长为L,打到M上的点的横坐标为x,从抛出到碰撞的时间t=,下落的高度也就是纵坐标y=gt2=g=g+x2,y是x二次函数,所以图像是抛物线,故C正确、A、B、D错误.
4.AB　[解析] 飞镖做平抛运动,由平抛运动的特点有h=gt2,x=vt,联立解得v==x,因为hO=hPtO=tP,又因为xO=xQ5.C　[解析] 灭火弹恰好垂直射入建筑玻璃窗,此时灭火弹的竖直分速度为0,设灭火弹的初速度为v0,则有0=v0sin 53°-gt,x=v0cos 53°·t 联立解得v0=5 m/s,t= s,则灭火弹的竖直位移大小为y=·t=8 m 则灭火弹的合位移大小为x合== m=4 m≈14.4 m,则灭火弹在空中运动的轨迹长度应略大于灭火弹的合位移大小,所以最接近于15 m,故选C.
6.D　[解析] 小球从A到B的过程中,受竖直向下的重力作用,速度方向的变化方向沿竖直向下的方向,选项A错误;小球落到A点时的速度v=,反弹速度也为v=,将反弹后的运动分解为垂直斜面方向的上抛运动和沿斜面向下的匀加速运动,则反弹后垂直斜面的速度vy=vcos θ=cos θ,小球从A点弹起后距斜面的最远距离为hm==hcos θ,选项B错误;小球从A到B的时间为t==2,选项C错误;A、B两点间的距离为x=vsin θt+gsin θt2=8hsin θ ,选项D正确.
7.BD　[解析] 依题意,乒乓球恰好垂直于球拍拍面落在B点,根据平抛运动速度与水平方向夹角α和位移方向与水平方向夹角β关系tan α=2tan β,可知A、B两点的连线(位移方向)与球拍不垂直,故A错误;乒乓球做平抛运动,根据g=,可知乒乓球在空中飞行的过程中,单位时间内速度的变化量相同,故B正确;根据平抛运动规律的推论,乒乓球速度的反向延长线过水平分位移中点,如图甲所示,可得A、B两点的高度差h和水平距离x满足tan θ==,故C错误;作球拍的延长线交墙壁于一点C,如图乙所示,由几何关系可知tan θ==,若乒乓球弹离速度略变小后仍能落在球拍上,则乒乓球的水平分位移减小,在空中飞行的时间变长,故D正确.
甲
乙
8.D　[解析] 设小球甲、乙从抛出到相遇运动的时间分别为t1、t2,两球在P点相遇,则在水平方向上有L=v0t1+v0t2,代入数据解得t1+t2=2.5 s,故A错误;由题意知,在相遇时两小球的速度方向相互垂直,设小球甲落在P点时速度与竖直方向的夹角为θ,作出速度分析图,如图所示,由图可知,小球甲、乙在相遇时速度偏转角不相同,根据几何关系可得tan θ==,可得t1t2=1 s,又t1+t2=2.5 s,且甲球下落的高度更高,则有t1>t2,联立解得t1=2 s,t2=0.5 s,故B、C错误;根据题意,可得小球甲、乙抛出点的高度差Δh=g=18.75 m,故D正确.
9.(1)1.5 m/s　(2) m/s[解析] (1)要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上,则有h=gt2,x=vt
得v=1.5 m/s
(2)要使小球第一次碰到台阶只能碰在第4级台阶的平台上,最近的临界情况就是撞在第3级台阶的顶点,则有3h=g,3x=v1t1
得v1= m/s
最远的临界情况就是撞在第4级台阶的顶点,则有4h=g,4x=v2t2
得v2=3 m/s
不撞到顶点,小球初速度范围为 m/s(3)若小球可直接击中B点,则有6h=g,6x=v3t3
得v3= m/s
当小球的速度平行与AB时,小球离虚线AB最远,则tan θ==
且tan θ=
得t4= s
10.B　[解析] 根据题意,设小球从平抛到第一次落地用时为t,竖直方向有H=gt2,利用逆向思维可知,小球每次从地面反弹至最高点用时也为t,可知甲抛出到乙接住小球用时为4t,乙抛出小球后到球落入球洞用时为t.设甲抛出小球速度为v1,乙抛出小球速度为v2,在水平方向有x1=v1t,x2=v2t,易知x1=x2,可得v1=v2,如图所示,比较小球从障碍物最高点O'运动到M和从障碍物最高点O'运动到球洞两过程,有xO洞=4xOM,则QP的水平距离是QO水平距离的倍,小球由Q运动到障碍物最高点O'与由Q运动到球洞的时间之比为tQO'∶tQ洞=4∶5,设障碍物高度为h,则有H=g,H-h=g,解得h=H,故选B.第10讲　抛体运动
一、平抛运动
1.定义:将物体以一定的初速度沿　　　　方向抛出,物体只在　　　　作用下的运动.
2.性质:平抛运动是加速度为g的　　　　　曲线运动,运动轨迹是　　　　　.
3.研究方法:化曲为直.
4.基本规律
如图所示,以抛出点O为坐标原点,以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向.
二、斜抛运动
1.定义:将物体以初速度v0　　　　　或斜向下方抛出,物体只在　　　　作用下的运动.
2.性质:斜抛运动是加速度为g的　　　　曲线运动,运动轨迹是　　　　.
3.研究方法:运动的合成与分解
(1)水平方向:　　　　直线运动;
(2)竖直方向:　　　　直线运动.
*4.基本规律:以斜抛运动的抛出点为坐标原点O,水平向右为x轴的正方向,竖直向上为y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x=v0cos θ,v0y=v0sin θ.
在水平方向,物体的位移和速度分别为
x=v0xt=(v0cos θ)t①
vx=v0x=v0cos θ②
在竖直方向,物体的位移和速度分别为
y=v0yt-gt2=(v0sin θ)t-gt2③
vy=v0y-gt=v0sin θ-gt④
【辨别明理】
1.做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化,加速度方向也时刻在变化. (　)
2.做平抛运动的物体的初速度越大,水平位移越大. (　)
3.做平抛运动的物体的初速度越大,在空中飞行时间越长. (　)
4.平抛运动和斜抛运动都是匀变速曲线运动. (　)
5.做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的. (　)
　平抛运动规律及其应用
[推理证明] 平抛运动的一般规律
①飞行时间取决于下落高度h,与初速度v0无关.
②水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定,与其他因素无关.
③物体在任意相等时间内的速度改变量相同,方向为竖直向下.
例1　[2025·云南卷] 如图所示,某同学将两颗鸟食从O点水平抛出,两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食.鸟食的运动视为平抛运动,两运动轨迹在同一竖直平面内,则 (　)
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
[反思感悟] 　

例2　[2025·山西太原模拟] 如图所示,一只蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网,蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°,A到地面的距离为1 m,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计,若蜘蛛从竖直墙上距地面0.6 m的C点以水平速度v0跳出,要到达蛛丝,水平速度v0至少为 (　)
A. m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
[反思感悟] 　


　落点有约束条件的平抛运动
[推理证明] 平抛运动二级结论
①速度偏转角θ的正切值与位移偏转角α的正切值关系:tan θ=2tan α.
②过P点作末速度的反向延长线,交初速度所在直线于C点,则C点是水平位移OD的中点.
考向一　落点在斜面上的平抛运动
图示 基本规律 运动时间
水平速度vx=v0,竖直速度vy=gt,合速度v= 由tan θ==得t=
由tan θ==得t=
水平位移x=v0t,竖直位移y=gt2, 合位移s= 由tan θ==得t=
垂直斜面有, 0=v1-a1t, 0-=-2a1d, 离斜面最远距离d=; 沿斜面有v=v2+a2t 由v1=v0sin θ, a1=gcos θ得t=
例3　(多选)[2025·福建厦门一中模拟] 如图所示,从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均落在斜面上.当抛出的速度为v0时,从抛出至落到斜面的运动时间为t1,位移大小为x1,离斜面的最远距离为d1,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1;当抛出速度为2v0时,从抛出至落到斜面的运动时间为t2,位移大小为x2,离斜面的最远距离为d2,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2,不计空气阻力,则下列关系式正确的是 (　)
A.d2=2d1 B.t2=2t1
C.x2=2x1 D.α1=α2
[反思感悟] 　

变式1　[2025·河南许昌模拟] 如图所示,倾角为37°的斜面体固定在水平面上,AC=14 m,在距离水平面17 m的O点外将一小球沿水平方向抛出,经过一段时间小球刚好垂直地打在AC边的中点D,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,=1.3.则下列说法正确的是 (　)
A.小球从抛出到击中D点的时间为 s
B.小球抛出瞬间的速度大小为16 m/s
C.抛出点到A点的水平距离为13.6 m
D.欲使小球落在C点,抛出点到D点的水平距离应为15.6 m
[反思感悟] 　

考向二　落点在圆弧面上的三种常见情境
运动情景 物理量分析
tan θ==→t=
在半圆内的平抛运动,R+=v0t→t=
小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过,此时半径OQ垂直于速度方向,圆心角θ与速度的偏转角相等,tanθ==→t=
例4　[2025·贵州黔南模拟] 如图所示,AB为一段四分之一圆轨道,B为圆轨道最低点,且过B点的切线水平.一小球(可视为质点)从轨道右上方某点以初速度v0水平抛出,经过一段时间后,垂直击中圆弧轨道的中点,不计空气阻力,重力加速度为g,则小球在空中运动的时间t为 (　)
A. B.
C. D.
[反思感悟] 　

变式2　如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面,半径为R,在B点上方的C点水平抛出一个小球,小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切,OD与OB的夹角为60°,则C点到B点的距离为 (　)
A.R B. C. D.
[反思感悟] 　

　平抛运动的临界和极值问题
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点.
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点.
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点.
2.平抛运动临界问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质;
(2)根据题意确定临界状态;
(3)确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.
例5　[2025·福建厦门模拟] 如图甲所示为一长方形场地ABCD,一个发球机固定在角D处,可以将小球沿平行于地面的各个方向发出,发球点距D点高为1.8 m.图乙为对应的俯视图,其中场地长AB=CD=L1=12 m,宽AD=BC=L2=9 m.小球发出后落在阴影区域(包含虚线及边界)内为有效发球.虚线为AB、CD中点的连线,则发球机有效发球时发出小球的速率v0范围为(忽略一切阻力,重力加速度g取10 m/s2) (　)
A.10 m/s≤v0≤25 m/s
B.12 m/s≤v0≤24 m/s
C.15 m/s≤v0≤25 m/s
D.15 m/s≤v0≤25 m/s
[反思感悟] 　


　斜抛问题
1.斜抛运动中的极值
在最高点,vy=0,由必备知识自查中④式得到t=⑤,将⑤式代入③式得物体的射高y m=⑥,物体落回与抛出点同一高度时,有y=0,由③式得总时间t总=⑦,将⑦式代入①式得物体的射程xm=,当θ=45°时,sin 2θ最大,射程最大.所以对于给定大小的初速度v0,沿θ=45°方向斜向上抛出时,射程最大.
2.逆向思维法处理斜抛问题
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动,可对逆过程分析,看成平抛运动,分析完整的斜上抛运动,还可根据对称性求解某些问题.
例6　[2025·湖北卷] 某网球运动员两次击球时,击球点离网的水平距离均为L,离地高度分别为、L,网球离开球拍瞬间的速度大小相等,方向分别斜向上、斜向下,且与水平方向夹角均为θ.击球后网球均刚好直接掠过球网,运动轨迹平面与球网垂直,忽略空气阻力,tan θ的值为 (　)
A. B.
C. D.
[反思感悟] 　



一、1.水平　重力　2.匀变速　抛物线　4.v0t　gt2　　　gt　
二、1.斜向上方　重力　2.匀变速　抛物线　
3.匀速　匀变速
【辨别明理】
1.×　2.×　3.×　4.√　5.√第10讲　抛体运动 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1. [2024·湖北卷] 如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上.设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方.将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到 (　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
2.[2025·辽宁重点高中联合体模拟] 网球训练中,某同学从O点先后以vb、vc的速度水平抛出两个网球(看作质点),分别击中竖直墙壁上的b、c两点,且网球的速度方向与墙面的夹角分别为60°、30°,如图所示,不计空气阻力,则vb:vc为 (　)
A.3∶1
B.∶1
C.2∶1
D.∶1
3.[2025·江苏泰州四调] 如图所示,水平地面上方有一竖直固定铺有复写纸的足够大硬纸板M,P为其左侧正前方的一点,小球从P点以大小相等的水平速度向右侧各个方向抛出(不计阻力),打到M上的小球留下的印迹连线可能是 (　)
A
B
C
D
4.(多选)[2025·广东汕头三模] 飞镖扎气球是一种民间娱乐游戏项目,其示意图如图甲所示,靶面竖直固定,O点为镖靶中心,OP水平、OQ竖直,靶面图如图乙所示.若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖,且M、O、Q三点在同一竖直平面,忽略空气阻力.关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖,下列说法错误的是 (　)
A.射中O点的飞镖射出时的速度最小
B.射中P点的飞镖射出时的速度最小
C.射中Q点的飞镖空中飞行时间最长
D.射中O、P两点的飞镖空中飞行时间相等
5.[2025·浙江温州三模] 如图所示是一种投弹式干粉消防车.某次灭火行动中,消防车出弹口到高楼水平距离x=12 m,发射灭火弹的初速度与水平面夹角θ=53°,且灭火弹恰好垂直射入建筑玻璃窗.已知灭火弹可视为质点,不计空气阻力,sin 53°=0.8,则灭火弹在空中运动的轨迹长度最接近于 (　)
A.13 m B.14 m
C.15 m D.20 m
6.[2025·北京朝阳区模拟] 如图所示,一弹性小球从倾角为θ的斜面A点正上方h处由静止下落,第一次与A点碰撞弹起后,第二次与斜面碰撞于B点.小球与斜面碰撞前后瞬间沿斜面方向速度不变,垂直斜面方向速度大小不变、方向相反.重力加速度为g,不计空气阻力.下列说法正确的是 (　)
A.小球从A到B的过程中速度方向的变化方向沿AB方向
B.小球从A点弹起后距斜面的最远距离为hsin θ
C.小球从A到B的时间为2
D.A、B两点间的距离为8hsin θ
7.(多选)如图所示,某同学对着墙壁练习打乒乓球.乒乓球(可视为质点)与竖直墙壁上的A点碰撞后沿水平方向弹离,并恰好垂直于球拍拍面落在B点.已知球拍与水平方向的夹角为θ,A、B两点的高度差为h,A,B两点的水平距离为x,忽略空气阻力.下列说法正确的是 (　)
A.A、B两点的连线与球拍垂直
B.乒乓球在空中飞行的过程中,单位时间内速度的变化量相同
C.A、B两点的高度差h和水平距离x满足tan θ=
D.若乒乓球弹离速度略变小后仍能落在球拍上,则乒乓球在空中飞行的时间变长
8.[2025·湖北襄阳三模] 如图所示,将小球甲、乙先后水平抛出,小球甲、乙将会在空中的P点相遇,相遇时两小球的速度方向相互垂直,已知小球甲的抛出点到水平地面的高度h1比小球乙的抛出点到水平地面的高度h2大,小球甲、乙的抛出点水平距离为L=25 m,小球甲、乙抛出时的速度大小均为v0=10 m/s.重力加速度大小g取10 m/s2,不计空气阻力,小球可看成质点,则下列说法正确的是 (　)
A.小球甲、乙在相遇前运动的时间之和为1.25 s
B.小球甲、乙在相遇时速度偏转角相同
C.小球甲在相遇前运动的时间为t1=0.5 s
D.小球甲、乙抛出点的高度差Δh=18.75 m
9.[2025·福建泉州模拟] 某公园的台阶如图甲所示,已知每级台阶的水平距离x=30 cm,高度h=20 cm,台阶的侧视图如图乙所示,虚线AB恰好通过每级台阶的顶点.某同学将一小球置于最上面台阶边缘的A点,并沿垂直于台阶边缘将其以初速度v水平抛出,空气阻力不计,g取10 m/s2.
(1)若要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上,求小球的初速度v;
(2)若要使小球第一次碰到台阶只能碰在第4级台阶的平台上,且又不撞到顶点,求小球初速度v的取值范围;
(3)若小球可直接击中B点,求此种情况下小球从抛出开始到离虚线AB最远时所经历的时间.
10.[2025·河北邯郸模拟] 如图所示,甲、乙两位同学在游乐场玩掷球游戏,球场地面上O点有一个障碍物,甲从场地最右侧高为H的P点将小球水平抛出,小球恰经过障碍物的最高点(未接触)后落入左侧场地,经两次反弹后恰被乙在左侧高为H的Q点接住,乙再将小球水平抛出,恰经过障碍物的最高点(未接触)后落入场地最右侧地面上的球洞中(球洞大小不计,小球可视为质点).已知小球每次与水平地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反,水平方向分速度大小方向都不变,空气阻力可忽略,则障碍物的高度为 (　)
A.H B.H
C.H D.H

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