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第11讲 圆周运动
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核心考点探究
素养提升
备用习题
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一、圆周运动
1.描述圆周运动的物理量
切线
一周
2.匀速圆周运动
(1) 定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处______，即为
匀速圆周运动.
(2) 特点：加速度大小______，方向始终指向______，是变加速运动.
(3) 条件：合外力大小______、方向始终与______方向垂直且指向圆心.
相等
不变
圆心
不变
速度
二、离心现象
1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供做圆周
运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.
2.本质：做圆周运动的物体，由于本身的______，总有沿着圆周切线方向
飞出去的趋势.
惯性
3.受力特点(如图所示)
(1)当 时，物体做匀速圆周运动，如图所示.
(2)当时，物体逐渐远离圆心， 为实际提供的向心力.
(3)当 时，物体沿切线方向飞出.
【辨别明理】
1.物体做匀速圆周运动时，其线速度是不变的.( )
×
2.物体做匀速圆周运动时,其合外力是不变的.( )
×
3.匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比.( )
×
4.做匀速圆周运动的物体，当所受的合外力突然减小时，物体将沿切线方
向飞出.( )
×
5.摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是由于摩托车受沿转弯半
径向外的离心力作用.( )
×
考点一 描述圆周运动的物理量
考向一 圆周运动的物理量的分析和计算
例1 (多选)[2025·福建卷] 在2025年央视春晚上，人形机器人
表演了一个精彩的扭秧歌、转手绢节目.如图，机器人转动手
绢，手绢绕其中心点在一竖直面内匀速转动， 点在空间
中保持不动，、 是固定在手绢上可视为质点的两个小饰
物，与点的距离分别为、 ，则手绢转动过程中
( )
A.的线速度大小是的倍 B.的角速度大小是的 倍
C.的加速度大小是的倍 D.受到的合外力方向始终指向 点
√
√
[解析] 手绢绕点匀速转动时，手绢上各点的角速度相同，所以 ，
故选项B错误；又，根据, 得 ，故选项A正确；
匀速圆周运动的加速度，所以 ，故选
项C错误；匀速圆周运动的合外力提供向心力，其方向始
终指向圆心，故选项D正确.
变式 [2025·贵州贵阳模拟] 自行车是一种常见
的代步工具，骑自行车出行不仅环保，还兼具
健身作用.如图所示为某自行车的传动结构示意
图，大齿轮上安装踏板，小齿轮固定在后轮上，
A.线速度大小之比为 B.线速度大小之比为
C.向心加速度大小之比为 D.向心加速度大小之比为
两个齿轮通过链条相连.、、 分别为两个齿轮及后轮边缘上的点，大
齿轮半径为、小齿轮半径为、后轮半径为，已知 .则
、、 三点( )
√
[解析] 由题可知，大小齿轮由链条传动，则、 两点线速度大小相等，
即，小齿轮与后轮属于同轴转动，则、 两点角速度相等，即
，由公式，可知，则、、 三点线
速度大小之比为，故A、B错误；由公式可得 、
、 三点向心加速度大小之比为
，化简得
，故C错误，D正确.
[技法点拨]
在讨论、 、、 之间的关系时,应运用控制变量法.
(1)对公式 的理解
①当一定时,与 成正比.
②当 一定时,与 成正比.
③当一定时, 与 成反比.
(2)对 的理解
①在一定时,与 成反比.
②在 一定时,与 成正比.
考向二 圆周运动的周期性问题
例2 (多选)如图所示，一位同学玩飞镖游戏.圆盘最上端有一点 ，飞镖抛
出时与在同一竖直平面内等高，且距离点为.当飞镖以初速度 垂直盘
面瞄准点抛出的同时，圆盘绕经过盘心 点的水平轴在竖直平面内匀速
转动.忽略空气阻力，重力加速度为，若飞镖恰好击中 点，则( )
A.飞镖击中点所需的时间为
B.圆盘的半径可能为
C.圆盘转动角速度的最小值为
D.点随圆盘转动的线速度可能为
√
√
[解析] 飞镖水平抛出后做平抛运动，水平方向的分运动是匀速直线运动，
因此，A正确；飞镖击中点时， 点恰好在圆盘最低点，设圆盘半
径为，则有，解得圆盘的半径，B错误；飞镖击中 点，
则点转过的角度满足 ，故
，则圆盘转动角速
度的最小值为，C错误； 点随圆盘转动的线速度
，当 时，
，D正确.
考点二 圆周运动的动力学问题
1.圆周运动的合力与向心力的关系
(1)匀速圆周运动的条件：合力等于向心力.
(2)变速圆周运动的合力(如图所示)
①与圆周相切的分力产生切向加速度，改变线速度的大小，当与
同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速
圆周运动.
②指向圆心的分力提供向心力，产生向心加速度 ，
改变线速度的方向.
2.圆周运动动力学问题的分析思路
例3 [2025·四川德阳模拟] 如图所示(俯视图)，用自然长度
为，劲度系数为的轻质弹簧，将质量都是 的两个小物
块、连接在一起，放置在能绕 点在水平面内转动的圆
盘上，物块、和点恰好组成一个边长为 的正三角形.
A. B. C. D.
已知小物块、和圆盘间的最大静摩擦力均为 ，现
使圆盘带动两个物块以 的角速度做匀速圆周运动，
则小物块 所受的静摩擦力大小为( )
√
[解析] 对物块，沿径向， ，沿
运动切线方向有，则小物块 所受的静摩擦力
大小为，解得 ，故选B.
素养提升 圆锥摆类问题物理建模
1.模型特点：一根质量不计和不可伸长的细线，上端固定，下端系一个可以
视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细线所掠过的路径为圆锥表面.
2.受力特点：只受两个力，即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力 .
两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力 ，如
图所示(也可以理解为拉力 的竖直分力与摆球的重力
平衡， 的水平分力提供向心力).
3.运动特点：如图摆长为，摆线与竖直方向夹角为 ，由牛顿第二定律
得，而 ，解得 .
讨论：
(1)当悬线长度一定时，，当小球角速度 增大时，悬线与竖
直方向的夹角 增大，悬线拉力 增大，运动半径 增
大，线速度 增大.
(2)若悬线的长度和夹角 均不相同，，则，角速度
相同，小球到悬点在竖直方向上的距离 就相同.
例4 如图所示为表演杂技“飞车走壁”的示意图.演员骑摩托车在一个圆桶形
结构的内壁上飞驰，做匀速圆周运动，图中、 两个虚线圆表示同一位演
员骑同一辆摩托，在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹，不考虑车轮
受到的摩擦力，下列说法中正确的是( )
A.在 轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大
B.在 轨道上运动时向心加速度较大
C.在 轨道上运动时角速度较小
D.在 轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较小
√
[解析] 以摩托车为研究对象，受力分析如图所示，由图得到侧壁对车的
支持力为 ，所以摩托车对侧壁的压力一样大，故A错误；由向心
力，解得 ，所以摩托车运动时向心
加速度一样大，故B错误；由 ，解得
，由于轨道半径大，则 小，故在 轨道上运
动时角速度较小，故C正确；向心力 ，所以摩托
车和运动员在两轨道上所受的向心力一样大，故D错误.
例5 (多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球 ，细线穿过小孔
(小孔光滑)，另一端连接在金属块 上，若不计空气阻力，小球在某一水
平面内做匀速圆周运动(圆锥摆).实际上，小球 在运动过程中不可避免地
受到空气阻力作用.因阻力作用，小球 的运动轨道发生缓慢的变化
(可视为一系列半径不同的圆周运动)， 始终静止在水平桌面上.下列判断
正确的是( )
A.小球 做圆周运动的周期变小
B.小球 做圆周运动所需向心力变小
C.小球 做圆周运动的线速度变小
D. 受到桌面的静摩擦力变小
√
√
√
[解析] 小球 在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用，所以小球做圆
周运动的线速度要减小，根据向心力公式，可知小球 所需向心
力减小，小球做近心运动，小球 的位置越来越低，故B、C正确；
始终静止在水平桌面上，设摆线与竖直方向夹角为 ，摆线长为 ，对小
球进行受力分析，有 ， ，则
，，周期为 ，可知由于空气阻力作用，线速度
减小， 减小， 增大，因此摆线的拉力减小，角速度减小，周期增
大，故A错误；对金属块，由平衡条件可知， 受
到桌面的静摩擦力大小等于摆线的拉力大小，则静
摩擦力减小，故D正确.
考点一 描述圆周运动的物理量
1.(多选)在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为 ，当齿轮
转动的时候，关于小齿轮边缘的点和大齿轮边缘的 点，下列说法正确
的是( )
A.点和点的线速度大小之比为
B.点和点的角速度之比为
C.点和点的角速度之比为
D.点和点的线速度大小之比为
√
√
[解析] 题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，则点和 点的线速度大小
之比为，由可知，线速度一定时，角速度与半径成反比，则
点和点角速度之比为 ，故A、C正确，B、D错误.
2.如图所示为实验室的感应起电机的传动装置简图.甲、乙、
丙三轮的边缘各有一点、、，甲轮的半径为 ，以恒定
角速度顺时针转动，通过皮带交叉连接乙轮，乙轮半径为
，丙轮与乙轮相对静止同轴转动，丙轮半径为， 、
、三点的角速度分别为、、，周期分别为 、
A. B.
C. D.
、，线速度分别为、、，向心加速度分别为、、 ，
已知 ，则( )
√
[解析] 、属于皮带传动，故，、属于同轴转动，故 ，
由于，根据 ，可得
、，故 、
，故A、C错误；根据 可
得，故B错误；根据 可
得 ，故D正确.
3.某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝
盘、，盘固定一个信号发射装置 ，能持续沿
半径向外发射红外线，到圆心的距离为.
A. B. C. D.
盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置，到圆心的距离为 .
、转动的线速度相同，都是，当、正对时， 发出的红外线
恰好进入的接收窗口，如图所示，则 每隔一定时间就能接收到红外线
信号，这个时间的最小值应为( )
√
[解析] 的周期，的周期 ，因为经
历的时间必须等于它们周期的整数倍，根据数学知识， 和0.08的最小
公倍数为 ，所以A正确.
考点二 圆周运动的动力学问题
4.如图所示，线段，、 为两个质
量相等的小球，当他们绕 点在光滑的水平面
上以相同的角速度转动时，两线段拉力
为( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则，角速度为 ，每个小球的质量为 ，则根
据牛顿第二定律得对球有，对球有 ，
又，联立解得 ，故B正确.
√
5.如图所示，用六根符合胡克定律且原长均为的橡皮筋将六个质量为
的小球连接成正六边形，放在光滑水平桌面上.现在使这个系统绕垂直于
桌面通过正六边形中心的轴以角速度 匀速转动.在系统稳定后，观察到
正六边形边长变为 ，则橡皮筋的劲度系数为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对小球受力分析，相邻两根橡皮筋的合力提供向心力，则有
，解得 ，故D正确.
6.列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆
弧半径为，两铁轨之间的距离为 ，内、外轨的高
度差为，铁轨平面和水平面间的夹角为
很小，可近似认为 ，重力加速度为
，下列说法正确的是( )
A.列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B.列车过转弯处的速度 时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C.列车过转弯处的速度 时，列车轮缘会挤压外轨
D.若减小 角，可提高列车安全过转弯处的速度
√
[解析] 列车以规定速度转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力
提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，有
，解得 ，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，
B正确；列车过转弯处的速度 时，转弯所需的
合力 ，故此时列车内轨受挤压，C错误；
若要提高列车速度，则列车所需的向心力增大，故需要
增大 ，D错误.
素养提升 圆锥摆类问题物理建模
7.四个完全相同的小球、、、 均在水平面内做圆锥摆运动.如图甲所
示，其中小球、在同一水平面内做圆锥摆运动(连接 球的绳较长)；如
图乙所示，小球、在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接、 的绳
与竖直方向之间的夹角相同(连接 球的绳较长)，则下列说法错误的是
( )
A.小球、 角速度大小相等
B.小球、 线速度大小相同
C.小球、 向心加速度大小相同
D.小球受到绳的拉力与小球 受到绳的拉力大小相等
√
[解析] 对题图甲、分析，设绳与竖直方向的夹角为 ，小球的质量为
，小球、到悬点的竖直距离为，则 ，解得
，所以小球、 的角速度大小相等，线速度大小不相同，
故A正确，B错误；对题图乙、分析，设绳与竖直方向的夹角为 ，小
球的质量为，绳长为，绳上拉力为，则有 ，
得 ，，
所以小球、 向心加速度大小相同，小
球、 受到绳的拉力大小也相同，故C、D正确.
8.(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环 可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地
旋转.一根轻绳穿过，两端分别连接质量为和的小球 、
.设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均
在同一水平面内，则( )
A.两球运动的周期相等
B.两球的向心加速度大小相等
C.球、到的距离之比等于
D.球、到的距离之比等于
√
√
[解析] 对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力 ，绳的拉力
在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为 ，则有
，拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到 的距
离为，则有 ，解得周期为
，因为任意时刻两球均在同一水平面
内，故两球运动的周期相等，选项A正确；
连接两球的绳的张力相等，由于向心力为 ，
故与成反比，即 ，又小球的向心加速度
，故向心加速度大小不相等，选项C正确，B、
D错误.
9.(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，
圆锥筒的轴线竖直.一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆
周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由
轨道缓慢下降到 轨道，则在此过程中( )
A.小球的向心加速度逐渐减小 B.小球运动的角速度逐渐减小
C.小球运动的线速度逐渐减小 D.小球运动的周期逐渐减小
√
√
[解析] 以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示.由牛顿
第二定律得，可知在、 轨道的向心力大小相
等，，向心加速度大小不变，故A错误；角速度 ，由
于半径减小，则角速度变大，故B错误；线速度
，由于半径减小，线速度减小，故C正确；
周期 ，角速度增大，则周期减小，故D正确.
作业手册
1.[2025·北京丰台区模拟] 记里鼓车是中国古
代用于计量车辆行驶距离的机械装置.如图所
示为《宋史》记载卢道隆所制记里鼓车：马
匹拉车使车轮转动，带动一套齿轮传动.车轮
转动100圈时，车行距离恰好为一里.因为立
轮和车轮固定在同一轴上，立轮也转动100圈，
下平轮和旋风轮转动33.3圈，中平轮转动1圈.
此时通过凸轮杠杆机构，拉动木人，实现车每行1里下层木人击鼓.下列说
法正确的是 ( )
A.中平轮与旋风轮的周期之比为
B.中平轮与旋风轮轮缘上线速度之比为
C.立轮轮缘上的线速度小于车轮轮缘上的线速度
D.立轮与下平轮的角速度之比为
√
[解析] 中平轮与旋风轮的角速度之比为，根据 ，中平轮与旋
风轮的周期之比为 ，A错误；旋风轮带动中平轮转动，中平轮与旋
风轮轮缘上线速度之比为 ，B错误；立轮和车轮同轴，立轮半径小，
车轮半径大，根据 ，立轮轮缘上的线速度小于车轮轮缘上的线速度，
C正确；立轮与下平轮的角速度之比为 ，D错误.
2.(多选)[2025·广东卷] 将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球
在水平面内做匀速圆周运动，如图所示.已知圆周运动半径为 ，小
球所在位置处的切面与水平面夹角 为 ，小球质量为 ，重力加
速度取 .关于小球，下列说法正确的有( )
A.角速度为 B.线速度大小为
C.向心加速度大小为 D.所受支持力大小为
√
√
[解析] 对小球受力分析可知，解得 ，
故A正确；线速度大小为 ，故B错误；向心加速度大小为
，故C正确；所受支持力大小为 ，
故D错误.
3.[2025·江苏宿迁南通连云港三市二模] 如图所示，让装有水的玻璃杯绕
过其侧面的竖直轴匀速转动，杯中液面形状可能正确的是 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 对水面上一个质量很小的水滴 受力分析，因受竖直向下的重力和
水面对水滴的作用力，两个力的合力充当向心力，因向心力沿水平方向指
向转轴，可知水面对水滴的作用力应该斜向上方，设与竖直方向夹角为 ，
则由牛顿第二定律有，可知，因越大，则
越大，可知水面的形状为图C的形状.
4.[2025·山东济南模拟] 如图所示，有一圆盘，在
圆盘上有圆心角为 的开槽，圆盘在水平面内
顺时针匀速转动，在圆盘点正上方 处有
一直径略小于槽宽的小球，小球以 的初速度
竖直下抛，若要令小球落入槽中，则圆盘转动的
角速度可能是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 小球竖直下抛到到达槽时有，解得 ，则当
小球能落在槽内时有
，故角速
度范围为、 、
、
、 ，故选D.
5.[2025·四川攀枝花模拟] 如图所示，水平圆盘绕竖直转轴加速转动，滑
块放置在圆盘上相对于圆盘保持静止，则下列从俯视角度关于滑块所受摩
擦力的分析中合理的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 滑块随转盘加速转动，则摩擦力一方面要提供做圆周运动的向心
力，即摩擦力有沿半径指向圆心的分量，另一方面要使滑块加速，则摩擦
力有沿垂直于半径方向的分量，则摩擦力的方向应该如图C所示.
6.如图所示，一汽车正在道路上转弯，弯道处的路面是倾斜的，且与水平
面所成夹角 的正切值 .已知汽车在弯道上做圆周运动的半径为
，重力加速度大小取 .若将汽车过弯道恰好没有向内、外侧
滑动趋势时的速度称为安全速度，则下列说法正确的是( )
A.汽车过该弯道的安全速度为
B.汽车过该弯道的安全速度为
C.若汽车的质量增大，汽车过该弯道的安全速度增大
D.若遇雨雪天气路面变湿滑时，汽车过该弯道的安全速
度减小
√
[解析] 对汽车受力分析，有，解得 ，故A正确，
B错误；根据，得 ，汽车的质量和路面的粗
糙程度对安全速度无影响，故C、D错误.
7.[2025·重庆卷] “魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探
究车辆的运动.如图所示，轻轨列车与汽车以速度分别从和 向左同
时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为的 段做匀减速直线运动并
以速度进入半径为的 圆弧段做匀速圆周运动.两车均视为质点，则
( )
A.汽车到点时，列车行驶距离为
B.汽车到点时，列车行驶距离为
C.汽车在段向心加速度大小为
D.汽车在段向心加速度大小为
√
[解析] 对汽车，根据速度—位移关系有 ，可得匀减速
运动的加速度大小为，汽车做减速运动的时间为 ，
这段时间列车行驶距离为，B正确，A错误；根据 ，
可得汽车在段向心加速度大小为 ，C、
D错误.
8.[2025·重庆八中模拟] 如图所示，水平放置的圆筒绕
其中心对称轴匀速转动，筒壁上 处有一小圆孔，
筒壁很薄，筒的半径 ，当圆孔正上方
处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半
A. B. C. D.
径略大于小球的半径.已知小球刚好能从孔中进入圆筒，并且与圆筒不发
生碰撞离开圆筒.不计空气阻力，取 ，圆筒转动的角速度可能是
( )
√
[解析] 小球落入圆筒前做自由落体运动，则有 ，解得小球刚落
入圆筒时的速度大小为 ，设小球在圆筒中运动的时间
为，根据运动学公式可得，解得 ，根据题意有
，可得
，当 时，可得
，当时，可得 ，当
时，可得 ，故选A.
9.[2025·山东威海模拟] 如图所示，水平面上固定一半球形的玻璃器皿，
器皿的轴呈竖直状态.两个质量相同的光滑小球、 ，在器皿内壁不同高
度处的水平面内做匀速圆周运动.关于两球各个物理量的关系，下列说法
正确的是( )
A. 的线速度较大
B. 的角速度较小
C. 的向心加速度较小
D.、 对内壁的压力大小相等
√
[解析] 小球和小球 都在半球形容器内做匀速圆周运动，圆心在水平面内，受到自身
重力和内壁的弹力 ，合力方向指向半球形的球心，以小球为例，受力如图所示，
设球体半径为，支持力 与竖直方向的夹角为 ,则圆周运动的半径为 ，
根据牛顿第二定律有，
解得 ，， ，
因小球所受支持力与竖直方向的夹角 较大，故
球的线速度较大，角速度较大，向心加速度较大，故A正确，B、C错误；
由受力分析图，可得，因小球所受支持力与竖直方向的夹角
较大，故 球所受支持力 较大，故D错误.
10.[2024·江西卷] 雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在
雪地上滑动.如图甲、乙所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕
通过中心点的竖直轴匀速转动.圆盘边缘 处固定连接一轻绳，轻绳另一
端 连接转椅(视为质点).转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等.转
椅与雪地之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 ，不计空气阻力.
(1) 在图甲中，若圆盘在水平雪地上以角速度 匀速转动，转椅运动稳定
后在水平雪地上绕点做半径为的匀速圆周运动.求与之间夹角
的正切值;
[答案]
[解析] 对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力 ，两
者合力提供其做圆周运动所需向心力，如图所示
设转椅的质量为，则转椅所需的向心力
转椅受到的摩擦力
根据几何关系有
联立解得
(2) 将圆盘升高，如图乙所示.圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地
上绕点做半径为的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为 ，绳子
在水平雪地上的投影与的夹角为 .求此时圆盘的角速度 .
[答案]
[解析] 转椅在题图乙情况下所需的向心力
转椅受到的摩擦力
根据几何关系有
将轻绳拉力 沿水平方向和竖直方向分解，则竖直方向上由平衡条件有
水平面上根据几何关系有
联立解得
必备知识自查
一、1.切线 一周
2.(1)相等 (2)不变 圆心 (3)不变 速度
二、2.惯性
【辨别明理】 1.× 2.× 3.× 4.× 5.×
核心考点探究
例1.AD 变式.D 例2.AD 例3.B 例4.C 例5.BCD
基础巩固练
1.C 2.AC 3.C 4.D
综合提升练
5.C 6.A 7.B 8.A 9.A 10.(1) (2)第11讲　圆周运动
例1　AD　[解析] 手绢绕O点匀速转动时,手绢上各点的角速度相同,所以ωQ=ωP,故选项B错误;又rQ=rP,根据v=ωr,得vQ=vP,故选项A正确;匀速圆周运动的加速度a=ω2r,所以aQ=aP,故选项C错误;匀速圆周运动的合外力提供向心力,其方向始终指向圆心,故选项D正确.
变式1　D　[解析] 由题可知,大小齿轮由链条传动,则A、B两点线速度大小相等,即v1=v2,小齿轮与后轮属于同轴转动,则B、C两点角速度相等,即ω2=ω3,由公式v=ωr,可知v2∶v3=r2∶r3=1∶4,则A、B、C三点线速度大小之比为v1∶v2∶v3=1∶1∶4,故A、B错误;由公式an=可得A、B、C三点向心加速度大小之比为an1∶an2∶an3=∶∶,化简得an1∶an2∶an3=1∶2∶8,故C错误,D正确.
例2　AD　[解析] 飞镖水平抛出后做平抛运动,水平方向的分运动是匀速直线运动,因此t=,A正确;飞镖击中P点时,P点恰好在圆盘最低点,设圆盘半径为r,则有2r=gt2,解得圆盘的半径r=,B错误;飞镖击中P点,则P点转过的角度满足θ=ωt=π+2kπ(k=0,1,2,…),故ω==(k=0,1,2,…),则圆盘转动角速度的最小值为,C错误;P点随圆盘转动的线速度v=ωr=(k=0,1,2,…),当k=3时,v=,D正确.
例3　B　[解析] 对物块,沿径向,Fn=k·x0cos 60°+Ff1=mω2·2x0=kx0,沿运动切线方向有Ff2=k·x0sin 60°=kx0,则小物块P所受的静摩擦力大小为Ff=,解得Ff=kx0,故选B.
例4　C　[解析] 以摩托车为研究对象,受力分析如图所示,由图得到侧壁对车的支持力为FN=,所以摩托车对侧壁的压力一样大,故A错误;由向心力Fn==ma,解得a=,所以摩托车运动时向心加速度一样大,故B错误;由=mω2r,解得ω=,由于a轨道半径大,则ω小,故在a轨道上运动时角速度较小,故C正确;向心力Fn=,所以摩托车和运动员在两轨道上所受的向心力一样大,故D错误.
例5　BCD　[解析] 小球Q在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用,所以小球做圆周运动的线速度要减小,根据向心力公式F=m,可知小球Q所需向心力减小,小球Q做近心运动,小球Q的位置越来越低,故B、C正确;P始终静止在水平桌面上,设摆线与竖直方向夹角为θ,摆线长为l,对小球Q进行受力分析,有mg=FTcos θ,FTsin θ=mω2lsin θ,则FT=,ω=,周期为T=,可知由于空气阻力作用,线速度减小,θ减小,cos θ增大,因此摆线的拉力减小,角速度减小,周期增大,故A错误;对金属块P,由平衡条件可知,P受到桌面的静摩擦力大小等于摆线的拉力大小,则静摩擦力减小,故D正确.第11讲　圆周运动
1.C　[解析] 中平轮与旋风轮的角速度之比为1∶33.3,根据T=,中平轮与旋风轮的周期之比为33.3∶1,A错误;旋风轮带动中平轮转动,中平轮与旋风轮轮缘上线速度之比为1∶1,B错误;立轮和车轮同轴,立轮半径小,车轮半径大,根据v=ωr,立轮轮缘上的线速度小于车轮轮缘上的线速度,C正确;立轮与下平轮的角速度之比为100∶33.3,D错误.
2.AC　[解析] 对小球受力分析可知F向=mgtan 45°=mω2R,解得ω=5 rad/s,故A正确;线速度大小为v=ωR=2 m/s,故B错误;向心加速度大小为an=ω2R=10 m/s2,故C正确;所受支持力大小为FN== N,故D错误.
3.C　[解析] 对水面上一个质量很小的水滴m受力分析,因受竖直向下的重力和水面对水滴的作用力,两个力的合力充当向心力,因向心力沿水平方向指向转轴,可知水面对水滴的作用力应该斜向上方,设与竖直方向夹角为θ,则由牛顿第二定律有mgtan θ=mω2r,可知tan θ=r,因r越大,则θ越大,可知水面的形状为图C的形状.
4.D　[解析] 小球竖直下抛到到达槽时有h=v0t+gt2,解得t=0.5 s,则当小球能落在槽内时有n5.C　[解析] 滑块随转盘加速转动,则摩擦力一方面要提供做圆周运动的向心力,即摩擦力有沿半径指向圆心的分量,另一方面要使滑块加速,则摩擦力有沿垂直于半径方向的分量,则摩擦力的方向应该如图C所示.
6.A　[解析] 对汽车受力分析,有mgtan θ=m,解得v=10 m/s,故A正确,B错误;根据mgtan θ=m,得v=,汽车的质量和路面的粗糙程度对安全速度无影响,故C、D错误.
7.B　[解析] 对汽车,根据速度—位移关系有-(2v0)2=-2as,可得匀减速运动的加速度大小为a=,汽车做减速运动的时间为t==,这段时间列车行驶距离为s'=2v0·t=,B正确,A错误;根据an=,可得汽车在OP段向心加速度大小为an=,C、D错误.
8.A　[解析] 小球落入圆筒前做自由落体运动,则有2gh=,解得小球刚落入圆筒时的速度大小为v0==8 m/s,设小球在圆筒中运动的时间为t,根据运动学公式可得2R=v0t+gt2,解得t=0.4 s,根据题意有t=T=(n=0,1,2,…),可得ω=rad/s(n=0,1,2,…),当n=0时,可得ω=2.5 rad/s,当n=1时,可得ω=rad/s,当n=2时,可得ω=rad/s,故选A.
9.A　[解析] 小球a和小球b都在半球形容器内做匀速圆周运动,圆心在水平面内,受到自身重力mg和内壁的弹力FN,合力方向指向半球形的球心,以小球a为例,受力如图所示,设球体半径为R,支持力FN与竖直方向的夹角为θ,则圆周运动的半径为r=Rsin θ,根据牛顿第二定律有mgtan θ=m=mω2Rsin θ=ma,解得v=,ω=,a=gtan θ,因小球a所受支持力FN与竖直方向的夹角θ较大,故a球的线速度较大,角速度较大,向心加速度较大,故A正确,B、C错误;由受力分析图,可得FN=,因小球a所受支持力FN与竖直方向的夹角θ较大,故a球所受支持力FN较大,故D错误.
10.(1)　(2)
[解析] (1)对转椅受力分析,转椅在水平面内受摩擦力Ff1、轻绳拉力FT1,两者合力提供其做圆周运动所需向心力,如图所示
设转椅的质量为m,则转椅所需的向心力Fn1=mr1
转椅受到的摩擦力Ff1=μmg
根据几何关系有tan α=
联立解得tan α=
(2)转椅在题图乙情况下所需的向心力
Fn2=mr2
转椅受到的摩擦力Ff2=μFN2
根据几何关系有tan β=
将轻绳拉力FT2沿水平方向和竖直方向分解,则竖直方向上由平衡条件有FT2cos θ=mg-FN2
水平面上根据几何关系有FT2sin θ=
联立解得ω2=第11讲　圆周运动
一、圆周运动
1.描述圆周运动的物理量
2.匀速圆周运动
(1)定义:如果物体沿着圆周运动,并且线速度的大小处处　　　　,即为匀速圆周运动.
(2)特点:加速度大小　　　　,方向始终指向　　　　,是变加速运动.
(3)条件:合外力大小　　　　、方向始终与　　　　方向垂直且指向圆心.
二、离心现象
1.定义:做圆周运动的物体,在所受合外力突然消失或不足以提供做圆周运动所需向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动.
2.本质:做圆周运动的物体,由于本身的　　　　,总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势.
3.受力特点(如图所示)
(1)当F=mω2r时,物体做匀速圆周运动,如图所示.
(2)当F(3)当F=0时,物体沿切线方向飞出.
【辨别明理】
1.物体做匀速圆周运动时,其线速度是不变的. (　)
2.物体做匀速圆周运动时,其合外力是不变的. (　)
3.匀速圆周运动的向心加速度与半径成反比. (　)
4.做匀速圆周运动的物体,当所受的合外力突然减小时,物体将沿切线方向飞出. (　)
5.摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动,这是由于摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用. (　)
　描述圆周运动的物理量
考向一　圆周运动的物理量的分析和计算
例1　(多选)[2025·福建卷] 在2025年央视春晚上,人形机器人表演了一个精彩的扭秧歌、转手绢节目.如图,机器人转动手绢,手绢绕其中心点O在一竖直面内匀速转动,O点在空间中保持不动,P、Q是固定在手绢上可视为质点的两个小饰物,与O点的距离分别为d、d,则手绢转动过程中 (　)
A.Q的线速度大小是P的倍
B.Q的角速度大小是P的倍
C.P的加速度大小是Q的倍
D.P受到的合外力方向始终指向O点
变式　[2025·贵州贵阳模拟] 自行车是一种常见的代步工具,骑自行车出行不仅环保,还兼具健身作用.如图所示为某自行车的传动结构示意图,大齿轮上安装踏板,小齿轮固定在后轮上,两个齿轮通过链条相连.A、B、C分别为两个齿轮及后轮边缘上的点,大齿轮半径为r1、小齿轮半径为r2、后轮半径为r3,已知r1∶r2∶r3=2∶1∶4.则A、B、C三点 (　)
A.线速度大小之比为2∶1∶4
B.线速度大小之比为1∶2∶4
C.向心加速度大小之比为2∶1∶4
D.向心加速度大小之比为1∶2∶8
【技法点拨】
在讨论v、ω、a、r之间的关系时,应运用控制变量法.(1)对公式v=ωr的理解①当r一定时,v与ω成正比.②当ω一定时,v与r成正比.③当v一定时,ω与r成反比.(2)对a==ω2r=ωv的理解①在v一定时,a与r成反比.②在ω一定时,a与r成正比.
考向二　圆周运动的周期性问题
例2　(多选)如图所示,一位同学玩飞镖游戏.圆盘最上端有一点P,飞镖抛出时与P在同一竖直平面内等高,且距离P点为L.当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时,圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动.忽略空气阻力,重力加速度为g,若飞镖恰好击中P点,则 (　)
A.飞镖击中P点所需的时间为
B.圆盘的半径可能为
C.圆盘转动角速度的最小值为
D.P点随圆盘转动的线速度可能为
　圆周运动的动力学问题
1.圆周运动的合力与向心力的关系
(1)匀速圆周运动的条件:合力等于向心力.
(2)变速圆周运动的合力(如图所示)
①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at,改变线速度的大小,当at与v同向时,速度增大,做加速圆周运动,反向时做减速圆周运动.
②指向圆心的分力Fn提供向心力,产生向心加速度an,改变线速度的方向.
2.圆周运动动力学问题的分析思路
例3　[2025·四川德阳模拟] 如图所示(俯视图),用自然长度为x0,劲度系数为k的轻质弹簧,将质量都是m的两个小物块P、Q连接在一起,放置在能绕O点在水平面内转动的圆盘上,物块P、Q和O点恰好组成一个边长为2x0的正三角形.已知小物块P、Q和圆盘间的最大静摩擦力均为kx0,现使圆盘带动两个物块以ω=的角速度做匀速圆周运动,则小物块P所受的静摩擦力大小为 (　)
A.kx0
B.kx0
C.kx0
D.kx0
素养提升　圆锥摆类问题
1.模型特点:一根质量不计和不可伸长的细线,上端固定,下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动,细线所掠过的路径为圆锥表面.
2.受力特点:只受两个力,即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT.两个力的合力,就是摆球做圆周运动的向心力Fn,如图所示(也可以理解为拉力FT的竖直分力与摆球的重力平衡,FT的水平分力提供向心力).
3.运动特点:如图摆长为L,摆线与竖直方向夹角为θ,由牛顿第二定律得mgtan θ=mω2r,而r=Lsin θ,解得ω=.
讨论:
(1)当悬线长度L一定时,ω∝,当小球角速度ω增大时,悬线与竖直方向的夹角θ增大,悬线拉力FT= 增大,运动半径r=Lsin θ增大,线速度v=ωr增大.
(2)若悬线的长度L和夹角θ均不相同,Lcos θ=h,则ω=,角速度ω相同,小球到悬点在竖直方向上的距离h就相同.
例4　如图所示为表演杂技“飞车走壁”的示意图.演员骑摩托车在一个圆桶形结构的内壁上飞驰,做匀速圆周运动,图中a、b两个虚线圆表示同一位演员骑同一辆摩托,在离地面不同高度处进行表演的运动轨迹,不考虑车轮受到的摩擦力,下列说法中正确的是 (　)
A.在a轨道上运动时摩托车对侧壁的压力较大
B.在b轨道上运动时向心加速度较大
C.在a轨道上运动时角速度较小
D.在b轨道上运动时摩托车和运动员所受的向心力较小
[反思感悟] 　



例5　(多选)如图所示,一根细线下端拴一个金属小球Q,细线穿过小孔(小孔光滑),另一端连接在金属块P上,若不计空气阻力,小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆).实际上,小球Q在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用.因阻力作用,小球Q的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动),P始终静止在水平桌面上.下列判断正确的是 (　)
A.小球Q做圆周运动的周期变小
B.小球Q做圆周运动所需向心力变小
C.小球Q做圆周运动的线速度变小
D.P受到桌面的静摩擦力变小
[反思感悟] 　



一、1.切线　　　一周　　　·r
man　2.(1)相等　(2)不变　圆心　(3)不变　速度
二、2.惯性
【辨别明理】
1.×　2.×　3.×　4.×　5.×第11讲　圆周运动 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2025·北京丰台区模拟] 记里鼓车是中国古代用于计量车辆行驶距离的机械装置.如图所示为《宋史》记载卢道隆所制记里鼓车:马匹拉车使车轮转动,带动一套齿轮传动.车轮转动100圈时,车行距离恰好为一里.因为立轮和车轮固定在同一轴上,立轮也转动100圈,下平轮和旋风轮转动33.3圈,中平轮转动1圈.此时通过凸轮杠杆机构,拉动木人,实现车每行1里下层木人击鼓.下列说法正确的是 (　)
A.中平轮与旋风轮的周期之比为1∶33.3
B.中平轮与旋风轮轮缘上线速度之比为1∶33.3
C.立轮轮缘上的线速度小于车轮轮缘上的线速度
D.立轮与下平轮的角速度之比为33.3∶100
2.(多选)[2025·广东卷] 将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出,使小球在水平面内做匀速圆周运动,如图所示.已知圆周运动半径R为0.4 m,小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°,小球质量为0.1 kg,重力加速度g取10 m/s2.关于小球,下列说法正确的有 (　)
A.角速度为5 rad/s
B.线速度大小为4 m/s
C.向心加速度大小为10 m/s2
D.所受支持力大小为1 N
3.[2025·江苏宿迁南通连云港三市二模] 如图所示,让装有水的玻璃杯绕过其侧面的竖直轴匀速转动,杯中液面形状可能正确的是 (　)
A
B
C
D
4.[2025·山东济南模拟] 如图所示,有一圆盘,在圆盘上有圆心角为90°的开槽,圆盘在水平面内顺时针匀速转动,在圆盘O点正上方3.25 m处有一直径略小于槽宽的小球,小球以4 m/s的初速度竖直下抛,若要令小球落入槽中,则圆盘转动的角速度可能是 (　)
A.5π rad/s
B.2.5π rad/s
C.3.5π rad/s
D.4.5π rad/s
5.[2025·四川攀枝花模拟] 如图所示,水平圆盘绕竖直转轴加速转动,滑块放置在圆盘上相对于圆盘保持静止,则下列从俯视角度关于滑块所受摩擦力的分析中合理的是 (　)
A
B
C
D
6.如图所示,一汽车正在道路上转弯,弯道处的路面是倾斜的,且与水平面所成夹角θ的正切值tan θ=.已知汽车在弯道上做圆周运动的半径为40 m,重力加速度大小g取10 m/s2.若将汽车过弯道恰好没有向内、外侧滑动趋势时的速度称为安全速度,则下列说法正确的是 (　)
A.汽车过该弯道的安全速度为10 m/s
B.汽车过该弯道的安全速度为9 m/s
C.若汽车的质量增大,汽车过该弯道的安全速度增大
D.若遇雨雪天气路面变湿滑时,汽车过该弯道的安全速度减小
7.[2025·重庆卷] “魔幻”重庆的立体交通层叠交错,小明选取其中两条线探究车辆的运动.如图所示,轻轨列车与汽车以速度2v0分别从M和N向左同时出发,列车做匀速直线运动,汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度v0进入半径为R的OP圆弧段做匀速圆周运动.两车均视为质点,则 (　)
A.汽车到O点时,列车行驶距离为s
B.汽车到O点时,列车行驶距离为
C.汽车在OP段向心加速度大小为
D.汽车在OP段向心加速度大小为
8.[2025·重庆八中模拟] 如图所示,水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO'匀速转动,筒壁上P处有一小圆孔,筒壁很薄,筒的半径R=2 m,当圆孔正上方h=3.2 m处有一小球由静止开始下落,已知圆孔的半径略大于小球的半径.已知小球刚好能从孔中进入圆筒,并且与圆筒不发生碰撞离开圆筒.不计空气阻力,g取10 m/s2,圆筒转动的角速度可能是 (　)
A.2.5π rad/s
B.4π rad/s
C.5π rad/s
D.10π rad/s
9.[2025·山东威海模拟] 如图所示,水平面上固定一半球形的玻璃器皿,器皿的轴呈竖直状态.两个质量相同的光滑小球a、b,在器皿内壁不同高度处的水平面内做匀速圆周运动.关于两球各个物理量的关系,下列说法正确的是 (　)
A.a的线速度较大
B.a的角速度较小
C.a的向心加速度较小
D.a、b对内壁的压力大小相等
10.[2024·江西卷] 雪地转椅是一种游乐项目,其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动.如图甲、乙所示,传动装置有一高度可调的水平圆盘,可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动.圆盘边缘A处固定连接一轻绳,轻绳另一端B连接转椅(视为质点).转椅运动稳定后,其角速度与圆盘角速度相等.转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力.
(1)在图甲中,若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动.求AB与OB之间夹角α的正切值;
(2)将圆盘升高,如图乙所示.圆盘匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动,绳子与竖直方向的夹角为θ,绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β.求此时圆盘的角速度ω2.

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