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分课时学案
课题 特殊平行四边形 小结与复习课 单元 第五单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习 目标 1.理解四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的从属关系，构建完整的特殊平行四边形知识网络； 2.掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定定理，能对比它们的共性与差异，灵活运用知识解决简单的几何计算与证明问题； 3.感受特殊平行四边形在生活中的应用，体会数学的实用价值，养成用数学知识解决实际问题的意识。
评价设计 1. 优秀 良好 合格 待改进 2. 优秀 良好 合格 待改进 3. 优秀 良好 合格 待改进
教学过程
导入新课 【引入思考】 1.正方形的对角线具有的特殊性质是（ ） A. 互相平分但不相等 B. 互相垂直但不相等 C. 相等但不互相垂直 D. 互相垂直平分且相等 2.下列说法中，能判定一个平行四边形是菱形的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 邻边相等 D. 对角线互相平分 3.下列图形中，既是矩形又是菱形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
新知讲解 问题1：梳理特殊平行四边形的从属关系 完成四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形关系的韦恩图填空。 问题2：对比特殊平行四边形的性质与判定 1.梳理矩形、菱形、正方形的共同性质、不同性质，以及判定方法的共同点。 图形边的性质角的性质对角线性质对称性矩形菱形正方形
知识利用：请写出3种不同的正方形判定条件： 【知识拓展】 中点四边形规律：顺次连接平行四边形各边中点得到平行四边形；连接矩形各边中点得到菱形；连接菱形各边中点得到矩形；连接正方形各边中点得到正方形。 等周问题延伸：周长相等的矩形、菱形、正方形中，正方形的面积最大；面积相等时，正方形的周长最小，这一原理在蜂巢结构、建筑材料优化中均有应用。 易错点总结：判定特殊平行四边形时，需注意条件的完整性，例如“对角线相等的四边形不一定是矩形”，必须强调是“平行四边形”；“对角线互相垂直的四边形不一定是菱形”，同样需要是“平行四边形”。 典例精析 例1.已知：如图，在正方形中，对角线、交于点，点在上，连接、。求证：。 例2：（多选）在平行四边形中，对角线、交于点，下列条件中，能判定该平行四边形为正方形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，
课堂练习 1．用对折的方法证明一个四边形是正方形，则对折次数最少是（ ） A．1B．2C．3D．4
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A．AB=BOB．AC=BDC．AB2+BC2=AC2D．∠OAD=∠ODA
3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，AC=2，则菱形ABCD的周长为_____．
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 课本知识点 （2）本课主要学习方法或数学思想
课堂作业 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，连接BD，BE，则∠DBE的度数为（ ） A．15°B．20°C．25°D．30°
2．如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=9，CE=3，则DH的长为（ ） A．2B．3C．D．
3.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，取CE的中点F，连接DF，则DF的长为（ ） A．B．C．D．
选做题： 4.如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连结AE，BD，DF，若已知五边形ABDFE的面积，则一定能求出的线段为（ ） A．CGB．BCC．AED．DF
5. 如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE=2cm,则菱形ABCD的面积等于______cm2． 6.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAC=60°，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则的值为（ ） A．B．C．2D．
7.如图，点O是菱形ABCD的对角线AC和BD的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形． 【综合拓展类作业】 8.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB=6，OE=4，∠BAE=∠DEF，求BF、DF的长． 9.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF∥DE，EF∥DB．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）连接DF交BC于点M，若BE=4，，求四边形BDEF的面积．
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课题名称：特殊平行四边形-小结与反思
第五章
通过对比、归纳构建知识网络，培养逻辑推理能力； 能够运用相关知识解决综合性的证明和计算问题。
02
系统梳理矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定方法，理解特殊平行四边形间的内在联系与区别。
01
03
在解决具体问题的过程中，深入体会数形结合和分类讨论的核心数学思想，提升思维的严密性。
知识回顾
1.正方形的对角线具有的特殊性质是（ ）
A. 互相平分但不相等
B. 互相垂直但不相等
C. 相等但不互相垂直
D. 互相垂直平分且相等
D
2.下列说法中，能判定一个平行四边形是菱形的是（ ）
A. 对角线相等
B. 有一个角是直角
C. 邻边相等
D. 对角线互相平分
3.下列图形中，既是矩形又是菱形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
C
D
问题1：图形间的关系
矩形：“有一个角是直角的平行四边形”。它具有平行四边形的所有性质，并且四个角都是直角，对角线相等。
菱形：“有一组邻边相等的平行四边形”。其四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
正方形：既是矩形又是菱形的平行四边形。它融合了矩形和菱形的所有特征，是特殊的、最具对称性的平行四边形。
问题1：图形间的关系
完成四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形关系的韦恩图填空。
菱形
正方形
矩形
问题1：图形间的关系——矩形
性质
①对边平行且相等②四角均为直角
③对角线相等且互相平分
④既是中心对称，也是轴对称图形。
判定方法
①定义法
②对角线相等的平行四边形
③有三个角是直角的四边形。
核心要点：
矩形区别于普通平行四边形的特征是“对角线相等”和“内角为直角”。
问题1：图形间的关系——菱形
性质
边与角：四条边相等；对角相等，邻角互补。
对角线：互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
判定方法
①定义法：
②判定定理：对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形。
记忆口诀：
“四边相等菱形象，对角线垂互相分；轴对称且中心称，邻边相等判菱形。”
问题1：图形间的关系——菱形
边的性质：四条边长度都相等，两组对边分别平行，邻边互相垂直
角的性质：四个角均为直角（90°），内角和为360°，邻角互补。
对角线性质：对角线相等、互相垂直且平分；每条对角线平分一组对角，将正方形分成4个全等的等腰直角三角形。
对称性特征：既是中心对称图形，也是轴对称图形，拥有4条对称轴。
问题2：对比特殊平行四边形的判定
图形 判定方法（在平行四边形基础上）
矩形 1. 有一个角是直角的平行四边形；
2. 对角线相等的平行四边形。
菱形 1. 有一组邻边相等的平行四边形；
2. 对角线互相垂直的平行四边形。
正方形 1. 既是矩形又是菱形；
2. 有一组邻边相等的矩形；
3. 有一个角是直角的菱形。
知识拓展
中点四边形规律：依次连接平行四边形各边中点得到平行四边形；连接矩形各边中点得到菱形；连接菱形各边中点得到矩形；连接正方形各边中点得到正方形。
等周问题延伸：周长相等的矩形、菱形、正方形中，正方形的面积最大；面积相等时，正方形的周长最小，这一原理在蜂巢结构、建筑材料优化中均有应用。
典例1
已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在BD上，连接AE、CE。求证：AE=CE。
思路分析：利用正方形对角线的性质，证明，或利用正方形的对称性直接得出结论。
证明：
∵ 四边形是正方形，
∴ ，（正方形的对角线互相垂直平分），
又∵ ，
∴ （SAS），
∴ 。
例2：（多选）在平行四边形中，对角线、交于点，下列条件中，能判定该平行四边形为正方形的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
ACD
1．用对折的方法证明一个四边形是正方形，则对折次数最少是
（　 　）
A．1
B．2
C．3
D．4
B
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB=BO
B．AC=BD
C．AB2+BC2=AC2
D．∠OAD=∠ODA
A
3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，AC=2，则菱形ABCD的周长为______．
8
1.知识网络：四边形→平行四边形→矩形、菱形→正方形的从属关系，明确梯形与平行四边形的并列关系；
2.性质梳理：矩形、菱形、正方形的边、角、对角线、对称性性质，以及三者的共性与差异；
3.判定方法：从平行四边形或四边形出发，添加边、角、对角线的条件判定特殊平行四边形，重点掌握正方形的双重判定路径；
4.数学思想：体会“一般到特殊” “类比”的数学思想，掌握归纳整理、对比辨析的复习方法；
5.易错警示：注意判定特殊平行四边形时条件的完整性，避免遗漏“平行四边形”这一前提条件。
1.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，连接BD，BE，则∠DBE的度数为（　 　）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
C
2．如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=9，CE=3，则DH的长为（　　）
A．2
B．3
C．
D．
D
3.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，取CE的中点F，连接DF，则DF的长为（　 　）
A．
B．
C．
D．
B
5. 如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE=2cm,则菱形ABCD的面积等于______cm2．
6
5. 如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE=2cm,则菱形ABCD的面积等于______cm2．
6
6.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAC=60°，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则的值为（　 　）
A．
B．
C．2
D．
D
7.如图，点O是菱形ABCD的对角线AC和BD的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形．
证明：，
四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
四边形是菱形，，即。
四边形是矩形（有一个内角为直角的平行四边形是矩形）
8.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB=6，OE=4，∠BAE=∠DEF，求BF、DF的长．
解：
(1) 证明
四边形是平行四边形，。
，，即，。
又， 四边形是平行四边形。
，，为矩形。
(2) 矩形，是中点，，。
，。
在与中：，
。
，由勾股：设，，
相似：，解得，。
，
，。
9.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF∥DE，EF∥DB．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）连接DF交BC于点M，若BE=4，，求四边形BDEF的面积．
解：(1) 证明:
， 四边形是平行四边形。
分别为中点，是中位线，。
，，，
一组邻边相等的平行四边形是菱形，是菱形。
解答：
(1) 证明:， 四边形是平行四边形。
分别为中点，是中位线，。
，，，
一组邻边相等的平行四边形是菱形，是菱形。
(2) 已知，，。
菱形对角线互相垂直平分，。
在中：，
。菱形面积。
Thanks!
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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题：特殊平行四边形 小结与复习课
课型： 新授课 设计时间： 年 月 日
学习核心内容
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1.理解四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的从属关系，构建完整的特殊平行四边形知识网络； 2.掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定定理，能对比它们的共性与差异，灵活运用知识解决简单的几何计算与证明问题； 3.感受特殊平行四边形在生活中的应用，体会数学的实用价值，养成用数学知识解决实际问题的意识。 1. 优秀 良好 合格 待改进 2. 优秀 良好 合格 待改进 3. 优秀 良好 合格 待改进
学习过程设计
环节一：引入新课 1.正方形的对角线具有的特殊性质是（ ） A. 互相平分但不相等 B. 互相垂直但不相等 C. 相等但不互相垂直 D. 互相垂直平分且相等 解答：D。正方形是特殊的矩形和菱形，兼具矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直的性质，同时对角线互相平分。 2.下列说法中，能判定一个平行四边形是菱形的是（ ） A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 邻边相等 D. 对角线互相平分 解答：C。菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。A是矩形的判定，B是矩形的判定，D是平行四边形的基本性质。 3.下列图形中，既是矩形又是菱形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 解答：D。正方形是邻边相等的矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此同时具备矩形和菱形的所有性质。设计意图：通过3道分层练习，快速唤醒学生对正方形、矩形、菱形核心性质与判定的记忆，同时自然引出本章知识的系统复习。 环节二：新知探究 问题1：梳理特殊平行四边形的从属关系 完成四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形关系的韦恩图填空。 1.引导学生分析韦恩图逻辑：四边形包含平行四边形和梯形；平行四边形中，矩形和菱形有交集（正方形），因此从左到右三个括号依次为：菱形、正方形、矩形。 2.请用集合符号表示它们的包含关系： 正方形 矩形 平行四边形 四边形，正方形 菱形 平行四边形 四边形，梯形与平行四边形同属于四边形，二者无包含关系。 问题2：对比特殊平行四边形的性质与判定 1.梳理矩形、菱形、正方形的共同性质、不同性质，以及判定方法的共同点。 图形边的性质角的性质对角线性质对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角相等且互相平分中心对称+轴对称（2条）菱形对边平行，四条边都相等对角相等，邻角互补互相垂直平分，平分一组对角中心对称+轴对称（2条）正方形对边平行，四条边都相等四个角都是直角相等、互相垂直平分，平分一组对角中心对称+轴对称（4条）
2.同性质梳理：三者都属于平行四边形，因此都具有平行四边形的一般性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称）；都是轴对称图形。 3.判定方法的共同点：都遵循“一般到特殊”的思路，要么在平行四边形的基础上添加边、角或对角线的特殊条件，要么直接从四边形的角度添加多个条件判定。 4.知识利用：请写出3种不同的正方形判定条件： ① 先证四边形是矩形，再证邻边相等； ② 先证四边形是菱形，再证有一个角是直角； ③ 直接证四边形的对角线相等且互相垂直平分。 设计意图： 通过两个递进式问题，引导学生系统梳理特殊平行四边形的从属关系、性质与判定，通过对比辨析明确它们的共性与差异，构建完整的知识网络，落实课本的复习要求。 【知识拓展】 中点四边形规律：依次连接平行四边形各边中点得到平行四边形；连接矩形各边中点得到菱形；连接菱形各边中点得到矩形；连接正方形各边中点得到正方形。 等周问题延伸：周长相等的矩形、菱形、正方形中，正方形的面积最大；面积相等时，正方形的周长最小，这一原理在蜂巢结构、建筑材料优化中均有应用。 易错点总结：判定特殊平行四边形时，需注意条件的完整性，例如“对角线相等的四边形不一定是矩形”，必须强调是“平行四边形”；“对角线互相垂直的四边形不一定是菱形”，同样需要是“平行四边形”。 环节三：典例精析 例1.已知：如图，在正方形中，对角线、交于点，点在上，连接、。求证：。 思路分析：利用正方形对角线的性质，证明，或利用正方形的对称性直接得出结论。证明： ∵ 四边形是正方形， ∴ ，（正方形的对角线互相垂直平分）， 又∵ ， ∴ （SAS）， ∴ 。 例2：（多选）在平行四边形中，对角线、交于点，下列条件中，能判定该平行四边形为正方形的是（ACD ） A. ， B. ， C. ， D. ， 环节四：课堂练习 1．用对折的方法证明一个四边形是正方形，则对折次数最少是（　B　） A．1B．2C．3D．4
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（A） A．AB=BOB．AC=BDC．AB2+BC2=AC2D．∠OAD=∠ODA
3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，AC=2，则菱形ABCD的周长为___8___． 环节五：课堂总结 知识网络：四边形→平行四边形→矩形、菱形→正方形的从属关系，明确梯形与平行四边形的并列关系； 性质梳理：矩形、菱形、正方形的边、角、对角线、对称性性质，以及三者的共性与差异； 判定方法：从平行四边形或四边形出发，添加边、角、对角线的条件判定特殊平行四边形，重点掌握正方形的双重判定路径； 数学思想：体会“一般到特殊” “类比”的数学思想，掌握归纳整理、对比辨析的复习方法； 易错警示：注意判定特殊平行四边形时条件的完整性，避免遗漏“平行四边形”这一前提条件。
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，连接BD，BE，则∠DBE的度数为（　D　） A．15°B．20°C．25°D．30°
2．如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=9，CE=3，则DH的长为（　D　） A．2B．3C．D．
3.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,BE平分∠ABC交AD于点E，连接CE，取CE的中点F，连接DF，则DF的长为（　B　） A．B．C．D．
选做题： 4.如图，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连结AE，BD，DF，若已知五边形ABDFE的面积，则一定能求出的线段为（　A　） A．CGB．BCC．AED．DF
5. 如图，在菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接AC，点E，F分别是AC，BC上的点，且EF垂直平分BC，若CE=2cm,则菱形ABCD的面积等于__6____cm2． 6.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，∠BAC=60°，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则的值为（　D　） A．B．C．2D．
7.如图，点O是菱形ABCD的对角线AC和BD的交点，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．求证：四边形OCED是矩形． 证明： ， 四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。 四边形是菱形，，即。 四边形是矩形（有一个内角为直角的平行四边形是矩形）。 【综合拓展类作业】 8.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB=6，OE=4，∠BAE=∠DEF，求BF、DF的长． 解答： (1) 证明 四边形是平行四边形，。 ，，即，。 又， 四边形是平行四边形。 ，，为矩形。 (2) 求解 矩形，是中点，，。 ，。 在与中：， 。 ，由勾股： 设，， 相似：，解得，。 ， ，。 9.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF∥DE，EF∥DB．
（1）求证：四边形BDEF是菱形；
（2）连接DF交BC于点M，若BE=4，，求四边形BDEF的面积． 解答： (1) 证明 ， 四边形是平行四边形。 分别为中点，是中位线，。 ，，， 一组邻边相等的平行四边形是菱形，是菱形。 (2) 求菱形面积 已知，，。 菱形对角线互相垂直平分，。 在中：，。 菱形面积。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
特殊平行四边形 小结与复习 一、从属关系（集合+韦恩图） 集合表示： 正方形 矩形 平行四边形 四边形 正方形 菱形 平行四边形 四边形 二、性质与判定（核心对比） 共性：平行四边形性质 + 轴对称图形 矩形：对角线相等；判定（平行四边形+对角线相等/一个直角） 菱形：对角线垂直；判定（平行四边形+对角线垂直/邻边相等） 正方形：对角线相等且垂直平分 判定：①矩形+邻边相等 ②菱形+直角 ③对角线等且垂分 三、易错警示 对角线相等的四边形≠矩形（前提：平行四边形） 对角线垂直的四边形≠菱形（前提：平行四边形） 副板书（右侧） 四、核心结论 中点四边形：平行四边形→平行四边形；矩形→菱形；菱形→矩形；正方形→正方形 等周问题：周长相等，正方形面积最大 五、典例精析 正方形ABCD：OA=OC，AC⊥BD → △AOE≌△COE(SAS) → AE=CE
本节课以分层习题快速唤醒旧知，通过从属关系梳理、性质判定对比、典例精析三大环节，紧扣“一般到特殊”的数学逻辑，借助韦恩图与简洁对比表格帮助学生构建完整的特殊平行四边形知识网络，同时融入蜂巢等生活实例，让学生体会数学的实用价值。课堂环节衔接流畅，习题设计贴合复习课目标，有效落实了知识梳理、能力训练与情感培养的三维目标，多数学生能清晰地区分图形性质与判定，掌握基础解题方法。 本节课仍存在两处不足：一是知识拓展中的中点四边形、等周问题仅以结论呈现，未留给学生自主探究、推导验证的时间，学生理解停留在表层；二是对判定定理的前提条件易错点，仅做口头强调，缺乏针对性错题辨析与强化练习。后续教学可增加小组合作探究环节，让学生动手推导中点四边形规律，搭配错题闯关练习巩固判定前提，同时借助几何画板动态演示图形转化，帮助学生更直观理解图形间的联系，提升知识应用的灵活性与严谨性。
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