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增分微课2
平抛运动与圆周运动的综合问题
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◆
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平抛运动是匀变速曲线运动模型的一种特例,它的基本特征是初速度水平,
且只受重力.高考中有关该知识点试题的命制常常与圆周运动相联系.
两种运动结合的本质是多过程问题，两种运动结合的本质是不同运动在时
间或者空间上的衔接，在每一个过程中，遵循独立的运动规律，关键是将
两独立的运动通过合适的物理量进行衔接，使之成为一个整体.对于本部
分知识点的复习，重点还是抛体运动和圆周运动的基础知识点和处理方法，
最后再通过速度、位移等进行衔接.
例1 [2025·山东卷] 如图所示，在无人机的某次定点投放
性能测试中，目标区域是水平地面上以 点为圆心、半径
为的圆形区域， 垂直地面，无人机在离地面
高度为的空中绕 点且平行地面做半径为
的匀速圆周运动，、 为圆周上的两点，
.若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区
域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为.当无人机以角速度
沿圆周运动经过 点时，相对无人机无初速度地释放物品.不计空气对物品
运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小 取
.下列说法正确的是( )
A.
B.
C.无人机运动到点时，在 点释放的物品已经落地
D.无人机运动到点时，在 点释放的物品尚未落地
√
√
[解析] 物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向有 ，可
得 ，要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足
，最大角速度为 ，联立
可得，故A错误，B正确；无人机从
点到点的时间为，由于 ，可
知无人机运动到点时，在 点释放的物品已经落地，
故C正确，D错误.
例2 (多选)如图所示，圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转
速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动.现测得转台半径
，离水平地面的高度 ，物块平抛落地时水平位移的大
小，重力加速度取 .设物块所受的最大静摩擦力等于滑
动摩擦力.则( )
A.物块平抛运动到达地面的时间
B.物块做平抛运动的初速度大小
C.物块与转台间的动摩擦因数
D.物块落地点与转台圆心在地面的投影点间的
距离
√
√
√
[解析] 物块做平抛运动，则，解得 ，
故A正确；平抛运动的初速度为 ，故B正确；当
摩擦力不足以提供向心力时，开始做平抛运动，
则有，解得 ，故C错误；根据
几何关系可知物块落地点与转台圆心在地面的
投影点间的距离 ，故D正
确.
例3 [2025·广东惠州模拟] 如图所示， 为竖直光滑圆弧轨道的直径，其
半径，端切线水平，水平轨道与半径 的光滑圆弧
轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点.圆弧轨道 对应的圆心角
.一质量为 的小球
(视为质点)从水平轨道上某点以某一速
度冲上竖直圆轨道，并从 点飞出，经
过点恰好沿切线进入圆弧轨道， 取
，， .
(1) 求小球从点飞出的速度大小 ；
[答案]
[解析] 将小球在处的速度分解，在竖直方向上有 ，
联立并代入数据得
例3 [2025·广东惠州模拟] 如图所示， 为竖直光滑圆弧轨道的直径，其
半径，端切线水平，水平轨道与半径 的光滑圆弧
轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点.圆弧轨道 对应的圆心角
.一质量为 的小球(视为质点)从水平轨道上某点以某一
速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过 点恰好沿切线进入圆弧轨
(2) 求小球在点对圆弧轨道的压力大小 ；
[答案]
道，取，， .
[解析] 在处，对小球，由牛顿第二定律得
解得
根据牛顿第三定律知，圆弧轨道受到的压力大小
例3 [2025·广东惠州模拟] 如图所示， 为竖直光滑圆弧轨道的直径，其
半径，端切线水平，水平轨道与半径 的光滑圆弧
轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点.圆弧轨道 对应的圆心角
.一质量为 的小球(视为质点)从水平轨道上某点以某一
速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过 点恰好沿切线进入圆弧轨
(3) 求小球在点受到的支持力的大小 ；
[答案]
道，取，， .
[解析] 小球在处速度
由牛顿第二定律得
联立解得
例3 [2025·广东惠州模拟] 如图所示， 为竖直光滑圆弧轨道的直径，其
半径，端切线水平，水平轨道与半径 的光滑圆弧
轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点.圆弧轨道 对应的圆心角
.一质量为 的小球(视为质点)从水平轨道上某点以某一
速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过 点恰好沿切线进入圆弧轨
(4) 改变小球在水平轨道上的速度，使小球恰好能
从点飞出，求小球落地点与 点的水平距离.
[答案]
道，取，， .
[解析] 小球恰好能从点飞出，在点，重力提供向心力，有
小球落地时间，满足
水平位移
联立解得
1.如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中是以 为圆心的一
段圆弧，位于竖直平面内.现有一小球从一水平桌面的边缘 点向右水平飞
出，该小球恰好能从点沿圆弧的切线方向进入圆弧轨道. 与竖直方向
间的夹角为，与竖直方向间的夹角为 .下列关系式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 小球在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运
动，小球在点时的速度方向与水平方向间的夹角为 ，则
，位移与竖直方向间的夹角为 ，则
，则 ，故A正确，B、C、D错误.
2.如图所示，在竖直平面内，直径为 的光滑半圆
轨道和半径为 的光滑四分之一圆轨道水平相切于
点.点在水平地面上，可视为质点的小球从 点
以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高
点，从点飞出后落在四分之一圆轨道上的 点，
A. B. C. D.
不计空气阻力，取，则点与 点的高度差为( )
√
[解析] 小球刚好通过点，则在点由重力提供向心力，则有 ，
解得，小球从点抛出后做平抛运动，则水平方向的位移为 ，
竖直方向的位移为 ，根据几何关系有
，解得，点与 点的高度
差为 ，故A正确，B、
C、D错误.
3.如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道(管道内径可忽略)，其半径为
，平台与轨道的最高点等高，一质量为 的小球从平台
边缘的处以速度水平射出，恰能沿圆弧轨道上 点的切线方向进入轨
道内，轨道半径与竖直方向的夹角为 ，已知 ，
，取 .
(1) 求小球从平台上的射出点到圆弧轨道入射点的运动时间 ；
[答案]
[解析] 小球从点到点 根据平抛运动规律，在竖直方向上有
其中
可解得时间
3.如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道(管道内径可忽略)，其半径为
，平台与轨道的最高点等高，一质量为 的小球从平台
边缘的处以速度水平射出，恰能沿圆弧轨道上 点的切线方向进入轨
道内，轨道半径与竖直方向的夹角为 ，已知 ，
(2) 求小球从平台上的射出点 到圆弧轨道
入射点之间的水平距离 ；
[答案]
，取 .
[解析] 小球从点到点做平抛运动，小球恰能沿圆弧轨道上 点的切线方
向进入轨道内，则有
解得
小球从点到点做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，有
联立解得
3.如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道(管道内径可忽略)，其半径为
，平台与轨道的最高点等高，一质量为 的小球从平台
边缘的处以速度水平射出，恰能沿圆弧轨道上 点的切线方向进入轨
道内，轨道半径与竖直方向的夹角为 ，已知 ，
，取 .
(3) 小球通过圆弧轨道的最高点 时的速度为
，则小球对轨道的内壁还是外壁有弹力？
求出该弹力的大小和方向.
[答案] 外壁 竖直向上
[解析] 小球通过圆弧轨道的最高点时的速度为
在 点根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知小球对外壁有弹
力，方向竖直向上，大小为
4.如图所示，水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴 以
恒定转速转动，规定经过点且水平向右为 轴的正方向，圆盘上方距盘
面高为 处有一个玻璃杯，杯底中央一小孔正在不间断滴水，玻
璃杯随传送带沿与 轴平行的方向做匀速直线
运动，速度大小为 ，已知玻璃杯在
时刻开始滴下第一滴水，此时杯底小孔恰
好经过圆心 点的正上方，以后每当前一滴水
落到盘面上时下一滴水刚好离开杯孔
取 ，求：
(1) 每一滴水滴落到盘面上所经历的时间；
[答案]
[解析] 水滴在竖直方向上做自由落体运动,则有
解得
4.如图所示，水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴 以
恒定转速转动，规定经过点且水平向右为 轴的正方向，圆盘上方距盘
面高为 处有一个玻璃杯，杯底中央一小孔正在不间断滴水，玻
璃杯随传送带沿与轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为 ，
(2) 要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，
圆盘转动的最小角速度 的值(计算结果用 表示)；
[答案]
已知玻璃杯在 时刻开始滴下第一滴水，此时杯
底小孔恰好经过圆心 点的正上方，以后每当前一滴
水落到盘面上时下一滴水刚好离开杯孔
取 ，求：
[解析] 角速度定义式为, 最小为 ，要使每一滴水在盘面上的
落点都位于同一直线上，圆盘转动的最小角速度为
4.如图所示，水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴 以
恒定转速转动，规定经过点且水平向右为 轴的正方向，圆盘上方距盘
面高为 处有一个玻璃杯，杯底中央一小孔正在不间断滴水，玻
璃杯随传送带沿与轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为 ，
(3) 第一滴水与第二滴水在盘面上落点间的最大距离
.
[答案]
已知玻璃杯在 时刻开始滴下第一滴水，此时杯
底小孔恰好经过圆心 点的正上方，以后每当前一滴
水落到盘面上时下一滴水刚好离开杯孔
取 ，求：
[解析] 第一滴水和第二滴水落在同一直线上才有最大距离,由 知，
第一滴水的落点为
第二滴水的落点为
第一滴水与第二滴水在盘面上落点间的最大距
离为
例1.BC 例2.ABD 例3.(1) (2) (3) (4)平抛运动是匀变速曲线运动模型的一种特例,它的基本特征是初速度水平,且只受重力.高考中有关该知识点试题的命制常常与圆周运动相联系.
两种运动结合的本质是多过程问题,两种运动结合的本质是不同运动在时间或者空间上的衔接,在每一个过程中,遵循独立的运动规律,关键是将两独立的运动通过合适的物理量进行衔接,使之成为一个整体.对于本部分知识点的复习,重点还是抛体运动和圆周运动的基础知识点和处理方法,最后再通过速度、位移等进行衔接.
例1　[2025·山东卷] 如图所示,在无人机的某次定点投放性能测试中,目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径为R1=5 m的圆形区域,OO'垂直地面,无人机在离地面高度为H=20 m的空中绕O'点且平行地面做半径为R2=3 m的匀速圆周运动,A、B为圆周上的两点,∠AO'B=90°.若物品相对无人机无初速度地释放,为保证落点在目标区域内,无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax.当无人机以角速度ωmax沿圆周运动经过A点时,相对无人机无初速度地释放物品.不计空气对物品运动的影响,物品可视为质点且落地后即静止,重力加速度大小g取10 m/s2.下列说法正确的是 (　)
A.ωmax= rad/s
B.ωmax= rad/s
C.无人机运动到B点时,在A点释放的物品已经落地
D.无人机运动到B点时,在A点释放的物品尚未落地
[反思感悟] 　

例2　(多选)如图所示,圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动,当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动.现测得转台半径R=0.6 m,离水平地面的高度H=0.8 m,物块平抛落地时水平位移的大小x=0.8 m,重力加速度g取10 m/s2.设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.则 (　)
A.物块平抛运动到达地面的时间t=0.4 s
B.物块做平抛运动的初速度大小v0=2 m/s
C.物块与转台间的动摩擦因数μ=
D.物块落地点与转台圆心在地面的投影点间的距离d=1 m
[反思感悟] 　
例3　[2025·广东惠州模拟] 如图所示,AB为竖直光滑圆弧轨道的直径,其半径R=0.9 m,A端切线水平,水平轨道BC与半径r=0.5 m的光滑圆弧轨道CD相接于C点,D为圆弧轨道的最低点.圆弧轨道CD对应的圆心角θ=37°.一质量为m=0.9 kg的小球(视为质点)从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道,并从A点飞出,经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.
(1)求小球从A点飞出的速度大小v0;
(2)求小球在A点对圆弧轨道的压力大小FA;
(3)求小球在C点受到的支持力的大小FC;
(4)改变小球在水平轨道上的速度,使小球恰好能从A点飞出,求小球落地点与B点的水平距离.增分微课2　平抛运动与圆周运动的综合问题
【应用示例】
例1　BC　[解析] 物品从无人机上释放后,做平抛运动,竖直方向有H=gt2,可得t=2 s,要使得物品落点在目标区域内,水平方向满足x==vt,最大角速度为ωmax=,联立可得ωmax= rad/s,故A错误,B正确;无人机从A点到B点的时间为t'== s,由于t'>t,可知无人机运动到B点时,在A点释放的物品已经落地,故C正确,D错误.
例2　ABD　[解析] 物块做平抛运动,则H=gt2,解得t== s=0.4 s,故A正确;平抛运动的初速度为v0== m/s=2 m/s,故B正确;当摩擦力不足以提供向心力时,开始做平抛运动,则有μmg=,解得μ=,故C错误;根据几何关系可知物块落地点与转台圆心在地面的投影点间的距离d==1 m,故D正确.
例3　(1)8 m/s　(2)55 N　(3)187.2 N　(4)1.8 m
[解析] (1)将小球在C处的速度分解,在竖直方向上有=2g×2R,tan θ=
联立并代入数据得v0=8 m/s
(2)在A处,对小球,由牛顿第二定律得FA'+mg=m
解得FA'=55 N
根据牛顿第三定律知,圆弧轨道受到的压力大小FA=55 N
(3)小球在C处速度vC==10 m/s
由牛顿第二定律得FC-mgcos θ=m
联立解得FC=187.2 N
(4)小球恰好能从A点飞出,在A点,重力提供向心力,有mg=m
小球落地时间,满足2R=gt2
水平位移x=v't
联立解得x=1.8 m

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