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专题二 追及、相遇问题
题型一 解决追及、相遇问题的一般方法
题型二 图像法在追及、相遇问题中的综合应用
备用习题
◆
◆
听课手册
作业手册
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答案核查【作】
题型一 解决追及、相遇问题的一般方法
追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系，只要满足两个物体在
同时到达同一地点，即说明两个物体相遇.
分析思路
可概括为“一个临界条件”和“两个等量关系”.
(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、
最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系.通过画草图找出两物体
的位移关系是解题的突破口.
例1 在水平轨道上有两列火车和相距为，车在后面做初速度为 、
加速度大小为的匀减速直线运动，而 车同时做初速度为零、加速度为
的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞(未相遇)， 车的
初速度 应满足什么条件？
[答案]
[解析] 要使两车不相撞，临界情况为车追上车时其速度与 车相等.设
、两车从相距到车追上车时，车的位移为、末速度为 、所用
时间为，车的位移为、末速度为 ，两者的运动过程如图所示，现
用两种方法解答如下：
对两车有
追上时，两车不相撞的临界条件是
联立解得
所以要使两车不相撞，车的初速度应满足的条件是
方法一:临界条件法
利用位移公式、速度公式求解
对车有 ，
对车有，
这是一个关于时间的一元二次方程，当根的判别式时，无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，车的初速度应满足的条件是
方法二：函数判断法
利用判别式求解，由方法一可知
即
整理得
例2 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 的加速
度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以 的速度匀速驶来，从
旁边超过汽车.
(1) 汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？
此时距离是多少？
[答案]
[解析] 解法一(临界条件法)
如图所示，汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为 ，
汽车和自行车间的距离为，则有
所以
.
解法二(相对运动法)
以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参
考系的各个物理量为
初速度
末速度
加速度
所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为
最大相对位移 负号表示汽车在后.
解法三(二次函数法)
设汽车在追上自行车之前经过时间汽车和自行车相距 ，则
代入已知数据得
由二次函数求极值的条件知时， 有最大
值 .
所以经过 后，汽车和自行车相距最远，最
远距离为
例2 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 的加速
度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以 的速度匀速驶来，从
旁边超过汽车.
(2) 什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
[答案]
[解析] 当汽车与自行车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时
间为，则有
解得
此时汽车的速度
[技法点拨]
(1)临界条件法:抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键，认真
审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.
(2)二次函数法：设运动时间为 ，根据条件列方程，得到关于二者之间的
距离与时间的二次函数关系， 时，表示两者相遇.
①若 ，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若 ，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若 ，无解，说明追不上或不能相遇.
当 时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值.
(3)变换参考系法：一般情况下,我们习惯于选地面为参考系,但有时研究两
个以上相对运动物体间运动时,如果能巧妙选取合适的参考系，会简化解
题过程,起到化繁为简的效果.
特别注意：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前
该物体是否已经停止运动.
题型二 图像法在追及、相遇问题中的综合应用
1.速度小者追速度大者
情景 图像 说明
匀加速追匀速 以前,后面物体与
前面物体间距离增大
时,两物体相距最
远,为 为两物体
初始距离
以后,后面物体与
前面物体间距离减小
④能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
情景 图像 说明
匀加速追匀减速 以前,后面物体与
前面物体间距离增大
时,两物体相距最
远,为 为两物体
初始距离
以后,后面物体与
前面物体间距离减小
④能追上且只能相遇一次
续表
情景 图像 说明
特别提醒:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该 物体是否已经停止运动
续表
2.速度大者追速度小者
情景 图像 说明
匀减速追 匀速 开始追赶时,两物体间距离为 ,之后
两物体间的距离在减小,当两物体速度
相等时,即 时刻:
①若 ,则恰能追上,两物体只能
相遇一次,这也是避免相撞的临界条件
匀速追匀 加速
情景 图像 说明
匀减速追 匀加速 ②若 ,则不能追上,此时两物体
最小距离为
③若,则相遇两次,设 时刻
,两物体第一次相遇,则 时刻
两物体第二次相遇
续表
例3 某一平直的赛场上,一辆赛车前方 处的不同赛道上有一安全车正
以的速度匀速前进,这时赛车由静止出发以 的加速度起动.求:
(1) 赛车出发 末的瞬时速度大小;
[答案]
[解析] 赛车出发 末的瞬时速度大小为
.
例3 某一平直的赛场上,一辆赛车前方 处的不同赛道上有一安全车正
以的速度匀速前进,这时赛车由静止出发以 的加速度起动.求:
(2) 赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小;
[答案]
[解析] 设经 时间追上安全车,由位移关系得
代入数值解得 (另一结果不合题意,舍);
此时赛车的速度大小 .
例3 某一平直的赛场上,一辆赛车前方 处的不同赛道上有一安全车正
以的速度匀速前进,这时赛车由静止出发以 的加速度起动.求:
(3) 追上之前两车间的最大距离.
[答案]
[解析] 方法一 临界条件法
后面赛车加速运动,在时,两车距离变大,当 时两车相距最远,
当时两车靠近,即两车相距最远时有
则
追上之前两车最远相距
方法二 数学分析法
两车间的距离为
当时, 有极值,即两车相距最远
将代入解得
方法三 图像法
由图像可知,当赛车速度等于安全车速度,即
时,两车相距最远,得 ,则
.
变式 若当赛车刚追上安全车时,赛车手立即刹车,使赛车以 的加速度
做匀减速直线运动,则两车再经过多长时间第二次相遇 (用临界条件法和图
像法两种方法解题)
[答案]
行驶位移
该过程中安全车位移
即赛车停下时,安全车在其后
则两车第二次再相遇时安全车继续行驶时间
可知两车再经过 第二次相遇
[解析] 方法一 临界条件法
由上可知赛车刚追上安全车时速度为
赛车刹车到停下,由 得时间
方法二 图像法
由于赛车刹车的初速度,加速度为,其图像如图线Ⅰ所示,而安全车的图像如图线Ⅱ所示;两车第二次相遇时,图线与轴围成的面积相等,设该时间为,有,解得
解决追及、相遇问题的一般方法
1.球以初速度从地面上一点竖直向上抛出，经过一段时间
后又以初速度将从同一点竖直向上抛出(忽略空气阻力)，
取，为了使两球能在空中相遇， 的取值范围正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 用位移—时间图像分析，如图所示，竖直上抛运动的 图线为
抛物线，平移图线，可找到图线的交点范围，由此判断 的取值范围；
球在空中时间为，球在空中时间为 ，因
此，球应在球抛出后 前抛出，故C项正确.
2.汽车以的速度向右做匀速直线运动，前方相距 处以
的速度同向运动的汽车 正开始匀减速刹车直到静止后保持不
动，其刹车的加速度大小 .从刚刹车开始计时，则：
(1) 追上前，、 间的最远距离为多少？
[答案]
[解析] 汽车和 的运动过程如图所示.
当、两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即 ，
解得
此时汽车的位移
汽车的位移
故两车间的最远距离
.
2.汽车以的速度向右做匀速直线运动，前方相距 处以
的速度同向运动的汽车 正开始匀减速刹车直到静止后保持不
动，其刹车的加速度大小 .从刚刹车开始计时，则：
(2) 经过多长时间，恰好追上 ？
[答案]
[解析] 汽车和 的运动过程如图所示.
汽车从开始减速直到静止经历的时间
运动的位移
汽车在时间内运动的位移
此时两车相距
汽车需再运动的时间
故追上所用时间 .
图像法在追及、相遇问题中的综合应用
3.(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其 图像如图所示.已知两
车在 时并排行驶，则( )
A.在 时，甲车在乙车后
B.在时，甲车在乙车前
C.两车另一次并排行驶的时刻是
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方
向的距离为
√
√
[解析] 在时，两车并排，由图可得在 两车发生的位移大小相
等，说明在时，两车并排，由图像可得前 乙车位移大于甲车位移，
且位移差，在 时，甲车在乙车前
，选项A、C错误，选项B正确；在
两车的平均速度 ，
各自的位移 ，选项D正确.
4.在某试验场地的水平路面上甲、乙两车在相邻平行直车道上行驶.当甲、
乙两车并排行驶的瞬间，同时开始刹车，刹车过程中两车速度的二次方
随刹车位移 的变化规律如图所示.则下列说法正确的是( )
A.乙车先停止运动
B.甲、乙两车刹车过程中加速度大小之比为
C.从开始刹车起经 ，两车再次恰好并排相遇
D.甲车停下时两车相距
√
[解析] 根据匀变速位移速度公式得 ，根据图像，可得甲、
乙加速度大小分别为和，加速度大小比值为 ，B错误；
两车停下的时间为， ，所以甲车先停，A错误；
甲经先停下时，此时甲的位移为 ，乙的位移为
，
两车相距，两车再次相遇有 ，
解得 ，C正确，D错误.
5.如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形.图中 车车长
，车车长，两车车头相距时， 车正以
的速度匀速行驶，车正以 的速度借道超车，此
时车司机发现前方不远处有一辆汽车 正好迎面驶来，其速度为
，车和车车头之间相距，现在 车司机有两个选择，
一是放弃超车，驶回与 相同的车
道，而后减速行驶；二是加速超
车，在与相遇之前超过 车，
不考虑变道过程的时间和速度的
变化.
(1) 若车选择放弃超车，回到车所在车道，则 车至少应该以多大的加
速度匀减速刹车，才能避免与 车相撞？
[答案]
[解析] 若车选择放弃超车，回到车所在车道，恰好不与 车相撞时，
根据运动学公式有
解得车的最小加速度为
(2) 若车选择加速超车，求 车能够安全超车的加速度至少多大？
[答案]
[解析] 车加速超车最长时间为
车安全超车，根据运动学公式有
解得车能够安全超车的加速度至少为
(3) 若车选择超车，但因某种原因并未加速， 车司机在图示位置做出反
应(不计反应时间)，则车减速的加速度至少多大才能保证 车安全超车？
[答案]
[解析] 车做减速运动的最长时间为
车安全超车，根据运动学公式有
解得车减速的最小加速度为
作业手册
1.(多选)赛龙舟是端午节的传统活动.下列和 图像描述了五条相同
的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，
其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 同时从同一地点出发，如果两舟的位移相同，则再次船头并齐，
对 图像，速度图线所围的“面积”表示位移，在B图中，甲和乙的位移
能在某时刻相同，而A图中，甲一直在乙的前面，故A错误，B正确；对
图像，两图像相交的点表示相遇，故C错误，D正确.
2.[2025·四川攀枝花模拟] 一辆汽车以 的速度在平直的公路上做匀
速直线运动，在它的正前方有一辆自行车以 的速度同向匀速行
驶，汽车驾驶员发现自行车后经踩下刹车，汽车以大小为 的加
速度做匀减速直线运动.若汽车和自行车均可视为质点，要使汽车不碰上
自行车，驾驶员发现自行车时汽车到自行车的距离至少为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设汽车减速时间为，驾驶员反应时间为 ，驾驶员发现自行车时
汽车到自行车的距离为 .若汽车刚追上自行车时，二者速度刚好相等，则
汽车恰好不会碰上自行车.此时二者的位移关系有
，速度关系有 ，联立可
解得 ，故选A.
3.(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动， 时经过路边的同一路
标，下列位移—时间图像和速度—时间 图像对应的运动中，
甲、乙两人在 时刻之前能再次相遇的是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 对于A选项，甲、乙在 时刻之前位移没有相等的时刻，即两人在
时刻之前不能相遇，选项A错误；对于B选项，甲、乙在 时刻之前图像
有交点，即此时位移相等，即两人在 时刻之前能再次相遇，选项B正确；
因图像与轴围成的面积表示位移大小，则甲、乙在 时刻之前位移
有相等的时刻，即两人能再次相遇，选项C正确；因图像与 轴围成
的面积表示位移大小，由图像可知在 时刻之前甲的位移始终大于乙的位
移，则两人不能相遇，选项D错误.
4.[2025·湖南长沙模拟] 如图所示为某地的转盘路，
汽车要想直行，到转盘路时，需要先做半径为
的圆周运动，运动半个圆周后再直行.若汽
车甲到达转盘路时，汽车乙恰好通过转盘路进入直行
A. B. C. D.
车道，以 的速度匀速行驶.已知汽车通过转盘路过程的速度
不能超过 ，通过后在直行车道上的速度不能超过
，加速度不能超过 ，则汽车甲追上汽车乙所用的
最短时间约为(假设直行车道足够长，且没有通过红绿灯，另外不考虑汽
车的变加速恒功率过程)( )
√
[解析] 汽车甲到达转盘路时速度为 ，通过转盘路的时间为
，直线加速时间 ，假设甲匀速后追上乙，
则路程关系有，解得 ，
有解，假设成立，则总时间为
，故选B.
5.[2025·福建南平模拟] 武夷山国家公园1号风景道是福建省打造世界知名
旅游目的地的重要组成部分. 时刻甲、乙两游览车同时由同一位置进
入一长直游览道中，两车的速度随时间 变化如图所示.则乙车追上甲车
的时刻为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题图可知 、
，则、 ，
当乙车追上甲车时，解得 ，故选B.
6.[2025·陕西渭南模拟] 安全行驶不仅关系到自己的生命和安全，同时也
是尊重他人生命的体现.图甲为可视为质点的两车、在 时刻的位置
(以车的起始位置为坐标原点 )，图乙为两车速度随时间的变化图像.已
知时两车恰好不相撞，时车停止运动，且此时车超前车 距离
.则车出发的位置 为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图所示，已知时两车恰好不相撞，则 时两车在同一位置，
内两车间距为的面积，即为； 内两车间距为
的面积.根据和相似可得的面积为 的面积
的16倍，即时刻车出发的位置为 ，故选C.
7.[2025·安徽芜湖二模] 在足够长的斜面上，使、 两个相同小物块分别
从不同位置沿斜面方向同时出发，选择沿斜面向上为正方向，它们运动的
图像如图所示.在时，、 两物块恰好在斜面上某一位置相遇，
下列说法正确的是( )
A.该斜面是光滑斜面
B.时，、 两物块相距最远
C.、两物块在斜面上出发时相距
D.时，、 两物块相对于出发点的位移大小相
等
√
[解析] 开始时沿斜面上滑，其加速度 ，方向沿
斜面向下，末开始沿斜面下滑，加速度大小 ，
因，则斜面是不光滑的，选项A错误；由题意可知， 末两物块
相遇，则开始运动时沿斜面向上运动，在 的上方
沿斜面向下运动，前内两者距离逐渐减小，
时，的速度为零，将要向下运动， 的速度为
，向下运动，且向下运动的加速度相等，可
知此后、两物块的距离继续逐渐减小， 时刻相
距不是最远，选项B错误；
由题意可知，末两物块相遇，则开始运动时沿斜面向上运动，在
的上方沿斜面向下运动，时开始向下运动，则、 两物块在斜面上
，选项D错误.
出发时相距 ，选项C正确；时，、 两物块相对于出发点
的位移大小分别为 ，
8.[2025·湖北孝感模拟] 无线蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实
现无线连接，已知无线连接的最大距离为.、 两位同学做了一个有
趣实验，同学佩戴无线蓝牙耳机， 同学携带手机检测.如图甲所示，
、两位同学同时沿两条相距 的平行直线轨道向同一方向运动.其运
动的 图像如图乙所示.求：
(1) 在 内前进的距离；
[答案]
[解析] 由图乙可知在 内做匀加速直线运动，加速度大小为
由运动学知识可知在 内位移大小为
内做匀速直线运动，位移大小为
所以内的位移大小为
(2) 领先最远时、 间的距离；
[答案]
[解析] 由题意可知，初始时速度大，所以当时， 领先
最远，
图像的面积为位移大小，可知此时、 间沿运动方向的距离
由几何关系可知此时、间的距离为
即领先最远时、间的距离为
(3) 、 能通信的最长时间.
[答案]
[解析] 时，、间的距离为，所以 之前手机与蓝牙耳机处于连
接状态，由上述分析可知，当、间沿运动方向的距离满足 时，
蓝牙处于连接状态，设后经过时间后蓝牙断开，则在时间内前进的
距离为 在时间内前进的距离为
由运动关系有
联立解得
所以整个过程中手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为
9.[2025·山东威海模拟] 一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁
边以 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定立即前去追赶，
经过后警车发动起来，并以 的加速度做匀加速运动，
但警车的行驶速度不能超过 .当警车达到最大速度时，货车开
始以 的加速度做匀减速运动.求：
(1) 在追赶过程中，两车间的最大距离；
[答案]
[解析] 方法一:情景分析法
警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警
车发动后经过 时间两车的速度相等
货车运动的位移大小
警车运动的位移大小
在追赶过程中，两车间的最大距离
方法二:函数分析法
两车间的距离
当时，两车间的距离最大，且最大距离
9.[2025·山东威海模拟] 一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁
边以 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定立即前去追赶，
经过后警车发动起来，并以 的加速度做匀加速运动，
但警车的行驶速度不能超过 .当警车达到最大速度时，货车开
始以 的加速度做匀减速运动.求：
(2) 当警车达到最大速度时，两车间的距离；
[答案]
[解析] 当警车达到最大速度时，警车的运动时间为
货车运动的位移大小
警车运动的位移大小
所以当警车达到最大速度时，两车间的距离
9.[2025·山东威海模拟] 一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁
边以 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定立即前去追赶，
经过后警车发动起来，并以 的加速度做匀加速运动，
但警车的行驶速度不能超过 .当警车达到最大速度时，货车开
始以 的加速度做匀减速运动.求：
(3) 警车发动后经多长时间才能追上货车.
[答案]
[解析] 设警车达到最大速度后经过时间 货车减为0，则
货车减速运动的位移大小
货车减速运动的时间内，警车的位移大小
则 ，说明货车速度减为0时，警车没追上货车
警车再运动追上货车的时间
警车从发动后追上货车的时间
10.(多选)[2025·山东德州三模] 目前机器人研究迅猛发展.在某次测试中，
机器人、 (均可视为质点)同时从原点沿相同方向做直线运动，它们的速
度的平方随位移 变化的图像如图所示.下列判断正确的是( )
A.机器人的加速度大小为
B.相遇前机器人、最大距离为
C.经过，机器人、 相遇
D.机器人、分别经过处的时间差是
√
√
[解析] 根据匀变速直线运动规律有 ，整理可得，结合图像
可知，机器人 的加速度为，解得，即机器人
的加速度大小为，A错误；根据上述分析，同理可知、 两机器人均做匀变速
运动，对于机器人，可得，，对于机器人 ，可得，
，设经过时间二者速度相等，此时相距最远，则有
，代入数据解得，两机器人共同的速度为
，机器人 的位移，
机器人的位移 ，二者之间的最大距离
，B正确；
机器人 停止运动的时间，设经过 时间两机器人
相遇，则有，代入数据解得 ，可见
两机器人相遇应在机器人停止运动之后，此时机器人的位移为
,,,,,,,‘’‘’‘’‘，机器人追上的时间 ，C错误；由题可知，
机器人经过的时间为 ，机器人经过的时间为 ，则有
，整理可得 ，解得 (另一解
机器人 已停止运动，舍去)，同理有，解得，机器人、分别
经过处的时间差 ，D正确.
例1.
例2.(1) (2)
例3.(1) (2) (3)
变式.
基础巩固练
1.BD 2.A 3.BC 4.B 5.B 6.C
综合提升练
7.C 8.(1) (2) (3) 9.(1) (2) (3)
拓展挑战练
10.BD专题二　追及、相遇问题
　解决追及、相遇问题的一般方法
追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系,只要满足两个物体在同时到达同一地点,即说明两个物体相遇.
分析思路
可概括为“一个临界条件”和“两个等量关系”.
(1)一个临界条件:速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析、判断问题的切入点;
(2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系.通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.
例1　在水平轨道上有两列火车A和B相距为x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同.要使两车不相撞(未相遇),A车的初速度v0应满足什么条件
例2　一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度开始行驶,恰在这一时刻一辆自行车以v自=6 m/s的速度匀速驶来,从旁边超过汽车.
(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时距离是多少
(2)什么时候汽车能追上自行车 此时汽车的速度是多少
【技法点拨】
(1)临界条件法:抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键,认真审题,挖掘题目中的隐含条件,建立物体运动关系的情境图.(2)二次函数法:设运动时间为t,根据条件列方程,得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系,Δx=0时,表示两者相遇.①若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次;②若Δ=0,一个解,说明刚好追上或相遇;③若Δ<0,无解,说明追不上或不能相遇.当t=-时,函数有极值,代表两者距离的最大或最小值.(3)变换参考系法:一般情况下,我们习惯于选地面为参考系,但有时研究两个以上相对运动物体间运动时,如果能巧妙选取合适的参考系,会简化解题过程,起到化繁为简的效果.特别注意:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.
　图像法在追及、相遇问题中的综合应用
1.速度小者追速度大者
情景 图像 说明
匀加速 追匀速 ①t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大 ②t=t0时,两物体相距最远,为x0+Δx(x0为两物体初始距离) ③t=t0以后,后面物体与前面物体间距离减小 ④能追上且只能相遇一次
匀速追 匀减速
匀加速 追匀减速
特别提醒:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动
2.速度大者追速度小者
情景 图像 说明
匀减速 追匀速 开始追赶时,两物体间距离为x0,之后两物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻: ①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0,则相遇两次,设t1时刻Δx=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇(t2-t0=t0-t1)
匀速追 匀加速
匀减速 追匀加速
例3　某一平直的赛场上,一辆赛车前方200 m处的不同赛道上有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进,这时赛车由静止出发以6 m/s2的加速度起动.求:
(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小;
(2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小;
(3)追上之前两车间的最大距离.
变式　若当赛车刚追上安全车时,赛车手立即刹车,使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动,则两车再经过多长时间第二次相遇 (用临界条件法和图像法两种方法解题)专题二　追及、相遇问题
1.BD　[解析] 同时从同一地点出发,如果两舟的位移相同,则再次船头并齐,对v t图像,速度图线所围的“面积”表示位移,在B图中,甲和乙的位移能在某时刻相同,而A图中,甲一直在乙的前面,故A错误,B正确;对s t图像,两图像相交的点表示相遇,故C错误,D正确.
2.A　[解析] 设汽车减速时间为t,驾驶员反应时间为Δt,驾驶员发现自行车时汽车到自行车的距离为x.若汽车刚追上自行车时,二者速度刚好相等,则汽车恰好不会碰上自行车.此时二者的位移关系有x+v自(t+Δt)=v汽Δt+v汽t-at2,速度关系有v自=v汽-at,联立可解得x=9.6 m,故选A.
3.BC　[解析] 对于A选项,甲、乙在t0时刻之前位移没有相等的时刻,即两人在t0时刻之前不能相遇,选项A错误;对于B选项,甲、乙在t0时刻之前图像有交点,即此时位移相等,即两人在t0时刻之前能再次相遇,选项B正确;因v t图像与t轴围成的面积表示位移大小,则甲、乙在t0时刻之前位移有相等的时刻,即两人能再次相遇,选项C正确;因v t图像与t轴围成的面积表示位移大小,由图像可知在t0时刻之前甲的位移始终大于乙的位移,则两人不能相遇,选项D错误.
4.B　[解析] 汽车甲到达转盘路时速度为v=30 km/h,通过转盘路的时间为t1==9.42 s,直线加速时间t2== s,假设甲匀速后追上乙,则路程关系有vt1+t2+v't=πR+v乙,解得t=5.27 s,有解,假设成立,则总时间为t1+t1+t≈17.6 s,故选B.
5.B　[解析] 由题图可知a甲= m/s2=1 m/s2、a乙= m/s2=2 m/s2,则x甲=10t+a甲·t2、x乙=5t+a乙·t2,当乙车追上甲车时x甲=x乙,解得t=10 s,故选B.
6.C　[解析] 如图所示,已知8 s时两车恰好不相撞,则8 s时两车在同一位置,8~10 s内两车间距为△CDE的面积,即为7 m;0~8 s内两车间距为△CFO的面积.根据△CDE和△CFO相似可得△CFO的面积为△CDE的面积的16倍,即t=0时刻M车出发的位置为x0=16×7 m=112 m,故选C.
7.C　[解析] 开始时A沿斜面上滑,其加速度a1= m/s2=7.5 m/s2,方向沿斜面向下,2 s末开始沿斜面下滑,加速度大小a2= m/s2=2.5 m/s2,因a1≠a2,则斜面是不光滑的,选项A错误;由题意可知,4 s末两物块相遇,则开始运动时A沿斜面向上运动,B在A的上方沿斜面向下运动,前2 s内两者距离逐渐减小,t=2 s时,A的速度为零,将要向下运动,B的速度为-15 m/s,向下运动,且向下运动的加速度相等,可知此后A、B两物块的距离继续逐渐减小,2 s时刻相距不是最远,选项B错误;由题意可知,4 s末两物块相遇,则开始运动时A沿斜面向上运动,B在A的上方沿斜面向下运动,2 s时A开始向下运动,则A、B两物块在斜面上出发时相距x=t4+t2-(t4-t2)=×4 m+×2 m-×2 m=50 m,选项C正确;t=4 s时,A、B两物块相对于出发点的位移大小分别为xA=t2-(t4-t2)=×2 m-×2 m=10 m,xB=t4=×4 m=40 m,选项D错误.
8.(1)42 m　(2)10 m　(3)13 s
[解析] (1)由图乙可知B在0~6 s内做匀加速直线运动,加速度大小为a==1 m/s2
由运动学知识可知B在0~6 s内位移大小为
x1=a=18 m
6~10 s内B做匀速直线运动,位移大小为x2=vt2=24 m
所以0~10 s内B的位移大小为xB=x1+x2=42 m
(2)由题意可知,初始时A速度大,所以当vA=vB=4 m/s时,A领先B最远,
v t图像的面积为位移大小,可知此时A、B间沿运动方向的距离Δx1=xA1-xB1= m=8 m
由几何关系可知此时A、B间的距离为Δx= m=10 m
即A领先B最远时A、B间的距离为10 m
(3)4 s时,A、B间的距离为10 m,所以4 s之前手机与蓝牙耳机处于连接状态
由上述分析可知,当A、B间沿运动方向的距离满足x≤Δx1时,蓝牙处于连接状态
设4 s后经过时间t后蓝牙断开,则在时间t内A前进的距离为xA2=vAt
在时间t内B前进的距离为xB2=×2+vB'(t-2)
由运动关系有xB2-xA2=2Δx1
联立解得t=9 s
所以整个过程中手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为t总=t+t0=9 s+4 s=13 s
9.(1)120 m　(2)110 m　(3) s
[解析] (1)方法一:情景分析法
警车在追赶货车的过程中,当两车速度相等时,它们间的距离最大,设警车发动后经过t1时间两车的速度相等
t1== s=4 s
货车运动的位移大小x1=v1=20×8 m=160 m
警车运动的位移大小x2=a1=×5×42 m=40 m
在追赶过程中,两车间的最大距离Δx1=x1-x2=120 m
方法二:函数分析法
两车间的距离Δx=x1-x2=v1(t0+t)-a1t2=80+20t-2.5t2
当t=4 s时,两车间的距离最大,且最大距离Δxm=120 m
(2)当警车达到最大速度时,警车的运动时间为t2== s=6 s
货车运动的位移大小x3=v1=20×10 m=200 m
警车运动的位移大小x4=a1=×5×62 m=90 m
所以当警车达到最大速度时,两车间的距离Δx2=x3-x4=110 m
(3)设警车达到最大速度后经过时间t3货车减为0,则t3== s=5 s
货车减速运动的位移大小x5=t3=50 m
货车减速运动的时间内,警车的位移大小x6=vmt3=30×5 m=150 m
则Δx3=Δx2+x5-x6=10 m,说明货车速度减为0时,警车没追上货车
警车再运动追上货车的时间t4== s
警车从发动后追上货车的时间t=t2+t3+t4=6 s+5 s+ s= s
10.BD　[解析] 根据匀变速直线运动规律有v2-=2ax,整理可得v2=2ax+,结合图像可知,机器人A的加速度为2aA=kA=-=-2 m/s2,解得aA=-1 m/s2,即机器人A的加速度大小为1 m/s2,A错误;根据上述分析,同理可知A、B两机器人均做匀变速运动,对于机器人A,可得v0A=6 m/s,aA=-1 m/s2,对于机器人B,可得v0B=0,aB=kB=× m/s2=0.5 m/s2,设经过t时间二者速度相等,此时相距最远,则有v0A+aAt=aBt,代入数据解得t=4 s,两机器人共同的速度为v=aBt=2 m/s,机器人A的位移xA=(v0A+v)t=16 m,机器人B的位移xB=vt=4 m,二者之间的最大距离Δxmax=xA-xB=12 m,B正确;机器人A停止运动的时间t停==6 s,设经过t0时间两机器人相遇,则有v0At0+aA=aB,代入数据解得t0=8 s,可见两机器人相遇应在机器人A停止运动之后,此时机器人A的位移为xA=v0At停=18 m,机器人B追上的时间t相遇==6 s,C错误;由题可知,机器人A经过x=16 m的时间为tA,机器人B经过x=16 m的时间为tB,则有v0AtA+aA=x,整理可得-12tA+32=0,解得tA=4 s(另一解tA=8 s机器人A已停止运动,舍去),同理有aB=x,解得tB=8 s,机器人A、B分别经过x=16 m处的时间差Δt=tB-tA=4 s,D正确.专题二　追及、相遇问题
例1　v0<
[解析] 要使两车不相撞,临界情况为A车追上B车时其速度与B车相等.设A、B两车从相距x到A车追上B车时,A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t,B车的位移为xB、末速度为vB,两者的运动过程如图所示,现用三种方法解答如下:
方法一:临界条件法
利用位移公式、速度公式求解
对A车有xA=v0t+×(-2a)×t2,vA=v0+(-2a)×t
对B车有xB=at2,vB=at
对两车有x=xA-xB
追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB
联立解得v0=
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0<
方法二:函数判断法
利用判别式求解,由方法一可知xA=x+xB
即v0t+×(-2a)×t2=x+at2
整理得3at2-2v0t+2x=0
这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式Δ=(-2v0)2-4×3a×2x<0时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0<
例2　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
[解析] (1)解法一(临界条件法):
如图所示,汽车与自行车的速度相等时相距最远,设此时经过的时间为t1,汽车和自行车间的距离为Δx,则有v自=at1
所以t1==2 s
Δx=v自t1-a=6 m.
解法二(相对运动法):
以自行车为参考系,则从开始到相距最远的这段时间内,汽车相对这个参考系的各个物理量为
初速度v0=v汽初-v自=0-6 m/s=-6 m/s
末速度vt=v汽末-v自=0
加速度a'=a-a自=3 m/s2-0=3 m/s2
所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为
t1==2 s
最大相对位移Δx==-6 m
负号表示汽车在后.
解法三(二次函数法):
设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距Δx,则Δx=v自t1-a
代入已知数据得Δx=6t1-
由二次函数求极值的条件知t1=2 s时,Δx有最大值6 m.
所以经过t1=2 s后,汽车和自行车相距最远,最远距离为Δx=6 m
(2)当汽车与自行车位移相等时,汽车追上自行车,设此时经过的时间为t2,则有v自t2=a
解得t2==4 s
此时汽车的速度v1'=at2=12 m/s
例3　(1)18 m/s　(2)10 s　60 m/s　(3) m
[解析] (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为
v1=at1=6×3 m/s=18 m/s.
(2)设经t2时间追上安全车,由位移关系得
v0t2+x0=a
代入数值解得t2=10 s(另一结果不合题意,舍);
此时赛车的速度大小v=at2=6×10 m/s=60 m/s.
(3)方法一　临界条件法
后面赛车加速运动,在v赛v0时两车靠近,即两车相距最远时有v0=at
则t== s= s
追上之前两车最远相距Δxmax=v0t+x0-at2= m= m
方法二　数学分析法
两车间的距离为
Δx=v0t+x0-at2=(10t+200-3t2) m
当t= s= s时,Δx有极值,即两车相距最远
将t= s代入解得Δxmax= m
方法三　图像法
由图像可知,当赛车速度等于安全车速度,即v0=at=10 m/s时,两车相距最远,得t= s,则Δxmax=v0t-t+x0= m.
变式　45 s
[解析] 方法一　临界条件法
由上可知赛车刚追上安全车时速度为60 m/s
赛车刹车到停下,由v=v0+at得
时间t0= s=15 s
行驶位移x赛=×15 m=450 m
该过程中安全车位移x安=10×15 m=150 m
即赛车停下时,安全车在其后
Δx=450 m-150 m=300 m
则两车第二次再相遇时安全车继续行驶时间
t'= s=30 s
可知两车再经过45 s第二次相遇
方法二　图像法
由于赛车刹车的初速度v0=60 m/s,加速度为a=-4 m/s2,其v t图像如图线Ⅰ所示,而安全车的v t图像如图线Ⅱ所示;两车第二次相遇时,图线与t轴围成的面积相等,设该时间为t″,有×60×15=10t″,解得t″=45 s专题二　追及、相遇问题 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(多选)赛龙舟是端午节的传统活动.下列v t和s t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程,其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有 (　　)
2.[2025·四川攀枝花模拟] 一辆汽车以54 km/h的速度在平直的公路上做匀速直线运动,在它的正前方有一辆自行车以25.2 km/h的速度同向匀速行驶,汽车驾驶员发现自行车后经0.4 s踩下刹车,汽车以大小为5 m/s2的加速度做匀减速直线运动.若汽车和自行车均可视为质点,要使汽车不碰上自行车,驾驶员发现自行车时汽车到自行车的距离至少为 (　)
A.9.6 m B.6.4 m
C.4.7 m D.2.8 m
3.(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动,t=0时经过路边的同一路标,下列位移—时间(x t)图像和速度—时间(v t)图像对应的运动中,甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是 (　)
4.[2025·湖南长沙模拟] 如图所示为某地的转盘路,汽车要想直行,到转盘路时,需要先做半径为R=25 m的圆周运动,运动半个圆周后再直行.若汽车甲到达转盘路时,汽车乙恰好通过转盘路进入直行车道,以v乙=30 km/h的速度匀速行驶.已知汽车通过转盘路过程的速度不能超过v=30 km/h,通过后在直行车道上的速度不能超过v'=72 km/h,加速度不能超过a=4 m/s2,则汽车甲追上汽车乙所用的最短时间约为(假设直行车道足够长,且没有通过红绿灯,另外不考虑汽车的变加速恒功率过程) (　)
A.15.7 s
B.17.6 s
C.19.5 s
D.21.4 s
5.[2025·福建南平模拟] 武夷山国家公园1号风景道是福建省打造世界知名旅游目的地的重要组成部分.t=0时刻甲、乙两游览车同时由同一位置进入一长直游览道中,两车的速度v随时间t变化如图所示.则乙车追上甲车的时刻为 (　)
A.t=5 s
B.t=10 s
C.t=12 s
D.t=14 s
6.[2025·陕西渭南模拟] 安全行驶不仅关系到自己的生命和安全,同时也是尊重他人生命的体现.图甲为可视为质点的两车M、N在t=0时刻的位置(以车N的起始位置为坐标原点O),图乙为两车速度随时间的变化图像.已知8 s时两车恰好不相撞,10 s时车N停止运动,且此时车M超前车N距离7 m.则车M出发的位置x0为 (　)
A.56 m B.84 m
C.112 m D.168 m
7.[2025·安徽芜湖二模] 在足够长的斜面上,使A、B两个相同小物块分别从不同位置沿斜面方向同时出发,选择沿斜面向上为正方向,它们运动的v t图像如图所示.在t=4 s时,A、B两物块恰好在斜面上某一位置相遇,下列说法正确的是 (　)
A.该斜面是光滑斜面
B.t=2 s时,A、B两物块相距最远
C.A、B两物块在斜面上出发时相距50 m
D.t=4 s时,A、B两物块相对于出发点的位移大小相等
8.[2025·湖北孝感模拟] 无线蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接,已知无线连接的最大距离为10 m.A、B两位同学做了一个有趣实验,A同学佩戴无线蓝牙耳机,B同学携带手机检测.如图甲所示,A、B两位同学同时沿两条相距6 m的平行直线轨道向同一方向运动.其运动的v t图像如图乙所示.求:
(1)B在10 s内前进的距离;
(2)A领先B最远时A、B间的距离;
(3)A、B能通信的最长时间.
9. [2025·山东威海模拟] 一辆值勤的警车停在公路边,当交警发现从他旁边以v1=20 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时,决定立即前去追赶,经过t0=4 s后警车发动起来,并以a1=5 m/s2的加速度做匀加速运动,但警车的行驶速度不能超过vm=30 m/s.当警车达到最大速度时,货车开始以a2=4 m/s2的加速度做匀减速运动.求:
(1)在追赶过程中,两车间的最大距离;
(2)当警车达到最大速度时,两车间的距离;
(3)警车发动后经多长时间才能追上货车.
10.(多选)[2025·山东德州三模] 目前机器人研究迅猛发展.在某次测试中,机器人A、B(均可视为质点)同时从原点沿相同方向做直线运动,它们的速度的平方(v2)随位移(x)变化的图像如图所示.下列判断正确的是 (　)
A.机器人A的加速度大小为4 m/s2
B.相遇前机器人A、B最大距离为12 m
C.经过t=8 s,机器人A、B相遇
D.机器人A、B分别经过x=16 m处的时间差是4 s

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