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第12讲 万有引力定律及其应用
必备知识自查
核心考点探究
备用习题
◆
◆
听课手册
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
一、开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式 推广
开普勒 第一定 律(轨道定律) 所有行星绕太阳运 动的轨道都是 _______，太阳处 在______的一个焦 点上 行星绕太阳运动的轨
道通常按________处
理
椭圆
椭圆
圆轨道
定律 内容 图示或公式 推广
开普勒 第二定 律(面积定律) 对任意一个行星来 说，它与太阳的连 线在相等的时间内 扫过的______相等 行星在两个位置的速
度与到太阳的距离成
反比 ，即近
日点速度最大，远日
点速度最小
面积
续表
定律 内容 图示或公式 推广
开普勒 第三定 律(周期定律) 所有行星轨道的 ________________ 跟它的__________ _________的比都 相等 ， 是一个与 行星无关的常量， 只与__________的 质量有关 不同的中心天体 值
不同，且该定律只能
用在同一中心天体的
两星体之间
半长轴的三次方
公转周期
的二次方
中心天体
续表
二、万有引力定律
1.表达式：，为引力常量，其值为 _____________
.
2.适用条件：
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身
的大小时，物体可视为质点.
(2)质量分布均匀的球体可视为质点， 是两球______间的距离.
球心
【辨别明理】
1.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点.
( )
√
2.行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大.( )
×
3.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心.( )
√
4.两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大.( )
×
考点一 开普勒行星运动定律
例1 对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法中正确的是( )
A.开普勒三大定律仅适用于太阳系中行星的运动
B.开普勒第二定律表明，行星离太阳越远，速度越小
C.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆，行星运动的方向总是与它和太
阳连线垂直
D.开普勒第三定律中，月亮绕地球运动的值与地球绕太阳运动的
值相同
√
[解析] 开普勒三大定律不仅仅适用于太阳系中行星的运动，也适合于宇
宙中其他天体的运动，故A错误；开普勒第二定律表明，行星绕太阳运动
时，行星离太阳越远，速度越小，故B正确；所有的行星围绕太阳运动的
轨道都是椭圆，行星运动的方向总是沿轨道的切线方向，故C错误； 值
与中心天体的质量有关，月亮绕地球运动的值与地球绕太阳运动的 值
不同，故D错误.
例2 [2024·浙江6月选考] 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小
行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一
平面内，地球的公转半径为，小行星甲的远日点到太阳的距离为 ，小
行星乙的近日点到太阳的距离为 ，则( )
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比
D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比
√
[解析] 由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速
度，A错误；小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相等，
由 可知，小行星乙在远日点的加速度和地球公转加速度大小相
等，B错误；根据开普勒第三定律有
，解得 ,C错误；甲、
乙两行星从远日点到近日点的时间之比
，D正确.
考点二 万有引力及其与重力的关系
考向一 地表及以上的万有引力定律的应用
1.地球对物体的万有引力表现为两个效果:一是重力 ,二是提供物体随
地球自转的向心力 ,如图所示.
(1)在赤道上: .
(2)在两极上: .
(3)在一般位置:万有引力等于重力与向心力 的矢量和.
越靠近两极,向心力越小, 值越大.由于物体随地球自转所需的向心力较小,
常认为万有引力近似等于重力,即 .
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小(不考虑地球自转):由，得
.
(2)地球上空的重力加速度大小
地球上空距离地球中心处的重力加速度大小为，则有
，得.所以.
例3 如图所示，将地球视为质量分布均匀的圆球，绕
轴(相当于地轴)自转.点为球心，过 的圆周所在
平面相当于赤道平面，半径与该平面的夹角为 .已
知地球的半径为，北极点处的重力加速度大小为 ，
赤道上处的重力加速度大小为.则 处
的自转向心加速度大小为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 在北极点处根据万有引力大小等于重力有，在赤道上
处根据万有引力提供向心力和重力有 ，联立解得地
球自转的角速度，因此在 处的自转
向心加速度大小为
，故选A.
例4 [2025·辽宁大连模拟] 某次科学实验中，用火箭将一个质量为
的物体和一颗卫星一起送上太空，某时刻物体随火箭一起竖直向
上做加速运动，加速度大小为 ，而称量物体的台秤显示物体的
重力为.已知地球表面的重力加速度取 ，地球半径
，不计地球自转的影响，则下列说法正确的是( )
A.此处的重力加速度为
B.此处的重力加速度为
C.此时火箭离地面的高度
D.此时火箭离地面的高度
√
[解析] 对物体受力分析可知，物体受到支持力和万有引力作用，支持力
即台秤显示的数值，由牛顿第二定律有 ，设此处重
力加速度大小为，又有 ，地球表面上物体受到的重力大小等
于万有引力，有，其中，解得 ，
，故D正确，A、B、C错误.
考向二 地表以下的万有引力定律的应用
例5 [2025·江西鹰潭模拟] 某天坑如图所示.为了
测量该天坑的深度，探险队员在天坑底部将一质
量为 的物块静止悬挂于弹簧测力计挂钩上，
弹簧测力计的示数为.已知地球半径为 ，地球
表面的重力加速度为 ，忽略地球自转的影响，
假设地球可视为质量分布均匀的球体，且质量分
A. B. C. D.
布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则该天坑的深度为( )
√
[解析] 物块在地球表面有，设天坑的深度为 ，在天坑底部
的重力加速度为，物块在天坑底部有 ，对物块受力分析
有，由于 ，解得
，故选D.
[技法点拨]
星体内部万有引力的两个推论
推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合
力为零，即 .
推论2：在匀质球体内部距离球心处的质点(质量为 )受到的万有引力等
于球体内半径为的同心球体(质量为)对它的万有引力，即 .
考点三 天体质量及密度的计算
使用方法 常用公式 求质量 求密度
利用环绕天体
当 时
利用天体表面重 力加速度
考向一 天体质量的计算
例6 [2024·新课标卷] 天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行
星绕其运行，其中行星 的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离
的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的( )
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1000倍
√
[解析] 设红矮星的质量为，行星的质量为，轨道半径为 ，
运动周期为；太阳的质量为，地球的质量为，日地距离为 ，地
球运动的周期为；根据万有引力定律提供向心力有 ，
，联立可得，由于行星 的轨道
半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 ，选B
正确.
例7 [2025·河北保定模拟] 如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成
是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间 通过
的弧长为，该弧长对应的圆心角为 (弧度).已知引力常量为 ，由此可推
导出月球质量为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意可知，“嫦娥三号”的线速度为，角速度为 ，线速
度和角速度的关系为 ，“嫦娥三号”做匀速圆周运动，万有引力提
供向心力，根据牛顿第二定律有，联立解得 ，故选C.
考向二 天体密度的计算
例8 中国新闻网报道：2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星.某
同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与
这颗陨石的密度进行比较.下列计算火星密度的公式错误的是(引力常量
已知，忽略火星自转的影响)( )
火星
火星的小档案
直径
质量
表面的重力加速度
近火卫星的周期
A. B.
C. D.
√
[解析] 设近火卫星的质量为，火星的质量为 ，可得火星的密度为
，对近火卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的
向心力，则根据牛顿第二定律有，解得 ，将
代入可得 ，又火星对近火卫星的万有引
力近似等于近火卫星的重力，则有，解得 ，因此火
星的密度为 ，故A、C、D正确，B错误.
变式 [2025·浙江宁波模拟] 我国 天文望远镜首次发现两颗太空脉冲
星，其中一颗星的自转周期为 .假设该星球恰好能维持自转不瓦解；地球
可视为球体，其自转周期为 ；同一物体在地球赤道上用弹簧测力计测得
重力为两极处的.已知地球的密度为，则该脉冲星的平均密度 为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 脉冲星恰不瓦解时，赤道处万有引力完全提供向心力有
，解得，脉冲星的体积为 ，脉冲星平均
密度为，地球赤道重力为两极的，即 ，在赤道处，
有 ，在两极由万有引力大小等于重力，有
，联立解得地球质量 ，地球的体积为
，地球平均密度 ，联立可得该脉冲星的平均密度
为 ，故选C.
[技法点拨]
星球的瓦解问题：当星球自转越来越快,星球对“赤道”上的物体的引力不足
以提供向心力时,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,瓦解的临界条件
是赤道上的物体所受星球的万有引力恰好提供向心力,即 ,得
.当时,星球瓦解,当 时,星球稳定运行.
考点一 开普勒行星运动定律
1.二十四节气是中华民族的文化遗产.地球沿椭圆形轨道绕太阳运动，所处
四个位置分别对应北半球的四个节气，如图所示.下列关于地球绕太阳公
转的说法正确的是( )
A.冬至时线速度最大
B.夏至和冬至时的角速度相同
C.夏至时加速度最大
D.可根据地球的公转周期求出地球的质量
√
[解析] 由开普勒第二定律可知地球在近日点运行，速度最大，在远日点
速度最小，冬至时地球在近日点运行速度最大，A正确；由开普勒第二定
律可知地球与太阳连线在相同时间内扫过的面积相同，因此在相同时间内
转过的角度不同，则角速度不相同，B错误；夏至时距太阳最远，引力最
小，因此加速度最小，C错误；根据公式
可知地球的质量会被消掉，所以求不出地
球的质量，D错误.
2.如图所示，两质量相等的卫星、绕地球做匀速圆周运动，用、 、
、 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内
扫过的面积.下列关系式错误的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 根据开普勒第三定律知，A、D正确；由和 可
得，因，，则 ，B正确；根据开普勒
第二定律知，同一轨道上的卫星绕地球做匀速圆周运动时，其与地心连线
在单位时间内扫过的面积相等，对于卫星、， 不
等于 ，C错误.
考点二 万有引力及其与重力的关系
3.一物体静置在平均密度为 、半径为的星球表面上,以初速度 竖直向
上抛出该物体,则该物体上升的最大高度是(已知引力常量为 )( )
A. B. C. D.
[解析] 在星球表面,有,又,解得 ,由竖直
上抛运动的规律可知,解得 ,选项A正确.
√
4.一火箭从地面由静止开始以 的加速度竖直向上匀加速运动，火箭
中有一质量为 的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视
重为，已知地球半径为 ，则此时火箭离地球表面的距离为
(地球表面处的重力加速度取 )( )
A. B. C. D.
[解析] 在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得
，解得，在地球表面上有 ，在距
地球表面一定高度处有，联立解得 ，故选B.
√
5.如图所示，有一个质量为、半径为 、密度均匀
的大球体.从中挖去一个半径为 的小球体，并在空腔
中心放置一质量为的质点，引力常量为 ，则大球
体的剩余部分对该质点的万有引力大小为
(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)
( )
A. B.0 C. D.
√
[解析] 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对质点的吸引力
等于完整大球体对质点的吸引力与挖去的小球体对质点的吸引力之差，挖
去的小球体球心与质点重合，对质点的万有引力为零，则剩余部分对质点
的万有引力大小等于完整大球体对质点的万有引力大小；以大球体球心为
中心分离出半径为的球，易知其质量为 ，则其余均匀
球壳对质点的万有引力为零，故剩余部分对质点的万有引
力大小等于分离出的球体对其的万有引力大小，根据万有
引力定律，可得 ，故D正确.
考点三 天体质量及密度的计算
6.随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想.假如我国宇
航员登上月球并在月球表面附近以初速度 竖直向上抛出一个小球，经时
间后回到出发点.已知月球的半径为，引力常量为 ，则下列说法正确的
是( )
A.月球表面的重力加速度为
B.月球的质量为
C.月球的密度为
D.宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
√
[解析] 小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速直线运动规律得
，解得 ，故A错误；小球在月球表面上时，重力等于万有
引力，有，解得 ，故B正确；月球的密度为
，故C错误；宇航员在月球表面附近绕月球做匀速
圆周运动，根据重力提供向心力得 ，解得
，故D错误.
7.一位爱好天文的同学结合自己所学设计了如下实验：在月球表面附近高
处以初速度 水平抛出一个物体，然后测量该物体平抛运动的水平位移
为，通过查阅资料知道月球的半径为，引力常量为 ，若物体只受月球
引力的作用，则月球的质量是( )
A. B. C. D.
[解析] 月球表面的物体做平抛运动，在水平方向上有 ，在竖直方
向上有，故月球表面的重力加速度，由 ，解
得月球质量为 ，故A正确.
√
8.(多选)2017年8月我国 天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星,其中一
颗星的自转周期为(实际测量为 ,距离地球1.6万光年).假设该星球恰
好能维持自转不瓦解;地球可视为球体,其自转周期为 ;同一物体在地球赤
道上用弹簧测力计测得重力为两极处的.已知引力常量为 ，则该脉冲星
的平均密度 及其与地球的平均密度之比 是( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 当星球恰好能维持自转不瓦解时,万有引力充当向心力,即
,又,联立解得 ,选项A正确，B错误;设
地球质量为,半径为,由于两极处物体的重力 等于地球对物体的万有
引力,即 ,在赤道上,地球对物体的万有引力和弹簧测力计对物体
的拉力的合力提供向心力,则有 ,地球平均密度为
,则 ,选项C正确，D错误.
作业手册
1.[2025·新课标卷] “天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着
我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破.“天都一号”在环月椭圆轨
道上运行时( )
A.受月球的引力大小保持不变
B.相对月球的速度大小保持不变
C.离月球越近，其相对月球的速度越大
D.离月球越近，其所受月球的引力越小
√
[解析] “天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，
根据 可知受月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球
的引力越大，故A、D错误；根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月
椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速度最大，远月点速
度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，C正确.
2.[2025·贵州贵阳联考] 月球到地球的距离是地球半径的60倍.由于地球自
转影响，月球绕地球做近似匀速圆周运动的向心加速度与地球表面赤道处
重力加速度的比值( )
A.略大于 B.略小于 C.略大于 D.略小于
[解析] 考虑地球自转影响，在地球赤道表面由万有引力提供重力和向心
力有 ，对月球由万有引力提供向心力有
，联立可得 ，故选A.
√
3.[2025·广东卷] 一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太
阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍.关于该小行星，下列说法
正确的是( )
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
√
[解析] 根据题意，设地球与太阳间距离为 ，则小行星公转轨道的半长轴
为，由开普勒第三定律有 ，解得
年，故A错误；由牛顿第二定律有 ，解得
，可知 ，即小行星在近日点的加速度是地球公转加
速度的 ，故D正确；从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由
万有引力定律可知，小行星受太阳引力增大，故B错误；由开普勒第二定
律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误.
4.[2025·辽宁省实验中学四模] 已知地球绕太阳公转周期为 天，引
力常量取.在地球表面观察，太阳的视直径
(即太阳直径的两端点与眼睛连线所夹的角度)为 .据此估算太阳的平
均密度为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 地球绕太阳公转近似看成匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
，由几何关系可得，因为角很小时 ，
故得， ，代入数据可得
，故选A.
5.[2025·黑龙江十校联考] “千帆星座”是中国低轨道卫星网络，由1.4万多
颗低轨宽频卫星构成，卫星的轨道可视为圆形.卫星运动过程中，轨道离
地高度与绕行周期三分之二次方的关系如图所示，图中、和 均为
已知量，已知引力常量为 ，则地球的质量为( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 设地球的半径为，由牛顿第二定律可得 ，
得，，由题图可知，， 时,
，代入质量的方程可得 ，C正确.
6.(多选)[2025·安徽卷] 2025年4月，我国已成功构建国际上首个基于
(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座， 具有“低能进入、稳定停泊、
机动转移”的特点.若卫星甲从 变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月
点和远月点距月球表面的高度分别为和，卫星的运行周期为 ；卫星乙
从变轨进入半径为的环月圆形轨道，周期也为.月球的质量为 ，
半径为，引力常量为 .假设只考虑月球对甲、乙的引力，则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有
,可得 ,故A错误，B正确；对于环月圆轨道，根据
万有引力提供向心力可得,可得 ,故C正确，D错误.
7.[2025·湖南卷] 我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗
星交会等进行多目标探测.某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星
进行圆周运动，可测得小行星半径和质量.为探测某自转周期为 的小
行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为 ，接下
来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为 .已知引力
常量为 ，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到
， .下列选项正确的是( )
A.为，为，为 B.为，为，为
C.为，为，为 D.为，为，为
√
[解析] 根据题意，卫星在同步轨道和小行星表面附近轨道运行时轨道半
径分别为、，设小行星和卫星的质量分别为、 ，由开普勒第三
定律有，解得 ，卫星绕小行星表面附近做匀速圆周
运动，由万有引力提供向心力有，解得 ，对应结
果可得为，为，为 .故选A.
8.[2025·陕西安康模拟] 2024 年 10 月 30 日，神舟十九号载人飞船点火
升空，3名航天员成功进入中国空间站.已知地球半径为 ，空间站绕地球
做圆周运动的轨道半径为，周期为，引力常量为 .下列说法正确的是
( )
A.地球的质量为
B.地球的平均密度为
C.空间站的线速度大小为
D.空间站所在高度处的重力加速度大小为
√
[解析] 对空间站，由牛顿第二定律有 ，解得地球质量
，故A错误；地球的平均密度为 ，联立解得
，故B正确；空间站的线速度大小 ，故C错误；空
间站所在高度处有 ，联立解得空间站所在高度处的重力加速度
大小为 ，故D错误.
9.为探究地球表面万有引力与重力的关系，一科学爱好者用同一弹簧测力
计分别在地面的不同纬度位置测量一质量为 的物体所受的重力.假设在两
极时，物体静止时竖直方向的弹簧测力计读数为 ，在赤道上时，物体静
止时竖直方向的弹簧测力计读数为.地球自转角速度为 ，设地球为标
准的球体，半径为，质量为，引力常量为 .则以下表述正确的是
( )
A. B.赤道上物体的向心加速度为
C. D.两极处重力加速度大小为
√
[解析] 地球自转不可忽略时，物体受到的万有引力可分解为重力和向心
力，所以物体在不同纬度处所受重力不同，在两极时轨迹半径为零，向心
力为零，此时万有引力大小等于重力，即 ，在赤道上时轨迹半径
为地球半径，有， ，联立可得
，故A、C错误；赤道上物体的向心力为
，可得赤道上物体的向心加速
度为，故B错误；在两极时，有 ，可得两极
处重力加速度大小为 ，故D正确.
10.有一质量为，半径为，密度均匀的球体，在距离球心为 的地方
有一质量为的质点，现在从中挖去一半径为 的球体，如图所示，然
后又在挖空部分填满另外一种密度为原来3倍的物质，如图所示.则填充后
的实心球体对质点的万有引力为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由万有引力公式得，挖空前，球体对质点的万有引力为 ，
根据，可知挖去部分的质量是球体质量的 ，则挖去部分对
质点的引力为 ，则剩下部分对质点的万有引力为
，若挖去的小球中填满原来球的
密度的3倍的物质，该物质的质量为 ，则该物质对
质点的万有引力 ，所以填充后的实
心球体对质点的万有引力为 ，故选B.
11.[2025·安徽江南十校模拟] 近年来，我国空间
科学创新发展驶入“快车道”.假设有一空间探测
器着陆在某个类地星球表面进行观测时发现，该
星球为规则球体，半径为，自转周期为 ，其
A. B. C. D.
赤道上空有一颗沿圆形轨道运行的卫星，它的运行方向与类地星球的自转
方向相同，公转周期为.如图所示，某时刻，位于星球赤道上 点的探测
器观测到卫星的仰角为 ，后，观测到卫星仰角变为 .引力常量为
.根据以上信息，该类地星球的质量约为( )
√
[解析] 如图所示，点在内转过的圆心角 ，卫星转过的圆心角
，则 ，由几何关系可知， 为等腰
三角形，则有 ，根据牛顿第二定律有
，联立解得 ，故选C.
12.[2025·浙江1月选考] 地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗
星从运行到、从运行到的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为
和，且 .彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径
的0.6倍，则彗星( )
A.在近日点的速度小于地球的速度
B.从运行到 的过程中动能先增大后减小
C.从运行到的时间大于从运行到 的时间
D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
√
[解析] 彗星通过近日点时做离心运动，故在该点速度大于该点处圆周轨
道速度，该点处圆周轨道半径小于地球轨道半径，由 得
,可知该点处圆周轨道速度大于地球速度，故慧星在近日点的速度
大于地球速度，A错误；从运行到 的过程彗星一直远离太阳，万有引力
一直做负功，故动能一直减小，B错误；
根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，
根据可知从运行到的时间大于从运行到 的时间，C正确；万有引
力提供向心力，由得，则 ，D错误.
13.[2025·河北张家口模拟] 已知质量分布均匀的
球壳对壳内物体的引力为零，设地球是一个质量
分布均匀的球体，其质量为，半径为 ，设想
以地心为圆心， 为半径处挖一条圆形隧
道，如图所示，给小球一合适的速度 ，使小球
恰好在隧道内做圆周运动，且不与隧道壁接触，
不考虑隧道宽度与阻力，小球可视为质点，引力常量为 ，下列说法正确
的是( )
A.轨道处重力加速度大小为
B.小球线速度大小为
C.小球角速度大小为
D.若设想沿地球直径挖一条隧道，将小球从此隧
道一端由静止释放，小球到达 点的速度大小为
√
[解析] 设地球的密度为 ，则有，轨道处有 ，
，可得,联立解得轨道处重力加速度大小为 ，
故A正确；给小球一合适的速度 ，使小球恰好在隧道内做圆周运动，且
不与隧道壁接触，根据牛顿第二定律有
，可得 ，
，故B、C错误；
若设想沿地球直径挖一条隧道，将小球从此隧道一端由静止释放，当小球
离点距离为时，所受引力大小为 ，
则小球从此隧道一端由静止释放，小球到达 点
时，引力做功为 ，根据动能
定理可得，解得小球到达 点的速
度大小为 ，故D错误.
必备知识自查
一、椭圆 椭圆 圆轨道 面积 半长轴的三次方 公转周期的二次方
中心天体
二、1. 2.（2）球心
【辨别明理】
1.√ 2.× 3.√ 4.×
核心考点探究
例1.B 例2.D 例3.A 例4.D 例5.D 例6.B 例7.C 例8.B 变式.C
基础巩固练
1.C 2.A 3.D 4.A 5.C 6.BC 7.A
综合提升练
8.B 9.D 10.B 11.C 12.C
拓展挑战练
13.A第12讲　万有引力定律及其应用
1.C　[解析] “天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化,根据F=G可知受月球的引力大小发生变化,离月球越近,其所受月球的引力越大,故A、D错误;根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变,近月点速度最大,远月点速度最小,即离月球越近,相对月球的速度越大,故B错误,C正确.
2.A　[解析] 考虑地球自转影响,在地球赤道表面由万有引力提供重力和向心力有=mg地+mω2R,对月球由万有引力提供向心力有=m月a月,联立可得=>,故选A.
3.D　[解析] 根据题意,设地球与太阳间距离为R,则小行星公转轨道的半长轴为a==6R,由开普勒第三定律有=,解得T==6 年,故A错误;由牛顿第二定律有=ma,解得a=,可知==,即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的,故D正确;从远日点到近日点,小行星与太阳间距离减小,由万有引力定律可知,小行星受太阳引力增大,故B错误;由开普勒第二定律可知,从远日点到近日点,小行星线速度逐渐增大,故C错误.
4.A　[解析] 地球绕太阳公转近似看成匀速圆周运动,由牛顿第二定律有G=mr,由几何关系可得=tan ,因为角很小时tan θ≈θ,故得=tan ≈,ρ===,代入数据可得ρ=1.4×103 kg/m3,故选A.
5.C　[解析] 设地球的半径为R,由牛顿第二定律可得G=m(R+h),得h=-R,M=,由题图可知,R=h0,=时,h=h1,代入质量的方程可得M=,C正确.
6.BC　[解析] 对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道,根据开普勒第三定律有=,可得r=+R,故A错误,B正确;对于环月圆轨道,根据万有引力提供向心力可得=mr,可得M=,故C正确,D错误.
7.A　[解析] 根据题意,卫星在同步轨道和小行星表面附近轨道运行时轨道半径分别为R+h、R,设小行星和卫星的质量分别为M、m,由开普勒第三定律有=,解得R=h,卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力有=mR,解得M=,对应结果可得a为T1,b为T0,c为T1.故选A.
8.B　[解析] 对空间站,由牛顿第二定律有=mkR,解得地球质量M=,故A错误;地球的平均密度为ρ==,联立解得ρ=,故B正确;空间站的线速度大小v==,故C错误;空间站所在高度处有=mg,联立解得空间站所在高度处的重力加速度大小为g=,故D错误.
9.D　[解析] 地球自转不可忽略时,物体受到的万有引力可分解为重力和向心力,所以物体在不同纬度处所受重力不同,在两极时轨迹半径为零,向心力为零,此时万有引力大小等于重力,即F1=,在赤道上时轨迹半径为地球半径,有=F2+mω2R,F2=-mω2R,联立可得F1=F2+mω2R,故A、C错误;赤道上物体的向心力为F向=ma向=mω2R=F1-F2=-F2,可得赤道上物体的向心加速度为a向=ω2R=-,故B错误;在两极时,有F1=mg,可得两极处重力加速度大小为g=,故D正确.
10.B　[解析] 由万有引力公式得,挖空前,球体对质点的万有引力为F1=,根据M'=ρ·πr3,可知挖去部分的质量是球体质量的,则挖去部分对质点的引力为F2==,则剩下部分对质点的万有引力为F=F1-F2=,若挖去的小球中填满原来球的密度的3倍的物质,该物质的质量为M,则该物质对质点的万有引力F3==,所以填充后的实心球体对质点的万有引力为F'=F+F3=,故选B.
11.C　[解析] 如图所示,P点在内转过的圆心角α=30°,卫星转过的圆心角β=60°,则∠POA=∠β-∠α=30°,由几何关系可知,△POA为等腰三角形,则有OA=r=2Rcos 30°=R,根据牛顿第二定律有G=mr,联立解得M=,故选C.
12.C　[解析] 彗星通过近日点时做离心运动,故在该点速度大于该点处圆周轨道速度,该点处圆周轨道半径小于地球轨道半径,由=m得v=,可知该点处圆周轨道速度大于地球速度,故慧星在近日点的速度大于地球速度,A错误;从b运行到c的过程彗星一直远离太阳,万有引力一直做负功,故动能一直减小,B错误;根据开普勒第二定律可知,哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同,根据S1>S2可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间,C正确;万有引力提供向心力,由G=ma得a=∝,则==,D错误.
13.A　[解析] 设地球的密度为ρ,则有M=ρ·πR3,轨道处有=mg',M'=ρ·πr3,可得=,联立解得轨道处重力加速度大小为g'=,故A正确;给小球一合适的速度v,使小球恰好在隧道内做圆周运动,且不与隧道壁接触,根据牛顿第二定律有=m=mω2r,可得v==,ω==,故B、C错误;若设想沿地球直径挖一条隧道,将小球从此隧道一端由静止释放,当小球离O点距离为x时,所受引力大小为F引===πGρmx∝x,则小球从此隧道一端由静止释放,小球到达O点时,引力做功为W=·R=,根据动能定理可得W=mv2-0,解得小球到达O点的速度大小为v=,故D错误.第五单元　万有引力与宇宙航行
第12讲　万有引力定律及其应用
例1　B　[解析] 开普勒三大定律不仅仅适用于太阳系中行星的运动,也适合于宇宙中其他天体的运动,故A错误;开普勒第二定律表明,行星绕太阳运动时,行星离太阳越远,速度越小,故B正确;所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,行星运动的方向总是沿轨道的切线方向,故C错误;k值与中心天体的质量有关,月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值不同,故D错误.
例2　D　[解析] 由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度,A错误;小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相等,由G=ma可知,小行星乙在远日点的加速度和地球公转加速度大小相等,B错误;根据开普勒第三定律有=,解得=,C错误;甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比==,D正确.
例3　A　[解析] 在北极点A处根据万有引力大小等于重力有=mg,在赤道上D处根据万有引力提供向心力和重力有=m·ng+mω2R,联立解得地球自转的角速度ω=,因此在E处的自转向心加速度大小为an=ω2Rcos θ=gcos θ,故选A.
例4　D　[解析] 对物体受力分析可知,物体受到支持力和万有引力作用,支持力FN即台秤显示的数值4.5 N,由牛顿第二定律有FN-=ma,设此处重力加速度大小为g',又有=mg',地球表面上物体受到的重力大小等于万有引力,有=mg,其中r=R+h,解得g'=2.5 m/s2,h=6.4×106 m,故D正确,A、B、C错误.
例5　D　[解析] 物块在地球表面有G=m0g,设天坑的深度为d,在天坑底部的重力加速度为g0,物块在天坑底部有G=m0g0,对物块受力分析有F=m0g0,由于=,解得d=,故选D.
例6　B　[解析] 设红矮星的质量为M1,行星GJ1002c的质量为m1,轨道半径为r1,运动周期为T1;太阳的质量为M2,地球的质量为m2,日地距离为r2,地球运动的周期为T2;根据万有引力定律提供向心力有G=m1r1,G=m2r2,联立可得=·,由于行星GJ1002c的轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,可得≈≈0.1,选B正确.
例7　C　[解析] 由题意可知,“嫦娥三号”的线速度为v=,角速度为ω=,线速度和角速度的关系为v=rω,“嫦娥三号”做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,根据牛顿第二定律有G=mωv,联立解得M=,故选C.
例8　B　[解析] 设近火卫星的质量为m,火星的质量为M,可得火星的密度为ρ==,对近火卫星,火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力,则根据牛顿第二定律有=·,解得M=,将M=代入可得ρ===,又火星对近火卫星的万有引力近似等于近火卫星的重力,则有mg0=G,解得M=,因此火星的密度为ρ===,故A、C、D正确,B错误.
变式　C　[解析] 脉冲星恰不瓦解时,赤道处万有引力完全提供向心力有=m,解得M=,脉冲星的体积为V=R3,脉冲星平均密度为ρ==,地球赤道重力为两极的,即g赤=g极,在赤道处,有G-mR地=mg赤,在两极由万有引力大小等于重力,有G=mg极,联立解得地球质量M0=,地球的体积为V0=,地球平均密度ρ0==,联立可得该脉冲星的平均密度为ρ=ρ0,故选C.第12讲　万有引力定律及其应用 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2025·新课标卷] “天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功,标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破.“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时 (　)
A.受月球的引力大小保持不变
B.相对月球的速度大小保持不变
C.离月球越近,其相对月球的速度越大
D.离月球越近,其所受月球的引力越小
2.[2025·贵州贵阳联考] 月球到地球的距离是地球半径的60倍.由于地球自转影响,月球绕地球做近似匀速圆周运动的向心加速度与地球表面赤道处重力加速度的比值 (　)
A.略大于
B.略小于
C.略大于
D.略小于
3.[2025·广东卷] 一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍.关于该小行星,下列说法正确的是 (　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
4.[2025·辽宁省实验中学四模] 已知地球绕太阳公转周期为T=365天,引力常量G取6.67×10-11 N·m2/ kg2.在地球表面观察,太阳的视直径θ(即太阳直径的两端点与眼睛连线所夹的角度)为0.53°.据此估算太阳的平均密度为 (　)
A.1.4×103 kg/m3
B.1.4×105 kg/m3
C.7.6×10-3 kg/m3
D.7.6×10-1 kg/m3
5.[2025·黑龙江十校联考] “千帆星座”是中国低轨道卫星网络,由1.4万多颗低轨宽频卫星构成,卫星的轨道可视为圆形.卫星运动过程中,轨道离地高度h与绕行周期三分之二次方的关系如图所示,图中h0、h1和T1均为已知量,已知引力常量为G,则地球的质量为 (　)
A.
B.
C.
D.
6.(多选)[2025·安徽卷] 2025年4月,我国已成功构建国际上首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点.若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T.月球的质量为M,半径为R,引力常量为G.假设只考虑月球对甲、乙的引力,则 (　)
A.r=
B.r=+R
C.M=
D.M=
7.[2025·湖南卷] 我国研制的“天问二号”探测器,任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测.某同学提出探究方案,通过释放卫星绕小行星进行圆周运动,可测得小行星半径R和质量M.为探测某自转周期为T0的小行星,卫星先在其同步轨道上运行,测得距离小行星表面高度为h,接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动,测得周期为T1.已知引力常量为G,不考虑其他天体对卫星的引力,可根据以上物理量得到R=h,M=.下列选项正确的是 (　)
A.a为T1,b为T0,c为T1
B.a为T1,b为T0,c为T0
C.a为T0,b为T1,c为T1
D.a为T0,b为T1,c为T0
8.[2025·陕西安康模拟] 2024 年 10 月 30 日,神舟十九号载人飞船点火升空,3 名航天员成功进入中国空间站.已知地球半径为 R,空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为 kR,周期为 T,引力常量为 G.下列说法正确的是 (　)
A.地球的质量为
B.地球的平均密度为
C.空间站的线速度大小为
D.空间站所在高度处的重力加速度大小为
9.为探究地球表面万有引力与重力的关系,一科学爱好者用同一弹簧测力计分别在地面的不同纬度位置测量一质量为m的物体所受的重力.假设在两极时,物体静止时竖直方向的弹簧测力计读数为F1,在赤道上时,物体静止时竖直方向的弹簧测力计读数为F2.地球自转角速度为ω,设地球为标准的球体,半径为R,质量为M,引力常量为G.则以下表述正确的是 (　)
A.F2=
B.赤道上物体的向心加速度为
C.F2=F1+mω2R
D.两极处重力加速度大小为g=
10.有一质量为M,半径为R,密度均匀的球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点,现在从M中挖去一半径为的球体,如图所示,然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来3倍的物质,如图所示.则填充后的实心球体对质点的万有引力为 (　)
A. 　　B.
C. 　　D.
11.[2025·安徽江南十校模拟] 近年来,我国空间科学创新发展驶入“快车道”.假设有一空间探测器着陆在某个类地星球表面进行观测时发现,该星球为规则球体,半径为R,自转周期为2T,其赤道上空有一颗沿圆形轨道运行的卫星,它的运行方向与类地星球的自转方向相同,公转周期为T.如图所示,某时刻,位于星球赤道上P点的探测器观测到卫星的仰角为30°,后,观测到卫星仰角变为90°.引力常量为G.根据以上信息,该类地星球的质量约为 (　)
A. B.
C. D.
12.[2025·浙江1月选考] 地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示,彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中,与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2,且S1>S2.彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍,则彗星 (　)
A.在近日点的速度小于地球的速度
B.从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C.从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
13.[2025·河北张家口模拟] 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,设地球是一个质量分布均匀的球体,其质量为M,半径为R,设想以地心为圆心,r(rA.轨道处重力加速度大小为g=
B.小球线速度大小为v=
C.小球角速度大小为ω=
D.若设想沿地球直径挖一条隧道,将小球从此隧道一端由静止释放,小球到达O点的速度大小为课程标准 核心考点
1.通过史实,了解万有引力定律的发现过程.知道万有引力定律.认识发现万有引力定律的重要意义.认识科学定律对人类探索未知世界的作用 2.会计算人造卫星的环绕速度.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度 3.知道经典力学的局限性,初步了解相对论时空观和微观世界的量子特征.体会人类对自然界的探索是不断深入的 开普勒三定律
万有引力定律及其应用
三个宇宙速度
卫星的变轨问题
第12讲　万有引力定律及其应用
一、开普勒行星运动定律
定律 内容 图示或公式 推广
开普勒第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是　　　　,太阳处在　　　　的一个焦点上 行星绕太阳运动的轨道通常按　　　　　处理
开普勒第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　　　　相等 行星在两个位置的速度与到太阳的距离成反比,即近日点速度最大,远日点速度最小
开普勒第三定律 (周期定律) 所有行星轨道的　　　　　　　　　跟它的　　　　　　　　　　的比都相等 =k,k是一个与行星无关的常量,只与　　　　　　的质量有关 不同的中心天体k值不同,且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间
二、万有引力定律
1.表达式:F=G,G为引力常量,其值为G=　　　　　　　N·m2/kg2.
2.适用条件:
(1)公式适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,物体可视为质点.
(2)质量分布均匀的球体可视为质点,r是两球　　　　间的距离.
【辨别明理】
1.围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样,但都有一个共同的焦点. (　)
2.行星在椭圆轨道上运行速率是变化的,离太阳越远,运行速率越大. (　)
3.地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心. (　)
4.两物体间的距离趋近于零时,万有引力趋近于无穷大. (　)
　开普勒行星运动定律
例1　对于开普勒行星运动定律的理解,下列说法中正确的是 (　)
A.开普勒三大定律仅适用于太阳系中行星的运动
B.开普勒第二定律表明,行星离太阳越远,速度越小
C.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是圆,行星运动的方向总是与它和太阳连线垂直
D.开普勒第三定律=k中,月亮绕地球运动的k值与地球绕太阳运动的k值相同
[反思感悟]
例2　[2024·浙江6月选考] 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示,假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内,地球的公转半径为R,小行星甲的远日点到太阳的距离为R1,小行星乙的近日点到太阳的距离为 R2,则 (　)
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比=
D.甲、乙两行星从远日点到近日点的时间之比=
[反思感悟]
　万有引力及其与重力的关系
考向一　地表及以上的万有引力定律的应用
1.地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,如图所示.
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R.
(2)在两极上:G=mg2.
(3)在一般位置:万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和.
越靠近两极,向心力越小,g值越大.由于物体随地球自转所需的向心力较小,常认为万有引力近似等于重力,即=mg.
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转):由mg=G,得g=.
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r=R+h处的重力加速度大小为g',则有mg'=,得g'=.所以=.
例3　如图所示,将地球视为质量分布均匀的圆球,绕AB轴(相当于地轴)自转. O点为球心,过CD的圆周所在平面相当于赤道平面,半径OE与该平面的夹角为θ.已知地球的半径为R,北极点A处的重力加速度大小为g,赤道上D处的重力加速度大小为ng(0A.(1-n)gcos θ
B.(1-n)gtan θ
C.
D.(1-n)g
[反思感悟]
例4　[2025·辽宁大连模拟] 某次科学实验中,用火箭将一个质量为m=1 kg的物体和一颗卫星一起送上太空,某时刻物体随火箭一起竖直向上做加速运动,加速度大小为a=2 m/s2,而称量物体的台秤显示物体的重力为4.5 N.已知地球表面的重力加速度g取10 m/s2,地球半径R=6.4×106 m,不计地球自转的影响,则下列说法正确的是 (　)
A.此处的重力加速度为5 m/s2
B.此处的重力加速度为10 m/s2
C.此时火箭离地面的高度h=3.2×106 m
D.此时火箭离地面的高度h=6.4×106 m
[反思感悟]
考向二　地表以下的万有引力定律的应用
例5　[2025·江西鹰潭模拟] 某天坑如图所示.为了测量该天坑的深度,探险队员在天坑底部将一质量为m0的物块静止悬挂于弹簧测力计挂钩上,弹簧测力计的示数为F.已知地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,忽略地球自转的影响,假设地球可视为质量分布均匀的球体,且质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零,则该天坑的深度为 (　)
A. B.
C. D.
【技法点拨】
星体内部万有引力的两个推论
推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0.
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(质量为m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(质量为M')对它的万有引力,即F=G.
　天体质量及密度的计算
使用方法 常用公式 求质量 求密度
利用环 绕天体 G= mr=m M=ρ·R3 M== = ρ= 当r=R时 ρ=
利用天体 表面重力 加速度 =mg M=ρ·R3 M= ρ=
考向一　天体质量的计算
例6　[2024·新课标卷] 天文学家发现,在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行,其中行星GJ1002c的轨道近似为圆,轨道半径约为日地距离的0.07倍,周期约为0.06年,则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 (　)
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1000倍
[反思感悟]
例7　[2025·河北保定模拟] 如图所示,“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道,观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动,发现每经过时间t通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ(弧度).已知引力常量为G,由此可推导出月球质量为 (　)
A. B. C. D.
考向二　天体密度的计算
例8　中国新闻网报道:2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星.某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度,再与这颗陨石的密度进行比较.下列计算火星密度的公式错误的是(引力常量G已知,忽略火星自转的影响) (　)
火星 Mars 火星的小档案 直径d=6779 km 质量M=6.417 1×1023 kg 表面的重力加速度g0=3.7 m/s2 近火卫星的周期T=3.4 h
A.ρ=
B.ρ=
C.ρ=
D.ρ=
变式　[2025·浙江宁波模拟] 我国FAST天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星,其中一颗星的自转周期为T.假设该星球恰好能维持自转不瓦解;地球可视为球体,其自转周期为T0;同一物体在地球赤道上用弹簧测力计测得重力为两极处的.已知地球的密度为ρ0,则该脉冲星的平均密度ρ为 (　)
A.ρ0
B.ρ0
C.ρ0
D.ρ0
[反思感悟]
【技法点拨】
星球的瓦解问题:当星球自转越来越快,星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时,物体将会“飘起来”,进一步导致星球瓦解,瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的万有引力恰好提供向心力,即=mω2R,得ω=.当ω>时,星球瓦解,当ω<时,星球稳定运行.
一、椭圆　椭圆　圆轨道　面积　半长轴的三次方　公转周期的二次方　中心天体
二、1.6.67×10-11　2.(2)球心
【辨别明理】
1.√　2.×　3.√　4.×

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