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(共76张PPT)
专题八 人造卫星变轨问题 双星模型
题型一 卫星变轨和对接问题
题型二 双星及多星问题
备用习题
◆
◆
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题型一 卫星变轨和对接问题
1.变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射近地卫星到圆轨道Ⅰ上，
如图所示.
(2)在 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在
轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.变轨过程各物理量的变化
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为、，在轨道Ⅱ上
过点和点时速率分别为、.在点加速，则，在点加速，
则，又因，故有.
(2)加速度：设卫星在Ⅰ、Ⅱ轨道上的点加速度分别为、，因为在点，
卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过点，卫星的
加速度都相同，同理，设卫星在轨道Ⅱ、Ⅲ上经过点的加速度分别为
、，则、也相同.故有.
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为、、 ，轨道半
径分别为、(半长轴)、，由开普勒第三定律可知 .
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨
道的机械能分别为、、 ，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都
需要点火加速，则 .
考向一 卫星变轨问题
例1 [2025·山东省实验中学二模] 我国近地小行
星防御系统能够监测、预警和应对近地天体的撞
击，展现了从被动预警到主动防御的科技跨越.如
图所示，近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于 点，
椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于 点.现有防御卫
星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动，经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的 点拦截小
行星进行干预，已知地球自转的角速度为 ，防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运
行的角速度为和，卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ和轨道Ⅱ上的点、 点运行的线
速度分别为、、、 .下列说法正确的是( )
A.
B.
C.卫星在轨道Ⅱ上从点运动到 点过程中，机械能增大
D.卫星在轨道 Ⅲ 上从点到点的运动时间大于在轨道 Ⅱ 上从 点运动
到 点运动时间
√
[解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有
，解得，可知同步轨道上的角速度 小于近地轨道
上的角速度，而地球自转的角速度 和同步轨道上的角速度 相同，
综合可知 ，故A错误；
卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 ，解得
，可知，由于卫星在轨道Ⅰ的 点需要点火加速到轨道Ⅱ，
则有，同理在点有，综合可知 ，故B
错误；卫星在轨道Ⅱ上从点运动到 点过程中，机
械能不变，故C错误；由题图可知卫星在轨道Ⅲ的
轨道半径大于在轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三
定律得卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运
行周期，故卫星在轨道Ⅲ上从点到 点的运动时
间大于在轨道Ⅱ上从点运动到 点的运动时间，故D正确.
例2 2024年2月中国新一代载人月球探测飞船命名
为“梦舟”、月面着陆器命名为“揽月”.如图所示为
载人探测飞船登月的简化示意图，首先从地球表
面发射飞船至地月转移轨道，飞船在 点被月球捕
A.飞船在轨道①上经过 点时应该加速才能进入轨道②
B.飞船在轨道②上的环绕速度大于月球的第一宇宙速度
C.飞船在轨道①上经过点时的加速度与在轨道②上经过 点时的加速度
相同
D.飞船在轨道①上的机械能小于在轨道②上的机械能
获后沿椭圆轨道①绕月球运动，然后在 点变轨后沿圆形轨道②运动，下
列说法正确的是( )
√
[解析] 飞船由轨道①变轨至轨道②要点火减速，外力做负功，则飞船在
轨道①上的机械能大于在轨道②上的机械能，故A、D错误；月球的第一
宇宙速度是卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度，所以飞船在轨道②上
的环绕速度小于月球的第一宇宙速度，故B错误；根据牛顿第二定律可得
，解得 ，则飞船在轨道①上经
过点时的加速度与在轨道②上经过 点时的加
速度相同，故C正确.
考向二 卫星对接问题
例3 [2025·河北秦皇岛模拟] 2024年10月30日，“神舟十九号”载人飞船与
空间站组合体完成自主快速交会对接，对接于天和核心舱前向端口，形成
三舱三船组合体，3名航天员随后从“神舟十九号”载人飞船进入空间站天
和核心舱.飞船与空间站交会对接后距地面的高度小于地球同步卫星距地
面的高度.下列说法正确的是( )
A.航天员在天和核心舱中处于失重状态，不受地球吸引力
B.飞船与空间站组合体对接后的向心加速度大小相等
C.飞船先在比空间站运行半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间
站，两者速度接近时实现对接
D.飞船与空间站组合体的运行速度小于地球同步卫星的速度
√
[解析] 航天员在天和核心舱中处于失重状态，并不是不受地球吸引力，
而是地球吸引力全部用来充当向心力，故A错误；在对接后，飞船与空间
站组合体所受万有引力提供向心力，有，解得 ，故飞
船与空间站组合体对接后的向心加速度大小相等，故B正确；当飞船在比
空间站运行半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，逐渐远离空间站，
不可能实现对接，飞船对接需从低轨道变轨到高轨道，应加速，而不是减
速，故C错误；根据万有引力提供向心力有，解得 ，
飞船与空间站组合体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，运行速度比地
球同步卫星的速度大，故D错误.
变式1 2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞
船的长征二号 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中
心点火升空，成功将神舟十七号乘组成员顺利送
入太空.对接前，空间站与神舟十七号的轨道如图
所示.对接后组合体在空间站之前的轨道上运行，
A.若神舟十七号从图示位置变轨实现对接，空间站一定沿顺时针方向运行
B.若神舟十七号从图示位置变轨，变轨后神舟十七号速度一直增大才能实
现对接
C.对接后，组合体的加速度比对接前空间站的加速度大
D.图中神舟十七号和空间站总的机械能小于组合体在轨运行时总的机械能
已知空间站距地球表面约 .则下列判断正确的是( )
√
[解析] 神舟十七号由低轨道与高轨道的空间站对接，对接开始时需要点
火加速，脱离原有轨道，此后做离心运动与空间站实现对接，而在神舟十
七号做离心运动与空间站实现对接的过程中，两者绕行方向必定一致，且
根据万有引力提供向心力有 ，可得
，可知在变轨前神舟十七号的线速度大
于空间站线速度，而变轨过程中随着轨道的升高，
神舟十七号的线速度逐渐减小，从后方追上空间
站，在空间站所在轨道实现对接，可知从图示位
置变轨实现对接，空间站一定沿逆时针方向运行，故A、B错误；
根据牛顿第二定律有，可得 ，则对接后，组合体的加速
度与对接前空间站的加速度大小相等，故C错误；由于神舟十七号变轨时
需要点火加速，其机械能增大，可知神舟十七号在变轨后的机械能大于变
轨前的机械能，而空间站始终在其原有轨道上运行，其机械能不变，可知
在变轨前神舟十七号和空间站总的机械能小于组
合体在轨运行时总的机械能，故D正确.
考向三 椭圆轨道问题
例4 [2025·重庆渝中区模拟] 如图所示，某卫
星的发射过程经历了3个轨道：轨道2是半径
为 的圆轨道，轨道1和3为椭圆轨道且分别与
轨道2相切，轨道1和3的长轴在同一直线上.已
知轨道3的远地点到地心的距离为 ，轨道1
的近地点到地心的距离约等于地球半径 .则
A. B. C. D.
该卫星在轨道1和3上运行时的周期之比为 ( )
√
[解析] 由题可知，轨道1的半长轴，轨道3的半长轴 ，
由开普勒第三定律有 ，解得该卫星在轨道1和轨道3上运行时的周期
之比为 ，故选D.
变式2 (多选)如图所示为火星探测器着陆火星表面前的
变轨轨道示意图，图中、 两点分别为椭圆轨道3与
圆轨道1、2的切点，且圆轨道1、2的公转半径分别为
、 ，轨道1、2、3的轨道平面与火星赤道平面重合.
已知火星的自转周期为 ，火星探测器在圆轨道1上运
A. B.
C. D.
行时，每经 的时间刚好7次经过火星赤道上某点的正上方，且火星探测
器环绕方向与火星自转方向相同. 假设火星探测器在圆轨道1的环绕周期为
未知，探测器在椭圆轨道3上由到的时间为未知 ，则 ( )
√
√
[解析] 由题意，火星探测器在圆轨道1上运行时，每经 的时间刚好7次
经过火星赤道上某点的正上方，则，解得 ，A错误，
B正确；由开普勒第三定律可知 ，由以上各式整理得
，C正确，D错误.
[技法点拨]
1.在椭圆轨道上从远点向近点运动时,万有引力做正功,速度变大,加速度变
大;从近点向远点运动时,万有引力做负功,速度变小,加速度变小.
2.椭圆轨道上运动的周期比近点圆轨道周期大,比远点圆轨道周期小,其周
期的计算要根据开普勒第三定律,如图所示, 为近点
圆轨道半径, 为远点圆轨道半径,椭圆轨道的半长轴
为,则 .
题型二 双星及多星问题
1.双星特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即，
.
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即，.
(3)两颗星的轨迹半径与它们之间的距离关系为.
(4)两颗星到圆心的距离、与星体质量成反比，即.
2.多星模型
研究星体所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力，除中央星体外，
各星体的角速度或周期相同.常见的多星及规律：
常见的三星 模型
常见的四星 模型
续表
例5 如图所示，“食双星”是两颗相距为的恒星、 ，只在相互引力作用
下绕连线上 点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度
发生周期性变化的两颗恒星.观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视
线与双星轨道共面.观测发现每隔时间 两颗恒星与望远镜共线一次，已知
引力常量为，地球距、 很远，可认为地球保持静止，则( )
A.恒星、运动的周期为
B.恒星的质量小于 的质量
C.恒星、的总质量为
D.恒星的线速度大于 的线速度
√
[解析] 每隔时间 两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为
，故A错误；根据万有引力提供向心力有
，由题图知，则 ，故B
错误；由B选项得，两恒星总质量为
，故C正确；根据 ，两恒星
角速度相等，则 ，故D错误.
[技法点拨]
1.受力特点：两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力
2.运动特点：转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等
3.万有引力 中的为天体间距离，向心力公式中的
为天体的绕转半径,两者切勿混淆，且，
例6 (多选)天空中星体壮丽璀璨，在万有引力作用下，做着不同的运动.如
图甲、乙所示分别为双星、三星模型，星体都绕它们之间的某一点做匀速
圆周运动，轨迹圆半径都为，五个环绕天体的质量均为 ，引力常量为
，忽略其他天体对系统的作用，则( )
A.图甲中两环绕天体向心力相同
B.图甲中天体运动的周期为
C.图乙中天体运动的向心力大小为
D.图甲和图乙中环绕天体的线速度之比为
√
√
[解析] 题图甲中的两环绕天体的向心力由万有引力提供，大小相等、方
向相反，故A错误；题图甲中的两环绕天体根据万有引力提供向心力可知
，解得 ，故B正确； 题图乙中每颗行星运行所
需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力提供，如图所示,故
， ，解得 ，故C错误；
题图甲中根据万有引力提供向心力有，解得 ，题
图乙中根据万有引力提供向心力有 ，解得
，则 ，故D正确.
卫星变轨和对接问题
1.(多选)如图所示是我国发射的“天问一号”火星探测器的运动轨迹示意图.
首先在地面上由长征五号遥四运载火箭将探测器发射升空，然后经过漫长
的七个月地火转移飞行，到达近火点时精准“刹车”被火星捕获，成为环绕
火星飞行的一颗卫星.以下说法中正确的是( )
A.长征五号遥四运载火箭需要把“天问一号”加速到第二宇宙速度
B.近火点的“刹车”是为了减小火星对“天问一号”的引力
C.从火星停泊轨道向遥感轨道变轨过程，“天问一号”还需要在近火点制动
减速
D.“天问一号”沿遥感轨道运行时在近火点处的动能最小
√
√
[解析] “天问一号”要脱离地球的吸引，需要加速到第二宇宙速度，A正确；
近火点的“刹车”是为了减小“天问一号”所需的向心力，B错误；从火星停
泊轨道向遥感轨道变轨过程，“天问一号”所需的向心力进一步减小，需要
在近火点制动减速，C正确；“天问一号”沿遥感轨道运行时在近火点处的
动能最大，D错误.
2.“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的点沿地火转移轨道到 点，
再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则“天问一号”( )
A.发射速度介于与 之间
B.从点转移到 点的时间小于6个月
C.在环绕火星的停泊轨道上运行的周期比在调相轨道上小
D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
√
[解析] “天问一号”发射后需要摆脱地球引力的束缚，说明发射速度肯定要
超过，选项A错误；根据开普勒第三定律可知 ，由图可
知地火转移轨道的半长轴大于地球轨道的半径，故其在地火转移轨道上的
运行周期大于12个月，因此从点转移到 点的时间大于6个月，选项B错
误；同理，根据开普勒第三定律可知，在环绕火星的停泊轨道上运行的周
期比在调相轨道上小，选项C正确；
“天问一号”在地球轨道上 处点火加速，沿地火转移轨道做离心运动，即
在地火转移轨道上点时的速度比地球环绕太阳的速度大，但在到达 处
之后，要加速进入火星轨道，则其在地火转移轨道上 点时的速度小于火
星绕太阳的速度，由 可知，火星绕太阳的速度小于地球绕太阳的
速度，所以“天问一号”在地火转移轨道上 点时的速度小于地球绕太阳的
速度，选项D错误.
双星及多星问题
3.宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之
间的万有引力而互相绕转，称之为双星系统，在
A.恒星的质量一定大于 的质量
B.恒星的角速度一定大于 的角速度
C.双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期越大
D.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统，设某双星系统、 绕其连线
上的点做匀速圆周运动，如图所示.若 ，则( )
√
[解析] 双星系统中两颗恒星间距不变，角速度相等，故B错误；双星靠相
互间的万有引力提供向心力，所以向心力大小相等，故
，因为，所以，即 恒星的质量一定大
于 恒星的质量，故A错误；根据牛顿第二定律，有
，，其中 ，联立解得
，故双星间距离一定，双星的总质量越大，其转动周期
越小；双星的质量一定时，双星之间的距离 越
大，其转动周期越大，故C错误，D正确.
4.(多选)[2023·福建卷] 人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在
日地延长线上的拉格朗日点附近，点的位置如图所示.在 点的航天
器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止.考虑到
太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心
和地心连线中的一点 (图中未标出)转动的双星系统.若太阳和地球的质量
分别为和 ，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距
离为，引力常量为，点到地心的距离记为，在 点的航天
器绕点转动的角速度大小记为 .下列关系式正确的是 可能用到的近
似： ( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中一点
(图中未标出)转动的双星系统，则有，，
，联立解得 ，故A错误，B正确；
在 点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对
静止，则有 ，根据选项A、B分析可知
，， ，利用近似关系式
，代入可得 ，
解得 ，故C错误，D正确.
5.(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统
如图所示.三颗质量均为 的星体位于等边三角形的三个顶点上，三角形边
长为 .忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心
做匀速圆周运动，引力常量为 ，则( )
A.每颗星体做圆周运动的线速度大小为
B.每颗星体做圆周运动的角速度大小为
C.每颗星体做圆周运动的周期为
D.每颗星体做圆周运动的加速度与三星体的质量无关
√
√
√
[解析] 每颗星体受到的合力为 ，轨道半径为
，由向心力公式得 ，解得
，，， ，显然
加速度与 有关，故A、B、C正确，D错误.
作业手册
1.[2024·湖北卷] 太空碎片会对航天器带来危害.设空间
站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实
线所示.为了避开碎片，空间站在 点向图中箭头所指径
向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速
度，从而实现变轨.变轨后的轨道如图中虚线所示，其
半长轴大于原轨道半径.则( )
A.空间站变轨前、后在 点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在 点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
√
[解析] 空间站在 点变轨前、后所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定
律可知，则空间站变轨前、后在 点的加速度相同，故A正确；
空间站的圆轨道运动可以看作特殊的椭圆轨道运动，因为变轨后其轨道半
长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知 ，
则空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误；
变轨后在 点获得方向沿径向指向地球的反冲速度，与
原来做圆周运动的速度合成，合速度大于原来的速度，
故C错误；由于空间站变轨后在 点的速度比变轨前的
大，但变轨后在 点的速度比同一轨道上在近地点的速度小，
所以空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误.
2.[2025·四川绵阳模拟] 一黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和
恒星都绕二者连线上某个点做匀速圆周运动.恒星质量约为 ，恒星与黑
洞间距离约为，恒星做圆周运动的周期约为，为太阳的质量，
为日地距离， 为地球绕太阳的运动周期.由此估算该黑洞的质量为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 双星系统中，黑洞和恒星共同绕某点做匀速圆周运动，周期相同，
设黑洞质量为，恒星质量为，两者间距为，周期为 ，根据万
有引力提供向心力有， ，其
中，地球绕太阳做匀速圆周运动，则 ，联立
可得 ，故选C.
3.[2025·安徽宣城模拟] 由于地球同步卫星轨道附近有稀薄的大气，它会
使卫星的高度缓慢降低，最终在坠向地表的过程中与大气摩擦燃烧殆尽.
为解决地球同步卫星因轨道高度缓慢降低而寿命缩短的问题，假设我国在
未来发射实践25号卫星，在的高空为北斗 卫星加注燃料.本
次加注的燃料可用于北斗 卫星变轨，使其使用期限至少延长8年.关于这
一过程下列说法正确的是( )
A.实践25号卫星需要在与北斗卫星同一高度后方加速，追上北斗 卫
星实现对接
B.加注燃料过程，北斗 卫星机械能守恒
C.北斗 卫星高度降低后，线速度减小、周期减小、机械能减小
D.北斗 卫星通过燃烧燃料抬升轨道后，周期增大、线速度减小
[解析] 实践25号卫星若在与北斗 卫星同一轨道后方加速，实践25号卫
星做离心运动，进入更高轨道，无法直接追上北斗 卫星，A错误； 对
北斗 卫星加注燃料后，质量增加，机械能改变，B错误；
√
根据牛顿第二定律有，解得，卫星轨道降低，轨道
半径 减小，线速度增大，根据牛顿第二定律有，解得
，卫星轨道降低，轨道半径 减小，周期减小，卫星轨道降低，
大气阻力对卫星做负功，卫星机械能减小，C错误； 根据 ，抬升轨
道后，轨道半径增大，线速度减小，根据，抬升轨道后，轨
道半径 增大，周期增大，D正确.
4.(多选)厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的
海量恒星光谱,发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统,
质量比约为,同时绕它们连线上某点 做匀速圆周运动,研究成果于2022
年9月22日发表在《自然·天文》期刊上.则此中子星绕 点运动的( )
A.角速度大于红矮星的角速度 B.轨道半径小于红矮星的轨道半径
C.向心力大小约为红矮星的2倍 D.线速度小于红矮星的线速度
√
√
[解析] 双星系统中,由于两星在相同时间内转过的角度相等,则双星系统的
角速度相等,即中子星绕 点运动的角速度等于红矮星的角速度,A错误;根
据牛顿第二定律有,,解得 ,即星体
质量越大,轨道半径越小,根据题意中子星质量大,可知中子星绕 点运动的
轨道半径小于红矮星的轨道半径,B正确;双星系统中,由星体之间的万有引
力提供向心力,可知中子星绕 点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大
小,C错误;根据 ,双星系统角速度相等,中子星的轨道半径小一些,则中
子星绕 点运动的线速度小于红矮星的线速度,D正确.
5.[2025·北京卷] 2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回.
如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在 点变轨后进入椭圆轨道
2， 为远月点.关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是( )
A.在轨道2上从向 运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从向 运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
√
[解析] 在轨道2上从向 运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的
引力做负功，根据动能定理可知，动能逐渐减小，A正确；探测器受到万
有引力，有，解得，在轨道2上从向运动过程中，
增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在 点从轨道1变轨到轨道2，需
要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上
的机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探
测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提
供向心力，有，解得 ，
知道引力常量和轨道1的周期，还需要知道轨道1的半径 ，才能求出月
球的质量，D错误.
6.[2025·辽宁大连模拟] 2024年我国“嫦娥六号”探测器
成功实现世界首次月球背面自动采样并顺利返回.如图
A.探测器在轨道Ⅲ上从到 过程中速度一直增大
B.探测器在轨道Ⅰ上经过的加速度等于在轨道Ⅲ上经过 的加速度
C.探测器在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
D.探测器在轨道Ⅰ上与地心连线单位时间内扫过的面积和在轨道Ⅱ上的相等
为“嫦娥六号”探测器发射过程中的轨道简图，探测器在 点进行变轨，下
列描述正确的是( )
√
[解析] 在轨道Ⅲ上从向 运动过程中，探测器远离地球，探测器的速度
不断减小，故A错误；根据牛顿第二定律有，所以 ，由
此可知，探测器在轨道Ⅰ上经过的加速度等于在轨道Ⅲ上经过 的加速度，
故B正确；探测器在 点从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要加速，机械能增加，
所以探测器在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能，故C错误；在同
一轨道上，探测器与地心连线在相等时间内扫过的面积相等，所以探测器
在轨道Ⅰ上与地心连线单位时间内扫过的面积和在轨道
Ⅱ上的不相等，故D错误.
7.[2025·安徽淮北一模] 天舟八号货运飞船 与空间站
交会对接的示意图如图所示，飞船顺利进入预定圆
轨道1，并以周期 稳定运行，之后飞船从1号轨道经
2号转移轨道逐步接近在3号圆轨道运行的空间站，飞
船与空间站组合体完成交会对接，并在3号轨道上以
周期稳定运行.已知引力常量为，地球半径为 ，1
号圆轨道距地面高度为，3号圆轨道距地面高度为 ，则( )
A.空间站与天舟八号完成对接之后，运动速度变慢
B.货运飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火减速
C.货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为
D.根据题目条件可以求出地球密度的表达式为
√
[解析] 设地球质量为，空间站质量为 ，在3号轨道，由万有引力提供
向心力有，可得 ，可知在3号轨道物体的运行
速度与物体质量无关，即空间站与天舟八号完成对
接之后，运动速度不变，故A错误；货运飞船从1号
轨道进入2号转移轨道需要点火加速做离心运动，故
B错误；
由A选项分析可知，在轨道1上的飞船线速度为 ，故货运飞船在
1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为 ，故C错误；结
合题意和以上分析，在1号轨道有
，地球质量为 ，联
立以上公式解得地球密度为 ，故D正确.
8.(多选)[2025·北京海淀区模拟] 双星系统由两个天体组成，相对于其他天
体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运
动.图甲是某双星系统示意图，该系统由两颗互相绕行且质量分布均匀的
恒星组成.图乙为该双星系统的简化图，为圆心.两恒星、 的球心分别
为、，已知，， .下列说法正确的是
( )
A.和做匀速圆周运动的半径之比为
B.和受到的向心力大小之比为
C.和质量之比为
D.和绕旋转的线速度之和与线速度之差的比值为
√
√
√
[解析] 设恒星的轨道半径为，恒星的轨道半径为 ，则有
，，解得 ，
，故和做匀速圆周运动的半径之比为 ，故A正确；
恒星和 以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动，万有
引力提供向心力，由牛顿第三定律可知，恒星和 受到的向心力大小之
比为 ，故B错误；
设恒星的质量为，恒星的质量为，恒星绕 做匀速圆周运动，
则有，恒星绕 做匀速圆周运动，则有
，两式相除得恒星和的质量之比为 ，
故C正确；根据公式，可知恒星和绕 旋转的线速度之和为
，恒星和绕 旋转的线速度之差
，故恒星和绕 旋转的线速度之和与线速度
之差的比值 ，故D正确.
9.[2025·天津九校联考] 近似计算地月系统时可以认为月球绕着地球做匀
速圆周运动，如图甲所示，月球绕地球运动的周期为 .为了更精准测量
地月系统，认为地月系统是一个双星系统，如图乙所示，在相互之间的万
有引力作用下，绕连线上的点做匀速圆周运动，月球绕 点运动的周期
为.若地球、月球质量分别为、，两球心相距，地球半径为 ，
引力常量为 ，下列说法正确的是( )
A.图甲中，地球的密度可表示为
B.图甲中月球绕地球运动的周期等于图乙中月球绕点运动的周期
C.图乙中地月双星系统中点到地心距离为
D.图乙中地月双星转动的角速度与地月质量之和成正比
√
[解析] 题图甲中，根据万有引力提供向心力有 ，地球
的半径为，地球的体积为 ，题图甲中，地球密度为
，故A错误；根据万有引力提供向心力有
，解得题图甲中月球绕地球运动的周期为
，若地月系统是一个双星系统，
设地月双星系统中点到地心距离为，地月双星系统中 点到月球球心
距离为，则，可得 ，且
，解得，， ，
则，可知图甲中月球绕地球运动的周期 大于图乙
中月球绕点运动的周期 ，故B、D错误，C正确.
10.(多选)[2025·河南南阳模拟] 三星系统是指由三颗
恒星组成的恒星系统，这三颗恒星距离其他恒星很远，
所受其他星体引力的影响忽略不计.如图，假设三星
系统中星球、、 分别位于直角三角形的三个顶点，
它们以直角三角形的重心 为圆心，在同一平面内做
A.星球的质量最大 B.星球 的质量最大
C.星球受到的向心力最小 D.星球 受到的向心力最大
匀速圆周运动，且始终保持相对位置不变.已知 ，
.下列说法正确的是 ( )
√
√
[解析] 星球、、 保持相对位置不变，则它们的角速度相同，设星球
、之间的距离为，则星球、之间的距离为，星球、 之间的
距离为，以星球为研究对象，、之间的万有引力为 ，
、之间的万有引力为 ，由于它们受
到的合力均指向点，根据相似三角形有 ，
解得，同理，以 星球为研究对象，由
于受到的万有引力的合力指向 点，
根据相似三角形有，解得 ，由此可得
，综上可知星球的质量最大， 星球的质量最小，故A错误，
B正确；星球做匀速圆周运动所需的向心力为， 星球的质量最
小，轨道半径最小，故受到的向心力最小， 星
球的质量最大，轨道半径最大，故受到的向心力
最大，故C错误，D正确.
题型一 例1.D 例2.C 例3.B 变式1.D 例4.D 变式2.BC
题型二 例5.C 例6.BD
基础巩固练
1.A 2.C 3.D 4.BD
综合提升练
5.A 6.B 7.D 8.ACD 9.C 10.BD专题八　人造卫星变轨问题　双星模型
例1　D　[解析] 卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力有=mω2r,解得ω=,可知同步轨道上的角速度ω3小于近地轨道上的角速度ω1,而地球自转的角速度ω和同步轨道上的角速度ω3相同,综合可知ω1>ω3=ω,故A错误;卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力有=m,解得v=,可知v1>v3,由于卫星在轨道Ⅰ的P点需要点火加速到轨道Ⅱ,则有vP>v1,同理在Q点有v3>vQ,综合可知vP>v1>v3>vQ,故B错误;卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中,机械能不变,故C错误;由题图可知卫星在轨道Ⅲ的轨道半径大于在轨道Ⅱ的半长轴,根据开普勒第三定律得卫星在轨道Ⅲ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期,故卫星在轨道Ⅲ上从Q点到M点的运动时间大于在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的运动时间,故D正确.
例2　C　[解析] 飞船由轨道①变轨至轨道②要点火减速,外力做负功,则飞船在轨道①上的机械能大于在轨道②上的机械能,故A、D错误;月球的第一宇宙速度是卫星绕月球做匀速圆周运动的最大速度,所以飞船在轨道②上的环绕速度小于月球的第一宇宙速度,故B错误;根据牛顿第二定律可得=ma,解得a=,则飞船在轨道①上经过P点时的加速度与在轨道②上经过P点时的加速度相同,故C正确.
例3　B　[解析] 航天员在天和核心舱中处于失重状态,并不是不受地球吸引力,而是地球吸引力全部用来充当向心力,故A错误;在对接后,飞船与空间站组合体所受万有引力提供向心力,有G=ma,解得a=G,故飞船与空间站组合体对接后的向心加速度大小相等,故B正确;当飞船在比空间站运行半径小的轨道上减速时,飞船将做近心运动,逐渐远离空间站,不可能实现对接,飞船对接需从低轨道变轨到高轨道,应加速,而不是减速,故C错误;根据万有引力提供向心力有G=m,解得v=,飞船与空间站组合体的轨道半径小于同步卫星的轨道半径,运行速度比地球同步卫星的速度大,故D错误.
变式1　D　[解析] 神舟十七号由低轨道与高轨道的空间站对接,对接开始时需要点火加速,脱离原有轨道,此后做离心运动与空间站实现对接,而在神舟十七号做离心运动与空间站实现对接的过程中,两者绕行方向必定一致,且根据万有引力提供向心力有G=m,可得v=,可知在变轨前神舟十七号的线速度大于空间站线速度,而变轨过程中随着轨道的升高,神舟十七号的线速度逐渐减小,从后方追上空间站,在空间站所在轨道实现对接,可知从图示位置变轨实现对接,空间站一定沿逆时针方向运行,故A、B错误;根据牛顿第二定律有G=ma,可得a=,则对接后,组合体的加速度与对接前空间站的加速度大小相等,故C错误;由于神舟十七号变轨时需要点火加速,其机械能增大,可知神舟十七号在变轨后的机械能大于变轨前的机械能,而空间站始终在其原有轨道上运行,其机械能不变,可知在变轨前神舟十七号和空间站总的机械能小于组合体在轨运行时总的机械能,故D正确.
例4　D　[解析] 由题可知,轨道1的半长轴r1=,轨道3的半长轴r3=,由开普勒第三定律有=,解得该卫星在轨道1和轨道3上运行时的周期之比为=,故选D.
变式2　BC　[解析] 由题意,火星探测器在圆轨道1上运行时,每经3T0的时间刚好7次经过火星赤道上某点的正上方,则-=7,解得T=T0,A错误,B正确;由开普勒第三定律可知=,由以上各式整理得t=,C正确,D错误.
例5　C　[解析] 每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次,则两恒星的运动周期为T'=2T,故A错误;根据万有引力提供向心力有G=mArA=mBrB,由题图知rAmB,故B错误;由B选项得,两恒星总质量为M=mA+mB=,故C正确;根据v=ωr,两恒星角速度相等,则vA例6　BD　[解析] 题图甲中的两环绕天体的向心力由万有引力提供,大小相等、方向相反,故A错误;题图甲中的两环绕天体根据万有引力提供向心力可知G=mR,解得T=4,故B正确;题图乙中每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力提供,如图所示,故G×2×cos 30°=Fn,L=2Rcos 30°,解得Fn=,故C错误;题图甲中根据万有引力提供向心力有G=m,解得v1=,题图乙中根据万有引力提供向心力有G×2×cos 30°=m,解得v2=,则==,故D正确.专题八　人造卫星变轨问题　双星模型
1.A　[解析] 空间站在P点变轨前、后所受到的万有引力不变,根据牛顿第二定律可知F万=ma加,则空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;空间站的圆轨道运动可以看作特殊的椭圆轨道运动,因为变轨后其轨道半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知=k,则空间站变轨后的运动周期比变轨前的大,故B错误;变轨后在P点获得方向沿径向指向地球的反冲速度,与原来做圆周运动的速度合成,合速度大于原来的速度,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大,但变轨后在P点的速度比同一轨道上在近地点的速度小,所以空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小,故D错误.
2.C　[解析] 双星系统中,黑洞和恒星共同绕某点做匀速圆周运动,周期相同,设黑洞质量为M,恒星质量为8M0,两者间距为2R,周期为T,根据万有引力提供向心力有G=8M0·r1,G=M·r2,其中r1+r2=2R,地球绕太阳做匀速圆周运动,则G=mR,联立可得M=792M0,故选C.
3.D　[解析] 实践25号卫星若在与北斗G7卫星同一轨道后方加速,实践25号卫星做离心运动,进入更高轨道,无法直接追上北斗G7卫星,A错误; 对北斗G7卫星加注燃料后,质量增加,机械能改变,B错误; 根据牛顿第二定律有G=m,解得v=,卫星轨道降低,轨道半径r减小,线速度增大,根据牛顿第二定律有G=mr,解得T=2,卫星轨道降低,轨道半径r减小,周期减小,卫星轨道降低,大气阻力对卫星做负功,卫星机械能减小,C错误; 根据v=,抬升轨道后,轨道半径r增大,线速度减小,根据T=2,抬升轨道后,轨道半径r增大,周期增大,D正确.
4.BD　[解析] 双星系统中,由于两星在相同时间内转过的角度相等,则双星系统的角速度相等,即中子星绕O点运动的角速度等于红矮星的角速度,A错误;根据牛顿第二定律有G=m1ω2r1,G=m2ω2r2,解得=,即星体质量越大,轨道半径越小,根据题意中子星质量大,可知中子星绕O点运动的轨道半径小于红矮星的轨道半径,B正确;双星系统中,由星体之间的万有引力提供向心力,可知中子星绕O点运动的向心力大小等于红矮星的向心力大小,C错误;根据v=ωr,双星系统角速度相等,中子星的轨道半径小一些,则中子星绕O点运动的线速度小于红矮星的线速度,D正确.
5.A　[解析] 在轨道2上从A向B运动过程中,探测器远离月球,月球对探测器的引力做负功,根据动能定理可知,动能逐渐减小,A正确;探测器受到万有引力,有G=ma,解得a=G,在轨道2上从A向B运动过程中,r增大,加速度逐渐变小,B错误;探测器在A点从轨道1变轨到轨道2,需要加速,机械能增加,所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能,C错误;探测器在轨道1上做圆周运动,根据万有引力提供向心力,有G=mr,解得M=,知道引力常量G和轨道1的周期T,还需要知道轨道1的半径r,才能求出月球的质量,D错误.
6.B　[解析] 在轨道Ⅲ上从A向B运动过程中,探测器远离地球,探测器的速度不断减小,故A错误;根据牛顿第二定律有G=ma,所以a=,由此可知,探测器在轨道Ⅰ上经过A的加速度等于在轨道Ⅲ上经过A的加速度,故B正确;探测器在A点从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ,需要加速,机械能增加,所以探测器在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能,故C错误;在同一轨道上,探测器与地心连线在相等时间内扫过的面积相等,所以探测器在轨道Ⅰ上与地心连线单位时间内扫过的面积和在轨道Ⅱ上的不相等,故D错误.
7.D　[解析] 设地球质量为M,空间站质量为m,在3号轨道,由万有引力提供向心力有=m,可得v3=,可知在3号轨道物体的运行速度与物体质量无关,即空间站与天舟八号完成对接之后,运动速度不变,故A错误;货运飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火加速做离心运动,故B错误;由A选项分析可知,在轨道1上的飞船线速度为v1=,故货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为=,故C错误;结合题意和以上分析,在1号轨道有v1==,地球质量为M=R3ρ,联立以上公式解得地球密度为ρ=,故D正确.
8.ACD　[解析] 设恒星P的轨道半径为r1,恒星Q的轨道半径为r2,则有O1O2=r1+r2=L1,OO1-OO2=r1-r2=L2>0,解得r1=,r2=,故P和Q做匀速圆周运动的半径之比为=,故A正确;恒星P和Q以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,由牛顿第三定律可知,恒星P和Q受到的向心力大小之比为1∶1,故B错误;设恒星P的质量为m1,恒星Q的质量为m2,恒星P绕O做匀速圆周运动,则有G=m1ω2r1,恒星Q绕O做匀速圆周运动,则有G=m2ω2r2,两式相除得恒星P和Q的质量之比为==,故C正确;根据公式v=ωr,可知恒星P和Q绕O旋转的线速度之和为v1+v2=ω=ωL1,恒星P和Q绕O旋转的线速度之差v1-v2=ω=ωL2,故恒星P和Q绕O旋转的线速度之和与线速度之差的比值=,故D正确.
9.C　[解析] 题图甲中,根据万有引力提供向心力有=m月r,地球的半径为R,地球的体积为V=R3,题图甲中,地球密度为ρ==,故A错误;根据万有引力提供向心力有=m月r,解得题图甲中月球绕地球运动的周期为T1=2,若地月系统是一个双星系统,设地月双星系统中O点到地心距离为r1,地月双星系统中O点到月球球心距离为r2,则=m月r2=m地r1,可得m月r2=m地r1,且r2+r1=r,解得r1=r,
r2=r,T2=2,则ω2==,可知图甲中月球绕地球运动的周期T1大于图乙中月球绕O点运动的周期T2,故B、D错误,C正确.
10.BD　[解析] 星球A、B、C保持相对位置不变,则它们的角速度相同,设星球A、B之间的距离为x,则星球A、C之间的距离为x,星球B、C之间的距离为2x,以A星球为研究对象,A、B之间的万有引力为FAB=G,A、C之间的万有引力为FAC=G,由于它们受到的合力均指向O点,根据相似三角形有=,解得mC=3mB,同理,以B星球为研究对象,由于B受到的万有引力的合力指向O点,根据相似三角形有=,解得mC=8mA,由此可得mB=mA,综上可知C星球的质量最大,A星球的质量最小,故A错误,B正确;星球做匀速圆周运动所需的向心力为F=mω2r,A星球的质量最小,轨道半径最小,故受到的向心力最小,C星球的质量最大,轨道半径最大,故受到的向心力最大,故C错误,D正确.专题八　人造卫星变轨问题　双星模型
　卫星变轨和对接问题
1.变轨原理
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射近地卫星到圆轨道Ⅰ上,如图所示.
(2)在A点(近地点)点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.变轨过程各物理量的变化
(1)速度:设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度:设卫星在Ⅰ、Ⅱ轨道上的A点加速度分别为 a1、aA,因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,设卫星在轨道Ⅱ、Ⅲ上经过B点的加速度分别为aB、a3,则aB、a3也相同.故有a1=aA> aB=a3.
(3)周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k可知T1(4)机械能:在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒.若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3,从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ,从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ,都需要点火加速,则E1考向一　卫星变轨问题
例1　[2025·山东省实验中学二模] 我国近地小行星防御系统能够监测、预警和应对近地天体的撞击,展现了从被动预警到主动防御的科技跨越.如图所示,近地圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ相切于P点,椭圆轨道Ⅱ和同步轨道Ⅲ相切于Q点.现有防御卫星在轨道Ⅰ处做匀速圆周运动,经变轨后运行到同步轨道Ⅲ的M点拦截小行星进行干预,已知地球自转的角速度为ω,防御卫星在轨道Ⅰ和Ⅲ上运行的角速度为ω1和ω3,卫星在轨道Ⅰ、Ⅲ和轨道Ⅱ上的P点、Q点运行的线速度分别为v1、v3、vP、vQ.下列说法正确的是 (　)
A.ω=ω1>ω3
B.vP=v1>vQ=v3
C.卫星在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点过程中,机械能增大
D.卫星在轨道 Ⅲ 上从Q点到M点的运动时间大于在轨道 Ⅱ 上从P点运动到Q点运动时间
例2　2024年2月中国新一代载人月球探测飞船命名为“梦舟”、月面着陆器命名为“揽月”.如图所示为载人探测飞船登月的简化示意图,首先从地球表面发射飞船至地月转移轨道,飞船在P点被月球捕获后沿椭圆轨道①绕月球运动,然后在P点变轨后沿圆形轨道②运动,下列说法正确的是 (　)
A.飞船在轨道①上经过P点时应该加速才能进入轨道②
B.飞船在轨道②上的环绕速度大于月球的第一宇宙速度
C.飞船在轨道①上经过P点时的加速度与在轨道②上经过P点时的加速度相同
D.飞船在轨道①上的机械能小于在轨道②上的机械能
考向二　卫星对接问题
例3　[2025·河北秦皇岛模拟] 2024年10月30日,“神舟十九号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接,对接于天和核心舱前向端口,形成三舱三船组合体,3名航天员随后从“神舟十九号”载人飞船进入空间站天和核心舱.飞船与空间站交会对接后距地面的高度小于地球同步卫星距地面的高度.下列说法正确的是 (　)
A.航天员在天和核心舱中处于失重状态,不受地球吸引力
B.飞船与空间站组合体对接后的向心加速度大小相等
C.飞船先在比空间站运行半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间站,两者速度接近时实现对接
D.飞船与空间站组合体的运行速度小于地球同步卫星的速度
变式1　2023年10月26日,搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空,成功将神舟十七号乘组成员顺利送入太空.对接前,空间站与神舟十七号的轨道如图所示.对接后组合体在空间站之前的轨道上运行,已知空间站距地球表面约400 km.则下列判断正确的是 (　)
A.若神舟十七号从图示位置变轨实现对接,空间站一定沿顺时针方向运行
B.若神舟十七号从图示位置变轨,变轨后神舟十七号速度一直增大才能实现对接
C.对接后,组合体的加速度比对接前空间站的加速度大
D.图中神舟十七号和空间站总的机械能小于组合体在轨运行时总的机械能
考向三　椭圆轨道问题
例4　[2025·重庆渝中区模拟] 如图所示,某卫星的发射过程经历了3个轨道:轨道2是半径为R的圆轨道,轨道1和3为椭圆轨道且分别与轨道2相切,轨道1和3的长轴在同一直线上.已知轨道3的远地点到地心的距离为R1,轨道1的近地点到地心的距离约等于地球半径R0.则该卫星在轨道1和3上运行时的周期之比为 (　)
A. B.
C. D.
变式2　(多选)如图所示为火星探测器着陆火星表面前的变轨轨道示意图,图中M、N两点分别为椭圆轨道3与圆轨道1、2的切点,且圆轨道1、2的公转半径分别为r1、r2,轨道1、2、3的轨道平面与火星赤道平面重合.已知火星的自转周期为T0,火星探测器在圆轨道1上运行时,每经3T0的时间刚好7次经过火星赤道上某点的正上方,且火星探测器环绕方向与火星自转方向相同.假设火星探测器在圆轨道1的环绕周期为T(T未知),探测器在椭圆轨道3上由M到N的时间为t(t未知),则 (　)
A.T=T0
B.T=T0
C.t=
D.t=
【技法点拨】
1.在椭圆轨道上从远点向近点运动时,万有引力做正功,速度变大,加速度变大;从近点向远点运动时,万有引力做负功,速度变小,加速度变小.
2.椭圆轨道上运动的周期比近点圆轨道周期大,比远点圆轨道周期小,其周期的计算要根据开普勒第三定律,如图所示,r为近点圆轨道半径,R为远点圆轨道半径,椭圆轨道的半长轴为,则=.
　双星及多星问题
1.双星特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即=m1r1,=m2r2.
(2)两颗星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2.
(3)两颗星的轨迹半径与它们之间的距离关系为r1+r2=L.
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比,即=.
2.多星模型
研究星体所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力,除中央星体外,各星体的角速度或周期相同.常见的多星及规律:
常见的 三星 模型 ①+=man
②×cos 30°×2=man
常见的 四星 模型 ①×cos 45°×2+=man
②×cos 30°×2+=man
例5　如图所示,“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B,只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动,彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星.观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”,视线与双星轨道共面.观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次,已知引力常量为G,地球距A、B很远,可认为地球保持静止,则 (　)
A.恒星A、B运动的周期为T
B.恒星A的质量小于B的质量
C.恒星A、B的总质量为
D.恒星A的线速度大于B的线速度
【技法点拨】
1.受力特点:两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力
2.运动特点:转动方向、周期、角速度相同,运动半径一般不等
3.万有引力F= 中的L为天体间距离,向心力公式 Fn=m1r中的r为天体的绕转半径,两者切勿混淆,且m1r1=m2r2,r1+r2=L
例6　(多选)天空中星体壮丽璀璨,在万有引力作用下,做着不同的运动.如图甲、乙所示分别为双星、三星模型,星体都绕它们之间的某一点做匀速圆周运动,轨迹圆半径都为R,五个环绕天体的质量均为m,引力常量为G,忽略其他天体对系统的作用,则 (　)
A.图甲中两环绕天体向心力相同
B.图甲中天体运动的周期为4
C.图乙中天体运动的向心力大小为
D.图甲和图乙中环绕天体的线速度之比为∶2专题八　人造卫星变轨问题　双星模型 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·湖北卷] 太空碎片会对航天器带来危害.设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示.为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨.变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径.则 (　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
2.[2025·四川绵阳模拟] 一黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统,黑洞和恒星都绕二者连线上某个点做匀速圆周运动.恒星质量约为8M0,恒星与黑洞间距离约为2R,恒星做圆周运动的周期约为T,M0为太阳的质量,R为日地距离,T为地球绕太阳的运动周期.由此估算该黑洞的质量为 (　)
A.M0 B.8M0
C.792M0 D.962M0
3.[2025·安徽宣城模拟] 由于地球同步卫星轨道附近有稀薄的大气,它会使卫星的高度缓慢降低,最终在坠向地表的过程中与大气摩擦燃烧殆尽.为解决地球同步卫星因轨道高度缓慢降低而寿命缩短的问题,假设我国在未来发射实践25号卫星,在3.6×104 km的高空为北斗G7卫星加注燃料.本次加注的燃料可用于北斗G7卫星变轨,使其使用期限至少延长8年.关于这一过程下列说法正确的是 (　)
A.实践25号卫星需要在与北斗G7卫星同一高度后方加速,追上北斗G7卫星实现对接
B.加注燃料过程,北斗G7卫星机械能守恒
C.北斗G7卫星高度降低后,线速度减小、周期减小、机械能减小
D.北斗G7卫星通过燃烧燃料抬升轨道后,周期增大、线速度减小
4.(多选)厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱,发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统,质量比约为2∶1,同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动,研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上.则此中子星绕O点运动的 (　)
A.角速度大于红矮星的角速度
B.轨道半径小于红矮星的轨道半径
C.向心力大小约为红矮星的2倍
D.线速度小于红矮星的线速度
5.[2025·北京卷] 2024年6月,嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回.如图所示,探测器在圆形轨道1上绕月球飞行,在A点变轨后进入椭圆轨道2,B为远月点.关于嫦娥六号探测器,下列说法正确的是 (　)
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期,可求出月球的质量
6.[2025·辽宁大连模拟] 2024年我国“嫦娥六号”探测器成功实现世界首次月球背面自动采样并顺利返回.如图为“嫦娥六号”探测器发射过程中的轨道简图,探测器在A点进行变轨,下列描述正确的是 (　)
A.探测器在轨道Ⅲ上从A到B过程中速度一直增大
B.探测器在轨道Ⅰ上经过A的加速度等于在轨道Ⅲ上经过A的加速度
C.探测器在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
D.探测器在轨道Ⅰ上与地心连线单位时间内扫过的面积和在轨道Ⅱ上的相等
7.[2025·安徽淮北一模] 天舟八号货运飞船A与空间站B交会对接的示意图如图所示,飞船顺利进入预定圆轨道1,并以周期T1稳定运行,之后飞船从1号轨道经2号转移轨道逐步接近在3号圆轨道运行的空间站,飞船与空间站组合体完成交会对接,并在3号轨道上以周期T2稳定运行.已知引力常量为G,地球半径为R,1号圆轨道距地面高度为h1,3号圆轨道距地面高度为h2,则 (　)
A.空间站与天舟八号完成对接之后,运动速度变慢
B.货运飞船从1号轨道进入2号转移轨道需要点火减速
C.货运飞船在1、3两个轨道上稳定运行时线速度大小之比为
D.根据题目条件可以求出地球密度的表达式为ρ=
8.(多选)[2025·北京海淀区模拟] 双星系统由两个天体组成,相对于其他天体,位置非常靠近,以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动.图甲是某双星系统示意图,该系统由两颗互相绕行且质量分布均匀的恒星组成.图乙为该双星系统的简化图,O为圆心.两恒星P、Q的球心分别为O1、O2,已知O1O2=L1,OO1-OO2=L2,L2>0.下列说法正确的是 (　)
A.P和Q做匀速圆周运动的半径之比为
B.P和Q受到的向心力大小之比为
C.P和Q质量之比为
D.P和Q绕O旋转的线速度之和与线速度之差的比值为
9.[2025·天津九校联考] 近似计算地月系统时可以认为月球绕着地球做匀速圆周运动,如图甲所示,月球绕地球运动的周期为T1.为了更精准测量地月系统,认为地月系统是一个双星系统,如图乙所示,在相互之间的万有引力作用下,绕连线上的O点做匀速圆周运动,月球绕O点运动的周期为T2.若地球、月球质量分别为m地、m月,两球心相距r,地球半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是 (　)
A.图甲中,地球的密度可表示为
B.图甲中月球绕地球运动的周期T1等于图乙中月球绕O点运动的周期T2
C.图乙中地月双星系统中O点到地心距离为r
D.图乙中地月双星转动的角速度与地月质量之和成正比
10.(多选)[2025·河南南阳模拟] 三星系统是指由三颗恒星组成的恒星系统,这三颗恒星距离其他恒星很远,所受其他星体引力的影响忽略不计.如图,假设三星系统中星球A、B、C分别位于直角三角形的三个顶点,它们以直角三角形的重心O为圆心,在同一平面内做匀速圆周运动,且始终保持相对位置不变.已知∠ACB=30°,∠CAB=90°.下列说法正确的是 (　)
A.星球A的质量最大
B.星球C的质量最大
C.星球B受到的向心力最小
D.星球C受到的向心力最大

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