资源简介

浙江杭州市萧山区2025--2026学年第二学期八年级数学学情调研期中卷
1．若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．为响应“绿色低碳，节能降耗”号召，某校举办校园节能知识竞赛，九年级（2）班20名参赛学生的成绩（单位：分）如下：82、85、85，90，85，95，85，90，85，80，85，90，95，85，90，80，85，90，85，90．这组数据的众数是（　　）
A．80 B．85 C．90 D．95
3．下列方程中为一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分2，7.25分2，8.72分2，0.48分2，则这四人中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．把方程转化成的形式，则，的值是（　　）
A．3，8 B．3，10 C．，3 D．，10
7．若m是方程的一个根，则的值是（　　）
A．2028 B．2027 C．2026 D．2025
8．一元二次方程的实数根的情况是（　　）
A．没有实数解 B．有两个相等的实数解
C．有两个不相等的实数解 D．不确定
9．在某个时期内汽油价格受国际油价影响总体呈上升趋势．某地95号汽油一月初价格是7.8元/升，三月初价格是8.3元/升，设该地95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程（　　）
A． B．
C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
⑤存在实数，使得
其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③
11．化简：=　 　 .
12．将方程化成一般形式是　 　
13．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了90米，则此时该小车离水平面的垂直高度为　 　米．
14．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为86分，笔试成绩为90分，乙候选人的面试成绩为92分，笔试成绩为83分，并分别赋予它们6和4的权.根据两人的平均成绩，公司将录取　 　.
15．如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则　 　
16．若一元二次方程的两个根为，，则　 　
17．思维拓展：已知实数s，t分别满足，则　 　
18．计算：
（1）
（2）
19．解下列方程：
（1）；
（2）
20．已知，，求的值．
21．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
22．有关“光盘行动”落实情况的调查
根据以下素材，探索完成任务．
让学生了解班级粮食浪费现状，体会浪费粮食的危害
背景 为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量
素材1 从七、八年级中随机抽取了个班的餐厨垃圾质量，数据如表（单位：） 七年级八年级
素材2 餐厨垃圾质量用表示，分四个等级： ：：：：
（备注：餐厨垃圾质量越小，说明光盘行动落实越好）
素材3 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾数据分析如下表： 年级平均数中位数众数方差等级所占百分比七年级八年级
（1）求出素材3表格中的，，的值．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实的更好？请说明理由．
23．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
24．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
（2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？
25．根据以下素材，完成探索任务：
如何故剪出符合要求的矩形纸片？
素材1 如图1，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上．
素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片．
任务1 计算矩形纸片的边长 请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长
任务2 计算矩形纸片的面积 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积
任务3 计算矩形纸片的最大面积 请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，解得.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
2．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这组数据中，出现次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是．
故答案为：B.
【分析】一组数据中出现次数最多的数数据就是这组数据的众数，众数可能有多个，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、 是分式方程，不是一元二次方程；
B、2（x-1）+x=2的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程；
C、x2=2+3x只有一个未知数且未知数最高次数为2，是一元二次方程；
D、x2-x3+4=0的未知数的最高次数是3，不是一元二次方程.
故答案为：C.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：选项A：和不是同类二次根式，不能合并，A错误；
选项B：，B正确；
选项C：，C错误；
选项D：，D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法、除法和乘法法则、二次根式的性质化简逐项判断解答即可.
5．【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：四人平均成绩相同，方差越小，成绩越稳定．
又∵，，，，
∴，丁的方差最小，
∴四人中成绩最稳定的是丁．
故答案为：D.
【分析】比较四个方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=1，
配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，
∵方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式，
∴m=-3，n=10．
故答案为：D．
【分析】此方程二次项系数为1，故将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
7．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
即，
∴．
故答案为：2026.
【分析】把m代入方程得，然后整体代入解答即可．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
，，，
，
∵对任意实数，都有，
∴，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C.
【分析】计算，即可得到方程根的情况解答即可.
9．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一月初初始价格为7.8元/升，平均每月增长率为，从一月初到三月初共增长2次，三月初价格为8.3元/升，
∴增长两次后的价格为，等于三月初价格8.3，
∴．
故答案为：B.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，，
∴判别式，故①正确；
∵方程有两个不等实根，则其判别式，即，
∴方程的判别式，故②正确；
∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误；
∵是方程的根，则，，
，故④正确；
∵存在实数使，整理得(m-n)(am+an+b)=0，由于m≠n，则am+an+b=0，∴m+n=，∴m、n只需要取关于对称的即可，故⑤正确，
综上，正确的是①②④⑤．
故答案为：B．
【分析】使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；据此对于①，若a+b+c=0，则x=1是方程的根，判别式一定非负；②由方程ax2+c=0有两个不相等实数根，则由根的判别式可推出ac＜0，进而推出原方程根的判别式大于0；③代入c后考虑c=0的特殊情况；④代入x0后，表示出c，进而求根的判别式，再用完全平方公式分解因式可判断；⑤由已知可推出am+an+b=0，则m+n=，故m、n只需要取关于对称的即可.
11．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
先平方，再开方.==3.
故答案是3.
【分析】二次根式的化简.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：x2+2x-2=0.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项，化为ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c是常数)的形式即可.
13．【答案】45
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝902．
解得x＝45．
即此时该小车离水平面的垂直高度为45米．
故答案为：45.
【分析】本题以斜坡坡度为背景，考查了坡度的概念、勾股定理在实际问题中的应用.设垂直高度为x，根据坡度1：得水平距离为x，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解.
14．【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：甲：（分），
乙：（分），
∵，
∴公司将录取乙．
故答案为：乙．
【分析】先计算甲、乙两位候选人的加权平均数，然后利用平均数大的被公司录取解答即可．
15．【答案】
【知识点】二次根式的实际应用；数形结合
【解析】【解答】解：由图可知：①号正方形的面积为50，则边长为；②号正方形的面积为18，则边长为，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：.
【分析】根据正方形面积公式及算术平方根定义可得正方形边长就是面积的算术平方根，据此先得出①②两个正方形的边长，如果设AB=x，结合正方形性质、长方形性质及图形，分别得出S1与S2的长宽，然后根据长方形面积计算公式表示出S1与S2，再结合S1-S2=8得到关于未知数x的方程，求解即可.
16．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
其中，，，
根据根与系数的关系可得： ，，
∴．
故答案为：10.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，，据此结合题意求出x1+x2=-2，x1x2=，然后将待求式子通分计算后，整体代入计算即可.
17．【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
方程两边除以得到：，
即，
∴s与是方程的两个根，
∴，，
∴，
故的值为．
故答案为：-5.
【分析】由st≠0得t≠0，根据等式性质在方程t2+99t+19=0的两边同时除以t2得，即，根据方程根的定义得出 s与是方程 19x2+99x+1=0的两个实数根，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而将待求式子根据多项式除以单项式法则变形为，从而整体代入计算即可.
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可；
(2)分子分母同时乘以即可.
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，，，
，
，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）先计算，得到方程有两个不相等的实数根，然后代入公式计算方程的解即可．
20．【答案】解：，，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用配方法将代数式转化为（a-b）2+ab，再代入求值.
21．【答案】（1）一
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：∵当时，方程两边才能同时除以，得
，
当时，方程两边同时除以，无意义，
∴第一步就出现了错误，没分类讨论．
故答案为：一．
【分析】(1) 指出错误步骤：方程两边除以含未知数的式子时，未考虑该式子可能为零的情况；
(2) 采用因式分解法（移项后提取公因式），得到两个解.
（1）解：∵当时，方程两边才能同时除以，得
，
当时，方程两边同时除以，无意义，
∴第一步就出现了错误，没分类讨论．
故答案为：一．
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
22．【答案】（1）解：七年级的平均数，
八年级个班的餐厨垃圾质量从小到大为：，，，，，，，，，，
八年级的中位数，
八年级等级的有个班，
八年级的等级所占百分比
（2）解：七年级各班落实“光盘行动”更好，理由如下：①七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨垃圾质量的众数．
②七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨垃圾质量等级的．
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据及平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数可求出a的值；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可求出b的值；用八年级A等级的班数除以八年级抽取的总班数，再乘以100%即可求出c的值；
（2）根据表格提供的数据，从中位数、众数及A等级所占百分比几个方面比较判断即可.
（1）解：七年级的平均数，
八年级个班的餐厨垃圾质量从小到大为：，，，，，，，，，，
八年级的中位数，
八年级等级的有个班，
八年级的等级所占百分比；
（2）七年级各班落实“光盘行动”更好，理由如下：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨垃圾质量的众数．
②七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨垃圾质量等级的．
23．【答案】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）一元二次方程有实数根，即，解不等式即可得出答案；
（2）由（1）的结论可求出的值为6，再解方程求出，代入方程中求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：设日平均增长率为，由题意得：，
解得：，（舍），
答：日平均增长率为；
（2）解：设每个玩偶降价元，由题意得：，
解得：，（舍），
答：每个玩偶降价元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设日平均增长率为，根据“ 3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个 ”列一元二次方程，解出x的值检验解答即可；
（2）设每个玩偶降价元，根据“当日总利润可达到元”列出一元二次方程，解出y的值解答即可．
（1）解：设日平均增长率为，由题意得：，
解得：，（舍），
答：日平均增长率为；
（2）解：设每个玩偶降价元，由题意得：，
解得：，（舍），
答：每个玩偶降价元．
25．【答案】解：任务1：∵是等腰直角三角形，∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
当时，，
当时，，
即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为和；
任务2：当时，设，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
当时，设，则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为或．
任务3：当按照图1方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，根据题意得：
，
∴当时，最大，最大值为
即此时矩形的最大面积为；
当按照图2方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，
∴，
根据题意得：，
∴当时，S最大，且最大值为，
即此时矩形的最大面积为；
综上分析可知，矩形纸片的最大面积为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：证明为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，设，则，根据矩形面积列出关于x的方程：，即可解答；
任务2：根据矩形两边长之比为，可分两种情况讨论：当时，当时，先分别求出矩形的边长，再求出矩形的面积即可；
任务3：分两种情况：按照图1方式裁剪时，按照图2方式裁剪时，分别构造出矩形面积的二次函数，根据二次函数的性质，求出矩形的最大面积，然后比较即可．
1 / 1浙江杭州市萧山区2025--2026学年第二学期八年级数学学情调研期中卷
1．若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
，解得.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
2．为响应“绿色低碳，节能降耗”号召，某校举办校园节能知识竞赛，九年级（2）班20名参赛学生的成绩（单位：分）如下：82、85、85，90，85，95，85，90，85，80，85，90，95，85，90，80，85，90，85，90．这组数据的众数是（　　）
A．80 B．85 C．90 D．95
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵这组数据中，出现次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是．
故答案为：B.
【分析】一组数据中出现次数最多的数数据就是这组数据的众数，众数可能有多个，据此解答即可.
3．下列方程中为一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、 是分式方程，不是一元二次方程；
B、2（x-1）+x=2的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程；
C、x2=2+3x只有一个未知数且未知数最高次数为2，是一元二次方程；
D、x2-x3+4=0的未知数的最高次数是3，不是一元二次方程.
故答案为：C.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：选项A：和不是同类二次根式，不能合并，A错误；
选项B：，B正确；
选项C：，C错误；
选项D：，D错误．
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加法、除法和乘法法则、二次根式的性质化简逐项判断解答即可.
5．在初二数学期末综评中，甲乙丙丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别是10.39分2，7.25分2，8.72分2，0.48分2，则这四人中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：四人平均成绩相同，方差越小，成绩越稳定．
又∵，，，，
∴，丁的方差最小，
∴四人中成绩最稳定的是丁．
故答案为：D.
【分析】比较四个方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．
6．把方程转化成的形式，则，的值是（　　）
A．3，8 B．3，10 C．，3 D．，10
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=1，
配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10，
∵方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式，
∴m=-3，n=10．
故答案为：D．
【分析】此方程二次项系数为1，故将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
7．若m是方程的一个根，则的值是（　　）
A．2028 B．2027 C．2026 D．2025
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个根，
∴，
即，
∴．
故答案为：2026.
【分析】把m代入方程得，然后整体代入解答即可．
8．一元二次方程的实数根的情况是（　　）
A．没有实数解 B．有两个相等的实数解
C．有两个不相等的实数解 D．不确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
，，，
，
∵对任意实数，都有，
∴，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．
故答案为：C.
【分析】计算，即可得到方程根的情况解答即可.
9．在某个时期内汽油价格受国际油价影响总体呈上升趋势．某地95号汽油一月初价格是7.8元/升，三月初价格是8.3元/升，设该地95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵一月初初始价格为7.8元/升，平均每月增长率为，从一月初到三月初共增长2次，三月初价格为8.3元/升，
∴增长两次后的价格为，等于三月初价格8.3，
∴．
故答案为：B.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
⑤存在实数，使得
其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④⑤ D．①②③
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，，
∴判别式，故①正确；
∵方程有两个不等实根，则其判别式，即，
∴方程的判别式，故②正确；
∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误；
∵是方程的根，则，，
，故④正确；
∵存在实数使，整理得(m-n)(am+an+b)=0，由于m≠n，则am+an+b=0，∴m+n=，∴m、n只需要取关于对称的即可，故⑤正确，
综上，正确的是①②④⑤．
故答案为：B．
【分析】使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根；对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根；据此对于①，若a+b+c=0，则x=1是方程的根，判别式一定非负；②由方程ax2+c=0有两个不相等实数根，则由根的判别式可推出ac＜0，进而推出原方程根的判别式大于0；③代入c后考虑c=0的特殊情况；④代入x0后，表示出c，进而求根的判别式，再用完全平方公式分解因式可判断；⑤由已知可推出am+an+b=0，则m+n=，故m、n只需要取关于对称的即可.
11．化简：=　 　 .
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
先平方，再开方.==3.
故答案是3.
【分析】二次根式的化简.
12．将方程化成一般形式是　 　
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：x2+2x-2=0.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项，化为ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c是常数)的形式即可.
13．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了90米，则此时该小车离水平面的垂直高度为　 　米．
【答案】45
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝902．
解得x＝45．
即此时该小车离水平面的垂直高度为45米．
故答案为：45.
【分析】本题以斜坡坡度为背景，考查了坡度的概念、勾股定理在实际问题中的应用.设垂直高度为x，根据坡度1：得水平距离为x，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解.
14．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，其中甲候选人的面试成绩为86分，笔试成绩为90分，乙候选人的面试成绩为92分，笔试成绩为83分，并分别赋予它们6和4的权.根据两人的平均成绩，公司将录取　 　.
【答案】乙
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：甲：（分），
乙：（分），
∵，
∴公司将录取乙．
故答案为：乙．
【分析】先计算甲、乙两位候选人的加权平均数，然后利用平均数大的被公司录取解答即可．
15．如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则　 　
【答案】
【知识点】二次根式的实际应用；数形结合
【解析】【解答】解：由图可知：①号正方形的面积为50，则边长为；②号正方形的面积为18，则边长为，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：.
【分析】根据正方形面积公式及算术平方根定义可得正方形边长就是面积的算术平方根，据此先得出①②两个正方形的边长，如果设AB=x，结合正方形性质、长方形性质及图形，分别得出S1与S2的长宽，然后根据长方形面积计算公式表示出S1与S2，再结合S1-S2=8得到关于未知数x的方程，求解即可.
16．若一元二次方程的两个根为，，则　 　
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
其中，，，
根据根与系数的关系可得： ，，
∴．
故答案为：10.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，则x1+x2=，，据此结合题意求出x1+x2=-2，x1x2=，然后将待求式子通分计算后，整体代入计算即可.
17．思维拓展：已知实数s，t分别满足，则　 　
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
方程两边除以得到：，
即，
∴s与是方程的两个根，
∴，，
∴，
故的值为．
故答案为：-5.
【分析】由st≠0得t≠0，根据等式性质在方程t2+99t+19=0的两边同时除以t2得，即，根据方程根的定义得出 s与是方程 19x2+99x+1=0的两个实数根，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而将待求式子根据多项式除以单项式法则变形为，从而整体代入计算即可.
18．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可；
(2)分子分母同时乘以即可.
19．解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，，，
，
，
，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）先计算，得到方程有两个不相等的实数根，然后代入公式计算方程的解即可．
20．已知，，求的值．
【答案】解：，，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用配方法将代数式转化为（a-b）2+ab，再代入求值.
21．习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
（1）嘉嘉的解答过程从第____________步开始出现错误的；
（2）请给出这道题的正确解答过程．
【答案】（1）一
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
【知识点】等式的基本性质；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：∵当时，方程两边才能同时除以，得
，
当时，方程两边同时除以，无意义，
∴第一步就出现了错误，没分类讨论．
故答案为：一．
【分析】(1) 指出错误步骤：方程两边除以含未知数的式子时，未考虑该式子可能为零的情况；
(2) 采用因式分解法（移项后提取公因式），得到两个解.
（1）解：∵当时，方程两边才能同时除以，得
，
当时，方程两边同时除以，无意义，
∴第一步就出现了错误，没分类讨论．
故答案为：一．
（2）解：，
，
，
或，
∴，．
22．有关“光盘行动”落实情况的调查
根据以下素材，探索完成任务．
让学生了解班级粮食浪费现状，体会浪费粮食的危害
背景 为了解落实“光盘行动”的情况，某校同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量
素材1 从七、八年级中随机抽取了个班的餐厨垃圾质量，数据如表（单位：） 七年级八年级
素材2 餐厨垃圾质量用表示，分四个等级： ：：：：
（备注：餐厨垃圾质量越小，说明光盘行动落实越好）
素材3 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾数据分析如下表： 年级平均数中位数众数方差等级所占百分比七年级八年级
（1）求出素材3表格中的，，的值．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实的更好？请说明理由．
【答案】（1）解：七年级的平均数，
八年级个班的餐厨垃圾质量从小到大为：，，，，，，，，，，
八年级的中位数，
八年级等级的有个班，
八年级的等级所占百分比
（2）解：七年级各班落实“光盘行动”更好，理由如下：①七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨垃圾质量的众数．
②七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨垃圾质量等级的．
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据表格提供的数据及平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数可求出a的值；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可求出b的值；用八年级A等级的班数除以八年级抽取的总班数，再乘以100%即可求出c的值；
（2）根据表格提供的数据，从中位数、众数及A等级所占百分比几个方面比较判断即可.
（1）解：七年级的平均数，
八年级个班的餐厨垃圾质量从小到大为：，，，，，，，，，，
八年级的中位数，
八年级等级的有个班，
八年级的等级所占百分比；
（2）七年级各班落实“光盘行动”更好，理由如下：
①七年级各班餐厨垃圾质量众数，低于八年级各班餐厨垃圾质量的众数．
②七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨垃圾质量等级的．
23．关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围．
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
（3）若方程的两个实数根为，满足，求此时的值．
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）一元二次方程有实数根，即，解不等式即可得出答案；
（2）由（1）的结论可求出的值为6，再解方程求出，代入方程中求出的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案．
（1）解：根据题意得：，
解得；
（2）解：∵是符合条件的最大整数，
∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，
解得：，
∵，
∴；
当时，，
解得：，
∴的值为．
（3）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
24．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
（2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？
【答案】（1）解：设日平均增长率为，由题意得：，
解得：，（舍），
答：日平均增长率为；
（2）解：设每个玩偶降价元，由题意得：，
解得：，（舍），
答：每个玩偶降价元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设日平均增长率为，根据“ 3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个 ”列一元二次方程，解出x的值检验解答即可；
（2）设每个玩偶降价元，根据“当日总利润可达到元”列出一元二次方程，解出y的值解答即可．
（1）解：设日平均增长率为，由题意得：，
解得：，（舍），
答：日平均增长率为；
（2）解：设每个玩偶降价元，由题意得：，
解得：，（舍），
答：每个玩偶降价元．
25．根据以下素材，完成探索任务：
如何故剪出符合要求的矩形纸片？
素材1 如图1，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，甲，乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的矩形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上．
素材2 甲同学按图2的方式裁剪，想裁出面积为的矩形纸片，乙同学按图3的方式裁剪，想裁出两边长之比为的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片．
任务1 计算矩形纸片的边长 请帮甲同学计算此矩形纸片的两边长
任务2 计算矩形纸片的面积 请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积
任务3 计算矩形纸片的最大面积 请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积
【答案】解：任务1：∵是等腰直角三角形，∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
解得：，，
当时，，
当时，，
即甲同学所裁出的矩形纸片的两边长为和；
任务2：当时，设，则，
∵为等腰直角三角形，
∴，
，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
当时，设，则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
即，，
即此时矩形面积为；
综上分析可知，符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积为或．
任务3：当按照图1方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，根据题意得：
，
∴当时，最大，最大值为
即此时矩形的最大面积为；
当按照图2方式裁剪时，设矩形的面积为，，则，
∴，
根据题意得：，
∴当时，S最大，且最大值为，
即此时矩形的最大面积为；
综上分析可知，矩形纸片的最大面积为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：证明为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出，设，则，根据矩形面积列出关于x的方程：，即可解答；
任务2：根据矩形两边长之比为，可分两种情况讨论：当时，当时，先分别求出矩形的边长，再求出矩形的面积即可；
任务3：分两种情况：按照图1方式裁剪时，按照图2方式裁剪时，分别构造出矩形面积的二次函数，根据二次函数的性质，求出矩形的最大面积，然后比较即可．
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