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四川乐山市夹江县2026年初中学业水平适应性考试数学
1．下列各实数中，比小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵、、都是正数，都大于，是负数，小于0，
∴，即比小的数是．
故答案为：D.
【分析】利用“正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数”判断得出答案.
2．夹江县“政府市场”构建全要素人力资源“生态圈”.2025上半年，累计发放稳岗补贴、一次性吸纳就业补贴、职业技能培训补贴等惠企资金约万元．数据 用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．下列几何体中，左视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：分别观察四个选项中几何体的左视图：选项A、B、D对应的几何体，从左侧观察得到的平面图形都是长方形，不符合题目的要求；只有选项C的几何体，从左侧观察得到的图形是圆，满足题意要求.
故答案为：C.
【分析】左视图义是从几何体的左侧方向观察得到的平面图形，据此逐一判断每个选项即可.
4．某校生物小组的5名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：73，75，86，89，89，以上数据的中位数为（　　）
A．75 B．82.4 C．86 D．89
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：因为共有5个数据且从小到大的顺序为：73、75、86、89、89
所以中位数是第3个数据，即86.
故答案为：C.
【分析】中位数是指一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间或最中间两个数据的平均数，即当样本容量为奇数时，取最中间的那个数据，当样本容量为偶数时，取最中间两个数据的平均值.
5．如图，直线与交于点，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵
，∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】由垂直的定义得∠QOH=90°，然后根据对顶角相等得∠QON=130°，最后根据角的构成，由∠2=∠QON-∠QOH可算出答案.
6．多项式因式分解的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：对多项式 进行因式分解：
多项式各项的公因式为，先提取公因式，
；
又 ，符合平方差公式 ，
；
因此．
故答案为：C.
【分析】由于多项式各项具有相同的因式a，故先提取各项的公因式得a3-9a=a(a2-9)，由于a2-9符合平方差公式，故利用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止，据此解答即可得出答案.
7．已知实数、满足 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵二次根式中被开方数为非负数，
∴不等式组，
解得且，
∴，
将代入得，
∴．
故答案为：12.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母a的不等式组，求解得出a=4，然后将a=4代入原等式算出b的值，最后根据有理数乘法法则求出a与b的积即可.
8．根据物理学中欧姆定律可知，当某电路中电压不变时，该电路中的总电流（单位：A）是该电路中总电阻（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当该电路中总电流大于时，该电路将可能烧坏．为了安全起见，则接入电路的总电阻应不小于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设（U为常数，U≠0）．
∵图象过点，
∴，解得：，
∴．
当时，，
∵，
∴，即，即选项A符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据欧姆定律可设（U为常数，U≠0），将点（88，2.5）代入可算出U=220，从而得到I关于R函数解析式为，然后将代入I≤10，求解得出R的取值范围即可得出答案.
9．关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，原方程化为，整理得|x|=，仅存在两个不同的实数根，，不符合原方程有4个不同实数根的要求，因此该情况不成立；
当，且时，原方程可去绝对值化简为，
要使原方程一共有4个不同的实数根，则该方程需要有2个不同的正实数根，因此可得不等式组：
解得：；
当且时，原方程可去绝对值化简为。
同样，要使原方程一共有4个不同的实数根，该方程需要有2个不同的负实数根，因此可得不等式组：
同样解得：；
的取值范围是．
故答案为：D.
【分析】当a=0时，方程为含绝对值符号的一元一次方程，仅存在两个不同的实数根，不符合题意，应该舍去；当a≠0时，方程为一元二次方程，由于方程含绝对值符号，从而分x＞0与x＜0两种情况，分别结合一元二次方程根的判别式和韦达定理，列出不等式组，求解即可得出a的取值范围.
10．观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第个图形除外），则下列说法中正确的个数有（　　）
①第个图形中，白色正方形共有个
②第个图形中，黑色正方形共有个
③第个图形中，一共有个正方形
④第个图形中，黑色正方形的个数比白色正方形的个数多个
A．1个 B．个 C．3个 D．个
【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：观察图形可知，
图1中，下层1个黑色正方形，上层1个黑色正方形，共2个正方形；
图2中，下层2个黑色正方形，上层1个黑色正方形和1个白色正方形，共4个正方形；
图3中，下层3个黑色正方形，上层2个黑色正方形和1个白色正方形，共6个正方形；
图4中，下层4个黑色正方形，上层2个黑色正方形和2个白色正方形，共8个正方形；
图5中，下层5个黑色正方形，上层3个黑色正方形和2个白色正方形，共10个正方形；
∴ 第n个图形中，下层有n个黑色正方形，上层有n个正方形，正方形总数为2n个，
当n为偶数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形，
当n为奇数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形．
①∵为偶数，
∴ 白色正方形有个，故说法①错误；
②∵为奇数，
∴ 黑色正方形有个，故说法②正确；
③∵ 第n个图形中，下层n个，上层n个，
∴ 一共有2n个正方形，故说法③正确；
④ 当n为偶数时，黑色正方形有个，白色正方形有个，
∴ 黑色比白色多个，
当n为奇数时，黑色正方形有个，白色正方形有个，
∴ 黑色比白色多个，故说法④错误．
综上所述，正确的说法有2个．
故答案为：B.
【分析】通过观察前几个图形，找出下层黑色正方形、上层黑色正方形、上层白色正方形及总数随编号n的变化规律为： 第n个图形中，下层有n个黑色正方形，上层有n个正方形，正方形总数为2n个，当n为偶数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形，当n为奇数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形，据此逐一验证即可.
11．不等式的解集是　 　
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：x＜-2.
【分析】根据不等式性质1，在不等式两边同时减2，不等号方向不改变，即可得出答案.
12．赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为　 　．（结果精确到）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表可知，当累计抽测学生数时，喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值为，且其他数值如、400、600时比值均为，表明频率稳定在附近，因此估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为．
故答案为：．
【分析】观察表格中频率（喜欢人数与总人数比值）随试验次数增大的变化趋势，当频率稳定在某个数值附近时，用该数值估计概率.
13．如图，已知中，，则　 　°．
【答案】45
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：45．
【分析】由垂直的定义得∠BAC=90°，从而根据等边对等角及三角形的内角和定理求出∠C的度数.
14．已知，则　 　．
【答案】54
【知识点】多项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵xy2=2，
∴(8x4y7-4x3y5+3x2y2)÷xy
=8x3y6-4x2y4+3xy2
=xy2(8x2y4-4xy2+3)
=2(8x2y4-4xy2+3)
=16x2y4-8xy2+6
=8xy2(2xy2-1)+6
=8×2×(2×2-1)+6
=16×3+6
=54.
故答案为：54．
【分析】先根据多项式除以单项式法则计算，再利用提取公因式法分解因式，接着整体代入计算后再将含字母的项利用提取公因式法分解因式，最后再整体代入计算可得答案.
15．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是　 　（填序号）
【答案】①②或①③
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即．
当或时，．即①②或①③符合题意．
故答案为：①②或①③.
【分析】由角的构成及等量加等量和相等可推出∠DAE=∠BAC，当∠B=∠D时，用有两组角相等的两个三角形相似可证△ABC∽△ADE；当，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△ABC∽△ADE.
16．定义：把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“二级抛物线”．
（1）抛物线的“二级抛物线”是　 　；
（2）若直线与（1）中的抛物线交于不同的两点、，且满足，则实数的取值范围是　 　
【答案】y=-x2+2x-2；
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：（1）对抛物线 配方得，
顶点坐标为，二次项系数为，
抛物线绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反，二次项系数变为，
因此的解析式为；
故答案为：y=-x2+2x-2；
（2）将 代入 ，整理得
设，则方程化为，
由题意得方程有两个不相等的实数根，
∴，
设方程两根为 ，
由根与系数的关系得，
∵ ，
∴，
整理得，
∵平方数非负，
∴ ，
解得，
将 代入得，
解得，
因此实数的取值范围是．
【分析】（1）先将原抛物线利用配方法配成顶点式，根据旋转的性质， 抛物线绕顶点旋转180°后，顶点坐标不变，开口方向相反，开口程度不变，故二次项系数变为原二次项系数的相反数，据此即可得到二级抛物线的解析式；
（2）联立直线与抛物线解析式整理得，设，则原方程变为，且该方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式得出；设方程两根为 ，利用一元二次方程根与系数的关系得，结合已知及完全平方公式的恒等变形得出 ，再根据判别式大于0和平方的非负性求解的范围．
17．解方程组：
【答案】解：
①-②得3y=6，
解得．
将代入②，得，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于方程组的两个方程中未知数x的系数完全相同，故可利用加减消元法求解；首先用方程①-②消去x求出y的值，再将y的值代入②方程求出x的值，从而即可得到原方程组的解.
18．如图所示，，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴与均为直角三角形，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】直接利用“HL”证Rt△ABC≌Rt△ABC'，然后根据全等三角形的对应角相等得出∠CAB=∠C'AB.
19．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据绝对值性质、特殊锐角三角函数值“”及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别化简，再计算有理数乘法，最后计算有理数加减法运算即可得出答案.
20．夹江年画与绵竹年画、梁平年画并称“四川三大年画”，年被列入第二批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为迎接年马年新春，某年画工艺传承人计划制作幅骏马年画，由于工艺进一步改进，实际每天制作的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，求实际每天制作多少幅骏马年画？
【答案】解：设原计划每天制作幅骏马年画，则实际每天制作幅骏马年画，
由题可知，，
解得，
经检验x=10是原方程的根，
实际每天制作幅骏马年画，
答：实际每天制作幅骏马年画.
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设原计划每天制作x幅骏马年画，则实际每天制作1.5x幅骏马年画，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及制作90幅骏马年画实际比原计划提前3天完成任务列分式方程，求解得出x的值，检验后再求出1.5x的值即可.
21．世界灌溉工程遗产-夹江东风堰，历史悠久，泽润民生，是重要的水利文化地标．某校数学兴趣小组在“走进东风堰-千佛岩”社会实践活动中想了解游客前往景区的出行方式，故在某一天抽取了名游客进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该兴趣小组抽取名游客最合适的方式是 ；
A．随机抽取名女游客；B．随机抽取名男游客；C．不分性别随机抽取名游客
（2）扇形统计图中，“自驾”所在扇形的圆心角度数是 ，请补全条形统计图．
（3）若景区当天共有游客人，请估计选择“公共交通”出行的游客有多少人？
（4）景区为宣传水利文化，准备从甲、乙、丙、丁四名志愿者中随机选择人担任“东风堰-千佛岩”文化讲解员，请用画树状图或列表的方法求恰好选到“甲和乙”的概率．
【答案】（1）C
（2）解：抽取的50人中，步行的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人）．
答：估计选择“公共交通”出行的游客有1000人．
（4）解：根据题意列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲
乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙
丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙
丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁
由列表可知：共有12种等可能结果数，其中恰好选到“甲和乙”的情况数2种，
即恰好选到“甲和乙”的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：选项A和B只抽取单一性别，样本不具备代表性．选项C不分性别随机抽取50名游客，具有代表性，符合题意；
故答案为：C；
（2）解：“自驾”所在扇形的圆心角度数是；
故答案为：144°；
【分析】（1）根据抽样调查要具有代表性求解即可；
（2）用360°乘以选择“自驾”出行的人数所占的比例即可求得“自驾”所在扇形的圆心角度数；根据采取各种出行方式的人数之和等于抽样调查的总人数50结合条形统计图给出的信息求得样本中采取步行出行人数，然后再补全条形统计图即可；
（3）用5000乘以样本中采用“公共交通”出行人数所占的比例即可估计某景区当天选择“公共交通”出行的游客人数；
（4）此题是抽取不放回类型，先根据题意用表格列举出所有等可能的情况数，由列表可知：共有12种等可能结果数，其中恰好选到“甲和乙”的情况数2种，最后运用概率公式求解即可．
（1）解：选项A和B只抽取单一性别，样本不具备代表性．选项C不分性别随机抽取50名游客，具有代表性，符合题意．
（2）解：“自驾”所在扇形的圆心角度数是；
抽取的50人中，步行的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人）．
答：估计选择“公共交通”出行的游客有1000人．
（4）解：根据题意列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲
乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙
丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙
丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁
由列表可知：共有12种等可能结果数，其中恰好选到“甲和乙”的情况数2种，
即恰好选到“甲和乙”的概率为．
22．如图，在中，，，．
（1）尺规作图：用两种不同的方法作的角平分线，交边于点（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下求的面积．
【答案】（1）解：如图：射线即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，过点D作于点．
，，
．
．
平分，，，
．
．
∴，解得：．
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）按照尺规作图的规则，作出角平分线即可；（2）过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AC于点N，在Rt△ACE中，利用∠BAC的正弦函数可求出CE，然后根据三角形面积公式计算出△ABC的面积；由角平分线上的点到角两边的距离相等得DM=DN，然后根据S△ABC=S△ACD+S△ABD，结合三角形的面积公式建立方程，求解得出DM的长，最后再根据三角形面积公式计算出△ABD的面积即可.
（1）解：如图：射线即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，过点D作
于点．
，，
．
．
平分，，，
．
．
∴，解得：．
．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴，y轴分别相交于点B，C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P在线段上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵点在上，∴，
∴，
∴，解得，
故反比例函数的解析式为．
（2）解：根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，
整理得，
解得，（舍去）；
故点Q的坐标为：．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据点在上确定点A的坐标，再利用待定系数法确定反比例函数解析式；
（2）根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，整理得，解得，（舍去），故点Q的坐标为：．
（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∴，解得，
故反比例函数的解析式为．
（2）解：根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，
整理得，
解得，（舍去）；
故点Q的坐标为：．
24．如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作直线交的延长线于点，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，
．
又，
．
，
．
．
．
．
又为半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，过点作于点，
连接，
是的中点，
，，
又，，
．
，
，
，，
．
在和中，
，．
．
．
．
得．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由等边对等角得到，由直角三角形两锐角互余得，由等边对等角得∠A=∠ABO，结合对顶角相等及等量代换得出，最后根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，由垂径定理得OE⊥AB，由等腰三角形的三线合一得出EF=BE=3，在Rt△DEF中利用勾股定理算出DF；由“8”字形图可得∠A=∠EDF，从而由有两组角相等的两个三角形相似得出△AEO∽△DFE，由相似三角形对应边成比例即可求出AO的长.
（1）证明：，
，
，
．
又，
．
，
．
．
．
．
又为半径，
是的切线．
（2）解：如图所示，过点作于点，
连接，
是的中点，
，，
又，，
．
，
，
，，
．
在和中，
，．
．
．
．
得．
25．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
（I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
（II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
①正方形的边长为，则______；
②矩形中，，，则_______；
③在菱形中，，，则_______；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示）
⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示）
（III）猜想并证明：
如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
（IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长．
【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤；
（III）结论：，理由如下：
方法一：采用几何法：
如图，过点A作于，过点D作交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴
设，则，，
∵，，
∴
同理可得：，
∴．
方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
由平行四边形性质，点C的坐标为：
∴，，，
∴
（IV）或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（II）①如图①，
∵正方形的边长为，，
∴，，
∴；
②如图③∵矩形中，
∴，，，
∴，，
∴；
③如图②，∵在菱形中，，，
∴，，
根据勾股定理得，
∴，
∴，
④如图①，
∵正方形的边长为，，，
∴，
∴；
⑤如图③∵矩形中，
∴，，，，
∴，
∴；
（IV）解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据前面的结论得，
∴，
∴，
∴，（不合题意舍去），
∴，
点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当对应点在点下方时，设点B的对应点为，
同理可得：
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【分析】本题以平行四边形对角线长度与边长的关系为背景，考查了正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、勾股定理及平行四边形中的结论推广。
(Ⅱ) 分别计算正方形、矩形、菱形中两对角线的平方和，归纳出一般规律：在平行四边形中，AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2)。
(Ⅲ) 选择几何法（作高构造直角三角形，利用勾股定理）或坐标法（建立坐标系，利用两点间距离公式）进行证明。
（Ⅳ）) 应用上述结论及旋转性质，结合勾股定理求特定条件下线段BD的长。注意分类讨论旋转方向。
26．对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的因变量，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．
（1）下列函数的图象上存在不动点的是 ；
①；②；③
（2）若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求、满足的关系式；
（3）已知二次函数，直线，将该二次函数在直线上方的图象沿直线翻折到直线的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有个“不动点”，求实数的值．
（4）若、是函数的两个不动点的横坐标（两不动点可以相等），求的最小值．
【答案】（1）②
（2）解：的顶点横坐标为，
纵坐标为，
即顶点坐标为，
是不动点，故，
；
（3）解：当直线过点时，符合题意，
令，
，
则，
将代入，得，
解得（舍去）或；
（4）解：不动点满足，
，
化简得：，
，
，
方程要有实数根，故，
解得，
二次函数的对称轴为，在时单调递增，故当时，
的最小值．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（1）解：不动点满足，
①令，无解，①不存在不动点；
②令，解得，②存在不动点，不动点为；
③令，即，
判别式，无解，③不存在不动点；
故答案为：②；
【分析】（1）根据不动点满足y=x，然后分别用x替换各个函数解析式中的y可得关于字母x的方程，根据方程解的情况即可判断得出答案；
（2）根据二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的顶点坐标公式得到顶点坐标为，再根据不动点的定义得到，即可得到答案；
（3）根据题意画出图形，将y=m代入y=x2-6求解可得，再将点A的坐标代入代入，得，即可得到答案；
（4）根据不动点满足y=x得到，再由韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据完全平方公式恒等变形可得，整体代入可得；再根据方程要有实数根需要满足根的判别式△≥0，从而可得关于字母m的不等式求解得出，故当时，的最小值，即可得到答案．
（1）解：不动点满足，
①令，无解，①不存在不动点；
②令，解得，②存在不动点，不动点为；
③令，即，
判别式，无解，③不存在不动点；
（2）解：的顶点横坐标为，
纵坐标为，
即顶点坐标为，
是不动点，故，
；
（3）解：当直线过点时，符合题意，
令，
，
则，
将代入，得，
解得（舍去）或；
（4）解：不动点满足，
，
化简得：，
，
，
方程要有实数根，故，
解得，
二次函数的对称轴为，在时单调递增，故当时，
的最小值．
1 / 1四川乐山市夹江县2026年初中学业水平适应性考试数学
1．下列各实数中，比小的是（　　）
A． B． C． D．
2．夹江县“政府市场”构建全要素人力资源“生态圈”.2025上半年，累计发放稳岗补贴、一次性吸纳就业补贴、职业技能培训补贴等惠企资金约万元．数据 用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列几何体中，左视图是圆的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某校生物小组的5名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：73，75，86，89，89，以上数据的中位数为（　　）
A．75 B．82.4 C．86 D．89
5．如图，直线与交于点，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．多项式因式分解的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．已知实数、满足 ，则（　　）
A． B． C． D．
8．根据物理学中欧姆定律可知，当某电路中电压不变时，该电路中的总电流（单位：A）是该电路中总电阻（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当该电路中总电流大于时，该电路将可能烧坏．为了安全起见，则接入电路的总电阻应不小于（　　）
A． B． C． D．
9．关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第个图形除外），则下列说法中正确的个数有（　　）
①第个图形中，白色正方形共有个
②第个图形中，黑色正方形共有个
③第个图形中，一共有个正方形
④第个图形中，黑色正方形的个数比白色正方形的个数多个
A．1个 B．个 C．3个 D．个
11．不等式的解集是　 　
12．赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验．为了解学生对赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，估计学生喜爱赋能数学课堂的概率约为　 　．（结果精确到）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值
13．如图，已知中，，则　 　°．
14．已知，则　 　．
15．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是　 　（填序号）
16．定义：把一条抛物线绕它的顶点旋转得到的抛物线我们称为原抛物线的“二级抛物线”．
（1）抛物线的“二级抛物线”是　 　；
（2）若直线与（1）中的抛物线交于不同的两点、，且满足，则实数的取值范围是　 　
17．解方程组：
18．如图所示，，，求证：．
19．计算：．
20．夹江年画与绵竹年画、梁平年画并称“四川三大年画”，年被列入第二批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为迎接年马年新春，某年画工艺传承人计划制作幅骏马年画，由于工艺进一步改进，实际每天制作的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，求实际每天制作多少幅骏马年画？
21．世界灌溉工程遗产-夹江东风堰，历史悠久，泽润民生，是重要的水利文化地标．某校数学兴趣小组在“走进东风堰-千佛岩”社会实践活动中想了解游客前往景区的出行方式，故在某一天抽取了名游客进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该兴趣小组抽取名游客最合适的方式是 ；
A．随机抽取名女游客；B．随机抽取名男游客；C．不分性别随机抽取名游客
（2）扇形统计图中，“自驾”所在扇形的圆心角度数是 ，请补全条形统计图．
（3）若景区当天共有游客人，请估计选择“公共交通”出行的游客有多少人？
（4）景区为宣传水利文化，准备从甲、乙、丙、丁四名志愿者中随机选择人担任“东风堰-千佛岩”文化讲解员，请用画树状图或列表的方法求恰好选到“甲和乙”的概率．
22．如图，在中，，，．
（1）尺规作图：用两种不同的方法作的角平分线，交边于点（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下求的面积．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，与x轴，y轴分别相交于点B，C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P在线段上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时，求点Q的坐标．
24．如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作直线交的延长线于点，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求的半径．
25．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
（I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
（II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
①正方形的边长为，则______；
②矩形中，，，则_______；
③在菱形中，，，则_______；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示）
⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示）
（III）猜想并证明：
如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
（IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长．
26．对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的因变量，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．
（1）下列函数的图象上存在不动点的是 ；
①；②；③
（2）若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求、满足的关系式；
（3）已知二次函数，直线，将该二次函数在直线上方的图象沿直线翻折到直线的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有个“不动点”，求实数的值．
（4）若、是函数的两个不动点的横坐标（两不动点可以相等），求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵、、都是正数，都大于，是负数，小于0，
∴，即比小的数是．
故答案为：D.
【分析】利用“正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数”判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：分别观察四个选项中几何体的左视图：选项A、B、D对应的几何体，从左侧观察得到的平面图形都是长方形，不符合题目的要求；只有选项C的几何体，从左侧观察得到的图形是圆，满足题意要求.
故答案为：C.
【分析】左视图义是从几何体的左侧方向观察得到的平面图形，据此逐一判断每个选项即可.
4．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：因为共有5个数据且从小到大的顺序为：73、75、86、89、89
所以中位数是第3个数据，即86.
故答案为：C.
【分析】中位数是指一组数据按照从小到大的顺序排列后，最中间或最中间两个数据的平均数，即当样本容量为奇数时，取最中间的那个数据，当样本容量为偶数时，取最中间两个数据的平均值.
5．【答案】A
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵
，∴，
∵，
∴．
故答案为：A.
【分析】由垂直的定义得∠QOH=90°，然后根据对顶角相等得∠QON=130°，最后根据角的构成，由∠2=∠QON-∠QOH可算出答案.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：对多项式 进行因式分解：
多项式各项的公因式为，先提取公因式，
；
又 ，符合平方差公式 ，
；
因此．
故答案为：C.
【分析】由于多项式各项具有相同的因式a，故先提取各项的公因式得a3-9a=a(a2-9)，由于a2-9符合平方差公式，故利用平方差公式继续分解到每一个因式都不能再分解为止，据此解答即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵二次根式中被开方数为非负数，
∴不等式组，
解得且，
∴，
将代入得，
∴．
故答案为：12.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出关于字母a的不等式组，求解得出a=4，然后将a=4代入原等式算出b的值，最后根据有理数乘法法则求出a与b的积即可.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设（U为常数，U≠0）．
∵图象过点，
∴，解得：，
∴．
当时，，
∵，
∴，即，即选项A符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据欧姆定律可设（U为常数，U≠0），将点（88，2.5）代入可算出U=220，从而得到I关于R函数解析式为，然后将代入I≤10，求解得出R的取值范围即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式组；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，原方程化为，整理得|x|=，仅存在两个不同的实数根，，不符合原方程有4个不同实数根的要求，因此该情况不成立；
当，且时，原方程可去绝对值化简为，
要使原方程一共有4个不同的实数根，则该方程需要有2个不同的正实数根，因此可得不等式组：
解得：；
当且时，原方程可去绝对值化简为。
同样，要使原方程一共有4个不同的实数根，该方程需要有2个不同的负实数根，因此可得不等式组：
同样解得：；
的取值范围是．
故答案为：D.
【分析】当a=0时，方程为含绝对值符号的一元一次方程，仅存在两个不同的实数根，不符合题意，应该舍去；当a≠0时，方程为一元二次方程，由于方程含绝对值符号，从而分x＞0与x＜0两种情况，分别结合一元二次方程根的判别式和韦达定理，列出不等式组，求解即可得出a的取值范围.
10．【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：观察图形可知，
图1中，下层1个黑色正方形，上层1个黑色正方形，共2个正方形；
图2中，下层2个黑色正方形，上层1个黑色正方形和1个白色正方形，共4个正方形；
图3中，下层3个黑色正方形，上层2个黑色正方形和1个白色正方形，共6个正方形；
图4中，下层4个黑色正方形，上层2个黑色正方形和2个白色正方形，共8个正方形；
图5中，下层5个黑色正方形，上层3个黑色正方形和2个白色正方形，共10个正方形；
∴ 第n个图形中，下层有n个黑色正方形，上层有n个正方形，正方形总数为2n个，
当n为偶数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形，
当n为奇数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形．
①∵为偶数，
∴ 白色正方形有个，故说法①错误；
②∵为奇数，
∴ 黑色正方形有个，故说法②正确；
③∵ 第n个图形中，下层n个，上层n个，
∴ 一共有2n个正方形，故说法③正确；
④ 当n为偶数时，黑色正方形有个，白色正方形有个，
∴ 黑色比白色多个，
当n为奇数时，黑色正方形有个，白色正方形有个，
∴ 黑色比白色多个，故说法④错误．
综上所述，正确的说法有2个．
故答案为：B.
【分析】通过观察前几个图形，找出下层黑色正方形、上层黑色正方形、上层白色正方形及总数随编号n的变化规律为： 第n个图形中，下层有n个黑色正方形，上层有n个正方形，正方形总数为2n个，当n为偶数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形，当n为奇数时，上层有个黑色正方形和个白色正方形，据此逐一验证即可.
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：x＜-2.
【分析】根据不等式性质1，在不等式两边同时减2，不等号方向不改变，即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表可知，当累计抽测学生数时，喜欢赋能数学课堂的学生数与n的比值为，且其他数值如、400、600时比值均为，表明频率稳定在附近，因此估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为．
故答案为：．
【分析】观察表格中频率（喜欢人数与总人数比值）随试验次数增大的变化趋势，当频率稳定在某个数值附近时，用该数值估计概率.
13．【答案】45
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：45．
【分析】由垂直的定义得∠BAC=90°，从而根据等边对等角及三角形的内角和定理求出∠C的度数.
14．【答案】54
【知识点】多项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵xy2=2，
∴(8x4y7-4x3y5+3x2y2)÷xy
=8x3y6-4x2y4+3xy2
=xy2(8x2y4-4xy2+3)
=2(8x2y4-4xy2+3)
=16x2y4-8xy2+6
=8xy2(2xy2-1)+6
=8×2×(2×2-1)+6
=16×3+6
=54.
故答案为：54．
【分析】先根据多项式除以单项式法则计算，再利用提取公因式法分解因式，接着整体代入计算后再将含字母的项利用提取公因式法分解因式，最后再整体代入计算可得答案.
15．【答案】①②或①③
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即．
当或时，．即①②或①③符合题意．
故答案为：①②或①③.
【分析】由角的构成及等量加等量和相等可推出∠DAE=∠BAC，当∠B=∠D时，用有两组角相等的两个三角形相似可证△ABC∽△ADE；当，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可证△ABC∽△ADE.
16．【答案】y=-x2+2x-2；
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：（1）对抛物线 配方得，
顶点坐标为，二次项系数为，
抛物线绕顶点旋转后，顶点坐标不变，开口方向相反，二次项系数变为，
因此的解析式为；
故答案为：y=-x2+2x-2；
（2）将 代入 ，整理得
设，则方程化为，
由题意得方程有两个不相等的实数根，
∴，
设方程两根为 ，
由根与系数的关系得，
∵ ，
∴，
整理得，
∵平方数非负，
∴ ，
解得，
将 代入得，
解得，
因此实数的取值范围是．
【分析】（1）先将原抛物线利用配方法配成顶点式，根据旋转的性质， 抛物线绕顶点旋转180°后，顶点坐标不变，开口方向相反，开口程度不变，故二次项系数变为原二次项系数的相反数，据此即可得到二级抛物线的解析式；
（2）联立直线与抛物线解析式整理得，设，则原方程变为，且该方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式得出；设方程两根为 ，利用一元二次方程根与系数的关系得，结合已知及完全平方公式的恒等变形得出 ，再根据判别式大于0和平方的非负性求解的范围．
17．【答案】解：
①-②得3y=6，
解得．
将代入②，得，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由于方程组的两个方程中未知数x的系数完全相同，故可利用加减消元法求解；首先用方程①-②消去x求出y的值，再将y的值代入②方程求出x的值，从而即可得到原方程组的解.
18．【答案】证明：∵，
∴与均为直角三角形，
在与中，
，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】直接利用“HL”证Rt△ABC≌Rt△ABC'，然后根据全等三角形的对应角相等得出∠CAB=∠C'AB.
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；无理数的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据绝对值性质、特殊锐角三角函数值“”及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别化简，再计算有理数乘法，最后计算有理数加减法运算即可得出答案.
20．【答案】解：设原计划每天制作幅骏马年画，则实际每天制作幅骏马年画，
由题可知，，
解得，
经检验x=10是原方程的根，
实际每天制作幅骏马年画，
答：实际每天制作幅骏马年画.
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设原计划每天制作x幅骏马年画，则实际每天制作1.5x幅骏马年画，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及制作90幅骏马年画实际比原计划提前3天完成任务列分式方程，求解得出x的值，检验后再求出1.5x的值即可.
21．【答案】（1）C
（2）解：抽取的50人中，步行的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人）．
答：估计选择“公共交通”出行的游客有1000人．
（4）解：根据题意列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲
乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙
丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙
丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁
由列表可知：共有12种等可能结果数，其中恰好选到“甲和乙”的情况数2种，
即恰好选到“甲和乙”的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：选项A和B只抽取单一性别，样本不具备代表性．选项C不分性别随机抽取50名游客，具有代表性，符合题意；
故答案为：C；
（2）解：“自驾”所在扇形的圆心角度数是；
故答案为：144°；
【分析】（1）根据抽样调查要具有代表性求解即可；
（2）用360°乘以选择“自驾”出行的人数所占的比例即可求得“自驾”所在扇形的圆心角度数；根据采取各种出行方式的人数之和等于抽样调查的总人数50结合条形统计图给出的信息求得样本中采取步行出行人数，然后再补全条形统计图即可；
（3）用5000乘以样本中采用“公共交通”出行人数所占的比例即可估计某景区当天选择“公共交通”出行的游客人数；
（4）此题是抽取不放回类型，先根据题意用表格列举出所有等可能的情况数，由列表可知：共有12种等可能结果数，其中恰好选到“甲和乙”的情况数2种，最后运用概率公式求解即可．
（1）解：选项A和B只抽取单一性别，样本不具备代表性．选项C不分性别随机抽取50名游客，具有代表性，符合题意．
（2）解：“自驾”所在扇形的圆心角度数是；
抽取的50人中，步行的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人）．
答：估计选择“公共交通”出行的游客有1000人．
（4）解：根据题意列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲
乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙
丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙
丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁
由列表可知：共有12种等可能结果数，其中恰好选到“甲和乙”的情况数2种，
即恰好选到“甲和乙”的概率为．
22．【答案】（1）解：如图：射线即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，过点D作于点．
，，
．
．
平分，，，
．
．
∴，解得：．
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）按照尺规作图的规则，作出角平分线即可；（2）过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AC于点N，在Rt△ACE中，利用∠BAC的正弦函数可求出CE，然后根据三角形面积公式计算出△ABC的面积；由角平分线上的点到角两边的距离相等得DM=DN，然后根据S△ABC=S△ACD+S△ABD，结合三角形的面积公式建立方程，求解得出DM的长，最后再根据三角形面积公式计算出△ABD的面积即可.
（1）解：如图：射线即为所求．
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，过点D作
于点．
，，
．
．
平分，，，
．
．
∴，解得：．
．
23．【答案】（1）解：∵点在上，∴，
∴，
∴，解得，
故反比例函数的解析式为．
（2）解：根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，
整理得，
解得，（舍去）；
故点Q的坐标为：．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据点在上确定点A的坐标，再利用待定系数法确定反比例函数解析式；
（2）根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，整理得，解得，（舍去），故点Q的坐标为：．
（1）解：∵点在上，
∴，
∴，
∴，解得，
故反比例函数的解析式为．
（2）解：根据点P在线段上，设，根据题意得，由得，
整理得，
解得，（舍去）；
故点Q的坐标为：．
24．【答案】（1）证明：，
，
，
．
又，
．
，
．
．
．
．
又为半径，
是的切线；
（2）解：如图所示，过点作于点，
连接，
是的中点，
，，
又，，
．
，
，
，，
．
在和中，
，．
．
．
．
得．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由等边对等角得到，由直角三角形两锐角互余得，由等边对等角得∠A=∠ABO，结合对顶角相等及等量代换得出，最后根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，由垂径定理得OE⊥AB，由等腰三角形的三线合一得出EF=BE=3，在Rt△DEF中利用勾股定理算出DF；由“8”字形图可得∠A=∠EDF，从而由有两组角相等的两个三角形相似得出△AEO∽△DFE，由相似三角形对应边成比例即可求出AO的长.
（1）证明：，
，
，
．
又，
．
，
．
．
．
．
又为半径，
是的切线．
（2）解：如图所示，过点作于点，
连接，
是的中点，
，，
又，，
．
，
，
，，
．
在和中，
，．
．
．
．
得．
25．【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤；
（III）结论：，理由如下：
方法一：采用几何法：
如图，过点A作于，过点D作交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴
设，则，，
∵，，
∴
同理可得：，
∴．
方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
由平行四边形性质，点C的坐标为：
∴，，，
∴
（IV）或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（II）①如图①，
∵正方形的边长为，，
∴，，
∴；
②如图③∵矩形中，
∴，，，
∴，，
∴；
③如图②，∵在菱形中，，，
∴，，
根据勾股定理得，
∴，
∴，
④如图①，
∵正方形的边长为，，，
∴，
∴；
⑤如图③∵矩形中，
∴，，，，
∴，
∴；
（IV）解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据前面的结论得，
∴，
∴，
∴，（不合题意舍去），
∴，
点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当对应点在点下方时，设点B的对应点为，
同理可得：
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【分析】本题以平行四边形对角线长度与边长的关系为背景，考查了正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、勾股定理及平行四边形中的结论推广。
(Ⅱ) 分别计算正方形、矩形、菱形中两对角线的平方和，归纳出一般规律：在平行四边形中，AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2)。
(Ⅲ) 选择几何法（作高构造直角三角形，利用勾股定理）或坐标法（建立坐标系，利用两点间距离公式）进行证明。
（Ⅳ）) 应用上述结论及旋转性质，结合勾股定理求特定条件下线段BD的长。注意分类讨论旋转方向。
26．【答案】（1）②
（2）解：的顶点横坐标为，
纵坐标为，
即顶点坐标为，
是不动点，故，
；
（3）解：当直线过点时，符合题意，
令，
，
则，
将代入，得，
解得（舍去）或；
（4）解：不动点满足，
，
化简得：，
，
，
方程要有实数根，故，
解得，
二次函数的对称轴为，在时单调递增，故当时，
的最小值．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】（1）解：不动点满足，
①令，无解，①不存在不动点；
②令，解得，②存在不动点，不动点为；
③令，即，
判别式，无解，③不存在不动点；
故答案为：②；
【分析】（1）根据不动点满足y=x，然后分别用x替换各个函数解析式中的y可得关于字母x的方程，根据方程解的情况即可判断得出答案；
（2）根据二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)的顶点坐标公式得到顶点坐标为，再根据不动点的定义得到，即可得到答案；
（3）根据题意画出图形，将y=m代入y=x2-6求解可得，再将点A的坐标代入代入，得，即可得到答案；
（4）根据不动点满足y=x得到，再由韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据完全平方公式恒等变形可得，整体代入可得；再根据方程要有实数根需要满足根的判别式△≥0，从而可得关于字母m的不等式求解得出，故当时，的最小值，即可得到答案．
（1）解：不动点满足，
①令，无解，①不存在不动点；
②令，解得，②存在不动点，不动点为；
③令，即，
判别式，无解，③不存在不动点；
（2）解：的顶点横坐标为，
纵坐标为，
即顶点坐标为，
是不动点，故，
；
（3）解：当直线过点时，符合题意，
令，
，
则，
将代入，得，
解得（舍去）或；
（4）解：不动点满足，
，
化简得：，
，
，
方程要有实数根，故，
解得，
二次函数的对称轴为，在时单调递增，故当时，
的最小值．
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