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苏科版（2024）八年级下册 8.2 特殊的平行四边形 分层练习
矩形的四个角是直角
1问题：如图，矩形ABCD中，AB＝4，CB＝3，点P为对角线AC上一点．当△BCP为等腰三角形时，求AP的值．甲：当点P为AC中点时，△BCP为等腰三角形，∴AP＝2.5；乙：当CP＝3时，△BCP是等腰三角形，∴AP＝2．则（　　）
A.甲的结论正确
B.乙的结论正确
C.甲、乙的结论合起来正确
D.甲、乙的结论合起来也不正确
2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.2.4
3如图，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，则AE的长为 　　　　．
4如图，矩形ABCD中，点E是BC上的一点，且AE＝BC，AE⊥DF于点F，求证：EF＝CE．
5如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝BC．求证：△ABE≌△DCF．
矩形的对角线的性质
1在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）
A.AB＝BC B.CD＝AB C.∠BAD＝∠BCD D.OB＝OD
2如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC的长是（　　）
A.6 B.8 C. D.
3如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝OB，则∠BOC的度数是 　　．
4如图，∠BOD＝60°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，且AB＝3，连接AC，BD交于点E，连接OE．则OE＝　　．
5如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC、BD交点，过点O的直线分别与边DA、BC延长线交于E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ADB＝2∠E，求证：．
6如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
利用直角判定矩形
1一个四边形要成为矩形，需要的条件是（　　）
A.两个角相等 B.三个内角相等 C.四个内角相等 D.两个外角为直角
2平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　）
A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形
3如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是　　　　．（只需写出一个符合要求的条件）
4如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 　　　　．
利用对角线判定矩形
1四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　　）
A.OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
D.OA＝OB＝OC＝OD
2如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　）
A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4
3如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　）
A.三个角都是直角的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
4如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形．
5如图，在平行四边形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长至点E，使ME＝AM，连接DE，CM．
（1）求证：BD∥CE；
（2）当AE＝2AB，CM∥DE时，试说明四边形CEDM为矩形．
6如图，已知△ABC中，点D是BC边上一点，取AD的中点E，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当AD与CF满足条件 　　时，四边形ACDF是矩形（直接填空）．
矩形的判定与性质的综合应用
1下列判断错误的是（　　）
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.四个角都相等的四边形是矩形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2在四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，添加的条件不能是（　　）
A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.∠C＝90° D.AC＝BD
3如图，在平行四边形ABCD中，延长BA到点E，使AE＝AB，连接EC、ED、AC，请你添加一个条件 　　　　　，使四边形ACDE是矩形．
4如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若AB＝5，BE＝7，则CE的长为 　　　　　．
平行线间的距离
1如图，l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B，关于线段AB的长度，下列说法不正确的是（　　）
A.是点A到点B的距离
B.是点B到直线l1的距离
C.是直线l1、l2之间的距离
D.是点A到直线l2的最大距离
2如图，点A，B分别为直线a，b上的点，AB⊥a，AB⊥b，有下列说法：
①线段AB的长度可以表示点A，B之间的距离；
②线段AB的长度可以表示点A到直线b的距离；
③线段AB的长度可以表示直线a，b之间的距离．
其中判断正确的是（　　）
A.只有①的说法正确
B.只有③的说法不正确
C.只有②的说法不正确
D.①②③的说法都正确
3如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　）
A.8 B.6 C.5 D.4
4如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　．
5如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D．
（1）求证：AD＝BC；
（2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离．
菱形的四条边相等
1如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　）
A. B. C.（8，3） D.（7，3）
2如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）
A. B.3+3 C.6 D.
3如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE＝∠B＝80°，那么∠CDE的度数为（　　）
A.20° B.25° C.30° D.35°
4如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　　　．
5如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．
菱形对角线垂直
1如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OE的长等于（　　）
A.5 B.4 C.10 D.20
2如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A.AB∥DC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.OA＝OC
3已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 　　．
4在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（△ABF和△CDE），按如图的方式放置，已知∠BAF＝∠DCE＝90°，AF＝CE＝3，AB＝CD＝4，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，求菱形AECF的面积和BD的长．
利用边判定菱形
1如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是（　　）
A.∠BAC＝90° B.∠DAE＝90° C.AB＝AC D.AB＝AE
2已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝CD，BC＝DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵“_____”，
∴四边形ABCD是菱形．
在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　）
A.∠A＝∠C B.AD∥BC C.AB＝BC D.AB∥DC
3如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　　（写出一个即可）．
4如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　　．
利用对角线判定菱形
1判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（　　）
A.① B.② C.①③ D.②③
2下列命题正确的是（　　）
A.对角线相等的平行四边形是菱形
B.平行四边形的两条对角线互相垂直
C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.有三个角为直角的四边形为矩形
3在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 　　　　．
4如图，在△ABC中，D是AC的中点．作BE∥AC，且使BEAC，连接DE，DE与AB交于点F．
（1）求证：DE＝BC；
（2）连接AE、BD，要使四边形AEBD是菱形，△ABC的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．
菱形的性质与判定的综合应用
1两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　）
A.4 B.8 C.12 D.16
2如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
下列判断正确的是（　　）
A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误
3如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　．
4小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
正方形的性质与判定
1如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　）
A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④
2下列说法错误的是（　　）
A.正方形是平行四边形
B.正方形是菱形
C.正方形是矩形
D.菱形和矩形都是正方形
3如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　）
A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④
4如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　．
5如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　　．
6如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．
（1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF；
（2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形．
7如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用
1小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A.（1）处可填∠A＝90°
B.（2）处可填AD＝AB
C.（3）处可填AD＝CB
D.（4）处可填∠A＝90°
2下列判断错误的是（　　）
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.四条边都相等的四边形是菱形
3已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（　　）
①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
A.3个 B.4个 C.1个 D.2个
4如图，菱形ABCD的顶点A恰好是矩形BCEF对角线的交点，若菱形ABCD的周长为8，则矩形BCEF的面积是 　　　　．
5如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN．
（1）求证：四边形BMCN是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由．
有关正方形边、角的性质
1如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形ABCD内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形ABCD的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.12
2如图，正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接AE、EF、AF，下列结论：①BE+DF＝EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周长为2；④S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确结论的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
3如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　）
A.90°﹣2α B.α C.45° D.
4如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，DE＝AF，BE⊥CF于点G，若BC＝8，AF＝2，则GF的长为 　　．
5如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．
正方形对角线的性质
1图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（　　）
A.AC⊥BD B.AD＝AO C.DO＝CO D.∠DAO＝∠BAC
2如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠BCE的度数是（　　）
A.20° B.22.5° C.40 D.67.5°
3如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且CE＝DF．连接BE，CF，CF交对角线BD于G，连接AG．若∠EBC＝α，则∠AGF＝（　　）
A.2α B.45°+α C.90°﹣2α D.45°﹣α
4如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度．
5小明正在思考一道几何证明题：
如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形．
请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明．
苏科版（2024）八年级下册 8.2 特殊的平行四边形 分层练习（参考答案）
1矩形的四个角是直角
1问题：如图，矩形ABCD中，AB＝4，CB＝3，点P为对角线AC上一点．当△BCP为等腰三角形时，求AP的值．甲：当点P为AC中点时，△BCP为等腰三角形，∴AP＝2.5；乙：当CP＝3时，△BCP是等腰三角形，∴AP＝2．则（　　）
A.甲的结论正确
B.乙的结论正确
C.甲、乙的结论合起来正确
D.甲、乙的结论合起来也不正确
【答案】D
【解析】在矩形ABCD中，AB＝4，CB＝3，∠ABC＝90°，
根据勾股定理，可得AC＝5，
△BCP是等腰三角形，分三种情况：
①PB＝PC，
当点P为AC的中点时，AP＝PB＝PC，
此时AP＝2.5；
②CP＝CB，
∵CB＝3，AC＝5，
∴AP＝5﹣3＝2；
③BP＝BC，
过点B作BH⊥AC于点H，如图所示：
则此时CH＝PH，
∵，
∴BH，
∵BC＝3，
根据勾股定理，得CH，
∴CP＝2CH，
∴AP＝AC﹣CP，
综上，AP的值有：2.5或2或，
故选：D．
2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为（　　）
A.1 B.1.5 C.2 D.2.4
【答案】B
【解析】如图，以OA为边在OA右侧作等边三角形AGO，
∴∠OAG＝60°，
连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，
在矩形ABCO中，
∵B（4，3），
∴OA＝BC＝3，AB＝OC＝4，
∴OA＝OG＝AG＝3，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠OAG＝∠DAE＝60°，
∵∠OAD＝∠OAG﹣∠DAG，∠GAE＝∠DAE﹣∠DAG，
∴∠OAD＝∠GAE，
在△ADO和△AEG中，
，
∴△ADO≌△AEG（SAS），
∴∠AOD＝∠AGE＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动，
∵△OAG是等边三角形，
∴∠AGO＝60°，
∴∠OGH＝30°，
∵OH⊥GM，
∴OHOG，
当点E与H不重合时，OE＞OH，
当点E与H重合时，OE＝OH，
综上所述：OE≥OH，
∴OE的最小值为，
故选：B．
3如图，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，垂足为O，则AE的长为 　　　　．
【答案】
【解析】连接EC，设AE＝x，则ED＝4﹣x，
∵EF是AC的中垂线，
∴EC＝AE＝x，
在Rt△EDC中，x2＝32+（4﹣x）2，
，
∴．
4如图，矩形ABCD中，点E是BC上的一点，且AE＝BC，AE⊥DF于点F，求证：EF＝CE．
【答案】证明：∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°，AD∥BC，
连接DE，
∵BC＝AE，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE．
∵AD∥BC．
∴∠ADE＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠AED．
又∵DF⊥AE，
∴∠DFE＝∠C＝90°．
∵DE＝DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS）．
∴EF＝EC．
5如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF＝BC．求证：△ABE≌△DCF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝90°，
∵EF＝BC，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
2矩形的对角线的性质
1在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）
A.AB＝BC B.CD＝AB C.∠BAD＝∠BCD D.OB＝OD
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴CD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，OB＝OD，但AB与BC不一定相等，
∴A符合题意，而B、C、D不符合题意，
故选：A．
2如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC的长是（　　）
A.6 B.8 C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，且AC，BD交于点O，
∴，∠BCD＝90°，
∴BD＝8，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴，
∴，
故选：D．
3如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝OB，则∠BOC的度数是 　　．
【答案】120°
【解析】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝OC＝OB，
∵AB＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
故答案为：120°．
4如图，∠BOD＝60°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，且AB＝3，连接AC，BD交于点E，连接OE．则OE＝　　．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点E，
∴EA＝EB＝EC＝ED，
∵∠BOD＝60°，BO＝DO，
∴△BOD为等边三角形，
∴OE⊥BD，∠OBD＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴EA＝EB＝AB＝3，
∴EA＝EB＝EC＝ED＝3，
∴BD＝BE+DE＝6，
∴BO＝DO＝BD＝6，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：OE．
故答案为：．
5如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC、BD交点，过点O的直线分别与边DA、BC延长线交于E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ADB＝2∠E，求证：．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OAAC，ODBD，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADB，
设∠E＝x，则∠ADB＝2x，
∴∠OAD＝2x，
∵∠OAD＝∠E+∠AOE，
∴∠E＝∠AOE，
∴AE＝AO，
∴AEACBD．
6如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
3利用直角判定矩形
1一个四边形要成为矩形，需要的条件是（　　）
A.两个角相等 B.三个内角相等 C.四个内角相等 D.两个外角为直角
【答案】C
【解析】一个四边形要成为矩形，需要的条件是四个内角相等，
故选：C．
2平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　　）
A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.不是平行四边形
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠BAE+∠ABE∠BAD∠ABC180°＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FEH＝90°，
同理可求∠F＝90°，∠FGH＝90°，∠H＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：B．
3如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是　　　　．（只需写出一个符合要求的条件）
【答案】AC⊥BD
【解析】添加的条件是AC⊥BD，
∵BD∥EF，BD∥GH，
∴EF∥GH，
同理EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥AC，
∵EH∥AC，
∴EF⊥EH，
∴∠E＝90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
故答案为：AC⊥BD．
4如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是 　　　　．
【答案】∠A＝90°（答案不唯一）
【解析】需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．
4利用对角线判定矩形
1四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　　）
A.OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
D.OA＝OB＝OC＝OD
【答案】D
【解析】A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据AC＝BD和AO＝OC不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
C、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，由AC⊥BD，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
故选：D．
2如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（　　）
A.CD＝4 B.CD＝2 C.OD＝2 D.OD＝4
【答案】D
【解析】添加OD＝4时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵OA＝OC＝4，OB＝OD＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD＝8，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
3如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　　）
A.三个角都是直角的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【答案】C
【解析】推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意．
故选：C．
4如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是　　　形．
【答案】矩
【解析】如果平行四边形ABCD的对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形；理由如下：
∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
故答案为：矩．
5如图，在平行四边形ABCD中，点M是对角线BD上一点，连接AM并延长至点E，使ME＝AM，连接DE，CM．
（1）求证：BD∥CE；
（2）当AE＝2AB，CM∥DE时，试说明四边形CEDM为矩形．
【答案】（1）证明：连接AC，交BD于点O，
∵平行四边形ABCD，
∴AO＝OC，
∵ME＝AM，
∴MO是△ACE的中位线，
∴MO∥CE，
∴BD∥CE．
（2）解：∵平行四边形ABCD，
∴AO＝OC，
∵AE＝2ME＝2AM，
∴MO是△ACE的中位线，
∴MO∥CE，
∴BD∥CE．
∵CM∥DE，
∴四边形CEDM是平行四边形，
∵AE＝2AB，AE＝2ME＝2AM，
∴AB＝ME，
∵平行四边形ABCD，
∴AB＝DC，
∴CD＝ME，
∴四边形CEDM为矩形．
6如图，已知△ABC中，点D是BC边上一点，取AD的中点E，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当AD与CF满足条件 　　时，四边形ACDF是矩形（直接填空）．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠CDE，∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）解：当AD与CF满足条件AD＝CF时，四边形ACDF是矩形，理由如下：
由（1）可知，四边形ACDF是平行四边形，
∵AD＝CF，
∴平行四边形ACDF是矩形，
故答案为：AD＝CF．
5矩形的判定与性质的综合应用
1下列判断错误的是（　　）
A.有一个角是直角的平行四边形是矩形
B.四个角都相等的四边形是矩形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】C
【解析】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意；
B、四个角都相等的四边形是矩形，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意；
故选：C．
2在四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形，添加的条件不能是（　　）
A.AC⊥BD B.AB⊥BC C.∠C＝90° D.AC＝BD
【答案】A
【解析】∵AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、根据对角线相等的平行四边形是矩形，所以当AC⊥BD时不一定得到矩形，故选项A符合题意；
B、∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
3如图，在平行四边形ABCD中，延长BA到点E，使AE＝AB，连接EC、ED、AC，请你添加一个条件 　　　　　，使四边形ACDE是矩形．
【答案】AD＝CE（答案不唯一）
【解析】添加AD＝CE，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∵AE＝AB，
∴AE＝CD，
∴四边形ACDE为平行四边形，
又∵AD＝CE，
∴平行四边形ACDE是矩形．
故答案为：AD＝CE（答案不唯一）．
4如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若AB＝5，BE＝7，则CE的长为 　　　　　．
【答案】
【解析】如图，连接DE，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝DB，
∴四边形ABCD是矩形，
∵在矩形ABCD中，OB＝OD，OE⊥BD，
∴OE垂直平分BD，
∴BE＝DE＝7，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝5，
∴在Rt△CDE中，根据勾股定理，得DE2＝CD2+CE2，
即CE2＝72﹣52，
解得：．
故答案为：．
6平行线间的距离
1如图，l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B，关于线段AB的长度，下列说法不正确的是（　　）
A.是点A到点B的距离
B.是点B到直线l1的距离
C.是直线l1、l2之间的距离
D.是点A到直线l2的最大距离
【答案】D
【解析】∵l1∥l2，线段AB与l1、l2分别垂直于点A、B，
∴线段AB表示的是点A到点B的距离，点B到直线l1的距离，直线l1、l2之间的距离，点A到直线l2的距离，
∴选项A、B、C说法正确，选项D点A到直线l2的最大距离说法错误，
故选：D．
2如图，点A，B分别为直线a，b上的点，AB⊥a，AB⊥b，有下列说法：
①线段AB的长度可以表示点A，B之间的距离；
②线段AB的长度可以表示点A到直线b的距离；
③线段AB的长度可以表示直线a，b之间的距离．
其中判断正确的是（　　）
A.只有①的说法正确
B.只有③的说法不正确
C.只有②的说法不正确
D.①②③的说法都正确
【答案】D
【解析】由题意得：①线段AB的长度可以表示点A，B之间的距离；
②线段AB的长度可以表示点A到直线b的距离；
③线段AB的长度可以表示直线a，b之间的距离．
则①②③都正确；
故选：D．
3如图，已知点A在直线a上，C、B两点在直线b上，且a∥b，∠ABC是个钝角，若AB＝5，则a、b两直线的距离可以是（　　）
A.8 B.6 C.5 D.4
【答案】D
【解析】根据平行线之间的距离的定义可得a、b两直线的距离应该小于5，
故选：D．
4如图，直线l1∥l2，l1和AB的夹角∠DAB＝135°，且AB＝4 mm，则两平行线l1和l2之间的距离是 　　　　．
【答案】2 mm
【解析】过A作AC⊥l2，交l2于点C，
，
∴∠ACB＝90°，
∵直线l1∥l2，∠DAB＝135°，
∴∠ABC＝45°，
∴AC＝AB sin∠ABC＝2（mm），
故答案为：2 mm．
5如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D．
（1）求证：AD＝BC；
（2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离．
【答案】（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，如下图所示：
∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD，
∴CE⊥CD，DF⊥CD，
∴四边形DCEF为矩形，
∴DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°，
∵∠BCD＝∠ADC，
∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ADC﹣∠FDC，
∴∠BCE＝∠ADF，
在△ADF和△BCE中，
，
∴△ADF≌△BCE（ASA），
∴AD＝BC；
（2）解：∵AB＝17，AD＝2CD＝10，
∴CD＝5，
∵四边形DCEF为矩形，
∴EF＝CD＝5，
∵△ADF≌△BCE，
∴AF＝BE（AB﹣EF）（17﹣5）＝6，
在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，
由勾股定理得：DF8．
故AB与CD间的距离为8．
7菱形的四条边相等
1如图，在菱形ABCO中，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标是（4，3），点D是AB的中点，过点D作EF⊥BC交BC于点E，交x轴于点F，则点D的坐标是（　　）
A. B. C.（8，3） D.（7，3）
【答案】A
【解析】由题意知，，
∵菱形ABCO，
∴OA＝BC＝OC＝5，OA∥BC，
∴A（5，0），B（9，3），
∴AB的中点坐标，即，
故选：A．
2如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　）
A. B.3+3 C.6 D.
【答案】D
【解析】如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
3如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE＝∠B＝80°，那么∠CDE的度数为（　　）
A.20° B.25° C.30° D.35°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，∠ADC＝∠B＝80°，
∴∠AEB＝∠DAE＝∠B＝80°，
∴AE＝AB＝AD，
∴∠ADE（180°﹣∠DAE）（180°﹣80°）＝50°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝80°﹣50°＝30°，
故选：C．
4如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标是（3，1）．若顶点B在第一象限的角平分线上，则点B的坐标是 　　　．
【答案】（4，4）
【解析】如图，过点B作BH⊥x轴于H，过点A作AF⊥OH于F，连接AH，
∵点A的坐标是（3，1），
∴AF＝1，OF＝3，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵点B在第一象限的角平分线上，
∴△OBH是等腰直角三角形，
∴BH＝OH，
又∵AH＝AH，
∴△AHB≌△AHO（SSS），
∴OH＝BH，∠AHO＝∠AHB＝45°，
∵AF⊥OH，
∴AF＝FH＝1，
∴OH＝BH＝4，
∴点B（4，4），
故答案为：（4，4）．
5如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连接BE、CF．求证：BE＝CF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠A＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE＝CF．
8菱形对角线垂直
1如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OE的长等于（　　）
A.5 B.4 C.10 D.20
【答案】A
【解析】∵菱形ABCD的周长为40，
∴AB＝10，OB＝OD，
∵E为AD边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OEAB＝5．
故选：A．
2如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A.AB∥DC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.OA＝OC
【答案】B
【解析】A、菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故A选项正确；
B、菱形的对角线不一定相等，故B选项错误；
C、菱形的对角线一定垂直，AC⊥BD，故C选项正确；
D、菱形的对角线互相平分，OA＝OC，故D选项正确．
故选：B．
3已知菱形的周长为20，一条对角线长为8，则菱形的面积为 　　．
【答案】24
【解析】BD＝8，则BO＝DO＝4，
菱形周长为20，则AB＝5，
菱形对角线互相垂直平分，
∴OA2+OB2＝AB2，
AO＝3，AC＝6，
故菱形的面积S6×8＝24．
故答案为 24．
4在数学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（△ABF和△CDE），按如图的方式放置，已知∠BAF＝∠DCE＝90°，AF＝CE＝3，AB＝CD＝4，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，求菱形AECF的面积和BD的长．
【答案】（1）证明：在△ABF 和△CDE 中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴∠AFB＝∠CED，
∴AF∥CE．
∵AF＝CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：如解图，连接AC交EF于点O，
∵四边形AECF 为菱形，
∴AC⊥EF，OE＝OF，OA＝OC．
在Rt△ABF 中，．
由（1）知，△ABF≌△CDE，
∴BF＝DE＝5．
∵，
∴，
∴．
在BRt△AOF 中，，
∴，
∴S菱形AECFAC EF，
∵，
∴．
9利用边判定菱形
1如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是（　　）
A.∠BAC＝90° B.∠DAE＝90° C.AB＝AC D.AB＝AE
【答案】A
【解析】添加∠BAC＝90°时，
∵AD是△ABC的中线，
∴ADBC＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；
添加∠DAE＝90°，
∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；
添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，选项C错误；
添加AB＝AE，
∵AE＝AB，AB＞AD，
∴AE＞AD，
故选项D不能判定四边形ADCE是菱形；
故选：A．
2已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如图，求证，四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝CD，BC＝DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵“_____”，
∴四边形ABCD是菱形．
在以上证明过程中，“_____”可以表示的是（　　）
A.∠A＝∠C B.AD∥BC C.AB＝BC D.AB∥DC
【答案】C
【解析】根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“…………”可以表示的是AB＝BC．
故选：C．
3如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE＝FB．只需添加一个条件即可证明四边形AEFB是菱形，这个条件可以是 　　（写出一个即可）．
【答案】AE＝AB（答案不唯一）
【解析】这个条件可以是AE＝AB，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∵AE＝FB，
∴四边形AEFB是平行四边形，
又∵AE＝AB，
∴平行四边形AEFB是菱形，
故答案为：AE＝AB（答案不唯一）．
4如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为　　．
【答案】2
【解析】过点E作EF∥AB，交AD于F,
∵在 ABCD，EF∥AB,
∴AB＝EF，AF＝BE,
∵∠FAE＝∠BAE,
∴△AFE≌△ABE,
∴AB＝BE＝EF＝AF,
∴ABEF为菱形,
∴EC＝AD﹣AB＝2．
故答案为：2．
10利用对角线判定菱形
1判断四边形的框架（如图）是不是菱形，有以下方法：①检测框架的四条边是不是相等；②检测框架的四个角是不是相等；③检测框架对角线是否互相垂直且相等．其中方法可行的是（　　）
A.① B.② C.①③ D.②③
【答案】A
【解析】∵四条边都相等的四边形是菱形，
∴通过检测框架的四条边是不是相等可以判断四边形的框架是不是菱形，
故方法①可行；
∵四边角都相等的四边形，它的四个角都是直角，
∴这样的四边形是矩形，但不一定是菱形，
∴通过检测框架的四个角是不是相等不能判断四边形的框架是不是菱形，
故方法②不可行；
∵对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，
∴通过检测框架的对角线是否互相垂直且相等不能判断四边形的框架是不是菱形，
故方法③不可行，
故选：A．
2下列命题正确的是（　　）
A.对角线相等的平行四边形是菱形
B.平行四边形的两条对角线互相垂直
C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D.有三个角为直角的四边形为矩形
【答案】D
【解析】A、对角线垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
B、平行四边形的两条对角线互相平分，原命题是假命题；
C、一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
D、有三个角为直角的四边形为矩形，是真命题；
故选：D．
3在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 　　　　．
【答案】菱形
【解析】∵A（0，2），B（，0），C（0，﹣2），D（，0），
∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝2，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵A，C在y轴上，C，D在x轴上，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形．
故答案为：菱形．
4如图，在△ABC中，D是AC的中点．作BE∥AC，且使BEAC，连接DE，DE与AB交于点F．
（1）求证：DE＝BC；
（2）连接AE、BD，要使四边形AEBD是菱形，△ABC的边或角需要满足什么条件？证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵D是AC的中点，
∴CDAC，
∵BEAC，
∴CD＝BE，
∵BE∥AC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC；
（2）解：当AB⊥BC（或∠ABC＝90°）时，四边形AEBD是菱形；理由如下：
如图2所示：
∵D是AC的中点，
∴ADAC，
∵BEAC，
∴AD＝BE，
∵BE∥AD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
由（1）得，四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥CB，
当AB⊥BC时，∠ABC＝90°，
∴∠AFD＝∠ABC＝90°，即AB⊥DE，
∴四边形AEBD是菱形．
11菱形的性质与判定的综合应用
1两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（　　）
A.4 B.8 C.12 D.16
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形，
∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠F＝90°，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∠AGB＝∠GCH＝∠AHF，
在△AFH和△AGB中，
，
∴△AFH≌△AGB（AAS），
∴AH＝AG，
∴平行四边形AGCH是菱形，
∴AG＝GC＝CH＝HA，
∵∠AGB＝30°，AB＝2，
∴AB＝4，
∴四边形AGCH的周长为4×4＝16．
故选：D．
2如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
下列判断正确的是（　　）
A.甲、乙均正确 B.甲错误，乙正确 C.甲正确，乙错误 D.甲，乙均错误
【答案】A
【解析】甲的作法如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥CF，∠EAO＝∠FCO，
又∵EF垂直平分AC，
∴AO＝CO，AE＝CE，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵AE＝CE，
∴四边形AFCE为菱形，故甲的作法正确．
乙的作法如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠FAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BA＝BE，
同理可得 AB＝AF，
∴AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形．故乙的作法正确．
故选：A．
3如图，①以点A为圆心2 cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM、AN于点B、D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ③分别连接BC、CD、AC．若∠MAN＝60°，则∠ACB的大小为 　　．
【答案】30°
【解析】由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD＝2 cm，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC∥DA，∠CAB＝∠CAD∠MAN＝30°，
∴∠ACB＝∠CAD＝30°，
故答案为：30°．
4小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
【答案】菱形的每一条对角线都平分它的一组对角
【解析】如图．
∵直尺的对边互相平行，
∴AP∥OB，OA∥BP，
∴四边形AOBP是平行四边形．
∵直尺的宽度相同，
∴AP与OB间的距离＝OA与BP间的距离，
∵ AOBP的面积不变，
∴OA＝OB，
∴ AOBP是菱形，
∴OP平分∠AOB．
故答案为：菱形的每一条对角线都平分它的一组对角．
12正方形的性质与判定
1如图，在正方形ABCD中，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，G，E分别是AD，CD上的动点，且保持AG＝DE，连接GE，GF，EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△GFE是等腰直角三角形；②四边形DGFE可能为正方形；③GE长度的最小值为4；④四边形DGFE的面积保持不变．其中正确的是（　　）
A.仅①②③ B.仅①②④ C.仅②③④ D.①②③④
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，F是对角线AC，BD的交点，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD＝AB＝8，AF＝CF，BD⊥AC，
∴DF＝AF＝CFAC，∠AFD＝∠CFD＝90°，
∴∠FAD＝∠FDA＝∠FDC＝∠FCD＝45°，
在△AFG和△DFE中，
，
∴△AFG≌△DFE（SAS），
∴GF＝EF，∠AFG＝∠DFE，
∴∠GFE＝∠DFE+∠DFG＝∠AFG+∠DFG＝∠AFD＝90°，
∴△GFE是等腰直角三角形，
故①正确；
当点G是AD的中点时，则FG⊥AD，
∴∠FGD＝∠GDE＝∠GFE＝90°，
∴四边形DGFE是矩形，
∵GF＝EF，
∴四边形DGFE是正方形，
∴四边形DGFE可能是正方形，
故②正确；
∵∠GFE＝90°，GF＝EF，
∴GEGF，
当GF⊥AD时，GF的值最小，此时AG＝DG，
∴GFAD8＝4，
∴GE4＝4，
∴GE长度的最小值为4，
故③正确；
∵当GF⊥AD时，GF＝4，
∴S△AFD8×4＝16，
∵△AFG≌△DFE，
∴S△AFG＝S△DFE，
∴S四边形DGFE＝S△DFG+S△DFE＝S△DFG+S△AFG＝S△AFD＝16，
∴四边形DGFE的面积保持不变，
故④正确，
故选：D．
2下列说法错误的是（　　）
A.正方形是平行四边形
B.正方形是菱形
C.正方形是矩形
D.菱形和矩形都是正方形
【答案】D
【解析】∵正方形的两组对边分别平行，
∴正方形是平行四边形，
故A不符合题意；
∵正方形的四条边都相等，
∴正方形是菱形，
故B不符合题意；
∵正方形的四个角都是直角，
∴正方形是矩形，
故C不符合题意；
∵菱形的内角不一定是直角，
∴菱形不一定是正方形；
∵矩形的邻边不一定相等，
∴矩形不一定是正方形，
故D符合题意，
故选：D．
3如图，点P是边长为的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③当EF∥BD时，四边形PFCE为正方形；④EF的最小值是1．其中正确结论的序号是（　　）
A.①②③ B.③④ C.②③④ D.①②④
【答案】C
【解析】∵当点P与BD中点重合时，CM＝0，显然FM≠CM，故①错误；
连接PC交EF于O．根据对称性可知∠DAP＝∠DCP，
∵四边形PECF是矩形，
∴OF＝OC，
∴∠OCF＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠DAP，
∵∠DAP+∠AMD＝90°，
∴∠GFM+∠AMD＝90°，
∴∠FGM＝90°，
∴AH⊥EF，故②正确；
∵EF∥BD，EF⊥AH，
∴BD⊥AH，即点P与BD中点重合，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF是正方形，故③正确；
∵四边形PECF是矩形，
∴EF＝PC，
∴当CP⊥BD时，PC的值最小，此时A、P、C共线，
∵AC＝2，
∴PC的最小值为1，
∴EF的最小值为1，故④正确；
故选：C．
4如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B′，连接B′D，B′E，B′F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB′F′成为正方形时，B′D的长为 　　　　　．
【答案】
【解析】如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BDAB＝2，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'BE，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'，
故答案为：．
5如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　　．
【答案】①②④
【解析】如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形，故②正确；
∴DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∵AD＝CD，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故①正确；
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝90°是定值，故③错误；
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝3是定值．故④正确；
故答案为：①②④．
6如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．
（1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF；
（2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
又∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AB＝BC，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形．
7如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
13平行四边形、矩形、菱形、正方形的综合应用
1小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）
A.（1）处可填∠A＝90°
B.（2）处可填AD＝AB
C.（3）处可填AD＝CB
D.（4）处可填∠A＝90°
【答案】C
【解析】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、对边相等是平行四边形的性质，故该选项符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故该选项不符合题意；
故选：C．
2下列判断错误的是（　　）
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.四条边都相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B．四个内角都相等的四边形是矩形，故B正确，不符合题意；
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故C错误，符合题意；
D．四条边都相等的四边形是菱形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
3已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（　　）
①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；
③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
A.3个 B.4个 C.1个 D.2个
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确，
当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，
当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，
当AC＝BD时，它是矩形，故④错误，
故选：A．
4如图，菱形ABCD的顶点A恰好是矩形BCEF对角线的交点，若菱形ABCD的周长为8，则矩形BCEF的面积是 　　　　．
【答案】4
【解析】∵四边形BCEF是矩形，
∴BE=2AB，∠BCE=90°，
∵四边形ABCD是周长为8的菱形，
∴AB=BC=×8=2，
∴BE=2AB=4，
∴CE=2,
∴矩形BCEF的面积=BC CE=2×2=4,
故答案为：4,
5如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN．
（1）求证：四边形BMCN是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？判断并说明理由．
【答案】（1）证明：∵CM∥BN，
∴∠DBN＝∠DCM，
∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDN和△CDM中，
，
∴△BDN≌△CDM（ASA），
∴DN＝DM，
∴四边形BMCN是平行四边形．
（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形BMCN是菱形，理由如下：
由（1）可知，四边形BMCN是平行四边形，
∵AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形BMCN是菱形．
14有关正方形边、角的性质
1如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形ABCD内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形ABCD的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，
∵两个正方形的周长和为60，
∴4x+4y＝60，
∴x+y＝15，
∴BC＝x+y﹣b，AB＝x+y﹣a，
∵长方形ABCD的周长为48，
∴BC+AB＝24，
∴x+y﹣b+x+y﹣a＝24，
∴30﹣a﹣b＝24，
∴a+b＝6，
∴2（a+b）＝12，
∴阴影部分的周长为12，
故选：D．
2如图，正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接AE、EF、AF，下列结论：①BE+DF＝EF；②AE平分∠BEF；③△CEF的周长为2；④S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确结论的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】①延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，如下图所示：
则EG＝BE+BG＝BE+DF，
∵四边形ABC为正方形，AB＝1，
∴∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
∴∠ABG＝∠D＝90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠2＝∠1，AG＝AF，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠1+∠3＝∠DAB﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠2+∠2＝45°，
∴∠EAG＝∠EAF＝45°，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF＝BE+DF，
故结论①正确；
②∵△AEG≌△AEF，
∴∠GEA＝∠FEA，
即AE平分∠BEF，
故结论②正确；
③∵BE+DF＝EF，
∴CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2，
即△CEF的周长为2，
故结论③正确；
④设DF＝a，BE＝b，则CF＝1﹣a，CE＝1﹣b，EF＝BE+DF＝a+b，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，
即（a+b）2＝（1﹣a）2+（1﹣b）2，
整理得：ab＝1﹣a﹣b，
∵S△ABEBE ABb，S△ADFDF ADa，
∴S△ABE+S△ADF（a+b），
又∵S△CEFCE CF（1﹣a）（1﹣b）（1﹣a﹣b+ab），
将ab＝1﹣a﹣b代入上式得：S△CEF＝1﹣（a+b），
∴S△CEF≠S△ABE+S△ADF，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：C．
3如图，正方形ABCD中，M是正方形内一点，连结BM，使BM＝BC，再连接CM，DM，过点D有DN⊥DM，且DN＝DM，连接AN，若∠CBM＝α，则∠DAN的度数是（　　）
A.90°﹣2α B.α C.45° D.
【答案】D
【解析】∵BM＝BC，∠CBM＝α，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝DA，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴，
∵DN⊥DM，
∴∠MDN＝90°，
∴∠NDA＝∠MDC，
∵DN＝DM，
∴△NDA≌△MDC（SAS），
∴，
故选：D．
4如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，DE＝AF，BE⊥CF于点G，若BC＝8，AF＝2，则GF的长为 　　．
【答案】5.2
【解析】∵四边形ABCD为正方形，BC＝8，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝8，
又∵DE＝AF＝2，
∴CE＝DF＝6，
∴在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE（SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∵在Rt△BCE中，BC＝8，CE＝6，
∴BE＝10，
∴BE CG＝BC CE，
∴CG，
∵△CDF≌△BCE（SAS），
∴CF＝BE＝10，
∴GF＝CF﹣CG＝105.2．
故答案为：5.2．
5如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．
【答案】证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，
又∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴BE＝CF，
在△CEB和△DFC中，
，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE＝DF．
15正方形对角线的性质
1图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（　　）
A.AC⊥BD B.AD＝AO C.DO＝CO D.∠DAO＝∠BAC
【答案】B
【解析】∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠DAO＝∠BAC＝45°，
∴，
故选项A，C，D正确，不符合题意；选项B错误，符合题意；
故选：B．
2如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠BCE的度数是（　　）
A.20° B.22.5° C.40 D.67.5°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵AE＝AC，
∴，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝22.5°．
故选：B．
3如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且CE＝DF．连接BE，CF，CF交对角线BD于G，连接AG．若∠EBC＝α，则∠AGF＝（　　）
A.2α B.45°+α C.90°﹣2α D.45°﹣α
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠BCE＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，
在△BCE与△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠EBC＝∠FCD＝α，
在△ADG与△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG＝α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DFG＝∠BCF＝90°﹣α，
∴∠FGD＝180°﹣∠FDG﹣∠DFG＝180°﹣45°﹣（90°﹣α）＝45°+α，
∴∠AGF＝180°﹣∠FGD﹣∠DAG﹣∠ADG＝180°﹣（45°+α）﹣α﹣45°＝90°﹣2α，
故选：C．
4如图，E是正方形ABCD边BC延长线上的一点，且CE＝BD．则∠E的度数为____度．
【答案】22.5
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，∠ACB＝45°，
∵CE＝BD．
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠CAE+∠E＝45°，
∴∠E＝22.5°，
故答案为：22.5．
5小明正在思考一道几何证明题：
如图1，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，连接DE，DF，BE，BF，且DE＝DF．求证：四边形BFDE是菱形．
请指出小明想法中的错误之处，并按小明的思路，写出正确的证明．
【答案】解：第一步由SSA证明△DEA≌△DFC是错误的；
证明如下：由DE＝DF，
得∠DEO＝∠DFO，
得∠DEA＝∠DFC，
由DA＝DC，∠DAE＝∠DCF＝45°，
得△DEA≌△DFC（AAS），
得AE＝CF，
连接BD（如图2），交AC于点O，
可证得 OB＝OD，OE＝OF，
得四边形BFDE是平行四边形；
由DE＝DF，四边形BFDE是平行四边形，
得四边形BFDE是菱形．

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