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第2课时　常用逻辑用语
[考试要求]　1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1． (人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为 (　　)
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
2．(苏教版必修第一册P47T10改编)若命题“ x∈R，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
3．(多选)(人教A版必修第一册P29探究改编)下列说法正确的是 (　　)
A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题
B．命题“ x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题
C．命题“ x∈R，x2＋2x＋1≤0”的否定是真命题
D．命题“有一个偶数是素数”是真命题
4．(北师大版必修第一册P45复习题一A组T1(3)改编)不等式2x2－5x－3<0成立的一个必要不充分条件是 (　　)
A．－3C．－15．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)若集合A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}，B＝{x|3－m≤x≤5＋m}，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为___________．
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的___________条件，q是p的___________条件
p是q的______________条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 ______________
p是q的充要条件 ______________
p是q的__________________条件 pq且qp
[二级结论]　从集合的角度理解充分必要性
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
(1)p是q的充分不必要条件 A B；
(2)p是q的必要不充分条件 A B；
(3)p是q的充要条件 A＝B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件 A与B没有包含关系．
2．全称量词命题与存在量词命题
全称量词及其命题 存在量词及其命题
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题形式 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 ______________ ______________
1．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
2．充分、必要条件的常用判定方法：定义法、集合法和等价转化法．
3．“A的充分不必要条件是B”是指B A，且AB；而“A是B的充分不必要条件”则是指A B，且BA．
考点一　充分、必要条件
　充分、必要条件的判定与探求
[典例1]　(1)(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是 (　　)
A．a＝－1 B．a＝b
C．b＝1 D．ab＝1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　充分、必要条件的应用
[典例2]　(2025·吉林延边一模)若“x≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，则实数m的取值范围是 (　　)
A．m<0 B．m≤0
C．m>0 D．m≥0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　充分、必要条件的证明
[典例3]　证明：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：(1)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验；
(2)充要条件的证明要落实充分性和必要性两个层面的证明，特别注意逻辑推理的方向性．
[巩固迁移]
1．(2025·上海三模)a，b∈R，请从以下选项中选出“a>b”的充分条件 (　　)
A．3a>4b B．a2>b2
C．a>|b| D．2a>3b
2．(多选)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则 (　　)
A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是－2C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4
3．请在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”中任选一个，将序号补充在横线处，并解答．
已知集合A＝，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}，且x∈A是x∈B的___________条件，判断实数m的值是否存在，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
考点二　全称量词与存在量词
　含量词命题的否定及真假判断
[典例4]　(1)(2026·湖南长沙模拟)命题“ x∈R，ex≤x＋1”的否定是 (　　)
A． x R，ex>x＋1 B． x∈R，ex>x＋1
C． x R，ex≤x＋1 D． x∈R，ex≥x＋1
(2)已知p： x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0；q： x∈R，x2－4x＋a＝0．若p为假命题，q为真命题，则a的取值范围为 (　　)
A．[－3，4] B．(－3，4]
C．(－∞，－3) D．[4，＋∞)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　含双量词成立问题
[典例5]　已知f (x)＝x2－2x－1，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f (x1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：含量词命题的解题策略
(1)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
(2)一般地，已知函数y＝f (x)，x∈[a，b]，y＝g(x)，x∈[c，d]．
①若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，总有f (x1)②若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f (x1)③若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f (x1)[巩固迁移]
4．(2026·陕西西安模拟)若p： x>0，ln x＋x2＋2>0，则 (　　)
A．p是真命题，且 p： x>0，ln x＋x2＋2≤0
B．p是真命题，且 p： x≤0，ln x＋x2＋2≤0
C．p是假命题，且 p： x>0，ln x＋x2＋2≤0
D．p是假命题，且 p： x≤0，ln x＋x2＋2≤0
5．若命题“ x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是___________．
6．已知函数f (x)＝与g(x)＝x2－2ax＋4(a>0)，若对任意的x1∈(0，1)，都存在x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是___________．
第2课时　常用逻辑用语
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．B　2．A　3．BD　4．C　5．[5，＋∞)
No2．储备知识要点
1．充分　必要　充分不必要　pq且q p　p q　既不充分也不必要
2． x∈M， p(x)　 x∈M， p(x)
精研考点·提升素养
考点一
考向1　典例1　(1)A　(2)AC　[(1)由x＝0，得sin 2x＝0，所以充分性成立；由sin 2x＝0，得x＝(k∈Z)，所以必要性不成立．所以“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A．
(2)由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC．]
考向2　典例2　B　[由“x≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，
得{x|0≤x<1} {x|x≥m}，但{x|0≤x<1}≠{x|x≥m}，
所以m≤0．故选B．]
考向3　典例3　证明：充分性：若m<0，则关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，证明如下：当m<0时，Δ＝(－2)2－4m＝4－4m>0，所以方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实根．设两根分别为x1，x2，则x1x2＝m<0，所以方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，故充分性成立．
必要性：若关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，则m<0，证明如下：设方程x2－2x＋m＝0的一正一负根分别为x1，x2，
则
解得m<0，
所以若关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，解得m<0，故必要性成立．所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．
巩固迁移
1．C
2．BC　[对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝－16<0，方程没有实数根，故A错误；
对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，即－2所以方程无实数根的一个充分条件是{a|－2对于C，方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得a>6，故C正确；
对于D，方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得a<－3，故D错误．
故选BC．]
3．解：由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝{x|－3≤x≤4}，
由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)·(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m，
所以B＝．
若选择条件①，则集合A是B的真子集，
得解得m≥4．
当m＝4时，B＝，A B，符合题意．
若选择条件②，则集合B是A的真子集，得解得0当m＝3时，B＝，则B A，符合题意．
若选择条件③，则集合A＝B，
得无解，
所以不存在满足条件③的实数m．
考点二
考向1　典例4　(1)B　(2)A　[(1)命题“ x∈R，ex≤x＋1”的否定是“ x∈R，ex>x＋1”．
故选B．
(2)由题意知，p： x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0为假命题，
则 p： x∈[－1，2]，x2－2x＋a≥0为真命题，
当x∈[－1，2]时，y＝x2－2x＋a的图象的对称轴方程为x＝1，开口方向向上，
此时其最大值为(－1)2＋2＋a＝3＋a，则3＋a≥0，解得a≥－3．
又q： x∈R，x2－4x＋a＝0为真命题，即Δ＝16－4a≥0，解得a≤4．
综上，a的取值范围为[－3，4]．]
考向2　典例5　(1，2)　[当x∈[－1，2]时，f (x)＝(x－1)2－2，则f (x)max＝f (－1)＝2，
因为对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f (x1)而当0于是a>1，函数g(x)＝logax在[2，4]上单调递增，则loga4>2，即1所以实数a的取值范围是(1，2)．]
巩固迁移
4．C
5．　[若“ x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定“ x∈，使λx2＋x－2≤0”为真命题，即λ≤．
令f (x)＝＝2，
由x∈∈，
所以f (x)min＝f (4)＝－，
所以λ≤－．]
6．　[因为f (x)＝为减函数，x1∈(0，1)，故f (x1)∈．
对任意的x1∈(0，1)，都存在x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)，
f (x1)的值域是g(x2)值域的子集．
①当0解得≤a<2，
此时g(x)max＝g(0)＝4≥1，成立．
②当a≥2时，函数g(x)在[0，2]上单调递减，
g(x)max＝g(0)＝4≥1，成立，
g(x)min＝g(2)＝8－4a≤，解得a≥，即a≥2．
综上所述，a∈．]
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第2课时　常用逻辑用语
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
[考试要求]　
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．
2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为(　　)
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
以题引理·激活思维
√
B　[因为 a>b， abc a>b， 而由a>b ac>bc，所以“ac>bc”是“a>b”的既不充分也不必要条件，故A，C错误．又 a＝b， a＝b，所以由ac＝bc a＝b，由a＝b ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故B正确，D错误．故选B．]
2．(苏教版必修第一册P47T10改编)若命题“ x∈R，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
A　[因为命题“ x∈R，x2＋1≥m”是真命题，
所以m≤(x2＋1)min，又因为y＝x2＋1≥1，
所以(x2＋1)min＝1，所以m≤1．故选A．]
√
3．(多选)(人教A版必修第一册P29探究改编)下列说法正确的是(　　)
A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题
B．命题“ x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题
C．命题“ x∈R，x2＋2x＋1≤0”的否定是真命题
D．命题“有一个偶数是素数”是真命题
√
√
BD　[命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，不是存在量词命题，所以该命题是假命题；
命题“ x∈R，x2＋1<0”是全称量词命题，所以该命题是真命题；
命题“ x∈R，x2＋2x＋1≤0”，如x＝－1，所以该命题是真命题，故其否定是假命题；
命题“有一个偶数是素数”是真命题，如2，所以该命题是真命题．故选BD．]
4．(北师大版必修第一册P45复习题一A组T1(3)改编)不等式2x2－5x－3<0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A．－3C．－1C　[不等式2x2－5x－3<0的解集是是(－1，3)的真子集，所以“－1√
5．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)若集合A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}，B＝{x|3－m≤x≤5＋m}，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_________________．
[5，＋∞)　[A＝{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，故解得m≥5，
所以实数m的取值范围是[5，＋∞)．]
[5，＋∞)
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的______条件，q是p的______条件
p是q的__________条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 ____________
p是q的充要条件 ______
p是q的________________条件 p q且q p
充分
必要
充分不必要
p q
p
q且q p
既不充分也不必要
[二级结论]　从集合的角度理解充分必要性
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
(1)p是q的充分不必要条件 A B；
(2)p是q的必要不充分条件 A B；
(3)p是q的充要条件 A＝B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件 A与B没有包含关系．
2．全称量词命题与存在量词命题
全称量词及其命题 存在量词及其命题
量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个
符号
命题形式 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 __________________ ____________________
x∈M， p(x)
x∈M， p(x)
1．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
2．充分、必要条件的常用判定方法：定义法、集合法和等价转化法．
3．“A的充分不必要条件是B”是指B A，且A B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A B，且B A．
考点一　充分、必要条件
考向1　充分、必要条件的判定与探求
[典例1]　(1)(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的
(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a＝－1 B．a＝b
C．b＝1 D．ab＝1
精研考点·提升素养
√
√
√
(1)A　(2)AC　[(1)由x＝0，得sin 2x＝0，所以充分性成立；由sin 2x＝0，得x＝(k∈Z)，所以必要性不成立．所以“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A．
(2)由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC．]
考向2　充分、必要条件的应用
[典例2]　(2025·吉林延边一模)若“x≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，则实数m的取值范围是(　　)
A．m<0 B．m≤0
C．m>0 D．m≥0
√
B　[由“x≥m”的充分不必要条件是“0≤x<1”，
得{x|0≤x<1} {x|x≥m}，但{x|0≤x<1}≠{x|x≥m}，
所以m≤0．故选B．]
考向3　充分、必要条件的证明
[典例3]　证明：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．
[证明]　充分性：若m<0，则关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，证明如下：当m<0时，Δ＝(－2)2－4m＝4－4m>0，所以方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实根．设两根分别为x1，x2，则x1x2＝m<0，所以方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，故充分性成立．
必要性：若关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，则m<0，证明如下：设方程x2－2x＋m＝0的一正一负根分别为x1，x2，
则解得m<0，
所以若关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，解得m<0，故必要性成立．所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件．
名师点评：(1)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验；
(2)充要条件的证明要落实充分性和必要性两个层面的证明，特别注意逻辑推理的方向性．
[巩固迁移]
1．(2025·上海三模)a，b∈R，请从以下选项中选出“a>b”的充分条件(　　)
A．3a>4b B．a2>b2
C．a>|b| D．2a>3b
√
C　[对于A，若a＝－4，b＝－3.5，满足3a>4b，不满足a>b，故A不是充分条件；
对于B，当a＝－2，b＝1满足a2>b2，不满足a>b，所以B不是充分条件；
对于C，若a>|b|，又因为|b|≥b，所以a>b，所以C是充分条件；
对于D，a＝－3，b＝－2，满足2a>3b，不满足a>b，故D不是充分条件．故选C．]
2．(多选)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　)
A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根
B．方程无实数根的一个充分条件是－2C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4
√
√
BC　[对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝
－16<0，方程没有实数根，故A错误；
对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，
即－2所以方程无实数根的一个充分条件是{a|－2显然－2对于C，方程有两个不相等的负根的充要条件是
解得a>6，故C正确；
对于D，方程有一个正根和一个负根的充要条件是
解得a<－3，故D错误．
故选BC．]
3．请在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”中任选一个，将序号补充在横线处，并解答．
已知集合A＝，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m>0}，且x∈A是x∈B的______条件，判断实数m的值是否存在，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
[解]　由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝，
由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m，
所以B＝．
若选择条件①，则集合A是B的真子集，
得解得m≥4．
当m＝4时，B＝，A B，符合题意．
若选择条件②，则集合B是A的真子集，得
解得0当m＝3时，B＝，则B A，符合题意．
若选择条件③，则集合A＝B，得
无解，所以不存在满足条件③的实数m．
【教用·备选题】
1．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
C　[根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．故选C．]
2．“ln(x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　)
A．－10
C．－1√
D　[ln(x＋1)<0等价于03．(2025·浙江绍兴二模)已知集合A，B，C均为非空集合．若a∈B是a∈A的充分不必要条件，a∈A是a∈C的充分不必要条件，则a∈B是a∈C的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
√
A　[由a∈B是a∈A的充分不必要条件，即B是A的真子集，由a∈A是a∈C的充分不必要条件，即A是C的真子集，
所以B是C的真子集，即a∈B是a∈C的充分不必要条件．
故选A．]
4．已知p：1<2x<4，q：x2－ax－1<0，若p是q的充分不必要条件，则(　　)
A．a≥
C．a>2 D．0√
A　[命题p：1<2x<4，即p：0因为p是q的充分不必要条件，
显然当x＝0时，满足q：x2－ax－1<0，
所以当0则a>x－在0又函数f 在(0，2)上单调递增，且f (2)＝，所以a≥．
故选A．]
5．(2026·浙江台州模拟)若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．
(1)若x∈A是x∈B的充要条件，则b＝________；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则b的取值范围是_____________．
(1)　[(1)由已知可得A＝B，
则x＝2是方程bx＝1的解，解得b＝．
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B，
所以所以b>，则b的取值范围是．]
6．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0．
[证明]　①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，
所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0．
②充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根．
综上所述，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0．
考点二　全称量词与存在量词
考向1　含量词命题的否定及真假判断
[典例4]　(1)(2026·湖南长沙模拟)命题“ x∈R，ex≤x＋1”的否定是(　　)
A． x R，ex>x＋1 B． x∈R，ex>x＋1
C． x R，ex≤x＋1 D． x∈R，ex≥x＋1
√
(2)已知p： x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0；q： x∈R，x2－4x＋a＝0．若p为假命题，q为真命题，则a的取值范围为(　　)
A．[－3，4] B．(－3，4]
C．(－∞，－3) D．[4，＋∞)
√
(1)B　(2)A　[(1)命题“ x∈R，ex≤x＋1”的否定是“ x∈R，ex>x＋1”．故选B．
(2)由题意知，p： x∈[－1，2]，x2－2x＋a<0为假命题，
则 p： x∈[－1，2]，x2－2x＋a≥0为真命题，
当x∈[－1，2]时，y＝x2－2x＋a的图象的对称轴方程为x＝1，开口方向向上，
此时其最大值为(－1)2＋2＋a＝3＋a，则3＋a≥0，解得a≥－3．
又q： x∈R，x2－4x＋a＝0为真命题，即Δ＝16－4a≥0，
解得a≤4．综上，a的取值范围为[－3，4]．]
考向2　含双量词成立问题
[典例5]　已知f (x)＝x2－2x－1，g(x)＝logax(a>0且a≠1)，若对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f (x1)(1，2)
(1，2)　[当x∈[－1，2]时，f (x)＝(x－1)2－2，则f (x)max＝f (－1)＝2，
因为对任意的x1∈[－1，2]，都存在x2∈[2，4]，使得f (x1)而当0于是a>1，函数g(x)＝logax在[2，4]上单调递增，则loga4>2，即1所以实数a的取值范围是(1，2)．]
名师点评：含量词命题的解题策略
(1)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．
(2)一般地，已知函数y＝f (x)，x∈[a，b]，y＝g(x)，x∈[c，d]．
①若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，总有f (x1)②若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f (x1)③若 x1∈[a，b]， x2∈[c，d]，有f (x1)[巩固迁移]
4．(2026·陕西西安模拟)若p： x>0，ln x＋x2＋2>0，则(　　)
A．p是真命题，且 p： x>0，ln x＋x2＋2≤0
B．p是真命题，且 p： x≤0，ln x＋x2＋2≤0
C．p是假命题，且 p： x>0，ln x＋x2＋2≤0
D．p是假命题，且 p： x≤0，ln x＋x2＋2≤0
√
C　[因为当x＝时，ln x＋x2＋2＝－3＋－1<0，所以p是假命题，
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以 p： x>0，ln x＋x2＋2≤0．故选C．]
5．若命题“ x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是_________________．
　[若“ x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定“ x∈，使λx2＋x－2≤0”为真命题，即λ≤．令f (x)＝，
由x∈，
所以f (x)min＝f (4)＝－，所以λ≤－．]
6．已知函数f (x)＝与g(x)＝x2－2ax＋4(a>0)，若对任意的x1∈(0，1)，都存在x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是________________．
　[因为f (x)＝为减函数，x1∈(0，1)，
故f (x1)∈．
对任意的x1∈(0，1)，都存在x2∈[0，2]，使得f (x1)＝g(x2)，
所以f (x1)的值域是g(x2)值域的子集．
①当0此时g(x)max＝g(0)＝4≥1，成立．
②当a≥2时，函数g(x)在[0，2]上单调递减，
g(x)max＝g(0)＝4≥1，成立，
g(x)min＝g(2)＝8－4a≤，解得a≥，即a≥2．
综上所述，a∈．]
【教用·备选题】
(2026·云南昆明模拟)已知命题：“ x∈(0，＋∞)，2x2－ax＋1<0”为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，2]
C．(－∞，1] D．
√
A　[已知命题“ x∈(0，＋∞)，2x2－ax＋1<0”为假命题，可知其否定“ x∈(0，＋∞)，2x2－ax＋1≥0”为真命题．
由2x2－ax＋1≥0，x∈(0，＋∞)，
得a≤2x＋在(0，＋∞)上恒成立．
在2x＋中，因为x>0，则2x＋，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立．
因为a≤2x＋在(0，＋∞)上恒成立，所以a≤2，
所以实数a的取值范围是(－∞，2]．故选A．]
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p： n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为(　　)
A． n∈N*，n2≤n－1 B． n∈N*，n2C． n∈N*，n2≤n－1 D． n∈N*，n2C　[由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p： n∈N*，n2>n－1的否定 p为“ n∈N*，n2≤n－1”．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
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13
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15
课后作业(二)　常用逻辑用语
√
16
题号
2
1
3
4
5
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15
2．(2026·天津模拟)设a，b∈R，则“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
√
16
B　[由a2＋a＝b2＋b，得a2－b2＋a－b＝(a－b)·(a＋b＋1)＝0，得a＝b或a＋b＋1＝0，所以“a2＋a＝b2＋b”不是“a＝b”的充分条件，
反过来，a＝b能推出a2＋a＝b2＋b，“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的必要条件．
所以“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的必要不充分条件．
故选B．]
题号
2
1
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16
3．已知A＝{x|1A．a≤1 B．a≥1
C．a≤2 D．a≥2
题号
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√
D　[因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，所以a≥2．故选D．]
16
4．(2025·辽宁沈阳一模)若命题“ x∈R，sin xA．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
题号
2
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15
√
C　[因为“ x∈R，sin x[－1，1]，故a≤－1．故选C．]
16
5．(2026·湖南长沙模拟)设a为常数，命题p： x∈[0，1]，a－2x≤0，则p为真命题的充要条件是(　　)
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥2 D．a≤2
题号
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√
D　[由p为真命题，则当x∈[0，1]时，a－2x≤0能成立，即a≤2x能成立，所以a≤(2x)max＝2．故选D．]
16
6．关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要不充分条件的是(　　)
A．m<
C．m<－
题号
2
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√
A　[关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，
则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，
结合选项可知m≤的一个必要不充分条件的是m<．故选A．]
16
7．(2025·河北石家庄一模)如果ab>0，那么“a>b”是“”的
(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题号
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√
16
C　[若ab>0，a>b，则b－a<0，
则<0，即，充分性成立；
若ab>0，<0，
所以b所以如果ab>0，那么“a>b”是“”的充要条件．故选C．]
题号
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8．已知命题p： x∈R，x2－x＋1>0，命题q： x<0，x2＝x3，则
(　　)
A．p和q都是真命题 B．p和 q都是真命题
C． p和q都是真命题 D． p和 q都是真命题
题号
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1
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√
B　[对于命题p，因为x2－x＋1＝>0，所以p是真命题；对于命题q，由x2＝x3可得x＝0或x＝1，所以q为假命题，则 q是真命题．故选B．]
16
二、多项选择题
9．命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．m>－2 B．m>－1
C．m>0 D．m>1
题号
2
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15
√
16
√
CD　[由题意，存在x>0，使得mx2＋2x－1>0，
即m>－1，
当－1＝0，即x＝1时，的最小值为－1，故m>－1，所以命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>－1}的真子集，结合选项可得，C和D项符合条件．]
题号
2
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16
10．(2025·河北保定三模)已知集合A＝{x|ax＋6>0}，B＝{x|－1A． a∈R，A∩B＝A
B． a∈R，A∩B＝B
C． a∈R，A∩B≠
D． a∈R，A∪( RB)＝R
题号
2
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√
16
√
√
BCD　[已知集合A＝{x|ax＋6>0}，B＝{x|－1当a>0时，A＝；当a＝0时，A＝R；
当a<0时，A＝．
对于A，由对集合A分析知A∩B≠A，故A不正确；
对于B，当a＝－1时，A＝(－∞，6)，此时A∩B＝B，故B正确；
对于C，由对集合A分析知 a∈R，A∩B≠ ，故C正确；
对于D，当a＝2时，A∪( RB)＝R，故D正确．故选BCD．]
题号
2
1
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11．(2026·湖北武汉模拟)使关于a，b的不等式ab＋1>a＋b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a>1且b>1
B．a<1且b<1
C．|a|<1且|b|<1
D．|a|>1且|b|>1
题号
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15
√
16
√
√
ABC　[不等式ab＋1>a＋b等价于(a－1)(b－1)>0，
即
对于A，由a>1且b>1能推出
不能推出a>1且b>1，故A符合题意；
对于B，由a<1且b<1能推出反之不能，故B符合题意；
题号
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对于C，|a|<1且|b|<1等价于－1故|a|<1且|b|<1能推出反之不能，故C符合题意；
对于D，|a|>1且|b|>1等价于a>1或a<－1且b>1或b<－1，
故|a|>1且|b|>1不能推出故D不符合题意．故选ABC．]
题号
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三、填空题
12．(2025·辽宁抚顺二模)命题p：“ x∈[－1，3]，x2－2x－m≤0”是假命题，则m的取值范围是________________．
题号
2
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(－∞，－1)　[由题意， p： x∈[－1，3]，x2－2x－m>0为真命题，所以m又y＝x2－2x在x∈[－1，3]上的最小值为－1，
所以m<－1，
所以实数m的取值范围为(－∞，－1)．]
(－∞，－1)
13．(2026·江西宜春模拟)已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＋1>0，且p为真命题时，a的取值集合为A．设B＝{x|2m题号
2
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　[依题意，关于x的不等式x2＋4x＋a＋1>0恒成立，
所以Δ＝16－4(a＋1)<0，解得a>3，
所以实数a的取值的集合A＝{a|a>3}．
因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，
所以B为A的真子集．
又B＝{x|2m所以≤m<2，
所以实数m的取值范围为．]
题号
2
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14．已知f (x)＝x2，g(x)＝－m．若 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是_________________．
题号
2
1
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　[当x∈[0，3]时，f (x)min＝f (0)＝0；当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m．
由题意得f (x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥．]
15．已知f (x)＝ax2＋bx＋1，有下列四个命题：
p1：x＝是f (x)的零点；
p2：x＝2是f (x)的零点；
p3：f (x)的两个零点之和为1；
p4：f (x)有两个异号零点．
若只有一个假命题，则该命题是(　　)
A．p1 B．p2
C．p3 D．p4
题号
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√
A　[由题意，若p1，p2是真命题，则p3，p4均为假命题，不合题意，故p1，p2中必有一个假命题．
若p1是假命题，p2，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝－1，此时p4为真命题，符合题意；
若p2是假命题，p1，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝，此时p4为假命题，不符合题意．
故选A．]
题号
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16．已知集合A＝{x|x(x－4)≥0}，B＝{x|a＋1(1)若 x∈A，均有x B，求实数a的取值范围；
(2)若a>2，设p： x∈B，x A，求证：p成立的充要条件为22025课标新变化：借助逻辑用语进行数学论证和交流．
题号
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[解]　(1)A＝{x|x(x－4)≥0}＝{x|x≤0，或x≥4}．
因为 x∈A，均有x B，所以A∩B＝ ．
当a≤2时，B＝ ，满足题意；
当a>2时，解得－1≤a≤，所以2综上，a≤，即a的取值范围是．
题号
2
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(2)证明：充分性：当2所以当x∈(a＋1，4)时，x∈B，x A，所以 x∈B，x A为真命题，充分性成立；
必要性：若p： x∈B，x A为真命题，则 p： x∈B，x∈A为假命题．
先求 p： x∈B，x∈A为真命题时a的取值范围，
因为a>2，所以B≠ ，由 p： x∈B，x∈A，得B A．
则2a－1≤0或a＋1≥4，解得a≤或a≥3，所以a≥3．
因为 p： x∈B，x∈A为假命题，所以2综上，若a>2，则p成立的充要条件为2题号
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谢 谢 ！课后作业(二)　常用逻辑用语
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p： n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为 (　　)
A． n∈N*，n2≤n－1
B． n∈N*，n2C． n∈N*，n2≤n－1
D． n∈N*，n22．(2026·天津模拟)设a，b∈R，则“a2＋a＝b2＋b”是“a＝b”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知A＝{x|1A．a≤1 B．a≥1
C．a≤2 D．a≥2
4．(2025·辽宁沈阳一模)若命题“ x∈R，sin xA．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
5．(2026·湖南长沙模拟)设a为常数，命题p： x∈[0，1]，a－2x≤0，则p为真命题的充要条件是 (　　)
A．a≥1 B．a≤1
C．a≥2 D．a≤2
6．关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要不充分条件的是 (　　)
A．m<
C．m<－
7．(2025·河北石家庄一模)如果ab>0，那么“a>b”是“”的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知命题p： x∈R，x2－x＋1>0，命题q： x<0，x2＝x3，则 (　　)
A．p和q都是真命题
B．p和 q都是真命题
C． p和q都是真命题
D． p和 q都是真命题
二、多项选择题
9．命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的一个充分不必要条件是 (　　)
A．m>－2 B．m>－1
C．m>0 D．m>1
10．(2025·河北保定三模)已知集合A＝{x|ax＋6>0}，B＝{x|－1A． a∈R，A∩B＝A
B． a∈R，A∩B＝B
C． a∈R，A∩B≠
D． a∈R，A∪( RB)＝R
11．(2026·湖北武汉模拟)使关于a，b的不等式ab＋1>a＋b成立的充分不必要条件是 (　　)
A．a>1且b>1
B．a<1且b<1
C．|a|<1且|b|<1
D．|a|>1且|b|>1
三、填空题
12．(2025·辽宁抚顺二模)命题p：“ x∈[－1，3]，x2－2x－m≤0”是假命题，则m的取值范围是___________．
13．(2026·江西宜春模拟)已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＋1>0，且p为真命题时，a的取值集合为A．设B＝{x|2m已知f (x)＝x2，g(x)＝－m．若 x1∈[0，3]， x2∈[1，2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是___________．
15．已知f (x)＝ax2＋bx＋1，有下列四个命题：
p1：x＝是f (x)的零点；
p2：x＝2是f (x)的零点；
p3：f (x)的两个零点之和为1；
p4：f (x)有两个异号零点．
若只有一个假命题，则该命题是 (　　)
A．p1 B．p2
C．p3 D．p4
16．(12分)已知集合A＝{x|x(x－4)≥0}，B＝{x|a＋1(1)若 x∈A，均有x B，求实数a的取值范围；
(2)若a>2，设p： x∈B，x A，求证：p成立的充要条件为22025课标新变化：借助逻辑用语进行数学论证和交流．
课后作业(二)
1．C　[由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p： n∈N*，n2>n－1的否定 p为“ n∈N*，n2≤n－1”．故选C．]
2．B
3．D　[因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，所以a≥2．故选D．]
4．C　[因为“ x∈R，sin x5．D　[由p为真命题，则当x∈[0，1]时，a－2x≤0能成立，即a≤2x能成立，所以a≤(2x)max＝2．故选D．]
6．A　[关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解，
则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，
结合选项可知m≤的一个必要不充分条件的是m<．故选A．]
7．C　[若ab>0，a>b，则b－a<0，
则<0，即<，充分性成立；
若ab>0，<<0，
所以b所以如果ab>0，那么“a>b”是“<”的充要条件．故选C．]
8．B　[对于命题p，因为x2－x＋1＝>0，所以p是真命题；对于命题q，由x2＝x3可得x＝0或x＝1，所以q为假命题，则 q是真命题．故选B．]
9．CD
10．BCD　[已知集合A＝{x|ax＋6>0}，B＝{x|－1当a>0时，A＝；当a＝0时，A＝R；当a<0时，A＝．
对于A，由对集合A分析知A∩B≠A，故A不正确；
对于B，当a＝－1时，A＝(－∞，6)，此时A∩B＝B，故B正确；
对于C，由对集合A分析知 a∈R，A∩B≠ ，故C正确；
对于D，当a＝2时，A∪( RB)＝R，故D正确．故选BCD．]
11．ABC　12．(－∞，－1)
13．　[依题意，关于x的不等式x2＋4x＋a＋1>0恒成立，
所以Δ＝16－4(a＋1)<0，解得a>3，
所以实数a的取值的集合A＝{a|a>3}．
因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，
所以B为A的真子集．
又B＝{x|2m所以≤m<2，
所以实数m的取值范围为．]
14．　[当x∈[0，3]时，f (x)min＝f (0)＝0；当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m．
由题意得f (x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥．]
15．A　[由题意，若p1，p2是真命题，则p3，p4均为假命题，不合题意，故p1，p2中必有一个假命题．
若p1是假命题，p2，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝－1，此时p4为真命题，符合题意；
若p2是假命题，p1，p3是真命题，则f (x)的另一个零点为x＝，此时p4为假命题，不符合题意．故选A．]
16．解：(1)A＝{x|x(x－4)≥0}＝{x|x≤0，或x≥4}．
因为 x∈A，均有x B，所以A∩B＝ ．
当a≤2时，B＝ ，满足题意；
当a>2时，解得－1≤a≤，所以2综上，a≤，即a的取值范围是．
(2)证明：充分性：当2所以当x∈(a＋1，4)时，x∈B，x A，所以 x∈B，x A为真命题，充分性成立；
必要性：若p： x∈B，x A为真命题，则 p： x∈B，x∈A为假命题．
先求 p： x∈B，x∈A为真命题时a的取值范围，
因为a>2，所以B≠ ，由 p： x∈B，x∈A，得B A．
则2a－1≤0或a＋1≥4，解得a≤或a≥3，所以a≥3．
因为 p： x∈B，x∈A为假命题，所以2综上，若a>2，则p成立的充要条件为23/3

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