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第4课时　基本不等式
[考试要求]　1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．3．理解基本不等式在实际问题中的应用．
1．(苏教版必修第一册P61练习T1改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 (　　)
A．80　 　B．77　 　C．81　 　D．82
2．(人教B版必修第一册P80练习AT1改编)下列结论正确的是 (　　)
A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4
B．当x>0时，≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当x>0时，x3＋的最小值为2
3．(人教A版必修第一册P49习题2.2T7)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出x g黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出y g黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则 (　　)
A．x＋y>10 B．x＋y＝10
C．x＋y<10 D．以上都有可能
4．(多选)(北师大版必修第一册P30习题1－3A组T5改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是 (　　)
A．≥2 B．ab≤
C．≥ D．≤
5．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5改编)若x>0，y>0，且xy＝x＋y＋3，则xy的取值范围是___________，x＋y的取值范围是___________．
1．重要不等式：a2＋b2≥___________(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
2．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：___________．
(2)等号成立的条件：当且仅当___________时取等号．
(3)其中，___________叫做正数a，b的算术平均数，___________叫做正数a，b的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2，若xy等于定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值___________(简记：积定和最小)．
(2)xy≤，若x＋y等于定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值___________(简记：和定积最大)．
提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
[二级结论]
(1)≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)；
(2)≤≤≤(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立)．
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆(分子次数高于分母次数)、除(分子次数低于分母次数)、代(1的代换)、解(构造不等式整体解)．
考点一　利用基本不等式求最值
　直接法求最值
[典例1]　(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是 (　　)
A．y＝x2＋2x＋4
B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x
D．y＝ln x＋
【深度思考】　如何求选项B中“y＝|sin x|＋”的最值？
【拓展融合】　基本不等式与对勾函数
若函数f (x)＝x＋(k>0)，x∈(0，＋∞)，如图所示，那么该函数在(0，，＋∞)上单调递增．
若求函数f (x)＝x＋(k>0)，x∈[a，b]，[a，b] (0，＋∞)的最值，由图可知，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当 [a，b]时，只能利用对勾函数的单调性求最值．
【加固训练】　(1)函数y＝x＋(x≥2)的最小值为___________．
(2)设x∈[－2，0)，则x＋的取值范围是___________．
　配凑法求最值
[典例2]　(1)已知x<3，则y＝的最大值是___________．
(2)已知0(3)若实数x>2y>0，则＝___________．
　常数代换法
[典例3]　(1)已知a>0，b>0，2a＋b＝1，则的最小值为 (　　)
A．2 B．
C．4 D．9
(2)(2025·上海卷)设a，b>0，a＋＝1，则b＋的最小值为___________．
　换元、消元法求最值
[典例4]　(1)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是 (　　)
A． B．
C．2 D．2
(2)已知a>1，b>＝1，则的最大值为___________．
　构造不等式法求最值
[典例5]　(多选)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是 (　　)
A．a2＋b2的最小值为2
B．a＋b的最大值为2
C．ab的最大值为1
D．的最小值为2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：条件最值的求解通常有五种方法
直接法、配凑法、常数“1”代换法、消元(换元)法、构造不等式法．
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
[巩固迁移]
1．(2026·广东执信中学模拟)正实数x，y满足2x＋3y＝1，则的最小值是 (　　)
A．3 B．7
C．10＋4 D．10＋
2．(多选)(2026·山西太原模拟)已知正数a，b满足4a＋b＋ab＝5，则下列结论正确的是 (　　)
A．ab的最大值为1
B．4a＋b的最小值为4
C．16a2＋b2的最小值为9
D．
考点二　利用基本不等式解决实际问题
[典例6]
某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm．当直角梯形的高为___________cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
[巩固迁移]
3．(2025·广东揭阳三模)在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位：米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)满足v2＝，则该类昆虫的最大跳跃高度为 (　　)
A．0.25米 B．0.5米
C．0.75米 D．1米
第4课时　基本不等式
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．C　2．B　3．A　4．BC　5．[9，＋∞)　[6，＋∞)
No2．储备知识要点
1．2ab
2．(1)a>0，b>0　(2)a＝b　(3)
3．(1)2　(2)
精研考点·提升素养
考点一
考向1　典例1　C　[A项，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故A错误；
B项，在y＝|sin x|＋中，|sin x|>0，所以y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|2＝4，即|sin x|＝2时，等号成立，又|sin x|的最大值为1取不到2，故B错误；
C项，2x>0，22-x>0，故y＝2x＋22-x＝2x＋≥2＝4，当且仅当(2x)2＝4，即x＝1时，等号成立，故C正确；
D项，x>0，ln x∈R，故D错误．故选C．]
深度思考
解：(借助对勾函数的性质求解)令|sin x|＝t，则y＝t＋，t∈(0，1]，由于函数y＝t＋在(0，1]上单调递减，故y≥1＋4＝5，所以函数y＝|sin x|＋的最小值为5，无最大值．
加固训练
(1)3　(2)(－∞，－2]　[(1)由对勾函数的性质可知，y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以ymin＝2＋＝3．
(2)因为x∈[－2，0)，令t＝－x，则t∈(0，2]，
所以x＋＝－t＋＝－，对于t>0，函数t＋≥2＝2，
当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立；
当t∈(0，1]时，t＋单调递减；
当t∈[1，2]时，t＋单调递增．
又当t→0+时，t＋→＋∞；当t＝2时，t＋．
因此，当t∈(0，2]时，t＋∈[2，＋∞)．
故x＋＝－∈(－∞，－2]．]
考向2　典例2　(1)－1　(2)　(3)2＋2　2＋　[(1)因为x<3，则3－x>0，所以y＝＝x＋＝(x－3)＋＋3＝3－[(3－x)＋]≤3－2＝－1，
当且仅当3－x＝时，因为x<3，即当x＝1时，等号成立，所以y＝(x<3)的最大值为－1．
(2)因为00，
x
＝
≤·．
当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时，等号成立．此时x．
(3)因为x>2y>0，所以x－2y>0，＋2≥2＋2＝2＋2，
当且仅当＝3y2，即x＝y时，等号成立．此时＝2＋．]
考向3　典例3　(1)C　(2)4　[(1)由2a＋b＝1，得＝2＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝时取等号，得出最小值4．故选C．
(2)由已知，b＋＝2＋ab＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当ab＝，即a＝，b＝2时取等号，则b＋的最小值为4．]
考向4　典例4　(1)A　(2)　[(1)由x2－2xy＋2＝0，得y＝，
所以x＋y＝x＋≥2，
当且仅当，即x＝时，等号成立，此时y＝>0符合题意．
所以x＋y的最小值为．故选A．
(2)令＝x，＝y，
则x>0，y>0，a＝，b＝，x＋2y＝1，
所以x＋1＋2y＋2＝4，
所以＝3－＝3－(x＋1＋2y＋2)＝3－≤3－，
当且仅当x＝y＝，即a＝4，b＝2时，等号成立．]
考向5　典例5　BCD　[对于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋，当且仅当a＝b时，等号成立，则a2＋b2≤2，故A错误；
对于B，C，由ab≤≤1，当且仅当a＝b时，等号成立，得≤1，即a＋b≤2，故BC正确；
对于D，由，
因为0当且仅当a＝b时，等号成立，
当＝1时，取得最小值为2，故D正确．]
巩固迁移
1．C
2．ABD　[由正数a，b满足4a＋b＋ab＝5，可得4a＋b＝5－ab≥4，解得0<≤1，即ab≤1，
当且仅当4a＝b，即a＝，b＝2时，等号成立，故A正确；
由正数a，b满足4a＋b＋ab＝5，可得4a＋b－5＝－×4ab≥－，
解得4a＋b≥4或4a＋b≤－20(舍去)，当且仅当4a＝b，
即a＝，b＝2时，等号成立，故B正确；
16a2＋b2＝(4a＋b)2－8ab＝(5－ab)2－8ab＝(ab－9)2－56，由A知ab≤1，
由二次函数的单调性知(ab－9)2－56≥(1－9)2－56＝8，
当ab＝1时，16a2＋b2的最小值为8，故C错误；
由4a＋b＋ab＝5可得4a＋4＋b＋ab＝9，
即(a＋1)(b＋4)＝9，所以，
所以≥2，
即b＝3，a＝时，等号成立，故D正确．
故选ABD．]
考点二
典例6　12　[设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，
且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)·＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，
当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立．
∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少．]
巩固迁移
3．A　[由v2＝可知v2－Hv4＝4H，且v>0，
故H＝，
当且仅当v2＝2，即v＝时，等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．
故选A．]
5/5(共85张PPT)
第4课时　基本不等式
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
[考试要求]　
1．了解基本不等式的推导过程．
2．会用基本不等式解决简单的最值问题．
3．理解基本不等式在实际问题中的应用．
以题引理·激活思维
1．(苏教版必修第一册P61练习T1改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80　 　B．77　 　C．81　 　D．82
C　[因为x>0，y>0，所以xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C．]
√
2．(人教B版必修第一册P80练习AT1改编)下列结论正确的是(　　)
A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4
B．当x>0时，≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当x>0时，x3＋
√
B　[对于A，当x<0时，＋x≥4显然不成立，A错误；
对于B，当x>0时，>0，＝2，当且仅当，即x＝1时取等号，B正确；
对于C，当x>0时，x＋＝2，当且仅当x＝＝1时取等号，而x≥2，不能取到等号，C错误；
对于D，x是变量，故2不是定值，D错误．
故选B．]
3．(人教A版必修第一册P49习题2.2T7改编)一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平的左盘中，取出x g黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出y g黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则(　　)
A．x＋y>10 B．x＋y＝10
C．x＋y<10 D．以上都有可能
√
A　[设天平左臂长为a，右臂长为b，且a≠b，则有5a＝xb，ya＝5b，即 x＝，y＝，
所以x＋y＝≥5×2＝10，又因为a≠b，所以x＋y>10．故选A．]
4．(多选)(北师大版必修第一册P30习题1－3A组T5改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)
A．
C．
√
√
BC　[当<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．由a2＋b2≥2ab，得ab≤，B正确；≥0，则，C正确．
故选BC．]
5．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T5改编)若x>0，y>0，且xy＝x＋y＋3，则xy的取值范围是_____________，x＋y的取值范围是____________．
[9，＋∞)
[6，＋∞)
[9，＋∞)　[6，＋∞)　[由x>0，y>0，则xy＝x＋y＋3可化为xy－3＝x＋y≥2，
即－3≥0，
解得≤－1(舍去)或≥3，
当且仅当x＝y＝3时，等号成立，
故xy的取值范围是[9，＋∞)．
又x＋y＋3＝xy≤，
所以(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，
解得x＋y≤－2(舍去)或x＋y≥6，
当且仅当x＝y＝3时，等号成立，
故x＋y的取值范围是[6，＋∞)．]
1．重要不等式：a2＋b2≥______(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
2．基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：______________．
(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．
(3)其中， ____________叫做正数a，b的几何平均数．
2ab
a>0，b>0
a＝b
3．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)x＋y≥2
(简记：积定和最小)．
(2)xy≤
(简记：和定积最大)．
提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
[二级结论]
(1)≥2(a，b同号，当且仅当a＝b时，等号成立)；
(2)(a>0，b>0，当且仅当a＝b时，等号成立)．
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆(分子次数高于分母次数)、除(分子次数低于分母次数)、代(1的代换)、解(构造不等式整体解)．
考点一　利用基本不等式求最值
考向1　直接法求最值
[典例1]　(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋
精研考点·提升素养
√
C　[A项，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故A错误；
B项，在y＝|sin x|＋中，|sin x|>0，所以y＝|sin x|＋
＝4，当且仅当|sin x|2＝4，即|sin x|＝2时，等号成立，又|sin x|的最大值为1取不到2，故B错误；
C项，2x>0，22-x>0，故y＝2x＋22-x＝2x＋＝4，当且仅当(2x)2＝4，即x＝1时，等号成立，故C正确；
D项，x>0，ln x∈R，故D错误．故选C．]
【深度思考】　如何求选项B中“y＝|sin x|＋”的最值？
[解]　(借助对勾函数的性质求解)令|sin x|＝t，则y＝t＋，t∈(0，1]，由于函数y＝t＋在(0，1]上单调递减，故y≥1＋4＝5，所以函数y＝|sin x|＋的最小值为5，无最大值．
【拓展融合】　基本不等式与对勾函数
若函数f (x)＝x＋
，＋∞)上单调递增．
若求函数f (x)＝x＋
[a，b]时，只能利用对勾函数的单调性求最值．
【加固训练】　(1)函数y＝x＋(x≥2)的最小值为________．
(2)设x∈[－2，0)，则x＋的取值范围是_________________．
(1)3　(2)(－∞，－2]　[(1)由对勾函数的性质可知，y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以ymin＝2＋＝3．
3
(－∞，－2]
(2)因为x∈[－2，0)，令t＝－x，则t∈(0，2]，
所以x＋，对于t>0，函数t＋＝2，
当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立；
当t∈(0，1]时，t＋单调递减；当t∈[1，2]时，t＋单调递增．
又当t→0+时，t＋→＋∞；当t＝2时，t＋．
因此，当t∈(0，2]时，t＋∈[2，＋∞)．
故x＋∈(－∞，－2]．]
【教用·备选题】
已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为(　　)
A．
D．3
√
B　[由题意得，6＝4a2＋b2＝＋b2≥2·2a·b，即ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝或a＝－，b＝－时，等号成立，所以ab的最大值为．
故选B．]
考向2　配凑法求最值
[典例2]　(1)已知x<3，则y＝的最大值是________．
(2)已知0(3)若实数x>2y>0，则＝________．
－1
(1)－1　(2)　[(1)因为x<3，则3－x>0，所以y＝＝(x－3)＋＋3＝3－[(3－x)＋]≤3－2＝－1，
当且仅当3－x＝时，因为x<3，即当x＝1时，等号成立，所以y＝(x<3)的最大值为－1．
(2)因为00，
x≤．
当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时，等号成立．此时x．
(3)因为x>2y>0，所以x－2y>0，＋2，
当且仅当＝3y2，即x＝y时，等号成立．此时．]
【教用·名师点评】
通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式，注意验证取得条件．
【教用·备选题】
1．已知函数f 的最小值为(　　)
A．0 B．2
C．2 D．3
√
C　[由已知得x>2，所以f
，当且仅当，即x＝4时，等号成立，
则f 的最小值为2．故选C．]
2．若x>0，y>0且x＋y＝xy，则的最小值为___________．
3＋2　[因为x>0，y>0且x＋y＝xy，
则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，由x＋y＝xy，得(x－1)(y－1)＝1，
则
＝3＋2，
即x＝1＋，y＝1＋时，等号成立，
所以的最小值为3＋2．]
3＋2
考向3　常数代换法
[典例3]　(1)已知a>0，b>0，2a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A．2 B．
C．4 D．9
(2)(2025·上海卷)设a，b>0，a＋的最小值为________．
√
4
(1)C　(2)4　[(1)由2a＋b＝1，
得＝4，
当且仅当a＝b＝时取等号，得出最小值4．故选C．
(2)由已知，b＋＝2＋2＝4，当且仅当ab＝，即a＝，b＝2时取等号，则b＋的最小值为4．]
【教用·名师点评】
常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为非零常数)，求，再用基本不等式求最值．
考向4　换元、消元法求最值
[典例4]　(1)若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是
(　　)
A．
D．2
(2)已知a>1，b>的最大值为________．
√
(1)A　(2)　[(1)由x2－2xy＋2＝0，得y＝，
所以x＋y＝x＋，
当且仅当，即x＝时，等号成立，此时y＝>0符合题意．
所以x＋y的最小值为．故选A．
(2)令＝x，＝y，
则x>0，y>0，a＝，b＝，x＋2y＝1，
所以x＋1＋2y＋2＝4，
所以
(x＋1＋2y＋2)＝3－
，
当且仅当x＝y＝，即a＝4，b＝2时，等号成立．]
【教用·名师点评】
消元法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解；对于求含有两个分式的最值问题，通常用双换元法求解，即先分别令两个分式为两个参数，然后建立这两个参数的等量关系，进而借助基本不等式求最值．
【教用·备选题】
已知x>y>0，则的最小值是(　　)
A．2＋ ＋2
C．2＋2 D．2
√
C　[，设t＝，则t>1．
于是，
令y＝t＋1＋(t>1)，则y＝t－1＋，
当且仅当即t＝＋1，也即x＝(1＋)y时，取到最小值2＋2．故选C．]
考向5　构造不等式法求最值
[典例5]　(多选)已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则下列结论正确的是(　　)
A．a2＋b2的最小值为2
B．a＋b的最大值为2
C．ab的最大值为1
D．的最小值为2
√
√
√
BCD　[对于A，a2＋b2＝1＋ab≤1＋，当且仅当a＝b时，等号成立，则a2＋b2≤2，故A错误；
对于B，C，由ab≤≤1，当且仅当a＝b时，等号成立，得≤1，即a＋b≤2，故BC正确；
对于D，由，因为0当且仅当a＝b时，等号成立，
当＝1时，取得最小值为2，故D正确．]
名师点评：条件最值的求解通常有五种方法
直接法、配凑法、常数“1”代换法、消元(换元)法、构造不等式法．
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
[巩固迁移]
1．(2026·广东执信中学模拟)正实数x，y满足2x＋3y＝1，则的最小值是(　　)
A．3 B．7
C．10＋4
√
C　[由2x＋3y＝1得4x＋6y＝2，所以．
由于x，y为正数，所以10＋＋10，当且仅当2x＝y，即y＝，x＝时，等号成立．]
2．(多选)(2026·山西太原模拟)已知正数a，b满足4a＋b＋ab＝5，则下列结论正确的是(　　)
A．ab的最大值为1
B．4a＋b的最小值为4
C．16a2＋b2的最小值为9
D．
√
√
√
ABD　[由正数a，b满足4a＋b＋ab＝5，可得4a＋b＝5－ab≥4，解得0<≤1，即ab≤1，
当且仅当4a＝b，即a＝，b＝2时，等号成立，故A正确；
由正数a，b满足4a＋b＋ab＝5，可得4a＋b－5＝－，解得4a＋b≥4或4a＋b≤－20(舍去)，当且仅当4a＝b，
即a＝，b＝2时，等号成立，故B正确；
16a2＋b2＝(4a＋b)2－8ab＝(5－ab)2－8ab＝(ab－9)2－56，由A知ab≤1，
由二次函数的单调性知(ab－9)2－56≥(1－9)2－56＝8，
当ab＝1时，16a2＋b2的最小值为8，故C错误；
由4a＋b＋ab＝5可得4a＋4＋b＋ab＝9，
即(a＋1)(b＋4)＝9，所以，
所以，即b＝3，a＝时，等号成立，故D正确．故选ABD．]
考点二　利用基本不等式解决实际问题
[典例6]某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm．当直角梯形的高为________cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．
12
12　[设直角梯形的高为x cm，∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，
且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)·
＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，
当且仅当8x＝，即x＝12时，等号成立．
∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少．]
名师点评：解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
[巩固迁移]
3．(2025·广东揭阳三模)在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．已知某类昆虫在水平方向上速度为v(单位：米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)满足v2＝，则该类昆虫的最大跳跃高度为(　　)
A．0.25米 B．0.5米
C．0.75米 D．1米
√
A　[由v2＝可知v2－Hv4＝4H，且v>0，
故H＝，
当且仅当v2＝2，即v＝时，等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米．
故选A．]
一、单项选择题
1．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[由已知，得12＝4x＋3y≥2，即12≥2，解得xy≤3，当且仅当4x＝3y时取等号．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课后作业(四)　基本不等式
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
2．(湘教版必修第一册P39例7改编)已知0A．
√
B　[因为00，1－>0，
所以
，
当且仅当，即x＝1时，等号成立，
因此．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3．(2026·山东济宁模拟)已知x＋y＝4，且x>0，y>0，则的最小值是(　　)
A．1 B．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
A　[由x＋y＝4，可得(x＋y)＝，
又因为x>0，y>0，所以
＝1，
当且仅当x＝y＝2时取等号．
故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
4．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　)
A．a2＋b2>2ab B．
C．a＋b>
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[因为a>0，b>0，所以a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A选项错误；取a＝b＝＝6，而＝9，所以B选项错误；因为a＋b≥2，所以C选项正确；因为，所以D选项错误．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
5．(2026·安徽六安模拟)已知A，B两地的距离是200 km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50~100 km/h．假设油价是8元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是(　　)
A．24 km/h B．55 km/h
C．60 km/h D．80 km/h
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[设车速为x，由题意可知，行车的总费用为
y＝，其中50≤x≤100．
由基本不等式，
得y＝160(元)，
当且仅当(50≤x≤100)，即当x＝60时，等号成立，因此，最经济的车速是60 km/h．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
6．已知a>0，b>0，2a＋b＝ab，则的最小值为(　　)
A．4 B．6
C．4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
D　[由a>0，b>0，2a＋b＝ab，a＝>0，即b>2，易知a>1，
所以，
当且仅当＝a－1，即a＝＋1时，等号成立，此时b＝2＋，
所以的最小值为3＋2．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
二、多项选择题
7．下列说法正确的有(　　)
A．若x<的最大值是－1
B．若x>－2，则≥4
C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D．若x<1，则有最大值－5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
√
ABD　[对于A，因为x<，所以2x－1<0，1－2x>0，
所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1
≤－2＋1＝－1，当且仅当1－2x＝，即x＝0时，等号成立，此时2x＋有最大值－1，故A正确；
对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以＝4，当且仅当，即x＝2时，等号成立，故B正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；
对于D，因为x<1，所以1－x>0，则＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
8．(2025·江西上饶二模)若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)
A．
B．的最小值是9
C．(1＋a)(1＋b)的最大值是
D．a2＋2b2的最小值是
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
√
ABC　[对于A，，当且仅当a＝b＝时取等号，A正确；
对于B，＝(a＋b)＝9，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，B正确；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
对于C，(1＋a)(1＋b)≤，当且仅当a＝b＝时取等号，C正确；
对于D，a＝1－b，0当且仅当b＝时取等号，D错误．
故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
三、填空题
9．若存在x∈(0，＋∞)，使≥a成立，则a的取值范围是_______________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
　[依题意存在x∈(0，＋∞)，
使≥a成立，即a≤．
因为x∈(0，＋∞)，所以x＋＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
所以，
即，所以a≤，
即a∈．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
10．已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
1＋2　[正实数x，y满足x＋2y＝1，有－2，
则
，
当且仅当，即x＝－1，y＝时，等号成立，
所以的最小值为1＋2．]
1＋2
四、解答题
11．某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的
造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若
不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m，则S＝(x＋4)＋32，10≤x≤20．
(2)设总造价为w元，则w＝200×2＋600×3×200＋100S＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200＝3 200x＋＋363 200，10≤x≤20，
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
其中3 200x＋＝96 000，
当且仅当3 200x＝，即x＝15∈[10，20]时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200，所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
12．甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元．
(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
[解]　(1)由题意得，可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为h，
所以y＝＝1 000，定义域为(0，80]．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
(2)y＝1 000≥1 000×2
＝1 000，即v＝2时，等号成立．
因为0所以当0当a≥1 600时，函数y＝1 000在(0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为
(　　)
A．0 B．2
C．1 D．3
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
C　[因为正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2，
则≤＝1，当且仅当，
即y＝2x时取等号．故的最大值为1．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．(多选)三元基本不等式：“当a，b，c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有(　　)
A．若x>0，则x2＋≥3
B．若0C．若x>0，则2x＋≥3
D．若0题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
AC　[对于A，x>0，x2＋＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为00，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x>0，所以2x＋＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，故C正确；对于D，因为00，x(1－x)2＝×2x×(1－x)(1－x)≤，当且仅当2x＝1－x，即x＝时，等号成立，故D错误．故选AC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
15．若a>0，b>0，则＋b的最小值为________．
2　[因为a>0，b>0，
所以，
当且仅当＝b，即a＝b＝时，等号成立，
所以＋b的最小值为2．]
2
谢 谢 ！课后作业(四)　基本不等式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分
一、单项选择题
1．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为 (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(湘教版必修第一册P39例7改编)已知0A．
3．(2026·山东济宁模拟)已知x＋y＝4，且x>0，y>0，则的最小值是 (　　)
A．1
B．
4．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则 (　　)
A．a2＋b2>2ab
B．
C．a＋b>
5．(2026·安徽六安模拟)已知A，B两地的距离是200 km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50~100 km/h．假设油价是8元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是 (　　)
A．24 km/h B．55 km/h
C．60 km/h D．80 km/h
6．已知a>0，b>0，2a＋b＝ab，则的最小值为 (　　)
A．4
B．6
C．4
二、多项选择题
7．下列说法正确的有 (　　)
A．若x<的最大值是－1
B．若x>－2，则≥4
C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最大值是2
D．若x<1，则有最大值－5
8．(2025·江西上饶二模)若正实数a，b满足a＋b＝1，则 (　　)
A．
B．的最小值是9
C．(1＋a)(1＋b)的最大值是
D．a2＋2b2的最小值是
三、填空题
9．若存在x∈(0，＋∞)，使≥a成立，则a的取值范围是___________．
10．已知正实数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为___________．
四、解答题
11．(13分)某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2．
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价．
12．(13分)甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元．
(1)将全程运输成本y(单位：元)表示为速度v(单位：km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？
13．设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为 (　　)
A．0 B．2
C．1 D．3
14．(多选)三元基本不等式：“当a，b，c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有 (　　)
A．若x>0，则x2＋≥3
B．若0C．若x>0，则2x＋≥3
D．若015．若a>0，b>0，则＋b的最小值为______．
课后作业(四)
1．C　[由已知，得12＝4x＋3y≥2，即12≥2，解得xy≤3，当且仅当4x＝3y时取等号．]
2．B　3．A
4．C　[因为a>0，b>0，所以a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A选项错误；取a＝b＝＝6，而＝9，所以B选项错误；因为a＋b≥2>，所以C选项正确；因为≥2，所以D选项错误．故选C．]
5．C　[设车速为x，由题意可知，行车的总费用为
y＝，其中50≤x≤100．
由基本不等式，
得y＝160≥160×2＝(元)，
当且仅当(50≤x≤100)，即当x＝60时，等号成立，因此，最经济的车速是60 km/h．故选C．]
6．D　[由a>0，b>0，2a＋b＝ab，a＝>0，即b>2，易知a>1，
所以＋a＝3＋＋a－1≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝a－1，即a＝＋1时，等号成立，此时b＝2＋，
所以的最小值为3＋2．故选D．]
7．ABD　[对于A，因为x<，
所以2x－1<0，1－2x>0，
所以2x＋＝(2x－1)＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当1－2x＝，即x＝0时，等号成立，此时2x＋有最大值－1，故A正确；
对于B，因为x>－2，所以x＋2>0，所以≥2＝4，当且仅当，即x＝2时，等号成立，故B正确；
对于C，因为x>0，y>0，所以x·2y≤，即2xy≤，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；
对于D，因为x<1，所以1－x>0，则＝－＋1≤－2＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－，即x＝－2时，等号成立．故D正确．]
8．ABC　[对于A，，当且仅当a＝b＝时取等号，A正确；
对于B，＝(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，B正确；
对于C，(1＋a)(1＋b)≤，当且仅当a＝b＝时取等号，C正确；
对于D，a＝1－b，09．
10．1＋2　[正实数x，y满足x＋2y＝1，有－2，
则－2＝－2＝1＋≥1＋2＝1＋2，
即x＝－1，y＝时，等号成立，
所以的最小值为1＋2．]
11．解：(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m，则S＝(x＋4)－600＝8x＋＋32，10≤x≤20．
(2)设总造价为w元，则w＝200×2＋600×3×200＋100S
＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200＝3 200x＋＋363 200，10≤x≤20，
其中3 200x＋≥2＝96 000，
当且仅当3 200x＝，即x＝15∈时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200，所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元．
12．解：(1)由题意得，可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为h，所以y＝＝1 000，定义域为(0，80]．
(2)y＝1 000≥1 000×2＝1 000v＝，
即v＝2时，等号成立．
因为0所以当0当a≥1 600时，函数y＝1 000在(0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低．
13．C　[因为正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则z＝4x2－3xy＋y2，
则≤＝1，当且仅当，即y＝2x时取等号．故的最大值为1．]
14．AC　[对于A，x>0，x2＋＝x2＋≥3＝3，当且仅当x2＝，即x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，因为00，x2(1－x)＝x·x·(2－2x)≤，当且仅当x＝2－2x，即x＝时，等号成立，故B错误；对于C，因为x>0，所以2x＋＝x＋x＋≥3＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，故C正确；对于D，因为00，x(1－x)2＝×2x×(1－x)·(1－x)≤，当且仅当2x＝1－x，即x＝时，等号成立，故D错误．故选AC．]
15．2　[因为a>0，b>0，
所以＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，
当且仅当＝b，即a＝b＝时，等号成立，
所以＋b的最小值为2．]
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