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第5课时　一元二次方程、不等式
[考试要求]　1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式．2．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．3．了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
1．(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是 (　　)
A．(－2，1) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
2．(湘教版必修第一册P54例4改编)关于x的不等式≥1的解集为 (　　)
A．
B．
C．
D．
3．(苏教版必修第一册P69习题3.3T11(2)改编)若不等式mx2＋2mx－2<0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围为 (　　)
A．(－2，0) B．(－2，0]
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
4．(北师大版必修第一册P41习题1－4B组T1改编)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集是，则a＋b的值是___________．
5．(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪面积不超过总面积的，那么花卉带的宽度的取值范围是___________(单位：m)．
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋ bx＋c(a> 0)的图象
方程ax2 ＋bx＋c＝ 0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1，x2(x1ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集 ______ R
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集 ______ ______ ______
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f (x)·g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)
3．绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为{x|x<－a，或x>a}；
|x|0)的解集为{x|－a记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
4．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立
1．一元二次不等式的解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根，体现了函数、方程、不等式三者间的内在联系．
2．一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论，注意数形结合在解题中的应用．
考点一　三个二次的关系
[典例1]　(1)若关于x的不等式|x2＋mx＋n|>0的解集为{x|x≠1，且x≠2}，则 (　　)
A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2
C．m＝3，n＝－2 D．m＝－3，n＝－2
(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2，或x≥3}，则下列说法正确的是 (　　)
A．a<0
B．ax＋c>0的解集为
C．8a＋4b＋3c<0
D．cx2＋bx＋a<0的解集为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
考点二　不等式的解法
[典例2]　(1)(多选)下列选项中，正确的是 (　　)
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
(2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
[巩固迁移]
1．解关于x的不等式x2＋ax＋1<0(a∈R)．
考点三　一元二次不等式恒成立问题
[典例3]　已知函数f (x)＝ax2－x＋a．
(1)不等式f (x)>0的解集为R，求a的取值范围；
(2)若不等式f (x)>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
【深度思考】　若 a∈[－1，3]，f (x)≥2(a－1)x＋2a－3恒成立，如何求实数x的取值范围？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
名师点评：恒成立问题求参数的取值范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．
[巩固迁移]
2．(2025·安徽宿州期中)对于任意的x，y∈R，定义运算：x☉y＝x(y＋2)．若不等式x☉(x＋a)＋4>0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是 (　　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－6，6) D．(－2，2)
3．若不等式x2＋mx＋1>2x＋m对满足|m|<2的所有实数m恒成立，则实数x的取值范围是 (　　)
A．－2C．x≤1 D．x≤－1或x≥3
4．若不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a的取值范围是___________．
第5课时　一元二次方程、不等式
以题引理·激活思维
No1．深研教材典题
1．A　2．B　3．B　4．－13　5．
No2．储备知识要点
1．{x|xx2}　{x|x12．(2)g(x)≠0
精研考点·提升素养
考点一
典例1　(1)B　(2)ABD　[(1)由已知可得1，2为方程x2＋mx＋n＝0的根，
由根与系数的关系可得
解得故选B．
(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2，或x≥3}，
故a<0，且
整理得到b＝－a，c＝－6a．
对于A，a<0，正确；
对于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正确；
对于C，8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，错误；
对于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得－考点二
典例2　(1)ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，
所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确；
因为－1≤0，即≤0，
即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，
所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1解得0因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确．]
(2)解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
①当a>0时，原不等式可化为·(x－1)<0，
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，
即x>1．
③当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<．
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为．
巩固迁移
1．解：Δ＝a2－4．
①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ．
②当Δ＝a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝
，x2＝，
则原不等式的解集为．
综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ；
当a>2或a<－2时，原不等式的解集为．
考点三
典例3　解：(1)当a＝0时，原不等式可化为x<0，不符合题意；
故a≠0，要使f (x)>0的解集为R，
只需解得a>．
综上所述，a的取值范围为．
(2)法一(函数法)：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意；故a≠0，要满足题意，需
解得a≥，所以实数a的取值范围是．
法二(分离变量法)：ax2－x＋a>0 ax2＋a>x a>．因为x∈(1，＋∞)，<，所以a的取值范围是．
深度思考
解：(变更主元法)：若 a∈[－1，3]，f (x)≥2(a－1)x＋2a－3恒成立，即 a∈[－1，3]，ax2－2ax＋x＋3－a≥0恒成立．把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则有g(a)≥0对于任意的a∈[－1，3]恒成立，
得解得
所以实数x的取值范围为[－1，0]∪．
巩固迁移
2．B　[由已知得x☉(x＋a)＋4＝x(x＋a＋2)＋4＝x2＋(a＋2)x＋4>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－63．D　[由|m|<2得－22x＋m整理成关于m的不等式(x－1)m＋x2－2x＋1>0，
令f (m)＝(x－1)m＋x2－2x＋1，要使关于m的不等式(x－1)m＋x2－2x＋1>0对－2则需
即
即解得x≤－1或x≥3，故选D．]
4．(－∞，3]　[设t＝sin x，因为x∈，所以t∈(0，1]，则不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意的x∈恒成立，即不等式t2－at＋2≥0对任意的t∈(0，1]恒成立，即a≤＝t＋对任意的t∈(0，1]恒成立．由对勾函数知y＝t＋在t∈(0，1]上单调递减，则ymin＝1＋＝3，所以a≤3．]
5/5(共99张PPT)
第5课时　一元二次方程、不等式
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
[考试要求]　
1．能从实际情境中抽象出一元二次不等式．
2．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．
3．了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
以题引理·激活思维
1．(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　　)
A．(－2，1)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．[－2，1]
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
A　[结合图象易知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)．]
√
2．(湘教版必修第一册P54例4改编)关于x的不等式≥1的解集为
(　　)
A． B．
C． D．
√
B　[由≥1得≥0，其解集等价于≤x<2．故选B．]
3．(苏教版必修第一册P69习题3.3T11(2)改编)若不等式mx2＋2mx－2<0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－2，0) B．(－2，0]
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
√
B　[①当m＝0时，－2<0恒成立；
②当m≠0时，由题意知
解得－24．(北师大版必修第一册P41习题1－4B组T1改编)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集是，则a＋b的值是________．
－13　[由题意知－是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，
由根与系数的关系得
则a＝－12，b＝－1．所以a＋b＝－13．]
－13
5．(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪面积不超过总面积的，那么花卉带的宽度的取值范围是________(单位：m)．
　[设花卉带的宽度为x m，
则所以0所以(12－2x)(10－2x)≤×12×10，解得1≤x<5，所以花卉带的宽度的取值范围是[1，5)．]
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 _________________ R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 _________________ __ __
{x|xx2}
{x|x1

2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f (x)·g(x)>0(<0)；
(2)
3．绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为{x|x<－a，或x>a}；
|x|0)的解集为{x|－a记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
4．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立
1．一元二次不等式的解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根，体现了函数、方程、不等式三者间的内在联系．
2．一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论，注意数形结合在解题中的应用．
考点一　三个二次的关系
[典例1]　(1)若关于x的不等式|x2＋mx＋n|>0的解集为{x|x≠1，且x≠2}，则(　　)
A．m＝3，n＝2 B．m＝－3，n＝2
C．m＝3，n＝－2 D．m＝－3，n＝－2
精研考点·提升素养
√
(2)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2，或x≥3}，则下列说法正确的是(　　)
A．a<0
B．ax＋c>0的解集为
C．8a＋4b＋3c<0
D．cx2＋bx＋a<0的解集为
√
√
√
(1)B　(2)ABD　[(1)由已知可得1，2为方程x2＋mx＋n＝0的根，
由根与系数的关系可得
解得故选B．
(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2，或x≥3}，
故a<0，且
整理得到b＝－a，c＝－6a．
对于A，a<0，正确；
对于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正确；
对于C，8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，错误；
对于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得－，正确．故选ABD．]
名师点评：给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
考点二　不等式的解法
[典例2]　(1)(多选)下列选项中，正确的是(　　)
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
(2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．
√
√
√
(1)ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，
所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确；
因为－1≤0，即≤0，
即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，
所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；
由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误；
由|x－1|<1，可得－1解得0因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确．]
(2)[解]　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
①当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0，
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，
即x>1．
③当a<0时，<1，原不等式可化为·(x－1)>0，
解得x>1或x<．
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为．
名师点评：对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
[巩固迁移]
1．解关于x的不等式x2＋ax＋1<0(a∈R)．
[解]　Δ＝a2－4．
①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ．
②当Δ＝a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，
则原不等式的解集为．
综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ；
当a>2或a<－2时，原不等式的解集为
．
【教用·备选题】
(2025·陕西渭南二模)若关于x的不等式2ax2－4xA．(1，2]　　 B．[1，2)
C．(0，2) D．(0，2]
√
B　[当a＝0时，解得x>，不满足条件；
故a≠0，关于x的不等式2ax2－4x所以(2x－1)(ax－2)<0，
即a(2x－1)<0，
方程(2x－1)＝0的两根为x1＝，x2＝，
当a<0时，不等式可化为(2x－1)>0，x1＝，x2＝<0，
x的取值范围为，不满足条件；
当a>0时，不等式可化为(2x－1)<0，x1＝，x2＝>0，
当x1>x2时，则，即a>4，x的取值范围为，
要使不等式有且只有一个整数解，则－1≤<0，又因为a>0，不满足条件；
当x1＝x2时，则，即a＝4，不等式的解集为 ，
当x1考点三　一元二次不等式恒成立问题
[典例3]　已知函数f (x)＝ax2－x＋a．
(1)不等式f (x)>0的解集为R，求a的取值范围；
(2)若不等式f (x)>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝0时，原不等式可化为x<0，不符合题意；
故a≠0，要使f (x)>0的解集为R，
只需解得a>．
综上所述，a的取值范围为．
(2)法一(函数法)：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意；
故a≠0，要满足题意，需
解得a≥，所以实数a的取值范围是．
法二(分离变量法)：ax2－x＋a>0 ax2＋a>x a>．因为x∈(1，＋∞)，，所以a的取值范围是．
【深度思考】　若 a∈[－1，3]，f (x)≥2(a－1)x＋2a－3恒成立，如何求实数x的取值范围？
[解]　(变更主元法)：若 a∈[－1，3]，f (x)≥2(a－1)x＋2a－3恒成立，即 a∈[－1，3]，ax2－2ax＋x＋3－a≥0恒成立．把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则有g(a)≥0对于任意的a∈[－1，3]恒成立，
得解得
所以实数x的取值范围为[－1，0]∪．
名师点评：恒成立问题求参数的取值范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
(3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式．
[巩固迁移]
2．(2025·安徽宿州期中)对于任意的x，y∈R，定义运算：x☉y＝x(y＋2)．若不等式x☉(x＋a)＋4>0对任意实数x恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－6，6) D．(－2，2)
√
B　[由已知得x☉(x＋a)＋4＝x(x＋a＋2)＋4＝x2＋(a＋2)x＋4>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－6故选B．]
3．若不等式x2＋mx＋1>2x＋m对满足|m|<2的所有实数m恒成立，则实数x的取值范围是(　　)
A．－2C．x≤1 D．x≤－1或x≥3
√
D　[由|m|<2得－22x＋m整理成关于m的不等式(x－1)m＋x2－2x＋1>0，
令f (m)＝(x－1)m＋x2－2x＋1，要使关于m的不等式(x－1)m＋x2－2x＋1>0对－2则需即
即解得x≤－1或x≥3，故选D．]
4．若不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意的x∈恒成立，则实数a的取值范围是____________．
(－∞，3]　[设t＝sin x，因为x∈，所以t∈(0，1]，则不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意的x∈恒成立，即不等式t2－at＋2≥0对任意的t∈(0，1]恒成立，即a≤对任意的t∈(0，1]恒成立．由对勾函数知y＝t＋在t∈(0，1]上单调递减，则ymin＝1＋＝3，所以a≤3．]
(－∞，3]
【教用·备选题】
已知函数f (x)＝mx2－(m－1)x＋m－1．
(1)若不等式f (x)<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)若不等式f (x)≥0对任意x∈恒成立，求m的取值范围．
[解]　(1)不等式f (x)<1，
即mx2－(m－1)x＋m－2<0，
当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意；
故m≠0，要满足题意，
需
解得m<，
综上所述，m的取值范围为．
(2)不等式f (x)≥0对任意x∈恒成立，
即m(x2－x＋1)≥1－x对任意x∈恒成立，
因为x2－x＋1＝>0，
则不等式等价于m≥对任意x∈恒成立，
由x∈，1－x>0，
得＝＝1，
当且仅当1－x＝，
即x＝0时，等号成立，
所以＝1，
所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞)．
【深度思考】　本题中，若不等式f (x)>2对任意m∈(0，2)恒成立，如何求x的取值范围？
[解]　不等式f (x)>2对任意m∈(0，2)恒成立，即(x2－x＋1)m＋x－3>0对任意m∈(0，2)恒成立．
令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3，
因为x2－x＋1＝>0，
所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增，则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3，所以x的取值范围为[3，＋∞)．
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T5改编)已知集合A＝{x||x|>1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪B＝(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(1，2)
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，1)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课后作业(五)　一元二次方程、不等式
√
C　[A＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)，B＝(0，2)，
则A∪B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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12
13
2．(2026·广东清远模拟)若关于x的不等式ax2－ax－1≥0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．(－4，0) B．[－4，0]
C．(－4，0] D．[－4，0)
√
C　[当a＝0时，ax2－ax－1＝－1≥0，显然解集为空集，满足题设；
当a≠0时，ax2－ax－1≥0在R上无解，
所以可得－4综上，－4题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
3．(2026·江苏徐州模拟)已知不等式ax2＋bx－3>0的解集为{x|x>1，或x<－3}，则不等式≥0的解集为(　　)
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤2} D．{x|x>1，或x<－2}
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
A　[由题意知－3，1为方程ax2＋bx－3＝0的两根，
所以
则不等式≥0可化为
解得－1故选A．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4．(2026·天津模拟)若“－1A．{a|a≤1，或a≥2}
B．{a|－2C．{a|－2≤a≤－1}
D．{a|a≤－2，或a≥－1}
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[由(x－a)(x－3－a)<0，解得a因为“－1所以(两个等号不能同时成立)，
解得－2≤a≤－1，
所以实数a的取值范围是{a|－2≤a≤－1}．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
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11
12
13
5．(2025·北京大兴期中)若不等式x2－(a＋2)x＋2a≤0对任意的x∈[－1，1]恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．[－1，1] B．[－1，＋∞)
C．[－1，2] D．(－∞，－1]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
D　[法一(函数最值法)：令f (x)＝x2－(a＋2)x＋2a，
所以f (x)的对称轴为x＝＋1，
当＋1≤0，即a≤－2时，
f (x)max＝f (1)＝12－(a＋2)＋2a＝a－1，
所以a－1≤0，则a≤1，故a≤－2；
当＋1>0，即a>－2时，
f (x)max＝f (－1)＝(－1)2＋(a＋2)＋2a＝3a＋3，
所以3a＋3≤0，则a≤－1，故－2综上，实数a的取值范围是a≤－1．故选D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
法二(数形结合法)：令f (x)＝x2－(a＋2)x＋2a，由于二次函数开口向上，要使f (x)≤0对任意的x∈[－1，1]恒成立，只需解得a≤－1．故选D．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园的其中一边的长x(单位：m)的取值范围是(　　)
A．[15，20]
B．[12，25]
C．[10，30]
D．[20，30]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
C　[如图，过点A作AH⊥BC，交BC于点H，交DE于点F，
易知，
则AF＝x，FH＝40－x．
所以矩形花园的面积S＝x(40－x)≥300，
解得10≤x≤30．
故选C．]
题号
2
1
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4
5
6
8
7
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11
12
13
二、多项选择题
7．设集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝
(－2，2]，则(　　)
A．b≥0 B．b<0
C．c≤－4 D．2b＋c＝－4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
ACD　[由题可得集合A＝{x|－2所以方程x2＋bx＋c＝0的两根x1，x2满足x1≤－2，x2＝2．由根与系数的关系可知，－b＝x1＋x2＝2＋x1≤2＋(－2)＝0，
即b≥0，选项A正确，选项B错误；
c＝x1x2＝2x1≤2×(－2)＝－4，选项C正确；
从而22＋2b＋c＝0，即2b＋c＝－4，选项D正确．故选ACD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
8．已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(　　)
A．
B．
C．
D．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
√
ACD　[当a＝0时，＝－2(x＋2)>0 x<－2；
当a>0时，或x<－2，
故A正确；
当a<0时，(x＋2)>0，
若＝－2 a＝－1，则不等式无解；
若<－2 －1若>－2 a<－1，则不等式的解为－2题号
2
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5
6
8
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11
12
13
三、填空题
9．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－a<0}，写出满足A∩B＝{0，1}的一个实数a的值______________________________．
题号
2
1
3
4
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6
8
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13
1(答案不唯一，满足0设f (x)＝x2－x－a，则f (x)<0的整数解为0，1，
则f (0)<0，f (1)<0，f (－1)≥0且f (2)≥0，
解得0满足01(答案不唯一，满足010．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为______________________．
题号
2
1
3
4
5
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11
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13
[－1，0)∪(8，9]
[－1，0)∪(8，9]　[不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0．设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，令x19，又k>8或k<0，所以－1≤k<0或8题号
2
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8
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9
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12
13
四、解答题
11．已知f (x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6．
(1)解关于a的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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10
11
12
13
[解]　(1)由题意知f (1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
解得3－2．
∴不等式的解集为{a|3－2}．
(2)∵f (x)>b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴
故a的值为3±，b的值为－3．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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11
12
13
12．已知函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2．
(1)若不等式f (x)≥－2对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解关于x的不等式f (x)题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
[解]　(1) x∈R，f (x)≥－2恒成立等价于 x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
当a＝0时，x≥0，对任意实数x不恒成立，则a≠0，此时必有
即解得a≥，
所以实数a的取值范围是．
(2)依题意，因为a<0，所以f (x)即ax2＋(1－a)x－1<0，(x－1)>0．
当－＝1，即a＝－1时，解得x≠1；
当－>1，即－1－；
当0<－<1，即a<－1时，解得x<－或x>1，
综上，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当－1当a<－1时，原不等式的解集为．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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11
12
13
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围；
(3) m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c<(m－2)x恒成立，求实数x的取值范围．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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9
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11
12
13
[解]　(1)由不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]，得a>0且－1，3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，因此ax2＋bx＋c＝a(x＋1)·(x－3)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，其对称轴为x＝1．而该图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，则y＝a(x＋1)(x－3)图象的顶点为(1，－4)，于是－4＝－4a，解得a＝1，所以此二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－3)，即y＝x2－2x－3．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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10
11
12
13
(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3为x2－2x－3<(m－1)x－m－3，整理得x2－(m＋1)x＋m<0，即(x－1)(x－m)<0．依题意，不等式(x－1)(x－m)<0的解集中恰有一个正整数，则m≠1．当m<1时，解得m1时，解得1题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
(3) m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c<(m－2)x恒成立，即 m∈[0，2]，不等式mx－x2＋3>0恒成立．令g(m)＝mx－x2＋3，m∈[0，2]，
则解得－1即实数x的取值范围为(－1，)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
一、单项选择题
1．已知集合U＝{x∈N|－1A．{2，3} B．{1，2，4}
C．{0，1，2} D．{0，1，2，4}
B　[由题得U＝{0，1，2，3，4}，因为A＝{0，1，3}，所以 UA＝{2，4}．又B＝{1，4}，所以( UA)∪B＝{1，2，4}．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
阶段评估(一)　(第1课时~第5课时)
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．命题“ x>0，x2－3x－10>0”的否定是(　　)
A． x>0，x2－3x－10>0
B． x>0，x2－3x－10≤0
C． x≤0，x2－3x－10≤0
D． x>0，x2－3x－10≤0
√
D　[“ x>0，x2－3x－10>0”的否定是“ x>0，x2－3x－10≤0”．
故选D．]
3．(2025·辽宁大连三模)若全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>
－1}，则(　　)
A．A B B． UA B
C．B UA D．B∩A＝
题号
2
1
3
4
5
6
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11
12
13
14
√
B　[因为A＝{x|x<1}，B＝{x|x>－1}，
所以A∩B＝{x|－1所以 UA＝{x|x≥1}，所以 UA B，故B正确，C错误．故选B．]
4．(2025·天津耀华中学月考)设x∈R，则“x2＋x－2>0”是“|x－2|<1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题号
2
1
3
4
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6
8
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9
10
11
12
13
14
√
B　[由x2＋x－2>0，得x<－2或x>1；由|x－2|<1，得－10”是“|x－2|<1”的必要不充分条件．
故选B．]
5．(2026·广东深圳模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
B　[依题意，a＋b＝2ab≤2×，
即(a＋b)2－2(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－2)≥0，
由于a＋b>0，所以a＋b－2≥0，a＋b≥2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以a＋b的最小值为2．故选B．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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11
12
13
14
6．“关于x的不等式mx2＋mx＋1≥0的解集为R”的一个必要不充分条件是(　　)
A．0≤m≤2 B．2≤m≤5
C．－1≤m≤4 D．0≤m≤4
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
C　[当m＝0时，1≥0恒成立；当m≠0时，由题意，
得解得0综上，实数m的取值范围为0≤m≤4，
则“关于x的不等式mx2＋mx＋1≥0的解集为R”的一个必要不充分条件是－1≤m≤4．
故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
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12
13
14
二、多项选择题
7．(2026·山东济南模拟)已知a>b>0，下列说法正确的是(　　)
A．若c>d，则ac>bd
B．若c>0，则
C．
D．a2＋
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
BD　[对于A，不妨取2>1>0，－3>－4，则2×(－3)<1×(－4)，故A错误；
对于B，a>b>0，c>0，则ab＋ac>ab＋bc，
即，故B正确；
对于C，a>b>0，则(a＋b)2>4ab ，故C错误；
对于D，a>b>0，则a2>b2，，所以a2＋，故D正确．故选BD．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．若正实数x，y满足2x＋y＝1，则(　　)
A．xy有最大值
B．
C．4x2＋y2有最小值
D．4x＋2y有最小值2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
ABC　[对于A，2x＋y＝1≥2，则xy≤，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故A正确；
对于B，
，即x＝，y＝2－时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以4x2＋y2≥，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故C正确；
对于D，4x＋2y＝22x＋2y≥2，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故D错误．故选ABC．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
三、填空题
9．(2025·重庆八中月考)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝，则集合B的真子集有________个．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
7
7　[∵∈Z，∴x为奇数，∴B＝{1，3，5}，
∴集合B中有3个元素，∴集合B的真子集个数为23－1＝7．]
10．若－1题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
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12
13
14
　[a＝[(a＋b)＋(a－b)]，由－1所以[(a＋b)＋(a－b)]<，即．
又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)，
所以－(a＋b)＋(a－b)<＋2，即t∈．]
四、解答题
11．已知集合A＝，集合B＝{x|x2－mx－3<0}．
(1)求集合A；
(2)若________，求实数m的取值范围．
①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件，在这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并给出解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[解]　(1)不等式≤0等价于(x－1)(x＋3)≤0，且x≠－3，
解得－3解x(x－3)≥0，得x≤0或x≥3，
所以A＝{x|－3题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
(2)若选①：A∪B＝B，则A B，
又B＝{x|x2－mx－3<0}，
即x2－mx－3<0在(－3，0]上恒成立，
令f (x)＝x2－mx－3，则
解得m≤－2，
所以m的取值范围为(－∞，－2]．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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10
11
12
13
14
若选②：“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则有A B，
又B＝{x|x2－mx－3<0}，
即x2－mx－3<0在(－3，0]上恒成立，
令f (x)＝x2－mx－3，则解得m≤－2，
所以m的取值范围为(－∞，－2]．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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10
11
12
13
14
若选③：“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件，则有A B，
又B＝{x|x2－mx－3<0}，
即x2－mx－3<0在(－3，0]上恒成立，
令f (x)＝x2－mx－3，则解得m≤－2，
所以m的取值范围为(－∞，－2]．
题号
2
1
3
4
5
6
8
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11
12
13
14
12．已知不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(am＋b)x＋bm<0．
题号
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[解]　(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1或x>b}，
所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根，
所以
(2)由(1)知原不等式为x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－m)(x－2)<0，
当m>2时，不等式解集为{x|2当m＝2时，不等式解集为 ；
当m<2时，不等式解集为{x|m题号
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13．设函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2(a∈R)．
(1)若a＝－2，求f (x)<0的解集．
(2)若不等式f (x)≥2x－3对任意实数x>1恒成立，求a的取值范围；
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[解]　(1)由函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2(a∈R)，
若a＝－2，可得f (x)＝－2x2＋3x－4，
又由f (x)<0，即不等式－2x2＋3x－4<0，
即2x2－3x＋4>0，∵Δ＝9－4×2×4<0，且函数图象开口向上，
∴不等式2x2－3x＋4>0的解集为R，即f (x)<0的解集为R．
(2)由f (x)≥2x－3对任意实数x>1恒成立，
即(x2－x＋1)a≥x－1对任意x∈(1，＋∞)恒成立，
∵x2－x＋1>0，∴a≥，
∵x>1，
∴＝，
当且仅当x－1＝时，即x＝2时，等号成立，
∴a≥，∴a的取值范围是．
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14．(2025·河南南阳期中)数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1 000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数．
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(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本．
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[解]　(1)设平均每个人形机器人的成本为y万元，根据题意有
y＝＋10≥2＋10＝30，
当且仅当，即x＝100时取等号．
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元．
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(2)设月利润为W万元，则有W＝x－1 000－10x－＋13x－1 000，
由题知＋13x－1 000≥400，整理得x2＋130x－14 000≥0，解得x≥70．
所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元．
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谢 谢 ！课后作业(五)　一元二次方程、不等式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共93分
一、单项选择题
1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T5改编)已知集合A＝{x||x|>1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪B＝ (　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(1，2)
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D．(－1，1)
2．(2026·广东清远模拟)若关于x的不等式ax2－ax－1≥0的解集为空集，则a的取值范围是 (　　)
A．(－4，0) B．[－4，0]
C．(－4，0] D．[－4，0)
3．(2026·江苏徐州模拟)已知不等式ax2＋bx－3>0的解集为{x|x>1，或x<－3}，则不等式≥0的解集为 (　　)
A．{x|－1B．{x|－2C．{x|－1≤x≤2}
D．{x|x>1，或x<－2}
4．(2026·天津模拟)若“－1A．{a|a≤1，或a≥2}
B．{a|－2C．{a|－2≤a≤－1}
D．{a|a≤－2，或a≥－1}
5．(2025·北京大兴期中)若不等式x2－(a＋2)x＋2a≤0对任意的x∈[－1，1]恒成立，则a的取值范围是 (　　)
A．[－1，1] B．[－1，＋∞)
C．[－1，2] D．(－∞，－1]
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园的其中一边的长x(单位：m)的取值范围是 (　　)
A．[15，20] B．[12，25]
C．[10，30] D．[20，30]
二、多项选择题
7．设集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝(－2，2]，则 (　　)
A．b≥0 B．b<0
C．c≤－4 D．2b＋c＝－4
8．已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是 (　　)
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－a<0}，写出满足A∩B＝{0，1}的一个实数a的值___________．
10．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位长度，则实数k的取值范围为__________________．
四、解答题
11．(13分)已知f (x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6．
(1)解关于a的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值．
12．(13分)已知函数f (x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2．
(1)若不等式f (x)≥－2对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解关于x的不等式f (x)13．(15分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，且不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3的解集中恰有一个正整数，求实数m的取值范围；
(3) m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c<(m－2)x恒成立，求实数x的取值范围．
课后作业(五)
1．C　2．C　3．A
4．C　[由(x－a)(x－3－a)<0，解得a因为“－1所以(两个等号不能同时成立)，解得－2≤a≤－1，
所以实数a的取值范围是{a|－2≤a≤－1}．
故选C．]
5．D
6．C　[如图，过点A作AH⊥BC，交BC于点H，交DE于点F，
易知，
则AF＝x，FH＝40－x．所以矩形花园的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30．
故选C．]
7．ACD　[由题可得集合A＝{x|－2所以方程x2＋bx＋c＝0的两根x1，x2满足x1≤－2，x2＝2．由根与系数的关系可知，－b＝x1＋x2＝2＋x1≤2＋(－2)＝0，
即b≥0，选项A正确，选项B错误；
c＝x1x2＝2x1≤2×(－2)＝－4，选项C正确；
从而22＋2b＋c＝0，即2b＋c＝－4，选项D正确，故选ACD．]
8．ACD　[当a＝0时，＝－2(x＋2)>0 x<－2；
当a>0时，＝a>0 x>或x<－2，故A正确；
当a<0时，＝a>0，
若＝－2 a＝－1，则不等式无解；
若<－2 －1若>－2 a<－1，则不等式的解为－29．1(答案不唯一，满足0因为A∩B＝{0，1}，所以{0，1} B，
设f (x)＝x2－x－a，则f (x)<0的整数解为0，1，
则f (0)<0，f (1)<0，f (－1)≥0且f (2)≥0，解得010．[－1，0)∪(8，9]　[不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0．设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，令x18或k<0，所以－1≤k<0或811．解：(1)由题意知f (1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
解得3－2∴不等式的解集为{a|3－2(2)∵f (x)>b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴
故a的值为3±，b的值为－3．
12．解：(1) x∈R，f (x)≥－2恒成立等价于 x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
当a＝0时，x≥0，对任意实数x不恒成立，则a≠0，此时必有
即解得a≥，
所以实数a的取值范围是．
(2)依题意，因为a<0，所以f (x)0．
当－＝1，即a＝－1时，解得x≠1；
当－>1，即－1－；
当0<－<1，即a<－1时，
解得x<－或x>1，
综上，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当－1当a<－1时，原不等式的解集为．
13．解：(1)由不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为[－1，3]，得a>0且－1，3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，因此ax2＋bx＋c＝a(x＋1)(x－3)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，其对称轴为x＝1．而该图象与直线y＝－4有且仅有一个公共点，则y＝a(x＋1)(x－3)图象的顶点为(1，－4)，于是－4＝－4a，解得a＝1，所以此二次函数的解析式为y＝(x＋1)·(x－3)，即y＝x2－2x－3．
(2)由(1)知不等式ax2＋bx＋c<(m－1)x－m－3为x2－2x－3<(m－1)x－m－3，整理得x2－(m＋1)x＋m<0，即(x－1)·(x－m)<0．依题意，不等式(x－1)(x－m)<0的解集中恰有一个正整数，则m≠1．当m<1时，解得m1时，解得1(3) m∈[0，2]，不等式ax2＋bx＋c<(m－2)x恒成立，即 m∈[0，2]，不等式mx－x2＋3>0恒成立．令g(m)＝mx－x2＋3，m∈[0，2]，
则
解得－1即实数x的取值范围为(－1，)．
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