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2026届初中毕业班数学学科模拟练习
（满分：150分；考试时间：120分钟）
学校 班级 姓名 考号
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上．
一、选择题:本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列实数中，是无理数的是
A．1.35 B． C． D．
2.“鼓之舞之”是“鼓舞”一词的重要源头和雏形．如图是喜庆集会时所击的鼓的立体图形，则它的主视图是
A． B．
C． D．
3．宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟．”比喻非常渺小，据测量，1粒粟的重量约为0.000 005 2千克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为
A．千克 B．千克
C．千克 D．千克
4．如图，在中，，，为的两个外角，则当减少时，的变化是
A．减少 B．增大
C．保持不变 D．增大
5．若，则关于x的方程根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
6．在计算方差：中，数据2026和25分别表示
A．该组数据的个数和方差 B．该组数据的平均数和个数
C．该组数据的方差和个数 D．该组数据的个数和平均数
7．一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，已知，当行驶时，高度约上升了
A．11m B．89m
C．100m D．110m
8．已知是的反比例函数，其部分对应值如下表所示．若ax … -2 -1 1 2 3 …
… a b …
A． B． C． D．
9．如图，正n边形内接于，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若，则n为
A．8 B．10
C．12 D．20
10．抛物线经过四点：，，，，则下列选项中，值不变的是
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是　 　元．
12．不等式的解集是　 　．
13．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关．所有开关初始均断开，随机闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率是　 　．
14．如图，，平分，，，则点D到AB的距离为　 　．
15．若关于x的分式方程有正整数解，若m为正整数，则　 　．
16．如图，已知△中，，，，点是△内部一点，连接，，，若，则的最小值为　　　　．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）
计算：
18．（8分）
已知：如图，在四边形中，，　　　　．
求证：．
请在空格处添加条件并证明．
小明：“添加，就可以证明．” 小丽：“要添加才可以证明．”
你支持 　 　 （填“小明”或“小丽”的观点，并写出相应的证明过程．
19．（8分）
先化简，再求值：，其中．
20．（8分）
为了解某校400名学生在校午餐所需的时间，抽查了该校20名学生在校午餐所花的时间．由图示分组信息得：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
某校被抽查的20名学生在校午餐
所花时间的频数表
组别 “正字法”记录 频数
A 2
B 4
C 12
D _______ _______
E _______ _______
合计 20
分组信息
A组：； B组：； C组：； D组：； E组：．
注：x（分钟）为午餐时间
（1）请填写频数表，并估计这400名学生午餐所花时间在组的人数．
（2）在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15分钟，20分钟，25分钟，30分钟中选择一个作为午餐时间，你认为应选择几分钟为宜？说明理由．
21．（8分）
如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，△的三个顶点均在格点上．请只用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在方格纸中，在△的边上取一点，使得平分；
（2）点在△的边上，且满足．（保留画图痕迹，体现画图过程）．
22．（10分）
角谷问题（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由数学家角谷提出．其内容是：对于任意正整数n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行角谷运算．第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步：．
（1）若从某正整数出发，第一步角谷运算得到16，求所有满足条件的正整数n；
（2）小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合角谷猜想，则（为任意正整数）一定也符合角谷猜想．
∵为偶数， ∴，
若为奇数，则下一步角谷运算后为，
若为偶数，则下一步角谷运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步角谷运算得到，
∴可以多次角谷运算为的形式，
∴一定也符合角谷猜想．
若（为任意正整数）已被证明符合角谷猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合角谷猜想．
23．（10分）
在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）点是抛物线上的一点，且在直线下方．过点作轴的垂线，垂足为，直线交直线于点，设点为（t，0）．若的长随的长的增大而增大，求的取值范围．
24．（12分）
综合与实践：折黄金矩形
【问题提出】
我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中．那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？
【操作探究】
（1）小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2至图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论 .
（2）小智小组将一张边长为2的正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形，你能证明矩形是黄金矩形吗？请写出证明过程．
【学以致用】
（3）将一张矩形纸片（如图11），先按下列操作在矩形画出示意图，再按要求解决问题．
①沿过点C的直线折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕交边AB于点G；
②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边CD于点F；
③沿过点E的直线折出矩形ENCD，折痕EN交线段CG于点M，连接MH．
如果，请说明点G是线段的黄金分割点．
25．（14分）
如图1，内接于，作直径交边于点，平分，连结，．
（1）若，求的度数．
（2）如图2，作于点，交于点．
①求证：．
②若，且，求的最小值．
第8页（共8页）2026届初中毕业班模拟练习
数学参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一步没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
（四）评分最小单位是1分，得分或扣分都不出现小数．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．B； 2．C； 3．C； 4．B； 5．A；
6．D； 7．D； 8．A； 9．B； 10．C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．80； 12．； 13．；
14．2； 15．1； 16．．
三、解答题（共86分）
17．（8分）
解：原式＝ 6分
＝ 8分
18．（8分）
解：支持 小丽 的观点． 2分
证明如下：
∵
∴△和△都是直角三角形， 3分
在△和△中，
，
∴△， 6分
∴． 8分
19．（8分）
解：原式 2分
4分
， 6分
当时，原式． 8分
20．（8分）
解：（1）频数表填写如图，
2分
(名)． 4分
答：这400名学生午餐所花时间在组的有240名． 5分
（2）①选择25分钟，人能按时完成用餐，可以鼓励最后5%同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率，
②选择20分钟，人能按时完成用餐，可以鼓励最后10%的同学适当加快用餐速度或采用合理照顾如优先用餐等方式，以满足学生午餐用时需求，又提高食堂的运行效率．
③选择30分钟，能说明所有学生都能完成用餐，但未考虑食堂的运行效率．
④选择15分钟，只有30%的人能按时完成用餐，不科学，也不健康．所以选择15分钟不得分）
（①②种说法得3分，③得1分）
21．（8分）
（1）如图所示，点D即为所求；
……………………4分
（2）点E的位置如图所示．
……………………8分
22．（10分）
（1）解：当为偶数时：， 得，
当为奇数时：，得，
∴或32；…………………………………………………………………4分
（2）∵ 为任意正整数，∴为奇数，
则下一步角谷运算结果为……………6分
∵ 为偶数，则下一步角谷运算结果为.…………………7分
∵ 为偶数，则下一步角谷运算结果为，.……………………8分
∴经过三步角谷运算后得到.……………………………………9分
∵ 为正整数，
∴ 是形如（为正整数）的数．根据题设，形如的数均符合角谷猜想，故一定也符合角谷猜想．……………………………………10分
23．（10分）
（1）解：将点代入，抛物线，
可得，............................................................................................1分
∴该抛物线解析式为，
将点（3，3a）代入，抛物线，
可得，解得；
∴该抛物线的对称轴为直线................................................4分
（2）∵轴，，
∴，
将代入，可得，即，
∵（3，3a）
∴直线为，
将代入，可得，即，
∵抛物线位于直线下方，
∴，其中，
对于，，则其图象开口向下，对称轴为直线，
∵的长随的长的增大而增大，即的长随t的增大而增大，
∴ t的取值范围为 ............................................................ 10分
24．（12分）
（1）图5中是黄金矩形的有：矩形，矩形 2分
（2）证明：如图所示，将折到上的对应点为点，连接，，
在正方形ABCD中，，，
由题知，，
∴，
设，则，
∵将折到上，对应点为点，
∴，，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴矩形BGHC是黄金矩形． 7分
解：如图所示示意图即为所求，
9分
设，，
∵四边形、为矩形，
∴，，，
如图，延长、交于点T，
由折叠可知，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点G是线段的黄金分割点． 12分
（14分）
（1）解：∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∵，
∵，
∴． 4分
（2）①证明：方法1：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴； 8分
方法2：连接，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴； 8分
方法3：延长交于点，交于点，交于点，
∵，为直径，
∴（垂径定理），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴； 8分
② 解：方法1：由①得，，
∵，，
∴，
∴，
∴△△，
∴，
设，，则，，，
∴，
整理得，
∵，
∴，
∴，
又，
∴的最小值为1，即的最小值为1．.....................................................14分
方法2：由①得，，
设，得，，
由△△，所以Ⅰ式），
由△△，所以Ⅱ式），
由（Ⅰ）：（Ⅱ）得，，
由所以△△，得，
即，
所以，
因为，
所以，
所以易知． ...................................................................................14分
初三数学答案 第8页（共8页）

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