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高二5月数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数满足，则
A. B.
C. D.1
2.已知随机变量服从两点分布，且，则
A.0.7 B.0.5 C.0.4 D.0.1
3.已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则的值为
A.10 B.4 C.6 D.8
4.已知函数，则的单调递增区间为
A.
B.
C.
D.\left( \frac{1}{e}, 1 \right) \)和\( (1, +\infty) \)
5.某市教育行政部门近期将安排甲、乙、丙、丁、戊5名教育专家前往四个不同地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的方法有
A.80种 B.240种 C.120种 D.60种
6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
7.袋中有5个黑球、3个白球，从袋中任取3个球，则至少有2个白球的概率是
A. B.
C. D.
8.已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知随机事件，满足，，则下列说法错误的是
A.事件与互为对立事件
B.若，则
C.若事件，互斥，则
D.若事件，相互独立，则
10.杨辉是我国古代数学家，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。则下列结论正确的是
A.第20行中最大的数是第11个数
B.第20行中从左到右第17个数与第18个数之比为
C.记第20行第个数为，则
D.第四斜行的数：，，，，，构成数列，则数列的前项和为
11.已知函数，则下列说法正确的是
A.若，则在上无极值点
B.若，，则在上单调递减
C.当，时，若关于的方程有三个实根，则实数
D.当，时，若在上最大值为，则实数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知，则 。
13. 一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则在恰有3个不同整数的前提下，第二次取到3的概率为 。
14. 已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）在的展开式中。
（1） 求二项式系数最大的项；
（2） 判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项。
16.（15分）已知函数。
（1） 若函数在处有极小值，求实数的值；
（2） 若，求函数在区间上的最值。
17.（15分）从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（用数字作答）
（1）若4人中男生、女生各选2人，则有多少种选法？
（2）若男生甲和女生乙至少选1人，则有多少种选法？
（3）若4人中必须既有男生又有女生，且男生甲和女生乙至少选1人，则有多少种选法？
18.（17分）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局.乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励.已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响.
（1）求甲在乒乓球比赛中积1分的概率；
（2）记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值；
（3）若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖
励”，求.
19.（17分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，存在不相等的，，满足，证明：；
（3）对，恒成立，求实数的取值范围.
高二5月数学
参考答案及评分意见
1.A 因为，所以，故选A.
2.C 因为随机变量服从两点分布，且，
所以.故选C.
3.D 因为二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，
所以展开式一共有9项，即，解得.故选D.
4.A 函数有意义，则且，即函数的定义域为.
，令，得，即，解得，
所以函数的单调递增区间为.故选A.
5.B 由题意，先将甲、乙、丙、丁、戊5名教育专家分成，，，四组，有种分法，再将这四组专
家分配到四个不同地区，所以有种分法.故选B.
6.A 由题意，对，恒成立，即在上恒成立，则.
令，求导得，
当，，单调递增，所以，即.
所以实数的取值范围是.故选A.
7.C 方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量，则的所有可能取值为，，，，
则.
所以至少有2个白球的概率是.故选C.
方法二：设“至少有2个白球”，则“至多有1个白球”，
所以.故选C.
8.C 由题意得，且，则有.
由的定义域得，即.两边除以，得.
令函数，则有.
，因为恒成立，
所以当时，，则，在上单调递增；
当时，，则，在上单调递减.
又因为是偶函数，所以，即函数是偶函数.
所以，又因为在上单调递增，
所以，解得且.
所以不等式的解集为，故选.
9.AC 对于，若事件与事件互为对立事件，则，
但，，，故错误.
对于，若，即，则，故正确.
对于，若事件，互斥，则，故错误.
对于，若事件，相互独立，则事件与，事件与也相互独立.
所以，，
即，故正确.故选.
10.AD 对于，因为杨辉三角第行的数对应组合数，，，，
当为偶数时，最大数是，对应第个数，
所以第行，最大数为，对应第个数，故正确.
对于，由题意得，第行的数对应组合数，，，，
则从左到右第个数为，第个数为，所以，故错误.
对于，因为第行第个数为，所以.
令，则.由二项式定理，得，故错
对于，因为第四斜行的数为，，，，，对应组合数为，，，，，即，
所以数列的前项和为
，故正确.故选.
11.ACD 由题意得，，.
对于，若，则，由得，
因为，则，所以的图象开口向上，恒成立，没有变号零点，
所以在上单调递增，故无极值点，故正确.
对于，若，，则的图象开口向上，对称轴为，
在上单调递增，所以，
故在上单调递增，故错误.
对于C，当，时，，.
令，则，，
当时，；当时，；当时，.
所以极大值，极小值.因为有三个实根，所以，故C正确.
对于D，当，时，解，得或，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
①当时，最大值小于；
②当时，存在使得，最大值大于，故，故D正确.故选ACD.
12.63 当时，.当时，.
所以.
13. 由题意，有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，
所有可能的结果共有种，恰有3个不同整数的排法，有种，
在恰有3个不同整数的前提下，第二次取到3的排法，有种，
所以在恰有3个不同整数的前提下，第二次取到3的概率.
14. 当时，，则，
解，得；解，得.
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以当时，，，当，.
当时，，则，
解，得；解，得.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，，，当，.
作出函数的大致图象如图.
因为函数有2个零点，所以直线与的图象有2个交点.
由图可知或，即实数的取值范围是.
15.解：（1）由题意得，二项式的展开式的通项为
. …………………………………………………… 3分
二项式系数最大的项为中间项即第4项，
所以. ……………………………………………………………………… 5分
（2）由题意得，二项式的展开式的通项为
. …………………………………………………… 6分
设第项系数的绝对值最大，显然，则
整理得即解得. …………………… 9分
因为，所以. …………………………………………………………………………………………… 10分
所以系数的绝对值最大的项是第5项，
所以展开式中的第5项系数的绝对值最大. ………………………………………………………………………………… 11分
所以系数最大的项为第5项. …………………………………………………… 13分
16.解：（1）由，得.
因为为的极小值点，所以，解得或. ……………………………………………… 2分
当时，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以为的极小值点. …………………………………………………………………………………………… 5分
当时，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增.所以为的极大值点. ……………………………………………… 8分
所以当时，在处取极大值，不符合题意，
所以实数的值为4. ………………………………………………………………………………………………………… 9分
（2）当时，，
令得或. …………………………………………………………………………………………… 10分
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以为在区间的极大值，也是最大值. 13分
因为，，，所以最小值为.
综上，函数在区间上的最小值为，最大值为32. 15分
17.解：（1）对于男生，从5名男生中选2人，选法有种.
对于女生，从4名女生中选2人，选法有种. 2分
根据分步乘法计数原理，总选法有种，
所以男生、女生各选2人，共60种选法. 4分
（2）由题意，从9人中选取4人，选法有种.
若男生甲和女生乙都不在，则从剩下的7人中选取4人，
选法有种. 6分
所以男生甲和女生乙至少选1人的选法有种. 8分
（3）由（2）得，从9人中选取4人，选法有种，
若选取的4人全部为男生，则选法有种，
若选取的4人全部为女生，则选法有种. 10分
所以选取的4人中，既有男生又有女生的选法有种.
若男生甲和女生乙都不在，则从剩下的7人中选取4人，选法有种. 12分
此时还剩下了4名男生和3名女生，
在这种条件下，选取的4人全部为男生的选法有种，
选取的4人全部为女生的选法有0种. 13分
所以选取的4人中，男生甲和女生乙都不在且既有男生又有女生，选法有种.
所以从9人中选取4人，男生甲和女生乙至少选1人，且既有男生又有女生的选法有种.
15分
18.解：（1）甲在乒乓球比赛中积1分，
则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负2场，
所以概率为. 4分
（2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次；
或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖2次中0次，
故所求概率.
所以当时，取得最小值，的最小值为. 9分
（3）在乒乓球比赛中，若事件发生，则甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁，
其余三人的积分有两种情形： ，，或，，.
由题意，得.
记事件“甲在乒乓球比赛中积分，乙、丙、丁各积分”为，
则，. ……………………………………………………………………… 11分
事件“甲在乒乓球比赛中积分，另人积分为，，分”为，
则. ……………………………………………………………………… 13分
甲要获得奖励，则对应两种情况：
“甲抽奖次至少中次”，或者“甲抽奖次中次，且积分的人至多抽中次”，
所以 ……………………………………………………………………… 15分
由全概率公式，得，
所以. ……………………………………………………………………… 17分
19.（1）解：的定义域为，.
①当时，，函数在上单调递增. ……………………………………………………………………… 2分
②当时，令，解得.
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增. ……………………………………………………………………… 5分
（2）证明：当时，由（1）得，函数在上单调递减，在上单调递增.
不妨设，要证，即证，即证.
，即证. ……………………………………………………………………… 7分
令，则，
在上单调递增，当时，，.
，，. ……………………………………………………………………… 10分
（3）解：，即，
对，都有成立.
令，则.
求导得.
令，则，
在上单调递增 11分
又，，
存在唯一的，使得，
13分
令，则，在上单调递增，
，， 14分
当时，，则，在上单调递减，
当时，，则，在上单调递增。
，
，即实数的取值范围为 17分

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