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高二数学（B卷）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知，，若，则
A. B.
C. D.
2. 已知椭圆的短轴的长为，则该椭圆的离心率
A. B.
C. D.
3. 若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
4. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积为
A. B.
C. D.
5. 在空间直角坐标系中，三棱锥的四个顶点的坐标分别为，，，，若该三棱锥的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为
A. B.
C. D.
6. 已知随机变量，若，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
7. 某航天任务计划从5名备选航天员（包括甲、乙）中选派4人执行空间站作业，分别负责机械臂操作、舱外维护、数据监测三项不同的工作，其中数据监测需要2人负责，机械臂操作与舱外维护各需要1人负责。若甲、乙必须入选且不能从事同一项工作，则不同的安排方案共有
A.30种　　　 B.45种　　　 C.60种　　　 D.90种
8. 已知函数，若，则，，的大小关系不可能是
A. 　　
B. 　　
C. 　　
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有
A. 　　　　　　
B. 的单调递减区间为
C. 的极小值为　　　
D. 在上的最大值为3
10. 一袋中装有6个盲盒，盒内分别印有福州三坊七巷、厦门鼓浪屿、福建土楼三种图案，数量分别为3，2，1，盲盒除内部图案不同，其余均相同。每次从中随机抽取1个盲盒，抽后不放回，连续抽取两次。设事件A为“第一次抽到福州三坊七巷盲盒”，事件B为“第二次抽到厦门鼓浪屿盲盒”，则下列结论正确的有
A. 　 B. 　
C. 　 D.
11. 设数列满足，其中，。数列满足，数列的前n项和记作，则下列说法正确的有
A. 　　　　
B. 与均为数列的最大项
C. 的最小值为　　　
D. 数列的前200项的和为100
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 的展开式中的系数为____。
13. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则____。
14. 某科技公司举办智能机器人挑战赛，赛场上有甲、乙、丙三款不同型号的机器人各一台独立完成指定任务。已知甲机器人完成任务的概率为，乙机器人完成任务的概率为，丙机器人完成任务的概率为，各机器人能否完成任务相互独立，设X为成功完成任务的机器人数，则____。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
某健康机构为研究成年人的年龄与收缩压的相关关系，随机记录了5名成年人的年龄（单位：岁）与收缩压（单位：mmHg），数据如下表：
年龄 35 40 45 50 55
收缩压 114 125 126 132 133
规定收缩压为血压偏高，为血压正常。
（1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；
（2）从这5人中随机抽取2人，求恰好抽到1名血压偏高的人的概率。
附：经验回归方程的斜率及截距的最小二乘估计分别为，。
16.（15分）
已知数列满足，且（）。
（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求使不等式成立的正整数的取值集合。
17.（15分）
如图1，四边形是边长为4的正方形，在扇形中，，点是弧的中点。现将正方形沿进行翻折，使得点到达点的位置，点到达点的位置，如图2所示，其中。
（1）证明： 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值。
18.(17分)
已知双曲线 的实轴的长为4，离心率 。
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，求线段 的中点 的轨迹方程；
（3）设 为双曲线 上任意一点，过 作 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，。 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由。
19.(17分)
已知函数 ，函数 ， 为实数。
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若存在正实数 ，使不等式 成立，求 的取值范围；
（3）若函数 有两个零点 ，，证明：。
高二数学（B卷） 参考答案
1.A 因为，所以，解得，，故。
故选A。2.A 因为椭圆的短轴的长为6，所以，故，所以，又该椭圆的长半轴长为，故椭圆的离心率。
故选A。
3.C 将圆与圆的方程相减，即可得直线的方程为，设直线的倾斜角为，则，又，故。
故选C。
4.B 由题意知，半径，则，四边形的面积为。
故选B。
5.C 设球心为，球的半径为，由，得解得，，，即球心，，故球的表面积为。
故选C。
6.C 因为，所以该正态密度曲线的对称轴为直线，所以，由，得，解得。故实数的取值范围为。
故选C。
7.A 甲、乙必选，再从剩余3人中选2人，有种方法；安排4人到3项不同工作，甲、乙不能从事同一项工作，共有种方法，所以共有种安排方案。
故选A。
8.D 因为，，所以，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减。当时，；当时，，又，，且当时，，所以函数的草图如下：
当时，因为单调递增，所以，故A可能成立。
当时，因为单调递减，所以，故B可能成立。
当时，，故C可能成立。
若，则，不符合题意；
若，则有，不符合题意；
若，则有，不符合题意；
若，则，不符合题意。
所以当时，不可能成立。
故选D。
9.BCD 由，得，令，得，得，故A错误；
由，得，，令，得，故的单调递减区间为，故B正确；
令，得或，故的单调递增区间为，，所以的极小值为，故C正确；
在区间上，，，，故在上的最大值为3，故D正确.
故选BCD.
10.ABD 总盲盒数为.
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，设事件M为“第一次抽到厦门鼓浪屿盲盒”，，，，，由全概率公式，得，D正确.
故选ABD.
11.ABC 由数列满足，其中，得，.
对于A，，A正确；
当或8时，取得最大值，故数列取得最大值，B正确；
对于C，因为数列，当时，；当时，；当时，，所以最小，的最小值为，C正确；
对于D，，此数列为，，，，，，，，，，，，，，，故数列的前200项的和为，D错误.
故选ABC.
12.9 因为，所以的展开式中含的项为，故展开式中的系数为9.
13. 设点，由点在抛物线上得，所以，得直线的方程为，联立，消去并整理，得，所以，所以，代入，得，所以.
14. 的所有可能取值为0，1，2，3，
则；
；
；
，
故.
15. 解：（1），
，
，（3分）
，（4分）
则，（5分）
，（6分）
所以关于的经验回归方程为。（7分）
（2）血压偏高的共2人，血压正常的有3人，从5人中抽2人，总样本点数为，（9分）
恰好1人偏高、1人正常的样本点数为，（11分）
故所求概率。（13分）
解：（1）证明：由，
得，即，（2分）
又，所以数列是首项为2、公差为1的等差数列，（4分）
所以，
所以。（6分）
（2），（8分）
故，（10分）
代入，整理得。（11分）
设，则，（12分）
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，（13分）
又，，，，，
故使不等式成立的正整数的取值集合为。（15分）
17.解：（1）证明：因为四边形是边长为4的正方形，所以，，（1分）
翻折后，，，（2分）
又，，，平面，
所以平面，即平面，（4分）
所以平面。（5分）
（2）连接，，在中，由余弦定理得。（6分）
因为，，易知，所以四边形的面积为。（8分）
由（1）得四棱锥的高，所以四棱锥的体积。（10分）
（3）取的中点，连接，则，易知，，两两垂直，则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
则，，，
因为为边长为4的等边三角形，
所以，，
所以，，，。（12分）
设平面的法向量为，
则 即
取 ，则 。 分
设平面 的法向量为 ，
则 即
取 ，则 。 分
故平面 与平面 夹角的余弦值为
，。 分
18. 解：（1） 由双曲线的实轴的长为 ，得 ， 分
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ， 分
所以双曲线 的标准方程为 。 分
（2） 当直线 的斜率不存在时，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则直线 的方程为 ，
联立 消去 并整理，得 ，
由直线 与双曲线 有两个交点 ，，
得 ，且 ，解得 且 。 分
设 ，，，
则 ，故 ，
由 且 ，得 或 ，
将 代入 ，
整理得 ， 分
因为 ，
所以 ，即 ，
故线段 的中点 的轨迹方程为 。 分
（3） 的面积是定值。 分
理由如下：
设 ，则 ，双曲线 的渐近线方程分别为 ，。
点 到两条渐近线的距离分别为 ，，故 。 分
分别取两条渐近线的法向量为 ，，
则 ，，故 ， 分
所以 的面积 ，
故 的面积为定值 。 分
19. 解：（1） 当 时，，， 分
，， 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 。 分
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 。 分
（2） 由 可知，，，即 在 上有解。 分
设 ，
则 ，
当 时，， 在 上单
调递减；
当 时，， 在 上单调递增，（8分）
所以当 时， 取得最小值，为 ，
由题意知 ，即 ，
故 的取值范围为 。（10分）
（3）证明：由 ，
得 ，
令 ，又 ，则 ，，
易得 ，
所以函数 在 上单调递增。（12分）
若令 ，，则关于 的方程 有两个正实数根 ，，
要证 ，
也即证 ，
即证 ，
由已知得
所以
所以 ，
不妨设 ，
即证 ，
即证 ，（14分）
令 ，即证 ，，
令函数 ，，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，（16分）
所以 ，
故原不等式得证。（17分）

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