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高 三 数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集，集合，则
A. B.
C. D.
2. 若，则
A. B.
C. D.
3. 已知向量，，则
A. B.
C. D.
4. 已知函数是定义在上的增函数。若，则的取值范围是
A. B.
C. D.
5. 已知函数的最小正周期为4，且，则
A. B.
C. D.
6. 若，则
A. B.
C. D.
7. 抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点。设抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则
A. B.
C. D.
8. 已知直线与曲线相切，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，，，则
A.
B.
C. 当取得最大值时，或
D. 数列的前30项和为630
10. 已知事件，均为随机事件，则下列结论正确的是
A. 若，则
B. 若事件，相互独立，，，则
C. 若，则
D. 若，则
11. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为，左焦点为，且，，点为椭圆上一点，圆的半径为2，过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于，，若直线，的斜率都存在，分别记为，，则
A. 椭圆的离心率为
B. 的最小值为
C. 的值为
D. 的最大值为9
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数，则 。
13. 已知数列的前项和为，若，，记，则的最大值为 。
14. 设，是半径为4的球的表面上两定点，且，球的表面上一动点满足，则点的轨迹长度为 。
四、解答题（本大题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
大兴安岭是我国的重要的木材供应基地，为实现“绿水青山就是金山银山”理念，大兴安岭林区制订了“百万亩人工林”的植树造林计划，该地林业科研人员对近10年的人工林研究发现：一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3 m处的直径）越大，树就越高。由于测量树高比测量胸径困难，因此科研人员希望由胸径预测树高。在研究树高（单位：m）与胸径（单位：cm）之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图。
经计算得，，，，。
（1）推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
（2）试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到0.01），并预测胸径为45 cm的树高。
附：相关系数，回归方程中，，。
16.（本小题满分15分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且 。
（1）求A的大小；
(2)已知点D在BC边上，，且 。证明：。
17.（本小题满分15分）
已知函数 。
（1）求函数 的极小值；
（2）求不等式 的解集。
18.（本小题满分17分）
如图，在直三棱柱 中， .
（1）证明： ；
（2）已知 的中点是 ， ， ， .
（i）求点 到平面 的距离；
（ii）点 是矩形 （包含边界）内任一点，且 ，求 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知双曲线 的渐近线与圆 相切.
（1）求双曲线 的方程；
（2）记双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点 在双曲线 上，若 的平分线交 轴于点 ，且 ，求 的周长；
（3）过点 作两条互相垂直的直线 和 ，直线 交双曲线 于 ， 两点，直线 交双曲线 于 ， 两点， ， 分别是 ， 的中点，直线 过定点 ；再过点 作两条互相垂直的直线 和 ， 交双曲线 于 ， 两点， 交双曲线 于 ， 两点， ， 分别是 ， 的中点，直线 过定点 ，重复上述方式可以得到点列： ，，，，. 已知 ， ，记 的面积为 ，证明： .
高三数学参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C B D B A D ABD ABD ACD
1.B ，故选B.
2.A 依题意，，故选A.
3.C ，所以，故选C.
4.B 因为函数是定义在上的增函数，，所以，
解得，所以的取值范围是，故选B.
5.D 因为的最小正周期为，，，故选D.
（另法：正弦函数图象相邻的最大、最小值间隔半个周期）
6.B 将代入等式两边，得，另外即的系数，因为展开式的通项公式
为，所以，即，所以，故选B.
7.A 抛物线的焦点为，由轴，点，得，
由抛物线的光学性质，得点，，共线，设，则，
解得，（舍），点，于是，故选A.
8.D 由函数，得，设切点坐标为，，
则切线的斜率，所以切线方程为，
其中，即切线方程为，
整理可得，又因为直线与曲线相切，
所以，设，，则，
令，解得，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
故函数在时取得极小值，且当时，，
综上所述，函数的值域为，故实数的取值范围是，故选D.
9.ABD 因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故AB正确；
因为 ，
又 ，所以当 或 时， 取得最大值，故C错误；
对于D：因为 ，所以前30项和为
，故D正确. 故选ABD.
10.ABD 对于A：因为事件 ， 互为对立事件，，
所以 ，故A正确；
对于B：因为事件 ， 相互独立，，，
则 ，故B正确；
对于C：由 ，可得 或 ，当 时不能得出 ，故C错误；
对于D：因为 ，，
又 ，所以 ，故D正确. 故选ABD.
11.ACD 对于A：依题意得 ，，所以 ，故A正确；
对于B：（法一）由选项A可知椭圆 ，，
由 ，，则
，
当 时，.
（法二）设 ，则 ，，所以 ，故
B错误；
对于C：椭圆 ，依题意得圆 ，
因为点 为椭圆上一点，所以 ，得 ，
直线 ，，与圆D相切，所以 ，，
平方整理得 ， 为方程 的两根，
所以 ，故C正确；
对于D：设 ，，由选项C知 ，所以 ，
，，所以 ，
整理得 ，，
，
由基本不等式 ，得 ，
当且仅当 时等号成立. 所以 的最大值为9. 故选ACD.
三、填空题
12.0 由已知得 ，所以 ，所以 。
13. 因为 ，，当 时，；
当 时，由 ，，两式相减得 ，
即 ，又 ，所以数列 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以 。
所以 ，由 ，
即 ，得 或 。所以 ，
所以 。
14. 以 所在的平面建立直角坐标系， 为 轴， 的垂直平分线为 轴，
，则 ，，设 ，由 ，
则 ，即 ，故点 轨迹是以 为圆心， 为半径的圆。
当 绕 为轴旋转一周时，， 不变，依然满足 ，
故空间中点 的轨迹为以 为球心，半径为 的球，同时 在球 上，故 在两球的交线所在的圆上。球心距
为 ，
因为 ，所以 为直角三角形， 的轨迹半径为 ，周
长为 。
四、解答题
15.（1） 根据树高与树的胸径的散点图，可判断两个变量是线性相关。
根据题中所给数据，得 ，，1分
。2分
所以 。4分
由于 的值接近于1，故相关性较强。5分
故两个变量线性相关，且相关程度较强。6分
（2） 由（1） 知 ，，。7分
所以 ，9分
。11分
所以经验回归方程为 。12分
当 时，，即树高的预测值大约为25.84 m。
故树高关于胸径的经验回归方程为 ，预测胸径为45 cm的树高为25.84 m。13分
16.（1） 因为 ，又 ，所以 ，
即 。 ……………………………………………………………………… 2分
由余弦定理 ，即 。 …………………………………………………… 3分
所以 ， ………………………………………………………………………… 4分
所以 ，又 ，所以 。 …………………………………………………… 6分
（2）在中，由正弦定理得，
则， ………………………………………………………………………… 8分
在中，由正弦定理得，
则， ……………………………………………………………………… 10分
因为，
所以， …………………………………………………… 12分
由正弦定理得，即， …………………………………………………… 13分
所以，
所以，即。 ……………………………………………………………………… 15分
17.（1）由，得，可得， …………………………………………………… 1分
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增， …………………………………………………… 3分
所以。 ……………………………………………………………………… 4分
（2）由，
当时，，不等式恒成立； …………………………………………………… 6分
当时，，不等式化为，
当时，不等式的左边=右边，所以。 ……………………………………………………………………… 7分
①当时，令，得，
所以函数在上单调递减，所以，即， …………………………………………………… 8分
令，，得，
则时，，单调递减；时，，单调递增，
所以，所以， ……………………………………………………………………… 10分
所以； ……………………………………………………………………… 11分
②当时，由，得，
令，，
则，函数在上单调递增，所以，
由，得，所以不等式成立， …………………………………………………… 14分
综上，不等式的解集为。 …………………………………………………… 15分
18.（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
平面，所以， 1分
又因为，平面，平面，，
所以平面， 3分
平面，所以。 4分
（2）（i）设，依题设以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
因为，所以，即，解得， 6分
则，，
得，，
设平面的法向量为，
由得令，所以， 8分
又，所以点到平面的距离。 9分
（ii）设平面的法向量为，又，，
由得令，所以， 10分
取中点，则，连接，，
因为，，所以，
在中，，所以，，
平面，平面，所以， 12分
平面，平面，，所以平面， 13分
因为平面，所以。
因为，，所以， 14分
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆，
设，则，，，
因为 ，，所以 整理得：， 15分
设 与平面 的夹角为 ，
则 ，， 16分
因为 ，所以 ，
所以 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 。 17分
9.（1） 因为双曲线 的渐近线 与圆 相切，
所以 ，解得 ，所以双曲线 的方程为 。 3分
（2） 由（1）得 ，，则 ， 4分
不妨设 ，，，设 到 轴的距离为 ，
因为 为 的平分线，则 ， 5分
所以 ，所以 ， 6分
所以 ，又 ，所以 ， 7分
所以 的周长为 。 8分
（3） 由题设，当 ，点 在 轴上时，由对称性可知 一定在 轴上，
点 ，记 ，一般地：记点 ，点 ，
设直线 的方程为 ，设点 ，，
联立 得：，
所以，，，
由根与系数的关系可得 ，，
故线段 的中点为 ， 10分
同理，直线 的方程为 ，，
线段 的中点为 ，即点 ， 11分
当 时，由 ，， 三点共线可知，，
即， 12分
整理可得，即当点的坐标为时，则点的坐标为，
当时，，此时过，综上.
故当点P0(3,0)时，得：P1(3×32,0)，P2(3×(32)2,0)， ，Pn(3×(32)n,0)， 13分
由题意可知， QRPn的面积为Sn=12×1×3·32n-1=32n+1-12， 14分
所以1Sn=132n+1-12=132·32n-12=132n+12·32n-12<132n=23n， 15分
所以1S1+1S2+1S3+ +1Sn<23+232+233+ +23n 16分
=231-23n1-23=21-23n<2 17分

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