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2026’新高考考前小题训练 数学（九）
（时量：45分钟 满分：73分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题：“”的否定是
，
，
2. 已知集合，若集合满足，则可能是
3. 在中，为上一点，且满足，若为的中点，且满足，则的值是
4. 已知函数的部分图象如图所示，则它的一个可能的解析式为
5. 在等差数列中，，则
[A]2
[B]3
[C]4
[D]5
6. 在的展开式中，的系数是
[A]60
[B]35
[C]155
[D]90
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为
[B]2
[D]3
8. 已知函数，的定义域均为，且满足，，，则
[A] -3180
[B] -1590
[C]1590
[D]3180
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则
10. 已知函数 ，方程 在区间 上有且仅有3个不等实根，则
的取值范围是
在区间 上单调递增
若 ，则直线 是曲线 的对称轴
在区间 上存在 ，，满足
11. 已知函数 ，，点 ， 分别在函数 与 的图象上， 为坐标原点，则下列命题正确的是
若关于 的方程 在 上无解，则
存在 ， 关于直线 对称
若存在 ， 关于 轴对称，则
若存在 ， 满足 ，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形 的直观图为梯形 ，其中 ，，，。以原四边形 的边 为轴旋转一周得到的几何体体积为 。
13. 某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示。设某人到达银行的时间是随机的，且都为银行的营业时间，记其到达银行时服务窗口的个数为 ，则 。
14. 点 是椭圆 上的动点且点 不在坐标轴上，移动点 构成的轨迹为曲线 。若圆 与曲线 无公共点，则实数 的取值范围为 。
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
2026’新高考考前小题训练·数学（十）
（时量：45分钟 满分：73分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，，则
2. 若 ，则复数 在复平面内对应的点位于
第一象限 第二象限
第三象限 第四象限
3. 已知平面向量 ， 满足 ，，，则
4. 若方向向量为 的直线 与圆 相切，则直线 的方程可以是
5. 为了研究某种商品的广告投入 和收益 之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为 ，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
.48万元.58万元
.68万元.88万元
6. 已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且 单调递增。若 ，则 的取值范围为
7. 已知函数 ，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是
与
与
与
与
8. 已知双曲线 （，）的左、右焦点分别是 ，， 在第二象限且在双曲线的渐近线上，，线段 的中点在双曲线的右支上，则双曲线的离心率为
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 在四棱锥 中，， 分别是 ， 上的点，，则下列条件可以确定 平面 的是
平面
平面
10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则
与是互斥事件
与是相互独立事件
11. 已知数列，，满足函数，其中，，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 。
13. 在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 。
14. 函数满足：①；②，。则的最大值等于 。
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
2026’新高考考前小题训练 数学（十一）
（时量：45分钟 满分：73分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，， 若 ， ， 则一定有
2. 已知命题 ； 命题 ，， 则
和 都是真命题
和 都是真命题
和 都是真命题
和 都是真命题
3. 设 是纯虚数， 若 是实数， 则 的虚部为
4. 已知 是奇函数， 则
5. 如图是一个古典概型的样本空间 和事件 ，， 其中 ， ， ， ， 那么
事件 与 互斥
事件 与 相互独立
6. 设公比为 的等比数列 的前 项和为 . 若 ， ， 则
7. 下列各式中， 不是 的展开式中的项是
8. 设函数 ， 若 ， 则 的最小值为
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知 ， 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面， 则下列说法正确的是
若 ，， 且 ， 则
若 ，，， 则
若 ，，， 则
若 ，，，， 则
10. 已知函数 ，下列关于函数 的零点个数的判断，其中正确的是
当 时，有2个零点
当 时，至少有2个零点
当 时，仅有1个零点
当 时，可能有4个零点
11. 在 中，已知 ，，则
的面积为12
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 已知双曲线 ，若对任意实数 ，直线 与 至多有一个交点，则双曲线 的离心率为 。
13. 写出一个与直线 和 都相切的圆 的方程 。（答案不唯一）
14. 已知 ，则 的最小值为 。
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
2026’新高考考前小题训练·数学（十二）
（时量：45分钟 满分：73分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则
2. 已知为虚数单位，，若复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且，则
3. 已知椭圆的右焦点为，若到的上顶点的距离是到的右顶点距离的3倍，则的离心率为
4. 若函数的图象关于直线对称，则
5. 若偶函数满足，且当时，，则
6. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值为
[A]3[B]5
[C]7[D]9
7. 按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流A时，放电时间h；当放电电流A时，放电时间h，则该蓄电池的Peukert常数大约为（参考数据：，）
..98
.
8. 若函数在区间上有两个极值点，则的取值范围为
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则
若，，则
若，，则
若，，则
若，，，，则
10. 已知随机变量服从正态分布，下列结论错误的是
当时，
随机变量落在与落在的概率相等
11. 已知函数为上的奇函数，当时，，且的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是
函数有3个零点
是周期为4的周期函数
与的图象在区间上有6个交点
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 的展开式中含项的系数是 。
13. 设等比数列的前项和为，若，，则的公比为 。
14. 在中，若，则的最大值为 。
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
即，即，
所以，由正弦定理得. 故答案为：3.
14. 设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，
连接PM，OM，PO，则，
，，
如图，在截面PMO中，设N为球O 与平面PAB的切点，
则N在PM上，且O N⊥PM，设球O 的半径为R，则O N=R，
因为，所以，则，
，所以，
设球O 与球O 相切于点Q，则，设球O 的半径为r，
同理可得，所以，
故小球O 的体积，
故答案为：.
小题训练（九）
1.C “”的否定是“”. 故选：C.
2.C 因为，，即，
因为，所以A与D选项不符合，
因为，所以B选项不符合，C正确. 故选：C.
3.D 因为，所以，
则，
所以，，. 故选：D.
4.B 根据函数图象分析可知，图象过点（1，2），排除C，D，
因为函数值不可能等于4，排除
A. 故选： B.
5.D 因为，记的公差为d，
则，
故选：D.
6.B
，
且的通项为：，
令，则；
令，则；
令，则；
综上可得，展开式中的系数是.
故选：B.
7.C 如下图所示，双曲线C的左焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，
，
在中，，，，
，
由余弦定理得
，
化简得，，即.
因此双曲线C的离心率为.
故选：C.
8.D 由，则，
即，
由，则，
即，
又，
即，
所以，
故，
综上，，则，故的图象关于（0，4）对称，
且有，
令，则，即的周期为2，
由知的图象关于（2，0）对称，
且，
所以，即，则，
由，可得，
则，
所以，则；
，则，
依次类推：，，，，
所以。
故选：D。
9.BD 因为，且实系数一元二次方程的两根为，，
所以，可得，故B正确；
又，所以，故A错误；
由，所以，故C错误；
，故D正确。故选：BD。
10.AC 因为方程在区间上有且仅有3个不等实根，
所以方程在区间上有且仅有3个不等实根，
因为，，所以，则，
令，则，
由题意，曲线（）与曲线有3个交点，
画出图象进行分析：
由图象易知，解得，即的取值范围是，故A正确；
由，此时，，
所以在区间上单调递增，故B错误；
若，则，此时，
令，，得，，
所以的图象关于直线（）对称，
当时，，即直线是曲线的对称轴，故C正确；
假设在区间上存在，（），满足，
则在上至少有两个最大值点，
因为，所以，
当时，此时，
函数在区间上只有1个最大值点，
当时，此时，
函数在区间上只有2个最大值点，
所以在区间上不存在，（），满足，故D错误。
故选：AC。
11.BC 对于A，当方程，
即（）在上有解时，
易知在上单调递增，则，
解得，
因此关于的方程在上无解，
则或，故A错误；
对于B，设，依题意，点关于直线对称点在函数（即）的图象上，
即关于的方程（）即有解，
此时，
令函数，，则，
所以在上单调递增，所以，
而函数，在上单调递增，
它们的取值集合分别为，，
又因为，于是在有解，
所以存在，关于直线对称，则B正确；
对于C，设点，，点关于轴的对称点在函数（）的图象上，
即，
令，，
则，
即函数在上单调递减，所以，
又，恒有，因此，故C正确；
对于D，令，，
由，可得，
显然，且，，，
令，，则，
所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
因此，
即有，，
而当且仅当时取等号，
所以，即，故D错误。
故选：BC。
12. 由题意，，，，。
所以，故原图形中，，，，，，
所以以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，
。
13. 由题意银行业时长为8小时，可得到达银行时服务窗口的个数的分布列为
5 4 3 2
则。
故答案为：。
14. 设曲线上任一点，则即
且点在椭圆上，则，故曲线的方程为，
若圆与曲线有公共点，
则，
当且仅当，即时等号成立，
∴，
故若圆与曲线无公共点，则实数的取值范围为。
小题训练（十）
1.C 将集合用列举法写出得：，
对于集合，由可知：，所以。
故选：C。
2.D ，化简，即，即。
根据复数几何意义知道，在复平面内对应的点为，在第四象限。故选：D。
3.D 由题意知，，，，
，
所以。故选：D。
4.B 由直线的方向向量为知，直线的斜率，
设直线的方程为，则由直线与圆相切知，圆心到直线的距离，解得或，
所以直线的方程为或，即或。
故选：B。
5.C ，
，
可得数据样本中心点为：，代入回归方程，解得：，
所以当时，。故选：C。
6.A 因为为等差数列，且，所以，
又数列为递增数列，所以从第二项开始，各项均为正数。
由。
因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以。
综上，的取值范围为。故选：A。
7.C 若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，
，
所以函数的振幅为，又函数的振幅为1，所以这两个函数的振幅不相等，
故与的图象不能通过平移重合，A错误；
，
，
函数的振幅为1，
函数的振幅为，
所以与的图象不能通过平移重合，B错误；
因为，
，
将函数的图象向左平移个单位长度可与函数的图象重合，C正确；
，
函数与的图象不能通过平移重合，D错误。
故选：C。
8.A 如下图所示：
因为，，分别为，的中点，则，
又因为，，
故，
所以，
由题意可知，故为钝角，
所以
，
故，
在中，，，，
由余弦定理可得，
，
解得。
故选：A
9.BD 如图，过点作交于点，连接，即有平面，
由于，所以，
若，则，又平面，平面，
所以平面，由，，平面，
得平面平面，又平面，所以平面，故正确；
若平面，又因为平面平面，所以，由可知正确；
假设平面，设平面，则，
若平面，平面平面，所以，
反之若，当且仅当平面，即，同时正确或错误；
若，可能，也可能与相交。
若与相交，由知直线必与，交于同一点，
由几何关系知与不平行，故，错误。
故选：BD.
10.BD 对于选项：可掷出，使得，同时发生，故错误；
对于选项：，，，满足，故正确；
对于选项：由可知，
，故错误；
对于选项：，
。
所以，故正确。
故选：BD.
11.ABD 因为，
则
，
又因为，则
且，则，，。
对于选项：因为，，
可知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，故正确；
对于选项：因为，，
即，
可得，可知数列是首项为，公差为的等差数列，
则，即，
所以，故正确；
对于选项：因为，即，
可得
，
所以
故错误；
对于选项：因为，且，，
则
，
所以，故正确；故选：ABD.
12. 对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在轴上，
对于椭圆可得，且，解得. 故答案为.
13.12 由题可知. 由， 知点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 长轴长为， 焦距为. 椭圆长半轴， 半焦距， 半短轴. 设， ， 则点的轨迹是椭圆，
面积， 当取最大值（即半短轴）时， 面积的最大面积为. 故答案为.
14. ， ①.
则交换，可得， ， 化为 ②，
由①②可得 ③，
③中令可得，
化简可得，
当时等号成立，
所以的最大值等于. 故答案为.
小题训练（十一）
1.D 对于选项A，B， 当集合时， ， 故A，B选项错误；
对于选项C， 当集合时， ， 故此选项错误；
对于选项D， 因为， 且， 所以， 故此选项正确. 故选：D.
2.B 对于而言， 取， 则有， 故是假命题， 是真命题；
对于而言， 取， 则有， 故是真命题， 是假命题，
综上， 和都是真命题. 故选：B.
3.D 设，
则，
因为是实数， 所以， 即， 故的虚部为. 故选：D.
4.B 因为是定义在上的奇函数，
所以， 即，
解得， 所以，
此时， 是奇函数，
所以. 故选：B.
5.D 由图知， ， 故A错误；
事件与有共同基本事件， 故不是互斥事件，B错误；
因为，
所以， 故C错误；
因为， ， ， ， 所以与相互独立， 故D正确， 故选：D.
6.A 由， ， 两式相减得， 即， 即， 因为， 所以， 解得或（舍去），
由得， 则， 解得， 则. 故选：A.
7.D 表示4个因式的乘积， 在这4个因式中， 有一个因式选， 其余的3个因式选， 所得的项为， 所以是的展开式中的项， 故A错误；
所得的项为， 所以是的展开式中的项， 故B错误；
所得的项为， 所以是的展开式中的项， 故C错误；
所得的项为， 所以是的展开式中的项， 故D正确. 故选：D.
8.B 函数定义为， 而， ， ，
要使， 则二次函数， 当时， 当时，
所以为该二次函数的一个零点， 易得，
所以， 且开口向上，
所以， 故的最小值为. 故选：B.
9.ABD 对于A， 若， ， 所以， 又， 所以， 故A正确；
对于B， 若， ， 则或， 当时， ， 从而，
当， 存在平面， 使得， 且， 又， 从而， 所以， 故B正确；
对于C， 若， ， 则， 又， 则或， 故C错误；
对于D， 若， ， 则， 又， ， 所以， 故D正确. 故选：ABD.
10.ABD 设， 函数的零点即的解，
若时， 则时， ， 所以
如图1所示，显然有两个零点，故A正确，C错误；
若，如图2所示，或，
当时，即时，只有两个零点，
当时，即时，有三个零点，
当时，即时，有四个零点，故B，D
正确.
故选：ABD.
BCD 对于A，因为
，所以，
即，其中，
，，，
故，
因为，，所以
，
所以，又，
两式相减可得：，且，所以
，，
即，由，可得，可得：
，，
所以，
，
所以，，，
因为在区间上单调递增，且
，所以，，故A错误，B正确；
对于C，由同角关系得，，，
所以由正弦定理得，即
，故C正确；
对于D，因为，由正弦定理得，
由正弦定理得，
所以的面积为
，故D正确.故选：BCD.
12. 依题意可知直线与双曲线的
渐近线平行或重合，则，即，，从
而，所以双曲线的离心率.
13.
因为，所以直线
和关于直线，对称，
所以与直线和都相切的圆
的圆心在直线或直线上（除原点外），
设圆心，则半径
，
所以圆的方程为（答案不唯
一）.
14. 令，，则，
，
，
令，，则
，当且仅当
，即时等号成立，
，即.
小题训练（十二）
1.C因为，
，
所以.
故选：C.
2.A由且，
可得，解得或，
或，
在复平面内对应的点位于第一象限，
，
故选：A.
3.C由题意知，到的上顶点的距离为，到的
右顶点距离为，
因为到的上顶点的距离是到的右顶点距离的
3倍，
所以，即，
所以离心率.
故选：C.
4.D
，
因为图象关于直线对称，
所以
所以
所以
故选：D.
5.B 因为 ， 则 ，
又因为 为偶函数，则 ，
可得 ， 可知 的一个周期为2，
因为 ， 且
可得
， 且
所以
故选：B.
6.C 若点 满足 ， 则点 在以 为直径的圆 上，
所以圆 与圆 有公共点，
两圆的圆心距： ， 两圆的半径 ，，
所以 ， 即 ，
解得 ， 则实数 的最大值为7.
故选：C.
7.A 根据题意可得 ，，
两式相比得 ， 即 ，
所以
故选：A.
8.B 由题意可得 ，
令 ， 可得 ，
若 在 上有两个极值点，则 在 上有两个变零点，
令 ， 且
则只需 与 在 上有两个交点，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 当 时，
综上， 与 有两个交点，则
故选：B.
9.BCD 因为 ， 为两个不同的平面， ， 为两条不同的直线，
所以若 ，， 则 或 ， 故A错误；
若 ， 则必有 ， 使得 ， 又 ， 则 ， 则 ， 故B正确；
若 ，， 则 ， 故C正确；
若 ，，，， 则 ， 故D正确.
故选：BCD.
10.ABC ， 故A错误；
当 时， ， 故B错误；
当 时， ， ， 故C错误；
由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量 落在 与落在 的概率相等，故D正确. 故选：ABC.
11.ABC 对于A， 因为函数 为 上的奇函数，当 时， ，
所以
又 的图象关于点 中心对称，
所以 ，
令 ， 得 ，
所以 ， 故A正确；
对于B， 当 时， ，
求导，得 ，
所以当 时， ，
所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， 函数 的最小值为
又 ，，
故函数 在 上的值域为
又函数 的图象关于 和 中心对称，
作出函数 的大致图象， 如下图所示：
由图可知，方程 在 上有3个解.
且当 时， 时，
所以当 时， 方程 无解.
所以方程 一共有3个解， 即函数 有3个零点， 故B正确；
对于C， 由题意可得 ， ，
即 ，
所以 ，
，
所以 是以4为周期的周期函数， 故C正确；
对于D， 由 ，
可得 ，
即 。
当 时，由 ，
。
由 ，解得 或 ；
由 ，解得 。
所以 在 和 上单调递增，
在 上单调递减。
所以函数的极大值为 ，极小值为
，
且 ，作出函数 在 上的草图，
如下：
由图可知，方程 在 上有且只有1解。
又函数 是以4为周期的周期函数，
所以方程 在 和 上各有1解。
综上所述， 与 的图象在区间 上有3个交点。故D错误。
故选：ABC。
12. 展开式的通项公式为
，，，，，，，，，
令 ，；
令 ，；
则 的展开式中含 项的系数是
。
13. 设等比数列的公比为，前项和为，
因为，
其中奇数项和，偶数项和，
所以，
因为，，，，
所以，所以，解得，
所以数列的公比为。
14. 记的内角，，所对的边分别为，，，
因为，即，
由正弦定理可得，
所以，即，
若，此时为等腰直角三角形，，
若，则，此时为等腰直角三角形，，
若，且由可知，否则与前提条件不符，
上述等式两边除以，
得，
又，得，
因为，
当且仅当时取等号，此时取得最大值。

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