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华南师范大学附属中学2026届高三综合测试
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在
答题卡的相应位置填涂考生号。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1. 设集合，，则
A. B.
C. D.
2. 若复数满足（其中是虚数单位），则
A. B.
C. D.
3. 为检验某气象预报模型的准确性，记录连续7天的温度预测误差（实际温度-预测温度，单
位：），数据如下：，，，，，，。下列关于这7天预测误差的统计描述中，
正确的是
A. 这组数据的众数是
B. 这组数据的平均数是0
C. 这组数据的极差是5
D. 这组数据的中位数是0
4. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为
A.4 B.
C.1 D.2
5. 若，，，则
A. B.
C. D.
6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的面积为，则
A. B.
C. D.
7. 某学校派出包括小明，小红在内的12名志愿者参加志愿活动，活动过程中需要将他们随机平均分成3个小组，那么小明和小红出现在同一个小组的概率为
A. B.
C. D.
8. 已知函数，，其四个零点，，，恰好成递增的等差数列，则
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论正确的是
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
10. 已知随机事件，，满足，，，，则
A.
B. 事件与相互独立
C.
D. 若，则
11. 已知平面直角坐标系中的任意两点，，定义，两点的“复运算”为，记为。已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，点为平面内任意一点，则
A. 若，则的轨迹为和
B.
C. 满足的点共7个
D. 对于任意的点，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在平面直角坐标系中，点，，，的位置如图所示，
则 .（用坐标表示）
13. 在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台
的体积为 .
14. 已知圆的圆心在曲线上，若圆与直线交于，两点，且，过原
点的直线交圆于，两点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
已知函数，满足对于任意实数，都有恒
成立，且函数相邻两个零点的距离是.
（1）求的解析式和单调递增区间；
（2）若，且满足，求.
16. （15分）
已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的
交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍.
（1）求椭圆和抛物线的标准方程；
（2）设直线交抛物线于两点，，若，的中点在椭圆上，求
的坐标.
17.（15分）
如图1所示，是边长为2的正三角形，四边形是一个等腰梯形，，，现在沿着把折起到的位置，连接，，使得，如图2所示.
（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的外接球的半径；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（17分）
已知函数，为的导数.
（1）若，求的极值；
（2）若在单调递增，求的取值范围；
（3）讨论的零点个数.
19. （17分）
若数列 满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合. 集合中任意两个数列，，记.
（1）已知中的两个数列，，其中，且满足，请列举所有满足条件的数列；
（2）从中随机抽取两个互不相同的数列，. 令，求随机变量的分布列，并证明：；
（3）对中的任一数列定义“随机取反操作”：对该数列的每一项，独立地以概率变为，以概率保持不变. 现给定两个确定的数列，且满足，若对数列连续进行次“随机取反操作”，记最终得到的新数列为. 令，求的数学期望（结果用，，，表示）.
（参考知识：若为随机变量，则有）
华南师范大学附属中学2026届高三综合测试
数学 参考答案
一、选择题
1．【答案】B
因为，，则.故选：B.
2．【答案】B
由可得，即，
故.
3．【答案】D
将这7天的预测误差的7个数据从小到大排序，可得，，，0，1，1，1. 对于A，统计数据中1出现的次数为3次，且次数最多，所以众数是1，所以A错误；
对于B，统计数据的平均数为，所以B错误；
对于C，统计数据的极差为，所以C错误；
对于D，根据中位数的定义，可得统计数据的中位数为0，所以D正确.
4．【答案】D
设公比为，
若，则由，可得，解得，不符合题意，所以；
由，则，显然，
所以，即，
即，解得（负值已舍去）. 故选：D
5. 【答案】A
因为，，所以，
因为，所以指数函数为递减函数，
又，所以，即，综上所述，.故选：A
6. 【答案】A
在中，由及的面积为，得，
即，解得，由正弦定理，得，，
因此，所以.
7.【答案】D
由题可知，每组4人，不妨先让小明随机选定一个位置，此时还剩下个位置可供小红选择。而在
小明所在的小组中，还剩下个空位。 因此，小红恰好和小明分在同一组的概率为.
8.【答案】D
函数，定义域为.又，
所以函数为偶函数. 当时，，
令，得，显然，，解得或.
由有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为，，，.
因零点成递增等差数列，故排序为，，，，
设公差为，则：，，
即，化简得，两边同乘得，故.
二、选择题：
9.【答案】AD
若，，则，选项A正确；
若，，则或与相交或与异面，选项B错误；
若，，则或与相交，选项C错误；
若，，则或，又，则，选项D正确.
10.【答案】ACD
对于A，由，可得，A正确；
对于B，，事件与不是相互独立的，B错误；
对于C，由，所以，C正确；
对于D，由题有，所以，故，则
，D正确.
11.【答案】AC
，即
则，则或，所以A正确：
取，，由A知，，，
由定义知，所以B错误：
若，则，则B的轨迹为和
一对等轴双曲线，则，
即为同时满足以上两个条件的两对等轴双曲线的交点个数。如图所示，所以共有7个交点，C正确
不妨设A在双曲线的右支上，
可知，存在点A满足，即
由双曲线定义知，
所以
则
则.当时，.
所以D错误：
三、填空题：
12. 【答案】（11，1）
由图可得，，，，
所以，，则. 故选：C
12.【答案】
如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为，，连接，则平面，
取，的中点，，连接，，，易知，，且，
过作交于，则平面，又，平面，
则，，
故可得平面，则，由侧面与底面的夹角为，
则，
又，则，，
由，得到，即，又，，
所以四棱台的体积为.
14.【答案】3
设过原点的切线的切点为，则，
则的最小值，即为求的最小值，
设，圆的半径为，可得
而
当且仅当或取到最小值.所以最小值为3.
四、解答题：
15.（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得，
对于任意实数，都有恒成立，故，2分
即，故，4分
因为，故，所以，5分
若，6分
则，7分
故的单调递增区间为；8分
（未写成区间的形式或未写的范围都要扣掉这一分）
（2）若，则，故，9分
因为，
故，11分
故.13分
（能写出可给1分）
16.【解答】（1）因为在抛物线上，则，所以抛物线的方程为；……………2分
又椭圆的长轴长是短轴长的两倍，可得，………………………………………3分
则，解得，，……………………………………………5分
所以椭圆的方程为；…………………………………………6分
（1）设，的坐标分别为，，
联立，得，…………………………………………7分
由题意得，………………………………………………………8分
则，………………………………………9分
则中点坐标为，……………………………………………10分
又中点在椭圆上，则满足
整理得：，
解得或（舍去）…………………………………………………………………13分
则或，所以的坐标为或…………………………………………………………15分
17.（1）取的中点为，连接，，，
由图1中，是边长为2的正三角形，可得，…………………1分
又由等腰梯形，且，可得，且，
因为，所以，所以，…………2分
因为，且，平面，…………………………3分
所以平面，………………………………………………4分
因为平面，所以平面平面；…………………5分
（2）连接，易得，因为，所以，
所以的外接圆圆心为，…………………………………………6分
又平面，
所以三棱锥的外接球的球心在直线上，………………………7分
如下图，设外接球半径为，
设OO1=x，则\（ R2=(3-x)2=x2+1，解得\（ x=33， 8分
所以\（ R=3-x=233 9分
（2）取的中点，连接，
因为四边形为等腰梯形，
且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为A1O⊥平面BCDE， 10分
以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，可得\（ ，\（ ，
\（ ，\（ ，
所以\（ A1C→=12,32,-3，\（ DC→=(1,0,0)，\（ EA1→=(1,0,3)， 12分
设平面的法向量为\（ ，则
\（ ，
取z=1，可得x=0，y=2，所以\（ n→=(0,2,1)， 13分
设直线与平面所成角为，则\（ ，，
14分
所以直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值为\（ 1510 15分
18.
（1）f(x)的定义域为(0,+∞) 1分
\（ f'(x)=alnx+1x-a，\（ f''(x)=ax-1x2， 2分
若a>0，则当x∈0,1a时，f''(x)<0；当x∈1a,+∞时，f''(x)>0， 3分
所以f'(x)的极小值为\（ f'1a=-alna，无极大值 4分
（2）在单调递增等价于恒成立.......5分
①若，则当时，，即，不合题意，舍去.......6分
②若，则在单调递增，符合题意.......7分
③若，由（1）得，在单调递减，在单调递增，从而等价于
，解得.......8分
综上所述，的取值范围为.......9分
（3）方法一：
①若，则在单调递增，时，；
时，，所以在存在唯一零点； ......10分
②若，则在单调递减，又因为，当时，，
所以存在唯一，使得，且时，
......11分
；时，，故在单调递增，在单调递减，其中
， ......13分
且当和时，均有，故在和各有一个零点，故在有两个零点.......14分
③若，由（1）（2）得在单调递减，在单调递增，且当和时，均有
，，故存在，，使得，与②同理得在单调递增，在单调递减，在单调递增， ......15分
又由②得，，当时，，故
，，无零点；在存在唯一零点，
故在存在唯一零点.......16分
综上所述，当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数为2.......17分
方法二：
令得，
注意到不是该方程的解，故不是的零点，从而有 ......10分
，设，，，
......12分（求导1分，正确判断其恒正1分）
故在和单调递增， ......13分
时，，，故；
时，，时，， ......14分（结论即可）
时，由洛必达法则，
【另一表述】与一次函数相比，对数函数增长的非常缓慢，故。
......15分（必须要有洛必达法则，或增长速度的描述）
所以的草图为
......16分（必须有图，占1分）
的零点个数等于水平直线与函数的图象的交点个数，
故当时，在的零点个数为1；当时，在的零点个数2.......17分
19、(1)由题意可知，满足条件的数列是：，，，，，，.
（2）因为数列，是从集合中任意取出的两个不同的数列，所以，的可能取值为：，，，，.
当时，数列，中有项取值不同，有项取值相同，又因为集合中元素的个
数共有个，所以，，
所以，的分布列为：
1 2
P ...
因为，
所以，
(计算结果1分，证明不等式1分)
（3）记数列中任意一项经过次“随机取反操作”后，其最终值发生改变的概率为。考虑第次操作，该项最终值发生改变包含两种情况：前次操作后值未改变（概率为），第次取反（概率为）；前次操作后值已改变（概率为），第次未取反（概率为）。故
化简得：
由题意，，若，可知；
若，则数列是以为首项，为公比的等比数列。则
，即。
上式对于时仍成立，综上，
设，，，，，。由题目所给数学期望的性质，可得
已知初始时，即数列与对应项不同的位置共有个，对于这些位置，意味着第项的值发生改变，其概率为；
相同的位置共有个，对于这些位置，意味着第项的值未发生改变，其概率为。因此有

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