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数学练习卷
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1. 本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）。本卷满分150分，答题时间为120分钟。答题结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为
A. B.
C. D.
3. 已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是
A. B.
C. D.
4. 的展开式中的常数项为
A.60 B.120 C.160 D.240
5. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆交于，两点，则
A. B.
C. D.
6. 已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
7. 已知，若有两个零点，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
8. 已知在5次独立重复试验中，每次试验成功的概率为，设事件表示第1次试验成功，事件表示5次试验中成功3次，若事件与事件相互独立，则
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 数列的前项和记为，且，则
A.
B. 为等差数列
C. 中既有最大项也有最小项
D. 中有最大项但无最小项
10. 已知正四棱柱中，，则
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 直线与平面所成角的余弦值为
C. 三棱锥的外接球的半径为
D. 三棱锥的内切球的半径为
11. 已知函数的定义域为，，，为奇函数，则
A.
B. 为偶函数
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知下表中是关于变量，的5组观测数据，甲同学根据表中数据通过模型得到经验回归方程为，则 。
1 2 3 4 5
13. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与从左到右依次交于，两点，则 。
14. 球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一
段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆）．已知为球的直径，点
，在球面上，且是等边三角形，若，，则
，两点的球面距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知锐角中，内角，，所对的边分别为，，，．
（1）求的值；
（2）若，，求的周长．
16.（15分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为4，离心率
．
（1）求的标准方程；
（2）若斜率为的直线与交于，两点，与轴交于点，求的
值．
17.（15分）
如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形．
，，，，
，．
（1）证明：；
（2）已知是线段上的一点，当平面与平面
夹角的余弦值为时，求的值．
18.（17分）
袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，
记取出个小球的最大编号为．
（1）当，时，求的分布列；
（2）当时，求；
（3）求．
19.（17分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，（为常数）．
①证明：当时，函数存在两个零点，；
②在①的条件下，若，证明：．
数学练习卷参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B A C B A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
题号 9 10 11
答案 ABC AD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.
13.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。
15.（13分）
解：（1）由正弦定理得，2分
又因为，4分
所以，
所以。
因为在锐角中，所以。6分
（2）因为，
所以，8分
又因为，
所以，所以，所以，，11分
由正弦定理，得，，
所以的周长为。13分
16.（15分）
解：（1）由题意得，即，
又，解得，则的标准方程为．……5分
（2）设，，，由题意得的方程为，……6分
由得，……………………………………8分
由，得，
且，．………………………………………………9分
又，同理， …………11分
所以，
即为定值．…………………………………………………………15分
17.（15分）
解：（1）因为，，，所以，则． …1分
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面， ………………………………………………………………………4分
又因为平面，所以． ………………………………………………6分
（2）由（1）知，平面，因为平面，所以，
同理，又因为，所以以为坐标原
点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立
空间直角坐标系（如图）， ……………………………8分
得，，，
，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则 故可取． ………………………………………10分
设，
则M(-2λ,4-4λ,2λ)， 11分
所以，。
设面的一个法向量为，
则 故可取。......13分
由，，得，
所以CMCE=λ=23。 15分
18.（17分）
解：（1）共有C42=6种情况，X2的可能取值为2，3，4， 1分
，，，分布列如表所示
2 3 4
4分
（2）Xn-1的可能取值为n-1或n， 5分
P(Xn-1=n-1)=1Cnn-1=1n，P(Xn-1=n)=1-1n， 7分
所以E(Xn-1)=(n-1)×1n+n×1-1n=n-1n， 8分
因此D(Xn-1)=n-1-n+1n2×1n+n-n+1n2×1-1n=1n-1n2。 10分
（3）选取个不同的元素，有种方法，
要满足，则需取出元素，其余个元素是从小于的个元素中选
出的，所以P(Xm=k)=Ck-1m-1Cnm(k=m,m+1, ,n)， 12分
E(Xm)=∑k=mnk·P(Xm=k)=1Cnm∑k=mnk·Ck-1m-1。 13分
因为， ……………………15分
所以
． …………………………………………17分
19．（17分）
解：（1）， ……………………………………………………2分
当时，，所以在上单调递增．
当时，，，单调递减；
，，单调递增． ……………………4分
（2）①时，，，
所以当时，，单调递减；
当，， 单调递增．
因为， ……………6分
，所以，
又因为，在定义域内连续不间断，所以，使得．
………………………………………………………………………………8分
因为，所以当时，
所以在上单调递增，所以，所以，
又因为，在定义域内连续不间断，所以，使得．
综上所述，当时，存在两个零点，。 11分
②法一：因为，所以由①可知， 12分
由，即，所以，
因为， 15分
所以，即，即。 17分
法二：由①可知，所以，
所以，所以， 14分
又因为，所以由①可知， 16分
所以。 17分

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