资源简介

深圳实验学校高中部学年度第二学期期中考试
高二数学
（时间：120分钟 满分：150分）
第一卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数的导函数为，且，则（ ）
A．0 B．
C． D．
3．设随机事件A，B相互独立，已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉．现有4种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．84种 B．72种 C．64种 D．56种
5．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到A、B、C三所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲只能安排到A学校，则不同的分配方法总数为（ ）
A．36 B．40 C．42 D．50
7．我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A．　　 B．　　
C．　　 D．
8．若函数的最小值为，则正实数的值为（ ）
A．　　 B．　　
C．　　 D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则下列结论正确的有（ ）
　　A．
　　B．
　　C．
　　D．
10．有，，，，，六个数字，则下列结论正确的有（ ）
　　A．能组成156个无重复数字的四位偶数
　　B．能组成120个无重复数字且是5的倍数的四位数
　　C．能组成284个无重复数字且比1230大的四位数
　　D．能组成100个恰有三个重复数字的四位数
11．若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（ ）
　　A．
　　B．当时，的值不唯一
　　C．可能等于
　　D．当时，的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量 的概率分布如表，且 ，则 ．
1 2 4
0.4
13. 已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且红球在
1，2，3号箱中分别占 ，，．从3个箱中随机选一个箱子，再从中随机取出一个
球，若1，2，3号箱子被选中的概率为 ，，，问在取出的球为红球的条件下，该
球取自3号箱的概率为 ．
14. 若存在正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ．
第二卷
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）若二项式 的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二
项式系数的比是 ．
（1）求 的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
16.（15分）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）记 是 的导函数，若对任意 ，，设 为曲线
在 处的切线，证明：除切点之外，曲线 在直线 的上方．
17.（15分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望.
18.（17分）已知函数，为实数，为的导函数.
（1）若恒成立，求实数的最大值；
（2）讨论函数的零点个数；
（3）若，证明：对任意常数，存在唯一的，使得成立.
19.（17分）已知函数，.
（1）求函数在区间上的值域；
（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围；
（3）设，且，证明：.
深圳实验学校高中部学年度第二学期期中考试
高二数学 答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8
C B C A D D C A
二、多选题（每小题6分，共18分）
9 10 11
ACD ACD AC
三、填空题：每小题5分，共15分.
（12）11.2； （13）； （14）.
四、解答题：共77分
15. 【解】（1）依题意有，.2分
n(n-1)2·4!n(n-1)(n-2)(n-3)=314， 3分
整理可得n2-5n-50=0， 5分
解得：或（不合题意，舍去），
所以n的值为10． 6分
（2）展开式通项为：
Tk+1=C10k(x3)10-k·-12x3k=-12kC10kx10-2k3(k=0,1,2, ,10)， 8分
由题意得10-2k3∈Z(k=0,1,2, ,10)，则k∈{2,5,8}， 10分
所以第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为：
T3=C102-122x2=454x2， 11分
，......12分
T9=C108-128x-2=45256x-2． 13分
16.【解】（1），因为，所以．.....1分
①当a=0时，f'(x)=(2·0·x+0+2)e0·x=2>0，f(x)在R上单调递增； 2分
②当时，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增；
③当时，当时，，在上
当时，，在上单调递减．
综上：时，的递增区间为，无减区间；
时，的递减区间为，递增区间为；
时，的递减区间为，递增区间为．
分
（2）因为，所以，
，所以，
所以，
，
则曲线在点处的切线斜率为．又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
设函数，，
则，
设，则，
所以，当时，，单调递增． 又因为，
所以，时，，单调递增；
时，，单调递减．
又当时，，
综上在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
即，
所以，除切点之外，曲线在直线的上方．
4分
单调递增，
6分
7
9分
10分
14分
15分
17.【解】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，
；……分
（2）的可能取值为，，．……分
……分
（或）
故的分布列为：
．……分
18.【解】（1）由得：，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，，即的最大值为；……分
（2）函数，
由，可得，，
设，，
由（1）知，当时，，递减；
当时，，递增，
可得处取得最大值，
当时，，
当时，，
函数大致图像如图所示，由图可知
当或，即或时，直线与有一个交点，
当即时，直线与有两个交点，
当即时，直线与没有交点，
综上可得：当时，函数零点的个数为0；
当时，函数零点的个数为2；
当或时，函数零点的个数为1；9分
（若没有给出极限的说明，酌情扣分；或者不分离参数，直接求导做，也可得分）
（3）设，将问题转化为在区间上有唯一的零点，
由，知在区间上单调递减，故函数在区间上至多有1个零点，
，
，
由（1）知：当时，（当且仅当时取等号），
，，，又，即，，
，，，即，
又，即，，
由函数零点存在定理知：在区间上有唯一的零点，即存在唯一的，使得成立．17分
19. 【解】（1），，
则，1分
令，，
则，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
又，，
所以时，，即，
所以在区间上单调递减，又，，
所以在上的值域为； ......分
（2）令，则
，
故当时，，
又，所以当时，，即， ......分
当时，令，则
由，则存在唯一的，使得，
且当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，，
即，
于是，当时，。 ......分

展开更多......

收起↑