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树德中学高2025级高一下期阶段性测试数学试卷
满分：150分 考试时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2.水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ）
A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
3.已知，是平面内不共线的两向量，则下列向量组不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.中内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
5.已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
6.一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，
距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则
此时渔船距离灯塔为（ ）海里
A. B.
C. D.12
7.已知且，则（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在长方体中，，，分别为棱，，的中点，点在棱上. 则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，四点共面，则直线，，三线共点
B. ，使得直线平面
C. ，直线与直线异面
D. 与三直线，，同时相交的直线有无数条
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列关于多面体的说法错误的是（ ）
A.
B.
C. 有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体是棱台
D. 存在八面体，其八个面都是等边三角形
10.已知是虚数单位，下列关于复数，的说法正确的是（ ）
A. 若 （）是纯虚数，则
B. 若，则
C. 若，是关于的实系数一元二次方程的两根，则
D. 若，则的最小值为
11.如图，面积为的扇形折成圆锥的侧面后，，两点重合在点，扇弧上的点即圆锥底面圆周上的点，为圆锥底面直径，且，设，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥的高为4
B. 当时，
C. 当时，
D. 当取得最大值时，沿圆锥侧面从走到的最短路程是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上）
12.设表示直线，表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“ .”
13.函数图象的一个对称中心为，且，则的值为 .
14.已知的内角为，，，满足，点，，分别将边，，分成，，的两部分，若，则 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）
已知某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为.
（1）求其体积；
（2）若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积.
16.（本题满分15分）
如图，在梯形中，，，.
（1）用，表示；
（2）若与交于点，用，表示.
17.（本题满分15分）
已知（，，）的部分图象如下图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得的函数图象
上所有点向左平移个单位，得到函数的图象.
①若的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相；
②求在区间上的零点.
18.（本题满分17分）
在中，内角，，的对边分别是，，，且，且。
（1）求角的大小；
（2）为边上的一点，是角的平分线，且，求的面积；
（3）若为锐角三角形，求边上的高的取值范围。
19.（本题满分17分）
已知内角，，所对的边分别为，，，外心为，内心为，外接圆半径为，内切圆半径为。定义为的“偏离比”。
（1）若，，求；
（2）若，求偏离比的取值范围；
（3）请在下列两问题中选择其一完成（两问题均做按第一个问题评分）。
问题一：
新信息一：三元均值不等式：若，，，则，当且仅当时取等号；
新信息二：琴生不等式：若，则，当且仅当时取等号。
请将偏离比表示为只含有，，的代数式，并以此求的最小值。
问题二：
新信息：相交弦定理：某圆的两弦，交于圆内一点，则。
请将长度表示为只含有，的代数式，并以此求偏离比的最小值。
树德中学高2025级高一下期阶段性测试数学参考答案
一、选择题：
1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.A 8.D
二、选择题：
9.ABC 10.ACD 11.BD
三、填空题：
12. 13.5和8 14.
四、解答题：
15.解：（1）设圆台高为，则.则其体积为.（7分）
（2）设球的半径为，由题意.则其表面积为.（13分）
16.解：（1）由图，
.（7分）
（2）设，则
，
设，则，则解得
所以.（15分）
注：几何法：添辅助线，由平几知识易得，
所以由（1）得.
坐标法：特殊化梯形建系利用坐标待定系数. 用以上方法答案正确，过程清楚均不扣分.
17.解：（1）由图象可知：，最小正周期，
且，可得，所以，由图可得，
则，解得，
且，可得，，所以。 （5分）
（2）①由题易得，所以对应简谐振动初相为。
（10分）
②，或，
或，所以在区间上的零点为，。 （15分）
18.解：（1）在中，由正弦定理可得：，
由得，，
，，
，，
又，，又，所以。 （5分）
（2）由面积和，得，即。
在中，由余弦定理得，则，（由上易得），
联立，得，。 （11分）
（3）由正弦定理得，故，，
故
，
由于为锐角三角形，故，故，
因此，，，因此，
设边上的高为，，所以。
注：若用几何意义，配图，并有详细文字说明可得满分，否则酌情扣分 \quad \quad \quad \quad \quad（17分）
19.解：过点作，垂足为，则为的中点，由。
则。。
由正弦定理： \quad \quad \quad \quad（4分）
（2） 证明：由题意：
。
。
另法：也可提前做第（3）问问题一，由求得的表达式得：，
并令，换元求得取值范围；亦可直接由边的函数求范围，正确均给分. \quad（9分）
（3）若选择问题一：
由面积和知。
由正弦定理。
代入上式即得。 \quad \quad \quad \quad（12分）
， 由上式和新信息可得：
。
，
， 当且仅当即为等边三角形时取得最小值2.
（17分）
若选择问题二：
如图：设的外接圆圆心为，内切圆圆心为，过点作垂直于点.
连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，
因为为的内心，所以为的平分线，得，则.
所以和相似，得又，，得.
连接，则，又，
所以，
即，所以.得.
作直线与圆交于，两点，由新信息（相交弦定理）得：
得.即.（15分）
由，.
当且仅当，即外心，内心重合，即为等边三角形时取得最小值2.（17分）

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