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华东师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.4.1.2垂线第四章相交线和平行线华东师大版七年级上册4.1.2垂线同步精讲练习题一、本节核心知识点1.垂直与垂线的定义如果两条直线相交成直角（90°），那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。垂直符号：⊥，记作：$$a\perp b$$或$$AB\perp CD$$。 关键：两条直线垂直，只要求夹角为90°，不要求水平竖直。2.垂直的双重判定①若两直线垂直→相交四个角都是90°；②若两直线相交有一个角是90°→两直线互相垂直。3.垂线两大基本性质（必考）性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。重点：“一点”可以在直线上，也可以在直线外，有且只有一条。性质2：垂线段最短。直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。4.点到直线的距离（核心考点）定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 易错区分：垂线段：是图形（线段）；点到直线的距离：是长度（数值），不是线段。5.垂线与垂线段区别垂线：是一条直线，两端无限延伸，不可度量；垂线段：是一条线段，有两个端点，可以度量长度。6.高频易错点汇总1.垂直是相交的特殊情况（相交成90°）；2.点到直线的距离特指垂线段的长度，不是任意线段；3.过一点作垂线，有且只有一条，不存在多条垂线；4. “垂线段最短”不能说成“垂线最短”。二、基础练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.两条直线互相垂直，它们的夹角是（）A. 60°B. 90°C. 180°D. 360°2.点到直线的距离是指（）A.点到直线的线段B.点到直线的垂线段C.点到直线垂线段的长度D.任意一条线段的长度3.过直线外一点画已知直线的垂线，可以画几条（）A. 1条B. 2条C.无数条D. 0条4.直线外一点与直线上各点连接的线段中，最短的是（）A.斜线段B.垂线段C.任意线段D.无法确定5.下列说法正确的是（）A.垂线最短B.垂线段最短C.两条直线相交一定垂直D.不垂直就不相交二、填空题（每题4分，共24分）1.两条直线相交成________度时，这两条直线互相垂直。2.过一点有且只有________条直线与已知直线垂直。3.直线外一点到这条直线的________叫做点到直线的距离。4.连接直线外一点与直线上各点的线段中，________最短。5.垂直的两条直线，四个夹角都是________°。6.垂线是直线，垂线段是________，可以度量长度。三、解答题（共56分）1.（18分）判断正误（对的打√，错的打×）：（1）两条直线相交就是互相垂直。（）（2）垂线段最短。（）（3）点到直线的距离是垂线段。（）（4）过一点只能画一条直线与已知直线垂直。（）（5）垂直是特殊的相交。（）（6）垂线可以度量长度。（）2.（18分）基础简答计算题：（1）简述垂线和垂线段的区别；（2）为什么修路、引水总是尽量修垂直路段？（3）已知直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOC的度数是多少？3.（20分）综合应用题：从点P向直线l作垂线段PO，垂足为O，若PO=6cm，请问点P到直线l的距离是多少？并说明理由。三、参考答案与解析一、选择题1.B 2.C 3.A 4.B 5.B二、填空题1. 902. 13.垂线段的长度4.垂线段5. 906.线段三、解答题1.（1）×（2）√（3）×（4）√（5）√（6）×2.（1）区别：垂线是直线，无限延伸，无法度量长度；垂线段是线段，有两个端点，可以度量长度，是点到直线的最短线段。（2）依据垂线段最短的原理，垂直修建路程最短、最节省材料和时间。（3）解：∵AB⊥CD，根据垂直定义，∴$$\angle AOC=90^\circ$$。3.解：点P到直线l的距离是6cm。理由：点到直线的距离的定义为直线外一点到这条直线的垂线段的长度，PO是点P到直线l的垂线段，且PO=6cm，因此点P到直线l的距离为6cm。知道垂线的概念，会用三角板、量角器过一点画一条直线的垂线.
知道点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
能说出关于垂线的基本事实，并会用它解题.
观察以上图片中直线，它们有什么特殊的位置关系？
情景引入
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
a
b
）
α
垂线的概念
问题：
（1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变
a与b所成的角也随之发生改变
取两根木条a、b,将他们钉在一起固定木条a,转动木条b
问题：
（2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？
a
b
）
α
a与b垂直
定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，这两条直线互相垂直.
记作：AB⊥CD或m⊥l
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.（如图2）
垂直的定义及表示方法
A
B
C
D
O
（2）
B
C
D
O
（1）
A
l
m
两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
记作：AB⊥CD于点O
A
B
C
D
O
符号语言：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，
那么AB⊥CD.
因为∠AOD=90°（已知） ,
所以AB⊥CD（垂直的定义）
垂线的判定
符号语言：
若直线AB与CD垂直,垂足为O，
则∠AOD=90°
因为 AB⊥CD （已知） ,
所以 ∠AOD=90°（垂直的定义）
(或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A
B
C
D
O
垂线的性质
如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则_______.
若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______.
如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝____, ∠BOC的补角为______.
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
牛刀小试
4.日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？
经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？
垂线的画法及基本事实
试一试
P
B
A
(1)
(2)
P
A
B
B
问题 这样画AB的垂线我们可以画几条？
O
如图，已知直线 AB,作AB的垂线.
无数条
1.落
2.靠
3.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB上的一点P ,过点P作AB的垂线.
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
B
P
如图，已知直线 AB 和AB外的一点P ,过点P作AB的垂线.
根据以上几种情况的操作，你能得出什么结论？
问题 这样画l的垂线可以画几条？
一条
1.落
2.靠
3.移
4.画
A
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性.
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质
特殊的直线
如图，如果直线CD经过线段AB的中点O，并且CD⊥AB，我们可以得到AO=BO, CD⊥AB.
A
B
C
D
O
//
//
此时，我们将垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（图中直线CD即为线段AB的垂直平分线）
垂直平分线又可称为中垂线
如图①所示，已知钝角∠AOB，点 D 在射线 OB 上．
（1）画直线 DE⊥OB;
（2）画直线 DF⊥OA，垂足为 F．
解： （1）如图②所示，直线DE为所求作的直线.
（2）如图②所示，直线DF为所求作的直线.
牛刀小试
探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
1.线段AB， AC， AD ，AE谁最短？
2.你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
简述：垂线段最短.
线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
规定：
作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
垂线段
思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？
1.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
牛刀小试
如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形．
做一做
1. 在下列条件中：①两直线相交所成的四个角都是直角；②两直线相交，对顶角互补；③两直线相交所成的四个角都相等，可以判定两条直线互相垂直的是 （ ）A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
D
2. 如图，直线 AB 和 CD 交于点 O，OD 平分∠BOF，OE⊥CD，垂足为 O，∠AOC = 40°，
则 ∠EOF =_____.
∠1 = ∠2
分析：
∠EOF = 90°+∠DOF
OD 平分∠BOF
∠AOC = ∠DOB
∠EOF = 90°+40° = 130°
130°
3. 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池.
(1) 不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 M 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
(2) 计划把河水引入蓄水池 M 中，怎样开渠最短并说明根据.
∠1 = ∠2
分析:
(1) 两点之间，线段最短；
(2) 垂线段最短.
M
N
M
(1)
(2)
解：如下图所示.
1. 过点作直线的垂线 ，下面三角板
的位置摆放正确的是( )
A
A. B. C. D.
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2. ［2025重庆沙坪坝区期末］下列说法正确的是( )
D
A. 过线段外一点不一定能作出它的垂线
B. 过直线外一点和直线上一点可画一条直线与 垂直
C. 只能过直线外一点画一条直线和这条直线垂直
D. 过任意一点均可作一条直线的垂线
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（第3题）
3. ［2024北京］如图，直线和
相交于点， .若
，则 的大小为
( )
B
A. B. C. D.
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（第4题）
4. 如图是光的反射
规律示意图.是入射光线， 是反
射光线，法线 ，
.若 ，则
的度数为( )
D
A. B. C. D.
（第4题）
【点拨】设 ，则
.因为 ，
所以 ，
，所以
，所以
， 所以 ，所以
.
返回
5. 点为直线外一点，点,,为直线 上三点，
，，，则点到直线 的距离
( )
D
A. 等于 B. 等于
C. 小于 D. 不大于
返回
课堂小结

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