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华东师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第3章图形的初步认识华东师大版七年级上册第3章图形的初步认识全章复习资料一、全章知识框架图形的初步认识分为两大板块：立体图形（3D）、平面图形（2D），核心考点：三视图、展开图、线段、射线、直线、角、余角补角，是初中几何入门必考基础。二、各小节核心知识点汇总3.2视图1.三种视图定义主视图：从正面看；左视图：从左面看；俯视图：从上面看。口诀：长对正、高平齐、宽相等。2.由视图还原立体图形①俯视图定地基（底层形状、方块位置）；②主视图定列高；③左视图定行高。注意：单一/两个视图无法唯一确定立体图形，必须三视图结合。3.3立体图形的表面展开图1.常见立体展开图圆柱：2个圆+ 1个长方形；圆锥：1个圆+ 1个扇形；球体：无展开图。2.正方体11种展开图&秒杀口诀四类：一四一型、一三二型、二二二型、三三型。禁忌：一线不过四、田凹应弃之（出现田字、凹字、直线超4个正方形，均不是正方体展开图）。相对面判断：同层隔一相对、异层隔列相对、Z字两端相对。3.4平面图形1.多边形判定三条件同一平面内、封闭图形、全部由线段围成。 圆由曲线围成，不是多边形；最少边多边形是三角形。2. n边形分割规律从n边形一个顶点出发：可画$$n-3$$条对角线，分成$$n-2$$个三角形。3.5.1点和线1.三线区别线段：2个端点、可度量、不延伸；射线：1个端点、不可度量、单向延伸；直线：0个端点、不可度量、双向延伸。射线判定：端点相同+延伸方向相同，才是同一条射线。2.两大几何公理①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短。两点间距离：两点之间线段的长度。3.计数公式直线上n个点：线段总数$$\frac{n(n-1)}{2}$$，射线总数$$2n$$。3.5.2线段的长短比较1.比较方法观察法、叠合法（一端重合同侧比）、度量法（最精准）。2.线段中点核心公式若M是AB中点：$$AM=BM=\frac12AB$$，$$AB=2AM=2BM$$。 仅$$AM=BM$$不能判定中点，M必须在线段AB上。3.线段和差点C在线段AB上：$$AB=AC+BC$$；点C在AB延长线上：$$AC=AB+BC$$。3.6.1角1.角的定义公共端点的两条射线组成的图形，大小只与开口大小有关，与边的长短无关。2.四种表示方法三个大写字母（通用）、单个大写字母（仅顶点唯一角）、数字、希腊字母。3.角的分类锐角(0°<α<90°)、直角(90°)、钝角(90°<α<180°)、平角(180°)、周角(360°)。 平角≠直线，周角≠射线（角有顶点，线没有）。4.角度进制$$1^\circ=60'$$，$$1'=60''$$（60进制，满60进1，不够借1当60）。3.6.2角的比较和运算1.比较方法观察法、叠合法（顶点+一边重合、同侧比较）、度量法。2.角平分线OC在∠AOB内部且平分∠AOB：$$\angle AOC=\angle BOC=\frac12\angle AOB$$。3.角的和差OC在角内：$$\angle AOB=\angle AOC+\angle BOC$$；OC在角外：大角=两角相加。3.6.3余角和补角1.定义公式互余：$$\angle1+\angle2=90^\circ$$；互补：$$\angle1+\angle2=180^\circ$$。 仅锐角有余角；互余互补与位置无关。2.核心性质同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等。3.秒杀结论同一个锐角的补角比余角大90°。三、全章高频易错点汇总1.正方体展开图田字、凹字结构绝对无法折叠成正方体；2.射线、直线不可度量，只有线段可以度量长度；3.单个字母表示角仅限顶点只有一个角的情况；4.角度计算为60进制，禁止按100进制计算；5.互余互补是两角关系，不能单独说一个角是余角/补角；6.中点、角平分线必须满足点/射线在图形内部。四、全章综合练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.下列几何体没有展开图的是（）A.正方体B.圆柱C.球D.圆锥2.固定一根木条至少需要两颗钉子，依据是（）A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.线段有两个端点D.直线无限延伸3.下列说法正确的是（）A.平角是一条直线B.射线AB和射线BA是同一条射线C.锐角的余角是锐角D.钝角一定有余角4.一个角是70°，它的余角和补角分别是（）A. 20°、110°B. 30°、120°C. 20°、120°D. 30°、110°5.从五边形一个顶点出发可分割的三角形个数是（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题（每题4分，共24分）1.三视图观察口诀：长对正、________、________。2.线段有___个端点，射线有___个端点，直线___端点。3. $$1.5^\circ=$$________°________′。4.同角的余角________，同角的补角________。5. n边形从一个顶点出发可画________条对角线。6.两点之间________最短。三、解答题（共56分）1.（18分）基础计算：（1）已知M是线段AB中点，AB=20cm，求AM、BM的长；（2）计算：$$35^\circ20'+25^\circ50'$$；（3）已知一个角为40°，求它的余角和补角。2.（18分）角度综合计算：已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，OD在∠BOC内部，∠BOD=30°，求∠COD的度数。3.（20分）方程压轴题：已知一个角的补角比它的余角的4倍多15°，求这个角的度数。五、参考答案与解析一、选择题1.C 2.B 3.C 4.A 5.B二、填空题1.高平齐、宽相等2. 2、1、无3. 1、304.相等、相等5. $$n-3$$6.线段三、解答题1.解：（1）∵M是AB中点，∴$$AM=BM=\frac12AB=10cm$$。（2）原式=$$60^\circ70'=61^\circ10'$$。（3）余角：$$90^\circ-40^\circ=50^\circ$$，补角：$$180^\circ-40^\circ=140^\circ$$。2.解：∵OC平分∠AOB，∠AOB=120°∴$$\angle BOC=\frac12\angle AOB=60^\circ$$又∵∠BOD=30°∴$$\angle COD=\angle BOC-\angle BOD=60^\circ-30^\circ=30^\circ$$答：∠COD=30°。3.解：设这个角为$$x$$，则余角$$90^\circ-x$$，补角$$180^\circ-x$$。由题意得：$$180^\circ-x=4(90^\circ-x)+15^\circ$$$$180^\circ-x=360^\circ-4x+15^\circ$$$$3x=195^\circ$$$$x=65^\circ$$答：这个角的度数为65°。知识结构
图形的初步认识
立体图形
平面图形
投影
中心投影
平行投影
表面展开图
两点之间线段最短
两点确定一条直线
视图
点和线
角
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
整合归纳
从不同方向看立体图形与立体图形的展开图都体现了立体图形与平面图形的相互转化，这需要一定的空间想象能力和动手操作能力，并熟悉立体图形与平面图形相互转化时的对应关系.
立体图形与平面图形的相互转化
类型1 从不同方向看立体图形
1. 如图是某几何体从正面看，从左面看和从上面看得到的图形，则其侧面积为（ ）
A. 6 B. 4π
C. 6π D. 12π
直径为2
高为3
2π×3＝6π
C
类型2 几何图形的展开与折叠
2. 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为（ ）
B
线段、角的有关计算
在线段或角的计算问题中，要注意中点，等分点，角的平分线，等分线及和、差、倍、分关系，将要求的线段或角转化为已知线段或角的关系式，从而求解.
类型1 线段的和、差、倍、分
3. 已知线段AB＝4.8cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，点E在AB上，且CE＝ AC，请画出并计算线段DE的长.
解：因为AB＝4.8cm，C是AB的中点，
所以AC＝BC＝ AB＝2.4cm，
CE＝ AC＝0.8cm.
因为D是CB的中点，
所以CD＝ BC＝1.2cm.
类型1 线段的和、差、倍、分
3. 已知线段AB＝4.8cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，点E在AB上，且CE＝ AC，请画出并计算线段DE的长.
当点E在点C左侧时，如图①，则 DE＝CE＋CD＝2 cm.
当点E在点C右侧时，如图②，则 DE＝CD－CE＝0.4 cm.
类型2 角的和、差、倍、分
4. 如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分线，求∠BOE的度数.
解：因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC .
所以∠AOB＝∠COD.
类型2 角的和、差、倍、分
4. 如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分线，求∠BOE的度数.
因为∠AOB∶∠AOC＝2∶9，
所以∠AOB＝ ∠AOC ＝ .
所以∠COD＝20°.
所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝90°＋20°＝110°.
类型2 角的和、差、倍、分
4. 如图，∠AOC和∠BOD都是直角，且∠AOB∶∠AOC＝2∶9，OE是∠AOD的平分线，求∠BOE的度数.
因为OE是∠AOD的平分线，
所以∠AOE＝ ∠AOD ＝ .
所以∠BOE＝∠AOE－∠AOB＝55°－20°＝35°.
类型3 余角和补角的有关计算
5. （1）若互余两角的差为20°，求这两个角中较小的角的补角的度数；
解：（1）设这两个角中较小的角的度数为x°，则较大的角的度数（90－x）°.
由题意，得（90－x）－x＝20.
解得x＝35，
所以补角为180°－35°＝145°.
即这两个角中较小的角的补角是145°.
（2）若一个角的余角比这个角的补角的一半还少4°，求这个角的余角的度数.
类型3 余角和补角的有关计算
解：（2）设这个角的度数为x°，则这个角的余角是（90－x）°，补角是（180－x）°.
由题意，得
90－x＝ （180－x）－4
解得x＝8，
所以余角为90°－8°＝82°.
即这个角的余角度数为82°.
A 组
1.如图是两幅精致的屏风图案，其中有不少是我们
已认识的平面图形,试写出它们的名称.
【选自教材P166 复习题 第1题】
长方形、正方形、圆、三角形.
2. 如图是一些立体图形的视图，但是观察的方向不同，试说明下列各图可能是哪一种立体图形的视图.
第一幅图可能是球或圆柱的视图;第二幅图可能是三棱柱或三棱锥或四棱锥的视图;第三幅图可能是三棱柱或圆柱或四棱柱的视图.
【选自教材P166 复习题 第2题】
3. 如图是正方体的表面展开图，如果a在后面，b在下面，c在左面，试说明其他各面的位置.
d在上面，e在前面，f在右面.
【选自教材P166 复习题 第3题】
4. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，则关于线段AB、BC、AC有下列等式成立:
（1）AB + BC=________；
（2）AC － BC=________；
（3）AC － AB=________.
AC
AB
BC
【选自教材P166 复习题 第4题】
5. 在纸上画出四个点（其中任意三点不在同一条直线上），经过每两点用直尺画一条直线，一共可以画几条？试画出所有的直线.
如图所示，可以画6条直线
【选自教材P167 复习题 第5题】
6. 计算下列各题：
（1）23°30′＝_____°，13.6°＝_____°______′；
（2）52°45′－32°46′＝ _____°______′
（3）18.3°＋26°34′ ＝_____°______′；
（4）12°17′ ×4＝_____°______′；
23.5
13
36
19
59
44
52
【选自教材P167 复习题 第6题】
49
8
7．根据图形填空：
（1）∠AOC＝__________＋__________；
（2）∠AOC－∠AOB＝__________；
（3）∠COD＝∠AOD－__________；
（4）∠BOC＝__________－∠COD；
（5）∠AOB＋∠COD＝__________－__________.
∠AOB
∠BOC
∠BOC
∠AOC
∠BOD
∠AOD
∠BOC
【选自教材P167 复习题 第7题】
8. 如图，∠AOD =80°，∠COD =30°，OB是∠AOC的平分线，求∠AOC、∠AOB的度数.
解：因为∠AOD＝80°，∠COD＝30°，
所以∠AOC＝80°－30°＝50°.
又因为OB是∠AOC的平分线，
所以∠AOB＝ ∠AOC＝25°.
【选自教材P167 复习题 第8题】
9. 如图，已知∠α ，试用量角器或三角尺画出它的余角、补角及它的角平分线.
【选自教材P167 复习题 第9题】
10. 如图，一只昆虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点，请你帮它确定一条最短的路线，并说明理由.
【选自教材P167 复习题 第10题】
B 组
如图所示，昆虫沿着A—E—C′的路径爬行路线最短. 理由是“两点之间线段最短”.
A
B
C
D
B′
C′
D′
A′
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
E
11.你能用12根火柴摆成5个正方形吗？能摆成6个正方形吗？若能，试画出你摆成的图形.
能. 如图所示：
【选自教材P167 复习题 第11题】
12.如图，∠AOB是直角，OC是位于∠AOB内的一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠EOD的度数.
【选自教材P167 复习题 第12题】
解：因为∠AOB是直角，
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°.
因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
所以∠COD= ∠BOC，∠COE= ∠AOC.
所以∠EOD=∠COD+∠COE= ∠BOC+ ∠AOC
= (∠BOC+∠AOC)=45°
13.在一张地图上有A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C地的具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°.你能确定C地的位置吗？
可以确定，以点A为端点，画A点的北偏东30°方向的射线；以B点为端点，画B点的南偏东45°方向的射线，两射线相交的点即为C点.
【选自教材P168 复习题 第13题】
C
14.（1）一个角与它的余角相等，这个角是怎样的角？
（2）一个角与它的补角相等，这个角是怎样的角？
（3）互补的两个角能否都是锐角？能否都是直角？能否都是钝角？
（1）45°的角.
（2）90°的角.
（3）不能；能；不能.
【选自教材P168 复习题 第14题】
15．几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图与俯视图如图所示，那么组合体中正方体的个数至少有几个？至多有几个？
主视图
俯视图
至少有8个，至多有10个.
【选自教材P168 复习题 第15题】
C 组
16. 一个直立的三棱柱的俯视图是一个三角形，如图，已知这个俯视图的1个内角等于∠α，夹该角的两条边长分别等于线段m和n，试利用尺规作图作出这个俯视图．
【选自教材P168 复习题 第16题】
α
m
n
俯视图如图.
17．请以给定的图形“○ ○ 、 △ △、=”（两个圆，两个三角形、两条平行线段）为构件，尽可能多地构思独特且有意义的图形，并写上一两句贴切、诙谐的解说词. 如图就是符合要求的两个图形.你还能构思出其他的图形吗？比一比，看谁构思得多.
两盏电灯
等式
【选自教材P168 复习题 第17题】
考点1 立体图形和平面图形
1.如图，下面哪些图形是立体图形？哪些图形是平面图形？
【解】①④⑤⑥⑦是立体图形，②③⑧是平面图形.
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考点2 立体图形的三视图
2. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体,它
的俯视图为( )
A
A. B. C. D.
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（第3题）
3. 由若干个相同的小正方体组成的几
何体的主视图和俯视图如图所示,则能
组成这个几何体的小正方体的个数最少
是( )
B
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
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考点3 立体图形的表面展开图
4. ［2025邯郸十三中模拟］小欣同学用纸（如图）折成了一
个正方体盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，
只凭观察，选出墨水所在的盒子为( )
B
（第4题）
A. B.
C. D.
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（第5题）
5. 如图是一个正方体纸盒的展开图，若正
方体相对面上的两个数字之和相等，则
的值为( )
D
A. B. 2 C. D. 1
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考点4 线段、射线、直线
6. 如图，，两个村庄在一条河 （不计河的宽度）的两侧，现
要建一座码头，使它到， 两个村庄的距离之和最小，图中所
示的 点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是 ( )
C
（第6题）
A. 两条直线相交只有一个交点
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间，线段最短
D. 经过一点有无数条直线
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7. 已知三点,,，画直线、射线、线段 ，按照
上述语句画图正确的是( )
D
A. B. C. D.
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8.［2025北京海淀区期中］,，，， 是圆上的5个点，
在这些点之间连结线段，规则如下:
如图，已连结线段,，， .
（1）若想增加一条新的线段，共有___种连线方式;
3
（2）至多可以增加___条线段.
2
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考点5 线段的相关计算
9.如图，已知和 的公共部
，
分，线段，的中点分别为， ，
，则， 的长分别为______________.
【点拨】因为 ，所
以.因为是 的中点，所以
.因为是 的中点，所以
，所以 . 所以
，所以
，所以 .
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10.如图，已知线段,延长到点，使得 ，点
为的中点，为的中点，若,求线段 的长度.
【解】因为, ,
所以 .
因为点为的中点，为 的中点，
所以， .
所以 .
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考点6 角及角的相关计算
11. 2025年4月24日17时17分神舟二十号载
人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功.此时分针与时针夹角的
度数是______.
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12.［2025淮北期末］如图，已知直线
与相交于点，， 分别是
， 的平分线.
（1） 的补角是______________；
或
【点拨】因为是的平分线，所以 .又
因为 ,所以 .又
因为 ,所以的补角是 或
.
（2）若 ，求和 的度数.
【解】因为是 的平分线，
,
所以 ，
.所以
.
因为是 的平分线，
所以 .
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