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北师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.3.2 “盈不足”问题第五章一元一次方程北师大版七年级上册数学5.3.2“盈不足”问题一、本节核心知识点1.盈不足问题定义“盈不足”问题也叫分配问题，是一元一次方程经典应用题。题目特点：把一定数量的物品，平均分给若干人，出现分多了（盈）、分少了（不足）两种不同分配结果，求人数和物品总数。2.核心解题口诀（必考）物品总数不变、人数不变，根据两次不同分配方案，利用总数相等列方程。核心等量关系：第一种分配总数量=第二种分配总数量3.两类经典题型公式模板（1）一盈一不足（最常考）题意：每人分a个，多m个；每人分b个，少n个。设人数为x人，列方程：$$ax+m=bx-n$$（2）两次都盈/两次都不足题意1（两次都盈）：每人分a个多m个，每人分b个多n个。方程：$$ax+m=bx+n$$题意2（两次都不足）：每人分a个少m个，每人分b个少n个。方程：$$ax-m=bx-n$$4.标准解题四步骤①审：找准两次分配的“每人数量、盈余数量、不足数量”；②设：一般设人数为x（设份数为未知数最简便）；③列：根据物品总数不变列一元一次方程；④解：解方程求出人数，再代入求物品总数。5.经典例题（考试原题模板）例题：一批糖果分给学生，每人分4颗，多10颗；每人分6颗，少8颗。求学生人数和糖果总数。解：设学生有$$x$$人。根据糖果总数不变列方程：$$4x+10=6x-8$$移项：$$10+8=6x-4x$$合并同类项：$$2x=18$$系数化为1：$$x=9$$糖果总数：$$4\times9+10=46$$（颗）答：学生有9人，糖果有46颗。6.高频易错点①找错等量关系，忘记总数不变核心；②符号出错：盈是+，不足是-，最容易写反；③求出人数后，忘记计算物品总数，答题不完整；④混淆两次分配的每人分配数量。二、同步练习题一、选择题（每题4分，共24分）1.盈不足问题的核心不变量是（）A.每人分配数量B.物品总数C.盈余数量D.不足数量2.分配物品多出来的数量叫做（）A.不足B.盈C.差D.总数3.每人分3个多5个，物品总数列式为（）A. $$3x-5$$ B. $$3x+5$$ C. $$3x$$ D. $$x+5$$4.每人分5个少4个，物品总数列式为（）A. $$5x+4$$ B. $$5x-4$$ C. $$5x$$ D. $$x-4$$5.解决盈不足问题通常设未知数为（）A.物品总数B.人数C.盈余数D.不足数6.一盈一不足问题列方程依据是（）A.人数相等B.物品总数相等C.每人数量相等D.差值相等二、填空题（每题4分，共24分）1.盈不足问题中，盈指分配后物品________。2.盈不足问题中，不足指分配后物品________。3.盈不足问题列方程的核心依据是________不变。4.每人分2个多3个，总数=________。5.每人分4个少2个，总数=________。6.解盈不足问题一般设________为x。三、判断题（每题3分，共18分）1.盈不足问题两次分配的物品总数是相等的。（）2. “多出来”在列式中用减法。（）3. “不够分”在列式中用减法。（）4.盈不足问题只能设物品总数为未知数。（）5.两次分配的每人数量不同，是题型特点。（）6.求出人数后还需要计算物品总数。（）四、应用题（每题17分，共34分）1.把笔记本分给学生，每人分3本，剩余6本；每人分5本，缺少4本。求学生人数和笔记本总数。2.一堆苹果分给小朋友，每人分2个，多8个；每人分4个，刚好分完。求小朋友人数和苹果总数。三、参考答案一、选择题1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B二、填空题1.多余、剩余2.不够、缺少3.物品总数4. $$2x+3$$ 5. $$4x-2$$ 6.人数三、判断题1.√ 2.×3.√ 4.×5.√ 6.√四、应用题1.解：设学生有$$x$$人。列方程：$$3x+6=5x-4$$移项合并：$$2x=10$$，解得$$x=5$$笔记本总数：$$3\times5+6=21$$（本）答：学生有5人，笔记本有21本。2.解：设小朋友有$$x$$人。列方程：$$2x+8=4x$$移项合并：$$2x=8$$，解得$$x=4$$苹果总数：$$4\times4=16$$（个）答：小朋友有4人，苹果有16个。能根据古代数学问题中的数量关系列出方程，感悟数学模型的思想.
借助古代数学问题，体会利用表格分析数量关系是一种有效方法.
经历运用方程解决古代数学问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识.
把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？
创设情境，导入新课
探究点　利用一元一次方程解决古代数学问题
1.《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问：人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少？
(1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？
活动引入，合作探究
已知量：每人出8钱和7钱时出钱总数与物价的差距；
未知量：人数与物价.
等量关系：每人出的钱数×人数-多出的钱数=每人出的钱数×人数+少出的钱数
(1)问题中有哪些已知量和未知量？ 它们之间有怎样的等量关系？
(2)设人数为x，其他未知量能用含x 的代数式表示并完成下表.
(3)根据等量关系， 列出方程
设人数为x. 根据等量关系，列出方程：______________　
解这个方程，得 x ＝________
因此，人数为________，物价为_________钱.
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数 x
出钱总数
物价
8x
8x-3
x
7x
7x+4
8x-3=7x+4
7
7
53
思考：如果设物价为 y 钱， 用含 y 的代数式表示其他未知量，并补充表格.
有关量 每人出8钱 每人出7钱
物价 y
出钱总数
人数
y+3
y
y-4
根据等量关系， 列出方程
设物价为 y. 根据等量关系，列出方程：______________　
=
2.《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，
盈三千四百；人出三百，盈一百.问：人数、金价各几何？
题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱. 合伙人数、金价各是多少？
(1)问题中的等量关系是怎样的？
每人出的较多钱数×人数－多出的钱数＝每人出的较少钱数×人数－多出的钱数.
(2)设人数为x，补充下列表格
有关量 每人出400钱 每人出300钱
人数 x
出钱总数
金价
400x
400x-3400
x
300x
300x-100
设合伙数为x. ，则金价可表示为_________________
根据等量关系，列出方程：______________　
解这个方程，得 x ＝________
因此，人数为________人，金价为_________钱.
(400x-3400)钱或(300x-100)钱
400x-3400=300x-100
33
33
9800
300×33-100=9800
设金价为y钱，则人数可表示为____________
根据等量关系，列出方程：______________　
思考　
(1)设金价为y钱，能列出怎样的方程？
有关量 每人出400钱 每人出300钱
金价 y
出钱总数
人数
y+3400
y
y+100
(2)《九章算术》给出了一种算法：
人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；
物价＝每人出的钱数×人数－剩余钱数.
此种求法与方程的求解过程相比有什么不同？
第二次出钱总数-物价=第二次剩余钱数
第一次出钱总数-物价=第一次剩余钱数
①
②
①和②两边分别相减得到
两次出钱总数之差＝两次剩余钱数之差
所以 人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差.
两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数，
1. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问
开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，
一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果每
一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间
客房住9人，那么就空出一间客房.设有x间客房，
可列方程为 .
7x＋7＝9(x－1)　
2. 小明根据方程5x＋2＝6x－8编写了一道应用
题，请你把空缺的部分补充完整.
某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，
如果每人做5个，那么就比计划少2个；
，请问手工小组有几
人？(设手工小组有x人)
如果每人
做6个，那么就比计划多8个　
3. 今年植树节，九年级(1)班同学参加义务植树活
动，共同种植一批樟树苗，如果每人种4棵，那么剩
余25棵；如果每人种5棵，那么还缺20棵，求该班的
学生人数和樟树苗的棵数.
书写规范
解：设 ，
由题意，得 ，
解得 .
所以 .
答： .
该班的学生人数为x　
4x＋25＝5x－20　
x＝45　
4x＋25＝4×45＋25＝205(棵)　
该班的学生人数为45，樟树苗的棵数为205
1. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文
是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三.问人数、
物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多
二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？
设人数为人，货物总价为 钱，则可列方程为( )
A
A. B.
C. D.
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2. “曹冲称象”是流传很广的故事，按照他的
方法，先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵
出.然后往船上抬入20块等质量的条形石，并在船上留3名搬
运工，这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条
形石，船上只留1名搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知1
名搬运工的体重均为120斤，设每块条形石的质量是 斤，则
正确的是( )
A. 依题意得
B. 依题意得
C. 该象的质量是5 040斤
D. 每块条形石的质量是260斤
√
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3. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生
活.某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每名快递
员派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件，还差14件，
则该快递分派站现有快递员____名.
10
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4. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中
有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，
每人八竿恰齐足.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地
玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6竿，多14竿；每人8竿，恰
好用完.”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数.
【解】设牧童人数为人,根据题意,得 ,解得
.所以牧童人数为7人.
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5. 某学校组织师生去邻市中小学素质教育实践学校研学.已
知此次共有名师生乘坐 辆客车前往目的地，若每辆客车坐
40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空
出一辆客车.以下四个方程： ；
； ；
.其中正确的是( )
B
A. ①③ B. ①④
C. ②③ D. ②④
课堂小结
古代数学问题
数学问题
（一元一次方程）
表格分析
寻找等量关系

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