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北师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.3.3行程问题第五章一元一次方程北师大版七年级上册数学5.3.3行程问题一、本节核心知识点1.行程问题基础公式（万能核心）所有行程问题都围绕一组公式变形：$$\boldsymbol{路程=速度\times时间}$$$$s=vt$$变形公式：$$v=\frac{s}{t}$$（速度=路程÷时间）$$t=\frac{s}{v}$$（时间=路程÷速度）2.七年级必考三类行程题型（1）相遇问题（相向而行）题意：两人从两地面对面走，同时出发，最后相遇。核心等量关系：甲路程+乙路程=总路程同时出发：两人行走时间相等公式：$$v_甲t + v_乙t = S_{总}$$（2）追及问题（同向而行）题意：两人同地/异地朝同一个方向走，快的追上慢的。核心等量关系：快者路程 慢者路程=路程差同时出发，时间相等，快的比慢的多走初始距离。公式：$$v_快t - v_慢t = S_{差距}$$（3）往返/变速行程问题核心：总路程分段相加，总时间分段相加，根据题目不变量列方程（一般路程不变、总时间不变）。3.行程问题标准解题步骤①审：判断是相遇还是追及，找准总路程、速度、路程差；②设：一般设时间为x或设速度为x；③列：根据路程关系列方程；④解：解方程，检验结果为正数；⑤答：写清单位。4.经典必考例题例题1（相遇问题）甲乙两车从相距360km的两地相向而行，甲车速度60km/h，乙车速度40km/h，两车同时出发，几小时后相遇？解：设$$x$$小时后两车相遇。甲路程+乙路程=总路程$$60x+40x=360$$$$100x=360$$$$x=3.6$$答：3.6小时后两车相遇。例题2（追及问题）甲乙两人同地同向出发，甲每分钟走80m，乙每分钟走60m，乙先走5分钟，甲多久能追上乙？解：设甲$$x$$分钟后追上乙。甲路程 乙路程=乙先走的路程$$80x-60x=60\times5$$$$20x=300$$$$x=15$$答：甲15分钟后追上乙。5.高频易错点①相遇、追及公式混淆，乱用加减；②不同时出发，忘记算提前走的路程；③单位不统一（km/h和m/min不换算）；④只会套公式，不会分析路程差、总路程；⑤求出时间后，忘记作答完整。二、同步练习题一、选择题（每题4分，共24分）1.行程问题最基础的公式是（）A.路程=速度÷时间B.路程=速度×时间C.时间=速度×路程D.速度=时间×路程2.两人相向而行相遇问题，等量关系是（）A.路程相减B.路程相加等于总路程C.速度相等D.时间不等3.同向追及问题，等量关系是（）A.快路程+慢路程=总路程B.快路程 慢路程=路程差C.速度不变D.时间不同4.速度60km/h，行走x小时，路程是（）A. $$60+x$$ B. $$60x$$ C. $$60\div x$$ D. $$x\div60$$5.相遇问题中，同时出发的两人（）相等A.速度B.路程C.时间D.距离6.追及问题一定是（）A.慢追快B.快追慢C.速度一样D.路程一样二、填空题（每题4分，共24分）1.行程问题核心公式：$$s=$$________。2.相向相遇：甲路程+乙路程=________。3.同向追及：快路程 慢路程=________。4.速度、时间、路程三个量中，已知两个可以求________。5.同时出发相遇，两人的________相同。6.追及问题必须________的速度更大。三、判断题（每题3分，共18分）1.相遇问题用路程相加列方程。（）2.追及问题用路程相减列方程。（）3. $$路程=时间\div速度$$。（）4.同时出发相遇，时间相等。（）5.慢速度可以追上快速度。（）6.行程问题可以设时间为未知数。（）四、应用题（每题17分，共34分）1.甲乙两地相距480千米，两车同时从两地相向开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行65千米，经过几小时两车相遇？2.小明和小亮同向跑步，小明速度7m/s，小亮速度5m/s，小亮先跑10秒，几秒后小明追上小亮？三、参考答案一、选择题1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 6.B二、填空题1.$$vt$$ 2.总路程3.路程差4.第三个量5.行驶时间6.追及者三、判断题1.√ 2.√ 3.×4.√ 5.×6.√四、应用题1.解：设经过$$x$$小时两车相遇。$$55x+65x=480$$$$120x=480$$$$x=4$$答：经过4小时两车相遇。2.解：设$$x$$秒后小明追上小亮。小亮总时间：$$(x+10)$$秒$$7x-5(x+10)=0$$$$7x-5x-50=0$$$$2x=50$$$$x=25$$答：25秒后小明追上小亮。能根据行程问题中的数量关系列出方程，加强模型观念.
借助行程问题，体会画图分析数量关系是一种有效方法.
经历运用方程解决行程问题的过程，感受数学与实际的联系，加强应用意识.
探究点　利用一元一次方程解决行程问题
1.追及问题
　小明每天早上要到距家1000m 的学校上学.一天，小明以80m/min的速度出发，出发后5min，小明的爸爸发现小明忘了带语文书.于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间？ 追上小明时，距离学校还有多远？
(1)问题中有哪些已知量和未知量？
问题引入，合作探究
已知量：小明家与学校的距离、小明的速度、爸爸的速度、小明先出发的时间；
未知量：爸爸追小明所用的时间、爸爸追小明期间小明所走的路程、爸爸追小明的路程.
(1)问题中有哪些已知量和未知量？
(2)分析追及的过程，用一个图直观表示问题中各个量之间的关系.
家
学校
小明先出发的路程
爸爸追小明的路程
爸爸追小明期间小明走的路程
小明先出发的路程＋爸爸追小明期间小明所走的路程＝爸爸追小明的路程
(3)根据题意列出方程
设爸爸追上小明用了x min.当爸爸追上小明时，两人所行路程相等，如图所示.
x = 4.
80x + 80×5=180x
答：爸爸追上小明用了4min.
小明：
爸爸：
根据题意，得
80×5
180x
100x = 400
化简，得
80x
解得
追上小明时，距离学校还有多远？
解：
180×4 = 720（m）
1000－720 = 280（m）
所以，追上小明时，距离学校还有 280 m.
1000m
？
180×4
1. A，B两地相距600km，甲车以60km/h的速度从A
地驶向B地；2h后，乙车以100km/h的速度沿着相同
的道路从A地驶向B地.设乙车出发xh后追上甲车，
根据题意可列方程为(　A　)
A. 60(x＋2)＝100x
B. 60x＝100(x－2)
C. 60x＋100(x－2)＝600
D. 60(x＋2)＋100x＝600
A
2. 甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相
向而行，2h后相遇.若乙每小时比甲少骑2.5km，则
乙每小时骑(　C　)
A. 20km
B. 17.5km
C. 15km
D. 12.5km
C
3. 一个通讯员骑摩托车要在规定的时间内把文件送
到.他骑摩托车的速度是每小时行36km，结果早到
20min，若每小时行30km，就迟到12min.则规定时
间是 h.
3　
4. 某体育场的环形跑道长400m，甲、乙两人在跑道
上练习跑步，甲平均每分钟跑250m，乙平均每分钟
跑290m.现在两人同时同地同向出发，经过多长时
间两人才能再次相遇？
解：设经过xmin后甲、乙两人再次相遇，
则甲跑的路程是250xm，
乙跑的路程是290xm.
由题意得290x－250x＝400，
解：设经过xmin后甲、乙两人再次相遇，
则甲跑的路程是250xm，乙跑的路程是290xm.
由题意得290x－250x＝400，
解得x＝10.
答：经过10min后两人再次相遇.
1. 《九章算术》被誉为人类科学史上应用
数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；
乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何
日相逢？”其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐
国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安.若乙先从齐国出
发2天，甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲
经过 天后与乙相遇，则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
√
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2. 一艘轮船从一码头顺流而下，再逆流而上，计划 回到原
来出发的码头.若这艘轮船在静水中的速度是 ，水流速
度是，则这艘轮船最多顺水走( ) ，就必须返回.
B
A. 30 B. 22.5 C. 18 D. 16
【点拨】设这艘轮船最多顺水走 ，就必须返回，根据题
意，得 ，
解方程，得，所以这艘轮船最多顺水走 ，就
必须返回.故选B.
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3. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：
“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十
二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，
慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？
则快马追上慢马的天数是( )
D
A. 5天 B. 10天
C. 15天 D. 20天
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4. 小明、小亮分别在 的环形跑道上练习
跑步，他们的速度比是 ，两人同时由同一点背向出发，
后第一次相遇，小明的速度是____ .
3.5
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5. 随着人们生活水平的提高，人工智能扫
地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电用品.为了测试甲、
乙两个不同款式的扫地机器人的清扫速度，现安排甲、乙两
个扫地机器人分别从， 两地同时出发，沿同一条路线相向
匀速行驶清扫（路途中没有障碍物遮挡），已知出发后经过
3分钟两个扫地机器人相遇，相遇后再经过2分钟乙扫地机器
人到达地，， 两地相距45米.
（1）甲、乙两个扫地机器人的速度分别是多少？
【解】根据题意，得乙扫地机器人的速度为
（米/分），
设甲扫地机器人的速度为米/分，则 ，
解得 ，因此，甲扫地机器人的速度为6米/分.
（2）从， 两地同时出发后，经过多少时间后两个扫地机
器人相距6米？
设经过 分钟后两个扫地机器人相距6米，
当两个扫地机器人相遇前相距6米时， ，解
得 ；
当两个扫地机器人相遇后相距6米时， ，解
得 .
综上，经过分钟或 分钟后两个扫地机器人相距6米.
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（第6题）
6. 如图，已知正方形 的边长为4，甲、
乙两动点分别从正方形的顶点，
同时出发，沿正方形的边开始移动，甲沿
的方向移
动，乙沿
的方向移动，若乙的速度是甲的速度的3
A
A. B. C. D.
倍，则它们第2 028次相遇时所在的边是 ( )
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（第7题）
7. 地球、火星的运行轨
道近似是同一平面内的以太阳为圆心的
两个同心圆，“火星冲日”是指火星、地
球和太阳近似在一条直线上且地球位于
火星与太阳之间的现象（如图所示），
已知火星绕太阳运行一周的时间近似是
地球绕太阳运行一周时间的 倍（地球绕太阳运行一周需要
一年），上一次火星冲日的时间为2025年1月16日，那么与
下次火星冲日的时间最为接近的是( )
A. 2027年1月25日
B. 2027年2月25日
C. 2027年3月25日
D. 2027年4月25日
（第7题）
√
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解决行程问题的基本步骤
问题的已知条件
画出线段图
找出等量关系
列方程并求解
回答
同向追及问题
同地不同时：甲路程=乙路程
同时不同地：甲路程+路程差=乙路程
相向相遇问题
甲路程+乙路程=总路程
课堂小结

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