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北师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第五章一元一次方程北师大版七年级上册数学第五章一元一次方程全章知识点总结+练习题第五章一元一次方程总目录5.1认识方程5.2求解一元一次方程（4个小节）5.3一元一次方程的应用（3个小节）5.1认识方程1.方程的定义含有未知数的等式叫做方程。判断必备两个条件：①有等号（是等式）②含有字母未知数。2.一元一次方程定义（三要素）只含一个未知数、未知数最高次数为1、等式两边都是整式（分母不含未知数）。3.方程的解使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。4.列方程核心读懂题意，找准等量关系，设未知数列方程。高频易错点式子≠方程、等式不一定是方程、分母含未知数不是一元一次方程。5.2求解一元一次方程（四大解法）5.2.1等式的基本性质性质1（加减）等式两边同时加/减同一个数或整式，等式仍然成立。若$$a=b$$，则$$a\pm c=b\pm c$$性质2（乘除）等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。若$$a=b$$，则$$ac=bc$$；$$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}(c\neq0)$$5.2.2移项与合并同类项解方程1.移项法则（重中之重）移项要变号，不移不变号（正变负、负变正）。移项依据：等式性质1。2.解题步骤移项（未知项左、常数项右）→合并同类项（化为$$ax=b$$）→系数化为1。5.2.3去括号解方程去括号法则括号前是“+”，去括号不变号；括号前是“ ”，去括号全部变号；括号外系数要乘遍括号内每一项，不漏乘。完整步骤去括号→移项→合并同类项→系数化为15.2.4去分母解方程（终极五步）解一元一次方程标准五步（必考）1.去分母：两边同乘分母最小公倍数，所有项都要乘（含常数项），分子多项式加括号；2.去括号：注意变号、不漏乘；3.移项：移项必变号；4.合并同类项：化为$$ax=b$$；5.系数化为1：求出$$x$$。最大易错点去分母漏乘常数项、分子不加括号导致符号错误。5.3一元一次方程的应用（三大必考应用题）5.3.1形积问题（等积变形）核心口诀形变，总量不变1.铁丝围图形：形状变，周长不变；2.橡皮泥/铁块熔铸重塑：形状变，体积不变。必背公式长方形：$$C=2(a+b),S=ab$$正方形：$$C=4a,S=a^2$$长/正方体体积：$$V=abc、V=a^3$$5.3.2盈不足问题（分配问题）核心不变量人数不变、物品总数不变，用两次分配总数相等列方程。三类模板①一盈一亏：$$ax+m=bx-n$$②两次都盈：$$ax+m=bx+n$$③两次都亏：$$ax-m=bx-n$$口诀：多就加、少就减。5.3.3行程问题万能公式$$s=vt\quad v=\frac{s}{t}\quad t=\frac{s}{v}$$两大必考模型1.相遇问题（相向）甲路程+乙路程=总路程，同时出发时间相等。2.追及问题（同向）快者路程 慢者路程=路程差，快追慢才能追上。第五章全章解题总口诀（考前必背）解方程：去分去括、移项变号、合并化1应用题：找不变、找等量、设未知、列方程第五章综合练习题一、选择题1.下列属于一元一次方程的是（）A. $$2x+3$$ B. $$2x+3y=5$$ C. $$2x-1=3x$$ D. $$x^2=4$$2.解方程移项的依据是（）A.等式性质1 B.等式性质2 C.乘法分配律3.相遇问题的等量关系是（）A.路程差=总路程B.路程和=总路程C.速度和=总速度二、解方程（基础必考）1. $$3x-2=x+4$$2. $$2(x-1)=6$$3. $$\frac{x+1}{2}=\frac{x}{3}+1$$三、应用题1.一根铁丝长48cm，围成一个长方形，长是宽的3倍，求长和宽。（形积问题）2.分糖果：每人分4颗多5颗，每人分6颗少3颗，求人数和糖果数。（盈不足）3.甲乙两地相距600km，两车相向而行，甲70km/h，乙50km/h，几小时相遇？（行程）参考答案一、选择题1.C 2.A 3.B二、解方程1. $$3x-2=x+4$$，移项：$$3x-x=4+2$$，合并：$$2x=6$$，$$x=3$$2. $$2(x-1)=6$$，去括号：$$2x-2=6$$，移项合并：$$2x=8$$，$$x=4$$3.去分母乘6：$$3(x+1)=2x+6$$，去括号：$$3x+3=2x+6$$，移项得$$x=3$$三、应用题1.解：设宽为$$x$$cm，长$$3x$$cm。$$2(x+3x)=48$$，$$x=6$$，长18cm，宽6cm。2.解：设$$x$$人。$$4x+5=6x-3$$，$$x=4$$，糖果：21颗。3.解：设$$x$$小时相遇。$$70x+50x=600$$，$$x=5$$。本章知识回顾
一元一次方程
概念
方程的解
解方程
认识方程
等式基本性质
同类相、移项
去括号
去分母
一元一次方程的解法
几何图形问题
古代数学问题
行程问题
一元一次方程应用
知识点回顾
在一个方程中，只含有____个未知数，且方程中的代数式都是______，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程.
一
整式
1
使方程左、右两边的值_____的未知数的值，叫作方程的解. 求方程的解的过程称为解方程.
相等
方程的有关概念
下列式子中是一元一次方程的有（ ）.
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
① x + 3 = ； ② 7x = 3； ③ 4x – 3 = 3x + 2； ④ x = 2； ⑤ x + y = 5； ⑥ x2 + 3x = 1.
等式的基本性质：
等式的两边都加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式.
等边的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式.
用字母可以表示
如果a=b，那么 a+c=b+c ， a-c=b-c；
如果a=b，那么 ac=bc ，
= (c≠0)
解一元一次方程的步骤 步骤 根据 注意事项
去分母 等式的基本性质2 ①不漏乘不含分母的项；
②注意给分子添括号、去括号
去括号 乘法对加法的分配律、去括号法则 ①不漏乘括号里的项；
②括号前是“－”号，要变号
移项 移项法则 移项要变号
合并同类项 合并同类项法则 系数相加，不漏项
未知数的系数化为1 等式的基本性质2 乘分数系数的倒数时不要出错
解一元一次方程
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
读题分析题中已知什么，求什么？有哪些事物在什么方面产生关系？
设未知数(直接设，间接设)，包括单位名称.
把相等关系中各个量转化成代数式，从而列出方程.
解方程，求出未知数的值（x = a）
写出答案
审
列
设
答
解
验
检验所求解是否符合题意
实际问题
数学问题
（一元一次方程）
数学问题的解
（一元一次方程的解）
实际问题的解
抽象
解方程
验证
解释
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
寻找等量关系
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
商场将某种品牌的冰箱先按进价提高50%作为标价，然后打出“八折酬宾，外送100元运装费”的广告，结果每台冰箱仍获利300元，求每台冰箱的进价是多少元.
解：设每台冰箱的进价为 x 元，则标价为x(1+50%)元，
实际售价为x(1+50%)×80%元
由题意得：x(1+50%)×80% – 100 – x = 300
解得，x = 2000
答：每台冰箱的进价是 2000 元.
考点1 一元一次方程及方程的解
1. 已知下列方程：
；； ；
；； .
其中一元一次方程的个数是( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 若是一元一次方程，则 的值是( )
B
A. B. C. 2 D. 4
返回
3. 如果是方程 的解，
那么 的值是( )
C
A. 0 B. 2 C. D.
返回
考点2 等式的基本性质
4. 下列等式变形，正确的是( )
C
A. 由得
B. 由得
C. 由得
D. 由得
返回
5. 如图所示，两个天平都平衡，则与2个球
体质量相等的正方体的个数为( )
A
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
返回
考点3 一元一次方程的解法
6. 下列变形，正确的是( )
C
A. 由，移项，得
B. 由，去括号，得
C. 由，合并同类项，得
D. 由，去分母，得
返回
7.解方程：
（1） ；
【解】 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
解得 .
（2） .
，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
解得 .
返回
考点4 一元一次方程的应用
8.某中学学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步
行速度为 ，七（2）班的学生组成后队，步行速度为
；前队出发 后，后队才出发，同时后队派一名联
络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度
为 .
（1）后队追上前队需要多长时间？
【解】设后队追上前队需要 ，
根据题意得，解得 .
所以后队追上前队需要 .
（2）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少千米？
，
所以联络员走的路程是 .
（3）七（1）班出发多少小时后两队相距 ？
设七（1）班出发后，两队相距 ，
当七（2）班没有出发时， ；
当七（2）班出发，但没有追上七（1）班时，
，解得 ；
当七（2）班超过七（1）班时， ，
解得 .
所以七（1）班出发或或后，两队相距 .
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9. 将长为1，宽
为 的长方形纸片如
图①那样折一下，剪下一个边长
等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下
的长方形如图②那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形
宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若
在第 次操作后剩下的长方形为正方形，则操作终止.
（1）第一次操作后，剩下的长方
形的两边长分别为_________；
（用含 的代数式表示）
，
（2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，求 的
值，并写出解答过程；
【解】第1次操作后，剩下的长方形的两边长分别是 ，
. 若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则
或 ，
解得或 （舍去）.
（3）若第三次操作后，剩下的长方
形恰好是正方形，试求 的值.
第二次操作后，剩下的长方形的两
边长分别是， .
若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，
则或 ，
解得或 .
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思想1 数形结合思想
10.两个完全相同的长方形按如图所示的
方式摆放成“ ”形，则每个长方形的面积
为____.
30
【点拨】设长方形的宽为 ，由题意可得
，解得 ，所以长方
形的宽为3，长为 ，所以每个长方形的面积为
.
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思想2 分类讨论思想
11.解关于的方程： .
【解】把方程 变形，
得 .
分三种情况：
（1）当，即 时，方程只有一个解，为
.
（2）当且 时，方程有无数个解.
由，得，由，得 .
所以当且 时，方程有无数个解.
（3）当且 时，方程无解.
由，得，由，得 .
所以当且 时，方程无解.
对形如“”的方程求解时，应根据， 的取
值讨论解的情况，体现了分类讨论思想的运用.
. .
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