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2026年吉林省长春四十五中中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，是无理数的是（　　）
A. 3.14 B. C. D.
2.下列几何体中，属于棱柱的有（　　）
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
3.如图，在△ABC中，∠A=50°，将△ABC沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2的度数为（　　）
A. 180°
B. 230°
C. 240°
D. 270°
4.下列用四舍五入法得到的近似数，描述错误的是（　　）
A. 3.1（精确到0.1） B. 0.123（精确到千分位）
C. 23.9万（精确到十分位） D. 3.4×105（精确到万位）
5.A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y2＞y1＞y3
6.如图，某旗杆高为10米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是当阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次的长（　　）米.
A. B. C. D.
7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M、N；第二步，过M、N两点作直线分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF.若BD=4，AF=3，CD=2，则BE的长是（　　）
A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 7
8.如图，已知一次函数y=x+m的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点.当m的值由4逐渐减小到-4时，关于线段AB的长度，下列判断正确的是（　　）
A. 由大变小
B. 由小变大
C. 保持不变
D. 有最小值
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：= .
10.已知点（-1，2a-3）位于第三象限，则a的取值范围是 .
11.如图，已知AB∥CD，∠B+∠D=30°，则∠O1+∠O2+∠O3+∠O4= .
12.如图，在平面直角坐标系中，点P（m,6）在第二象限内.若OP与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为 .
13.已知二次函数y=x2-4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两个实数根是 .
14.如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，延长BC至点D，使BC=CD，连结AD，过点C作半圆O的切线CE，交AD于点E，连结BE交半圆O于点F，连结AF并延长交CE于点G.下列结论：①AD=AB；②CE⊥AD；③；④△ACG∽△BDE；⑤若3BE=4AG，则tanD=.其中正确结论的序号是 .
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
15.先化简，再求值：（2a-1）2-2a（a-2），其中a=-2.
16.某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准.居民每月应缴水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示.
（1）分别求出当0≤x≤15和x＞15时，y关于x的函数表达式；
（2）若某用户某月用水9吨，则应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个月用水多少吨？
四、解答题：本题共8小题，共94分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
将分别标有数字1，2，4的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上.
（1）随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为奇数的概率是______.
（2）随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字（不放回），再抽取一张，卡片上所标数字作为个位上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率.
18.(本小题9分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹.
（1）在图①中，分别在边AB、AC上画点D、E，连结DE，使△ADE∽△ABC，且；
（2）在图②中，分别在边BA、BC上画点F、G，连结FG，使△BFG∽△BAC，且；
（3）在图③中画出△CAM，点M在CB上，连结AM，使△CAM∽△CBA.
19.(本小题10分)
当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变.某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝.已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝.
（1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝；
（2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人.若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？
20.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，连接BD，延长BC至E，使BE=BD，过点E作EF∥BD交AD延长线于点F.
（1）求证：四边形BEFD是菱形；
（2）连接BF，若AB=3，BC=4，求线段BF的长.
21.(本小题9分)
为了解某市中学生绿色出行（步行、骑行、公共交通）的每周次数，随机调查了n名中学生的出行情况，并绘制如下的统计图①和图②.结合图形回答下列问题：
（1）填空：n的值为______，图①中r的值为______，中学生绿色出行次数的众数是______，中位数是______；
（2）补全图②；
（3）求这组中学生每周绿色出行次数的平均数.
22.(本小题18分)
综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现.在矩形纸片ABCD中，AD=2，.
【数学思考】如图1，圆圆将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，使得点E落在BC边上，点A作AH⊥DE.求证：△ADH≌△DEC；
【解决问题】如图2，连结AG，求线段AG的长.
【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形EFGD绕着点D逆时针转动一周，若直线ED恰好经过线段AG中点O时，连结AE，AG，求△AEG的面积.
23.(本小题16分)
在矩形ABCD中，AB=3，AD=4.点P是射线BC上的一点，以点P为中心将PA顺时针旋转90°得到PQ，连结AQ.
（1）如图①，当点Q在边CD上时，求证：BC=AB+CQ；
（2）在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出△APQ；（保留作图痕迹.不用写出作图过程）
（3）如图③，设线段AQ与射线CD交于点E，
①若AE=EQ，此时线段CE的长度为______；
②若线段PA或PQ与射线CD交于点F，过点P作PG⊥BC交AQ于点G，若S△PQG=S△AEF，直接写出BP的长度.
24.(本小题16分)
已知抛物线y=-x2+bx+3经过点A（3，0），点M为抛物线上一点，横坐标为m,点N为平面内一点（M，N不重合），横坐标为m2-2m,MN∥x轴.将线段MN绕点M逆时针旋转90°得到线段MP，延长PM至点Q，使，连结AQ.
（1）求b的值及该抛物线与y轴的交点坐标；
（2）直线MP⊥x轴于点H，当AP=AQ时，
①的值为______；
②求m的值；
（3）当m＜0时，若点M到直线AQ的距离为点N到直线AQ的距离的，直接写出m的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】-2
10.【答案】a＜1.5
11.【答案】570°
12.【答案】-4.5
13.【答案】x1=1，x2=3
14.【答案】①②④
15.【答案】2a2+1，9．
16.【答案】y=4x（0＜x≤15）；y=6x-30（x＞15） 用户居民该月用水9吨，应交水费36元；若该月交水费102元，则用水22吨
17.【答案】
P（两位数能被3整除）=．
18.【答案】如图，△ADE即为所求；
如图2，△BFG即为所求；
如图3，△CAM即为所求．

19.【答案】A种型机器人每小时完成22米焊缝，B型机器人每小时完成18米焊缝；
该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人．
20.【答案】由矩形可得：BE∥DF，
∵EF∥BD，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∵BE=BD，
∴平行四边形BEFD是菱形；
3
21.【答案】60;20;4;3 2.95
22.【答案】【数学思考】证明：∵将矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，
∴AD=DE，∠C=∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADH=90°，
∵AH⊥DE，
∴∠AHD=90°，
∴∠HDA+∠DAHl=90°，
∴∠DAHl=∠CDE，
∴△ADH≌△DEC（AAS）；
【解决问题】解：∵△ADH≌△DEC，
∴AH=CD=，
∵矩形ABCD绕着点D逆时针旋转得到矩形EFGD，
∴CD=DG=，∠GDE=90°，
∴DH==1，
∴DH=AD，
∴∠DAH=30°，
∴∠ADH=60°，
过点G作GM⊥AD，交AD的延长线于点M，
∴∠GDM=30°，
∴GM=DG=，
∴DM==，
∴AM=DM+AD=，
∴AG==；
【拓展研究】解：当线段DE与AG交于点O时，作AV⊥DE于V，
∵O是AG的中点，
∴OG=OA，
∵∠GDO=∠AVO=90°，∠DOG=∠AOV，
∴△DOG≌△VOA（AAS），
∴DG=AV=，OD=OV，
∴DV==1，
∴OV==，VE=DE-DV=2-1=1，
∴OE=OV+EV=，
∴=2×=，
当ED的延长线交AG于点O时，由上知OV=OD=，
∴OE=DE+OD=2+1=3，
∴S△AEG=2S△AEO=2×=2×=3，
综上所述，△AEG的面积是或3．
23.【答案】见解析；
见解析；
①4；
②，BP的长度为或．理由见解答过程．
24.【答案】b=2，（0，3） ①3；② 或
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