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2026年北京市朝阳区中考数学二模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A. 圆锥
B. 球
C. 长方体
D. 圆柱
2.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜-a,则b的值可以是（　　）
A. -3 B. -2 C. 0 D. 2
3.若一个五边形的每个内角都是x°，则x的值为（　　）
A. 108 B. 120 C. 135 D. 150
4.如图，点C在OA上，CD⊥OB于点D，DE∥OA，若∠AOB=35°，则∠CDE的度数为（　　）
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 125°
5.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字1，1，2，4，5，5，掷该正方体一次，朝上一面的数字是5的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.我国科研团队成功研制的半导体电荷存储器“破晓”，达到400皮秒实现一次擦或者写.已知1皮秒等于10-12秒，则400皮秒为（　　）
A. 4×10-10秒 B. 4×10-11秒 C. 4×10-12秒 D. 40×10-10秒
7.如图，点A，B分别在射线OM，ON上，以A为圆心，AB长为半径画弧，以O为圆心，OB长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接BC，若∠MON=40°，则∠OBC的大小为（　　）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 100°
8.如图，将正方形MNPQ绕其中心O逆时针旋转45°，得到正方形M1N1P1Q1，两个正方形的公共点为A，B，C，D，E，F，G，H，连接AC，BH，CG.给出下面四个结论：①MA=AB；②∠MAH=2∠ACB；③∠ACG+∠BAH=180°；④线段AC，BH，CG可以组成直角三角形.上述结论中，所有正确结论的序号为（　　）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.分解因式ma2-4m= ______.
11.关于x的一元二次方程ax2-4x+2=0有两个相等的实数根，则实数a的值为 .
12.直线y=x与双曲线的两个交点的横坐标分别为m,n,则m+n= .
13.如表记录了某市一周的日最高气温和日最低气温.
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
最高气温/℃ 22 27 28 24 27 30 32
最低气温/℃ 18 15 14 14 16 19 18
这一周的日最高气温的方差为，日最低气温的方差为，则 .（填“＞”“=”或“＜”）
14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=60°，∠DAB=90°，C为的中点，则∠ACD= °.
15.如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE的延长线与DC的延长线相交于点F，连接DE.若AD=3，，则△DEF的面积为 .
16.某校举办的创新能力大赛共有5个环节.九年级代表队有A，B，C，D，E五名选手，每个人完成一个环节后获得的积分如表所示：
选手 积分（单位：分）
环节1 环节2 环节3 环节4 环节5
A 16 17 17 19 19
B 23 24 22 25 22
C 16 11 12 15 14
D 13 9 13 11 11
E 16 15 13 17 17
现要求每个人只完成一个环节.
（1）若A，B，C，D，E五名选手分别完成环节1，环节2，环节3，环节4，环节5，则九年级代表队共获得 分；
（2）若九年级代表队要获得最多积分，则选手B应完成环节 .
三、计算题：本大题共5小题，共26分。
17.计算：.
18.解不等式组：.
19.已知3m2-2m-7=0，求代数式（2m+1）（2m-1）-（m+1）2的值.
20.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3）和B（3，1）.
（1）求该函数的表达式；
（2）当0＜x＜2时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于0且小于函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.
21.在平面直角坐标系xOy中，过点P（p,0）作x轴的垂线与抛物线y=x2-x交于点M，与直线y=x交于点N（特殊地，当点M，N重合时，线段MN的长为0）.
（1）若p=1，求线段MN的长；
（2）已知实数m（m＞0），对于每一个确定的m的值，记0＜p≤m时线段MN长度的最大值为t,若存在m0，使得当m＞m0时，都有t随m的增大而增大，求m0的最小值.
四、解答题：本题共7小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=BC，BD为AC边上的高，E为AB边的中点，EF⊥BC，垂足为F，点H在线段FC上，FH=DE.
（1）求证：四边形DEFH是矩形；
（2）若BC=10，，求CD的长.
23.(本小题6分)
某公司为节能环保，购进了相同数量的A，B两种型号的节能灯.已知所有A型节能灯一年共用电15000度，所有B型节能灯一年共用电9000度，一台A型节能灯的平均年用电量比一台B型节能灯的平均年用电量的2倍少30度.求一台A型节能灯的平均年用电量.
24.(本小题5分)
某公司共有男员工800名，女员工500名，公司为了解员工的身体质量指数（BMI），从他们的体检数据中，随机抽取了40名男员工、25名女员工的BMI数据，并对数据进行了描述、分析，部分信息如下.
a.男员工BMI数据x的频数分布表如下：
x＜18.5 18.5≤x＜23.2 23.2≤x＜27.9 27.9≤x＜32.6 x≥32.6
人数 6 20 9 4 1
b.男员工BMI数据在23.2≤x＜27.9这一组的是：
23.3 23.4 24.1 25.2 25.6 26.3 26.4 27.3 27.8
c.女员工BMI数据是：
14.2 16.0 16.1 16.6 17.7 18.0 18.1 18.8 19.1 19.4
19.5 19.9 20.5 21.7 22.1 23.2 24.6 25.2 26.4 27.5
27.8 28.4 29.1 29.3 30.8
d.男、女员工BMI数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
男员工 23.625 22.6
女员工 22 m
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______；
（2）如果BMI在18.5-23.9（含18.5和23.9）范围内，表明体重较好.记该公司男员工体重较好的人数占男员工总人数的百分比为p,女员工体重较好的人数占女员工总人数的百分比为q,根据抽取的员工的BMI数据估计p______q（填“＞”“=”或“＜”）；
（3）公司把男、女员工BMI数据合并为一组数据，进行分析.
①估计该公司1300名员工BMI数据的平均数约为______；
②若公司计划对1300名员工中BMI数据较大的前20%的员工进行优先关注，那么估计被优先关注的男员工约有______人，被优先关注的女员工约有______人.
25.(本小题6分)
如图，AB，AC与⊙O分别相切于点B，C，连接CO并延长，交AB的延长线于点D，点E是OC的中点，点F在AE的延长线上，DE=DF.
（1）求证：∠EDF=2∠CAE；
（2）若∠BAC=60°，OC=2，求EF的长.
26.(本小题5分)
小明探究琴弦振动频率与弦长的关系.他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为f1（单位：Hz），2号弦的振动频率为f2（单位：Hz），部分数据如下：
L/cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100
f1/Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180
f2/Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240
通过分析数据，发现可以用函数刻画f1与L，f2与L之间的关系.
（1）在给出的平面直角坐标系中，画出函数f2的图象；
（2）当频率为450Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）；
（3）通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断：
①同一根琴弦，弦长越大频率越低；
②两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值；
③两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值；
④要使2号弦发出的声音比1号弦发出的声音高八度（2号弦的频率是1号弦的频率的2倍），两根琴弦的弦长比应为定值.
其中所有合理推断的序号是______.
27.(本小题7分)
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，D是平面内的一点（不与点A重合），连接AD，以A为中心，将线段AD顺时针旋转180°-2α，得到线段AE，连接EC.
（1）如图1，点D在边AB上，用等式表示∠DAE与∠BAC之间的数量关系（直接写出结果）；
（2）如图2，点D在△ABC外，延长EC到点F，使CF=EC，连接BF，BD，用等式表示∠DAE与∠DBF之间的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，P（x,y）是图形F上的任意一点，将点P向右（y≥0）或向左（y＜0）平移2|y|个单位长度，再向上（x≥0）或向下（x＜0）平移2|x|个单位长度，得到点P的对应点P′，所有的点P′组成的图形称为图形F的关联图形.能完全覆盖图形F和它的关联图形的最小的圆称为图形F和它的关联图形的最小覆盖圆（图形F和它的关联图形上的所有点都在圆上或内部，且该圆的半径最小）.
（1）点（1，0）的关联图形的坐标为______，点（-1，2）的关联图形的坐标为______；
（2）点（a,a+1）的关联图形的坐标为（m,n），用含m的代数式表示n：______；
（3）已知点A（x,y）在直线y=x-2上，点B（x+1，y+1），直接写出线段AB和它的关联图形的最小覆盖圆的半径r的最小值，及此时点A的坐标.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】x≠5
10.【答案】m（a+2）（a-2）
11.【答案】2
12.【答案】0
13.【答案】＞
14.【答案】15
15.【答案】3
16.【答案】80
4

17.【答案】．
18.【答案】3≤x＜4．
19.【答案】5．
20.【答案】y=-x+4 0＜m≤1
21.【答案】1
22.【答案】∵AB=BC，BD为AC边上的高，
∴AD=CD，
∵E为AB边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵FH=DE，
∴四边形DEFH是平行四边形，
∵EF⊥BC，
∴∠EFH=90°，
∴平行四边形DEFH是矩形 2
23.【答案】150度．
24.【答案】20.5 ＞ 23;160;100
25.【答案】过点D作DH⊥EF于H，
∵DE=DF，DH⊥EF，
∴∠EDF=2∠EDH，
∵AC是⊙O的切线，
∴DC⊥AC，
∴∠ACE=∠DHE，
∵∠AEC=∠DEH，
∴∠CAE=∠EDH，
∴∠EDF=2∠CAE
26.【答案】见解析 13（答案不唯一） ①③④
27.【答案】∠DAE=2∠BAC ∠ DAE+∠DBF=180°，证明如下：
如图，将△AEC沿AC翻折得到△APC，连接BP，
∴△AEC≌△APC，
∴AE=AP，CE=CP，∠EAC=∠PAC，∠ECA=∠PCA，
∵∠ACB=90°，CF=EC，
∴∠ECA+∠BCF=90°，∠PCA+∠BCP=90°，CF=CP，
∴∠BCP=∠BCF，
∴△BCF≌△BCP（SAS），
∴∠CBF=∠CBP，
∵∠ABC=α，∠CAB=90°-α，
∵∠DAE=180°-2α，
∴∠EAC+∠DAB=∠PAC+∠PAB=90°-α．
∴∠DAB=∠PAB．
∵AE=AD，
∴AP=AD，
∴△DAB≌△PAB（SAS），
∴∠DBA=∠PBA，
∴∠DBF=2∠ABC=2α，
∴∠DAE+∠DBF=180°
28.【答案】（1，2）;（3，0） n=m-1 ，
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