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2025-2026学年广东省广州市花都区广雅中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.如果复数的实部与虚部相等，那么a=（　　）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 4
2.已知半径为R的球的体积与表面积相等，则R=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则B的是（　　）
A. 15° B. 75° C. 15°或75° D. 60°或120°
4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、AE的中点，则=（　　）
A. -1
B. 1
C.
D.
5.如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置一个平面图形的直观图，其O′A′=6，O′C′=2，则原图形是（　　）
A. 正方形
B. 矩形
C. 菱形
D. 梯形
6.已知l,m,n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（　　）
A. 若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
B. 若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C. 若l∥α，l β，α∩β=m,则l∥m
D. 若m α，n α，l β，且m∥β，n∥l,则α∥β
7.重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许.我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为AB，在与点B同一水平面旁边小路上且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为30°，45°，60°，且CD=DE=6m,则木铎金声钟的高AB约为（　　）（参考数据：，，）
A. 5.20m B. 7.35m C. 8.20m D. 10.39m
8.已知平面向量，且，已知向量与所成的角为60°，且对任意实数t恒成立，则的最小值为（　　）
A. B. C. D. 1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1，z2，则下列命题正确的是（　　）
A. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2
B. 若，则
C. 若z1是非零复数，且，则z1=z2
D. 若z1是非零复数，则
10.如图，在△ABC中，M为BC边上的动点，N为AC边上的动点，线段AM、BN相交于点P.则下面说法正确的是（　　）
A. 若M、N分别为BC与AC中点，则
B. 若点O是平面内任意一点，且满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定过三角形的内心
C. 若，则
D. 若为BC中点，则的最大值为
11.在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA=l,底面圆的半径为r,圆锥SO的侧面积为3π，则（　　）
A. 当l=3时，
B. 当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C. 当l=3时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
D. 当l=3时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为 .
13.在复平面内，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C对应的复数分别是1+3i，-i，2+i，则点D对应的复数为 ．
14.记△ABC内角A，B，C的对边分别为a,b,c,=3，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求在上的投影向量.
16.(本小题15分)
如图，圆锥PO的底面半径是1，高是.
（1）过线段PO的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积与体积.
（2）若过线段PO上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求挖去的圆柱侧面积的最大值.
17.(本小题15分)
已知△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积.
（1）证明：C=2A；
（2）角C的平分线交AB于D点，且，求BD.
18.(本小题17分)
如图①，平面四边形ABCD由两个三角形拼接而成，其中AB⊥BD，BC⊥CD，∠A=∠DBC=60°，现以BD为轴将△ABD向上折起至位置A′，连结A′C得到如图②的三棱锥A′-BCD，M是A′B的中点，P是DM的中点，Q在A′C上，且A′Q=3QC.
（1）求证：PQ∥平面BCD；
（2）若平面DBC⊥平面A′BC，求证：CB⊥A′B；
（3）在（2）条件下，若A′B=2，求三棱锥A′-PMQ的体积.
19.(本小题17分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，满足b=2，.
（1）求A；
（2）若△ABC为锐角三角形，且外接圆圆心为O.
（i）求的取值范围；
（ii）求S△OBC-S△OAC取值范围（S△OAC、S△OBC分别表示△OAC和△OBC的面积）.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】28
13.【答案】3+5i
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】S=π，
17.【答案】，
C∈（0，π）且，则sinC＞0，
整理可得2acosC=b-a，
由边角转换可得2sinAcosC=sinB-sinA，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
则2sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC-sinA，得sin（C-A）=sinA，
所以C-A=A或C-A=π-A，
解得C=2A或C=π（舍），
所以C=2A
18.【答案】证明：如图，过P作PE∥A′B，且PE∩BD=E，
过Q作QF∥A′B，且QF∩BC=F，
因为P是DM中点，M是A′B的中点，
所以PE平行等于A′B，
又A′Q=3QC，所以QF平行等于A′B，
所以PE平行等于QF，
所以四边形PEFQ为平行四边形，
所以PQ∥EF，又PQ 平面BCD，EF 平面BCD，
所以PQ∥平面BCD 证明：若平面DBC⊥平面A′BC，又DC⊥BC，
且平面DBC∩平面A′BC=BC，
所以DC⊥平面A′BC，又A′B 平面A′BC，
所以A′B⊥DC，又A′B⊥DB，且DC∩DB=D，
所以A′B⊥平面BCD，又CB 平面BCD，
所以CB⊥A′B
19.【答案】 （ⅰ）（-2，-1）；（ⅱ）
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