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2025-2026学年甘肃省嘉峪关市酒钢第三中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则2+3=（　　）
A. （-2，-4） B. （-3，-6） C. （-5，-10） D. （-4，-8）
2.复数的共轭复数是（　　）
A. i+2 B. -2+i C. -2-i D. 2-i
3.设m∈R，复平面内表示复数z=2m+（m-3）i的点在直线x+y=0上，则z=（　　）
A. 2+2i B. 2-2i C. -2-2i D. -2+2i
4.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'顶点连接的向量中，与向量相等的向量有（　　）
A. 6个
B. 9个
C. 0个
D. 3个
5.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）
A. B. - C. 1 D. ﹣1
6.假设某美妙声波的传播曲线可用函数来描述，则该声波函数的最大值和最小正周期分别是（　　）
A. B. C. D.
7.已知在“斜二测”画法下，△ABC的直观图是一个边长为4的正三角形，则△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB=4，AC=6，N为边BC的中点，则=（　　）
A. 5
B. 10
C. 13
D. 26
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中，正确的是（　　）
A. 任意单位向量的模都相等．
B. 若A，B是平面内的两个不同的点，则=
C. 若向量∥，∥，则∥
D. 零向量与任意向量平行
10.已知A（3，2），B（5，4），C（6，7），则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为（　　）
A. （4，5） B. （8，9） C. （2，-1） D. （3，-1）
11.欧拉公式eθi=cosθ+isinθ（其中i为虚数单位，θ∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　）
A. B. 为纯虚数
C. 复数eπi的模长等于1 D. 的共轭复数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，与夹角是，则= .
13.已知tan（α-）=，则tanα= ．
14.i表示虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i2025+i2026= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=3+mi（m∈R），且（1+3i）z为纯虚数，
（1）求复数z；
（2）若z=（2-i）w，求复数w的模|w|．
16.(本小题15分)
已知向量=（1，3），=（-1，3），=（λ，2）．
（1）若=m+3，求实数m，λ的值；
（2）若（2+）⊥（-），求与2+的夹角θ的余弦值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，sin2C=sinC．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若b=6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
已知点M（sinxcosx,sin2x），，O为坐标原点，函数.
（1）求f（x）的解析式及最小正周期.
（2）三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,AD为∠BAC的角平分线，AB=2AC，BD=2.若，求△ACD的面积.
19.(本小题17分)
著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线称为欧拉线，该定理称为欧拉线定理.已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，且AB=6，AC=4.
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）若，求的值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】ABC
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】i
15.【答案】解：（1）由z=3+mi（m∈R），
得（1+3i）z=（1+3i）（3+mi）=（3-3m）+（9+m）i，
∵（1+3i）z为纯虚数，
∴3-3m=0且9+m≠0，
∴m=1．
∴z=3+i；
（2）z=（2-i）w，
得w=，
∴|w|=．
16.【答案】解：（1）由=m+3，
得（1，3）=（-m，3m）+（3λ，6），
即解得λ=0，m=-1；
（2）2+=（1，9），-=（-1-λ，1）；
因为（2+）⊥（-），所以-1-λ+9=0，
解得λ=8；
令=2+=（6，8），
则与2+的夹角θ的余弦值为
cosθ===．
17.【答案】解：（Ⅰ）∵sin2C=sinC，
∴2sinCcosC=sinC，
又sinC≠0，∴2cosC=，
∴cosC=，∵0＜C＜π，
∴C=；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为6，
∴absinC=6，
又b=6，C=，
∴×a×6×=6，
∴a=4，
又cosC=，
∴=，
∴c=2，
∴a+b+c=6+6，
∴△ABC的周长为6+6．
18.【答案】（1），最小正周期为π （2）或
19.【答案】 因为点G是△ABC的重心，所以，
故
=，
由欧拉线定理可知，重心G到外心O的距离是重心G到垂心H距离的一半，
即，
所以，
则
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