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2025-2026学年四川省内江市威远中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z=i（2+3i），则|z|=（　　）
A. -3 B. 2 C. D. 4
2.如图，在平行四边形ABCD中，点E满足，点F为CD的中点，则=（　　）
A. B. C. D.
3.在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（　　）
A. 88 B. 89 C. 90 D. 91
4.将函数y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象的函数解析式是（　　）
A. B.
C. D.
5.设，且，，则α+β=（　　）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,△ABC的面积记为S，且，则C=（　　）
A. B. C. D.
7.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2026年2月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（　　）
A. 若调查的游客中青年人有225人，则一共调查了500人
B. 估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%
C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有12人，则中年人有21人
D. 估计2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半
8.在直角三角形ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则取值范围为（　　）
A. [4，6] B. C. [2，4] D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知i为虚数单位，复数z满足z（2-i）=3+4i,则（　　）
A. z在复平面内对应的点在第一象限 B. z的虚部为
C. |z|=5 D.
10.向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（　　）
A. B. 与的夹角为
C. D. 在上的投影向量为
11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=4ccosB，则下列说法正确的是（　　）
A. b2=a2+2c2
B. tanB=3tanC
C. 若△ABC是直角三角形，则a=2c
D. 若△ABC是锐角三角形，P是线段AC上一点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量，若，则实数λ的值为 .
13.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为______．
14.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a+b=8且，若△ABC面积为4，则tanC= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量.
（1）求；
（2）若，求实数k的值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）= ，向量.
（1）求函数f（x）的周期及其单调递增区间；
（2）当，求函数f（x）的值域.
17.(本小题15分)
某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；
（3）估计这次考试的众数、平均数及78分以上的人数.
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,向量，，且.
（1）求角A；
（2）若，b=4，求△ABC的面积；
（3）若a=6，求b+c的最大值.
19.(本小题17分)
人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），则曼哈顿距离为：d（A，B）=|x1-x2|+|y1-y2|，余弦相似度为：，余弦距离为1-cos（A，B）.
（1）若A（-1，2），，求A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离；
（2）已知M（sinα，cosα），N（sinβ，cosβ），Q（sinβ，-cosβ），若，，求tanαtanβ的值；
（3）已知，M（5cosα，5sinα）、N（13cosβ，13sinβ），P（5cos（α+β），5sin（α+β）），若，，求M、P之间的曼哈顿距离.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】BCD
11.【答案】BCD
12.【答案】6
13.【答案】（30+30）m
14.【答案】
15.【答案】；
6．
16.【答案】T=π，f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
函数f（x）的值域为[-，2]．
17.【答案】a=0.005 10，15 众数：75 分；平均数：76.5 分；47人
18.【答案】 12
19.【答案】解：（1），
==，则余弦距离等于；
（2）=sinαsinβ+cosαcosβ=①；
=②，
则①+②得，①-②得，则．
（3）∵，，
∴=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=cosβ=．
∵，∴．
∵，
∴=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=．
∵，则，
∴．
∵，
，∴M（3，4）．
∵，
，
∴．
∵，
∴M、P之间的曼哈顿距离是．
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