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2025-2026学年上海市奉贤中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.角α满足，则tanα=（　　）
A. B. C. D.
2.在平行四边形ABCD中，E为AB中点，F为BC上一点，且，则=（　　）
A. B. C. D.
3.已知函数f（x）=|cosx|+sinx,则以下结论正确的个数为（　　）
①函数f（x）最小正周期是π；
②函数f（x）最大值与最小值距离为；
③函数f（x）在区间上是严格减函数；
④对任意x∈R，使得“f（x）=f（a-x）”成立的充要条件是“a=kπ（k∈Z）”.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.已知函数在上单调递增，且当时，f（x）≤0，则ω的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若，则α= .
6.已知角α的终边经过点P（4，-3），则=
7.已知，且，则a= .
8.已知，则= .
9.已知向量=（-3，4），，向量在向量上的投影为 .
10.已知角α的终边经过点P（-1，m），sinα=，则m的值为 .
11.函数，则f（x）的最小值为 .
12.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一部分图象如图所示，则φ= .
13.已知复数z满足|z+i|=|z-i|，则|z+1+2i|的最小值为 .
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且3a=bcosC-ccosB，则的最小值是 .
15.如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成.已知AB=BF=1，设O为等边三角形ABC内一点（含边界），若，则λ的取值范围为 .
16.定义对于点A（x1，y1），B（x2，y2）的三角距离为，记点M，N分别位于函数与函数g（x）=xcosx（x＞0）上，则d（M，N）的最大值为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知复数z=（m2-8m+15）+（m2-5m-14）i.
（1）若复数z是实数，求实数m的值；
（2）若在复平面内，复数z表示的点在第四象限，求实数m的取值范围.
18.(本小题14分)
已知向量，记函数.
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若f（A）=1，a=2，求△ABC面积的最大值.
19.(本小题14分)
目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m,该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm,且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？参考数据：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6，sin45°=0.7，sin127°≈0.8.
20.(本小题18分)
如图所示，在△ABC中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点，过点O的直线与线段AB，AC分别交于点E，F，设，.
（1）当EF∥BC时，请用与表示；
（2）求证：2λ+μ为定值；
（3）设△AEF的面积为S1，△ABC的面积为S2，求的最小值.
21.(本小题18分)
已知定义域为R的函数f（x）满足：对于任意的x∈R，都有f（x+2π）=f（x）+f（2π），则称函数f（x）具有性质P.
（1）设函数y=f（x），y=g（x）的表达式分别为f（x）=sinx+x,g（x）=cosx,判断函数y=f（x）与y=g（x）是否具有性质P，说明理由；
（2）已知函数具有性质P，求函数F（x）=|f（x）|+2sinx在[0，2026π]上零点的个数；
（3）在（2）的条件下，将函数f（x）向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数h（x），已知函数g（x）=[h（x）]2-2ah（x）+a2-1在上有3个零点，求实数a的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】±2
8.【答案】
9.【答案】-3
10.【答案】2
11.【答案】-
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】m=-2或m=7 （-2，3）∪（5，7）
18.【答案】T=π
19.【答案】解：（1）由题意可知，∠BCD=37°，∠ACD=45°，∠ACB=8°，A=45°，
在△ABC中，，
所以，
在Rt△BCD中，BD=BC sin∠BCD≈250×0.6=150，
所以山高BE=150+1.5=151.5m；
（2）由题意知∠ACD=β，∠BCD=α，且，
则，
在Rt△BCD中，，
在Rt△ACD中，，
则=，
当且仅当，即时，取等号，
所以tan∠ACB取得最大值时，，
又因为，所以此时∠ACB最大，
所以当时，∠ACB最大．
20.【答案】=+ 因为，，
所以，，
由（1）知，=+，
所以=+，
所以=+，
又E，O，F三点共线，
所以+=1，
化简得2λ+μ=3，为定值
21.【答案】y=f（x）具有性质P，y=g（x）不具有性质P，理由见解析 2027个
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