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2025-2026学年贵州省毕节市织金县第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x|x2＜3}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（　　）
A. {-1，0} B. {0，1} C. {-1，0，1} D. {-1，1}
2.已知z=1+i,计算=（　　）
A. -i B. i C. -1 D. 1
3.sin15°+cos15°的值为（　　）
A. B. C. D.
4.已知命题p：，，则命题p的否定为（　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（　　）
A. B. 2π C. D.
7.下列命题中，正确的是（　　）
A. 若直线a与平面α平行，则a平行于α内的任何直线
B. 若两直线a,b都与平面α平行，则a∥b
C. 若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则a∥b
D. 若直线l与平面α平行，则平面α内有无数条直线与l平行
8.已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若a＞b＞0且c≠0，则下列不等式正确的是（　　）
A. a3＞b3 B. C. D. ac2＞bc2
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若a=3，b=2，，则A的值可以是（　　）
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CC1，C1D1的中点，Q是线段D1A1上的动点，则下列说法中正确的是（　　）
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使PQ∥平面MBN
C. 三棱锥N-BCD的体积为
D. 此正方体外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则k= .
13.已知i是虚数单位，则||= .
14.
如图，小明为了测量河对岸的塔高AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠ACB=30°，∠ADB=45°，∠BDC=135°，，则塔高AB= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量=（1，2），=（-3，4）．
（I）求向量与向量夹角的余弦值
（II）若⊥（），求实数λ的值．
16.(本小题15分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点.
（1）求证：BC∥平面PAD；
（2）M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：AP∥HG.
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=4，C=，AD=.
（1）求角B的大小；
（2）求△ACD的面积.
18.(本小题17分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证：
（1）平面EFG∥平面BDD1B1；
（2）A1S⊥平面EFG.
19.(本小题17分)
意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年雅各布 伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰 伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案.至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.记双曲正弦函数为f（x），双曲余弦函数为g（x），已知这两个最基本的双曲函数为，.
（1）对任意实数x,[f（x）]2-[g（x）]2是否为定值，若是定值，请求出定值；
（2）证明：两角和的双曲余弦公式g（x+y）=g（x）g（y）+f（x）f（y）；
（3）证明：F（x）=f（x）+g（x）+ln[f（x）+g（x）]-2有唯一的正零点x0，并比较x0和的大小.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】AD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】5+5
15.【答案】解：（Ⅰ）-=（4，-2），=（-3，4）
∴==；=5；（-）=4×（-3）+（-2）×4=-20，
∴设向量与向量夹角为θ，
则cosθ===-；
（Ⅱ）由题知-）=0
∴-λ =0；又 =-3+8=5，=5．
∴5-5λ=0，
∴λ=1．
16.【答案】证明见解析．
证明见解析．
17.【答案】解：（1）由于AB=3，BD=4，AD=，
在△ABD中，cosB===，
又B∈（0，π），
可得B=;
（2）由（1）可知B=，C=，所以∠BAC=，
又AB=3，所以AC=3，BC=6，
由BD=4，可知DC=2，
所以S△ACD=AC DC sinC==．
18.【答案】连接SD，SB，
∵F，G分别是DC，SC 的中点，
∴FG∥SD，
又SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
同理可得EG∥平面BDD1B1，
又EG∩FG=G，EG，FG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面BDD1B1 在正方形A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，
∴A1S⊥B1D1，
又BB1⊥平面A1B1C1D1，A1S 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1S，
而BB1∩B1D1=B1，BB1，B1D1 平面BDD1B1，
∴A1S⊥平面BB1D1D，
又平面EFG∥平面BDD1B1，
∴A1S⊥平面EFG
19.【答案】（1）为定值，定值为-1 （2）证明：由题意两个最基本的双曲函数为，，
可得
==，
又，即有g（x+y）=g（x）g（y）+f（x）f（y），得证 （3）证明：依题意可得F（x）=f（x）+g（x）+ln[f（x）+g（x）]-2=ex+lnex-2=ex+x-2，
因为y=ex，y=x-2在R上均单调递增，
易知F（x）=ex+x-2在R上单调递增，
且，即，
由零点存在定理可得F（x）在上存在唯一实数x0，使得F（x0）=0，
可得F（x）有唯一的正零点x0，且，，
可得，两边同时取对数可得x0=ln（2-x0），
所以，
因为在上单调递增，
所以，
因此，
可得
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