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2025-2026学年黑龙江省齐齐哈尔市九校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.函数在区间[1，4]上的平均变化率为（　　）
A. 4 B. 12 C. -4 D. -12
2.已知数列{an}满足，则a3=（　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
3.在等差数列{an}中，a5=26，a9=10，则a13=（　　）
A. -16 B. -6 C. 2 D. 6
4.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.在等比数列{an}中，a1+a2=25，a3+a4=50，则a5+a6=（　　）
A. 150 B. 125 C. 100 D. 75
6.已知函数f（x）=-x3+x2-mx在定义域上不是单调函数，则实数m的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
7.某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多d个座位，前5排，中5排，后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70，95，则此电影放映厅的座位总数为（　　）
A. 120 B. 210 C. 285 D. 495
8.已知，则（　　）
A. a＞c＞b B. a＞b＞c C. c＞b＞a D. b＞a＞c
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面导数运算正确的是（　　）
A. B.
C. （xsinx）′=sinx+xcosx D.
10.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a7＜0，a5＞0，则（　　）
A. a1＜0 B. S10＜0
C. 与{an}的公差相等 D. Sn取得最小值时n=4
11.已知无穷数列{an}，且an＞1，，记数列{an}的前n项积为Tn，则（　　）
A.
B.
C. 当n＞m＞k（k,m,n∈N ）时，
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列{an}的前n项和Sn=（-5）n-1+3，则a6= .
13.已知函数f（x）=x2+3x-f′（0）sin2x,则f′（0）= .
14.已知数列{an}的通项公式为an=[log2n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[-2.3]=-3，则a1+a2+a3+ +a2025= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=lnx-ax2（a∈R），且.
（1）求a的值；
（2）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程.
16.(本小题15分)
在数列{an}中，.
（1）证明：是等差数列；
（2）设bn=anan+1，求数列{bn}的前n项和.
17.(本小题15分)
已知函数在x=-1处取得极大值.
（1）求a,b的值；
（2）求函数f（x）的零点的个数.
18.(本小题17分)
设{an}是等差数列，{bn}是公比大于0的等比数列，其中a1+1=b1=2，a2+b2=7，b3-2a2=2.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令，记数列{cn}前n项和为Tn.
（i）求Tn；
（ii）若对任意的n∈N*，均有恒成立，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex+asinx+blnx+cx-2，a,b,c∈R.
（1）若a=b=0，讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若a=c=0，b=-1，证明：f（x）＞0；
（3）当a=1，b=0，c=-e时，若，且f（x1）=f（x2），f（x）在x=m（m＞0）处取得极值，求证：x1+x2＜2m.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】-3750
13.【答案】1
14.【答案】18214
15.【答案】a=2 3 x+y-1=0
16.【答案】（1）由，
可得，
即，且=2，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列 （2）
17.【答案】a=-1，b=-3 1
18.【答案】an=2n-1， （i）（ii）
19.【答案】当c≥-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当c＜-1时，f（x）在（0，ln（-c））上单调递减，f（x）在（ln（-c），+∞）上单调递增 证明：若a=c=0，b=-1，则f（x）=ex-lnx-2的定义域为（0，+∞），且，
因为在（0，+∞）上单调递增，则在（0，+∞）上单调递增，
且，
可知存在，使得f′（x0）=0，即，
当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0；可知f（x）在（0，x0）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增，
则，
因为，可得，
则，
当且仅当，即x0=1时，等号成立，
但，等号不成立，可得f（x）＞0，
所以a=c=0，b=-1时，f（x）＞0 证明：当a=1，b=0，c=-e时，f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）=ex+cosx-e，
令g（x）=f′（x），x＞0，则g′（x）=ex-sinx，
当x∈（0，+∞）时，ex＞1，sinx≤1，则g′（x）=ex-sinx＞0，
可知g（x）在（0，+∞）内单调递增，即f′（x）在（0，+∞）内单调递增，
且，
可知存在，使得f′（m）=0，即em+cosm-e=0，
当x∈（0，m）时，f′（x）＜0；当x∈（m，+∞）时，f′（x）＞0；可知f（x）在（0，m）内单调递减，在（m，+∞）内单调递增，
所以x=m是f（x）的极小值点；因为，且f（x1）=f（x2），
不妨设x1＜x2，则，
要证x1+x2＜2m，即证x2＜2m-x1，
因为0＜x1＜m，则m＜2m-x1＜2m＜π，
又因为f（x）在（m，+∞）上单调递增，且f（x1）=f（x2），
因此只要证f（x1）=f（x2）＜f（2m-x1），
设h（x）=f（x）-f（2m-x）（0＜x＜m），则h（x）=ex+sinx-ex-e2m-x-sin（2m-x）+e（2m-x），
可得h′（x）=ex+e2m-x+cosx+cos（2m-x）-2e，
令φ（x）=h′（x）（0＜x＜m），则φ′（x）=ex-e2m-x-sinx+sin（2m-x），
设λ（x）=φ′（x）=ex-e2m-x-sinx+sin（2m-x）（0＜x＜m），
则λ′（x）=ex+e2m-x-cosx-cos（2m-x）＞1-cosx+1-cos（2m-x）≥0，
可知λ（x）在（0，m）上单调递增，即φ′（x）在（0，m）上单调递增，
则φ′（x）≤φ′（m）=0，可知φ（x）=h′（x）在（0，m）上单调递减，
则h′（x）＞h′（m）=0，可知h（x）在（0，m）上单调递增，可得h（x）＜h（m）=0，
所以x∈（0，m）时，f（x）＜f（2m-x），
又因为0＜x1＜m，所以f（x1）＜f（2m-x1）成立．
综上所述，x1+x2＜2m
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