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2025-2026学年广东省惠州市大亚湾经济技术开发区第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导运算中，正确的一项是（　　）
A. （a ex）′=（a+1）ex B. （cosx）′=sinx
C. D.
2.已知，，则P（B|A）=（　　）
A. B. C. D.
3.若函数f（x）=6x3-2f′（1）x,则f′（1）=（　　）
A. 3 B. 6 C. -6 D. -3
4.在的展开式中，常数项为（　　）
A. 15 B. 30 C. -15 D. -30
5.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻，丙和丁也相邻的排列共有多少种（　　）
A. 120 B. 48 C. 24 D. 12
6.高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（　　）
A. B. C. D.
7.函数在[-π，π]的图象大致为（　　）
A. B.
C. D.
8.已知函数，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（　　）
A. B. [1，+∞） C. D. [2，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数f（x）的定义域为R，它的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）有三个极值点
B. f（-2）＞f（-1）
C. 函数f（x）在（-1，1）上单调递增
D. x=-1是f（x）的极小值点
10.已知m,n为正整数，且m＜n,下列等式正确的是（　　）
A. .
B.
C.
D.
11.已知f（x）=（2x-1）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则下列描述正确的是（　　）
A. a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1
B. a3+a4＞0
C. |a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=37+1
D. a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7=14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，则n的值______．
13.过点（0，-4）作函数图像的切线，则切线方程为 .
14.若函数f（x）=ex（x2-ax+b）在x=0处取得极大值，则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
结合排列组合，解决下列问题.（结果用数字作答）
（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3-3x2+4.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间中的最大值.
17.(本小题15分)
在的展开式中，求：
（1）第3项的二项式系数及系数；
（2）奇数项的二项式系数和；
（3）求系数绝对值最大的项.
18.(本小题17分)
已知函数（a∈R且a≠0）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
19.(本小题17分)
定义：若函数f（x）与g（x）在公共定义域内存在x1，x2，…，xn（x1，x2，…，xn互不相等，n∈N+），使得f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），…，f（xn）=g（xn），则称f（x）与g（x）为“n阶相似函数”，x1，x2，…，xn称为f（x）与g（x）的“n阶相似点”.
（1）已知a＞0，函数，g（x）=4x-4，判断函数f（x）与g（x）是否为“三阶相似函数”，并说明理由.
（2）已知函数f（x）=lnx+lnm-x,，f（x）与g（x）为“二阶相似函数”，x1，x2称为f（x）与g（x）的“二阶相似点”.
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：x1+x2＞2.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】CD
11.【答案】AD
12.【答案】2
13.【答案】2x-y-4=0
14.【答案】（2，+∞）
15.【答案】解：（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有34=81种放法；
（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，
则将4封信分成1，1，2三组，有=6组，再分给三个信箱，有6=36种放法；
（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，
先确定一组序号相同有=4种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有4×2=8种放法．
16.【答案】f（x）在区间（-∞，0）和（2，+∞）上单调递增，在区间上（0，2）单调递减．
4．
17.【答案】解：展开式的通项公式为T=C，r=0，1，…，6，
（1）由通项公式可得第3项的二项式系数为C，系数为C=240；
（2）奇数项的二项式系数和为25=32，
（3）展开式的各项的系数的绝对值为Sr+1=C，r=0，1，…，6，
设第r+1项的系数绝对值最大，则，
解得，则r=2，
所以系数的绝对值最大的项为T=240x.
18.【答案】解：（1）因为，
当a＜0时，x-a＞0，x∈（0，1）时f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）单调递减；x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）单调递增；
当0＜a＜1时，x∈（0，a）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，a）和（1，+∞）单调递增，x∈（a,1）时，f′（x）＜0，f（x）在（a,1）单调递减；
当a=1时，f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞1时，x∈（0，1）∪（a,+∞），f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）和（a,+∞）上单调递增，x∈（1，a）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，a）单调递减；
综上可得，当a＜0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）和（1，+∞）单调递增，在（a,1）单调递减；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞1时，f（x）在（0，1）和（a,+∞）上单调递增，在（1，a）单调递减．
（2）当a＜0时，由（1）可知x=1是f（x）唯一的极小值点，且，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点；，
所以f（x）在（0，1）上有唯一零点，符合题意；
当0＜a＜1时，由（1）可知x=a为f（x）极大值点，
且，所以不符题意；
当a=1时，f（x）在（0，+∞）单调，不符题意；当a＞1时，由（1）可知，x=1为函数f（x）极大值点，且，不符题意．
综上所述，a＜0，即实数a的取值范围是（-∞，0）．
19.【答案】函数f（x）与g（x）为“三阶相似函数”，理由见解析；
（i）（e，+∞）；
（ii）证明见解析．
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