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沪科版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.3.1几何问题与行程问题第3章一元一次方程沪科版七年级上册3.3.1几何问题与行程问题练习题本次练习题对应沪科版七年级上册3.3.1核心知识点，是一元一次方程实际应用的基础必考题型，分为几何图形问题和行程问题两大模块。几何模块涵盖长方形、正方形周长与面积、边长变化、等积变形问题；行程模块包含相遇问题、追及问题、匀速行走基础问题。重点突破找不准等量关系、公式套用错误、行程路程关系混淆、单位不统一等高频易错点，掌握方程解应用题的标准解题步骤。一、选择题（每题4分，共20分）1.一个长方形周长为30cm，长为x cm，宽为5cm，列方程正确的是（）A. $$x+5=30$$ B. $$2(x+5)=30$$ C. $$2x+5=30$$ D. $$x+2\times5=30$$2.甲乙两人相向而行，甲速度4km/h，乙速度5km/h，两人1小时相遇，两人初始距离为（）A. 9km B. 1km C. 20km D. 4km3.正方形边长增加2cm，周长增加（）A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 6cm4.追及问题核心等量关系正确的是（）A.快者路程－慢者路程＝初始距离B.快者路程＋慢者路程＝初始距离C.快者速度－慢者速度＝路程D.快者路程＝慢者速度5.长方形长是宽的2倍，周长24cm，设宽为x cm，方程为（）A. $$2(x+2x)=24$$ B. $$x+2x=24$$ C. $$2x+x=12$$ D. $$2\times2x+x=24$$二、填空题（每题4分，共20分）1.长方形周长公式：周长＝________；正方形周长公式：周长＝________。2.行程问题基本公式：路程＝________×________。3.相遇问题等量关系：甲路程＋乙路程＝________。4.一个长方形宽为x cm，长比宽多3cm，周长为________cm（含代数式）。5.甲每分钟走60m，乙每分钟走50m，同时同地出发，同向行走，1分钟后甲乙相距________m。三、解答题（共60分，规范写解、设、列方程、求解、答）1.（20分）几何图形应用题（1）一个长方形周长是48cm，已知长是宽的3倍，求长方形的长和宽。（2）一个正方形边长增加3cm，周长变为40cm，求原正方形的边长。2.（20分）相遇问题应用题甲乙两车从相距180km的两地相向而行，甲车速度50km/h，乙车速度40km/h，两车同时出发，几小时后相遇？3.（20分）追及问题应用题甲乙两人在同一条道路上同向行走，甲先出发2分钟，每分钟走60m，乙每分钟走80m，乙出发几分钟后可以追上甲？参考答案与详细解析一、选择题1.B 2.A 3.C 4.A 5.A解析：几何问题紧扣周长、面积公式；行程问题区分相遇、追及核心等量关系，杜绝公式混淆、路程关系颠倒。二、填空题1. $$2\times(长+宽)$$、$$4\times边长$$ 2.速度、时间3.总路程（两地距离）4. $$4x+6$$ 5. 10三、解答题1.解：（1）设长方形的宽为$$x$$ cm，则长为$$3x$$ cm。根据长方形周长公式列方程：$$2(x+3x)=48$$化简得：$$8x=48$$，解得：$$x=6$$长：$$3\times6=18$$（cm）答：长方形长为18cm，宽为6cm。（2）设原正方形边长为$$x$$ cm，则新边长为$$(x+3)$$ cm。列方程：$$4(x+3)=40$$化简得：$$x+3=10$$，解得：$$x=7$$答：原正方形边长为7cm。2.解：设$$x$$小时后两车相遇。相遇总路程＝甲路程＋乙路程，列方程：$$50x+40x=180$$合并得：$$90x=180$$，解得：$$x=2$$答：2小时后两车相遇。3.解：设乙出发$$x$$分钟后追上甲。追及时，甲总行走时间：$$(x+2)$$分钟追上时两人路程相等，列方程：$$80x=60(x+2)$$去括号：$$80x=60x+120$$移项合并：$$20x=120$$，解得：$$x=6$$答：乙出发6分钟后追上甲。本节核心公式与解题模板（必背）1.几何问题核心长方形周长$$C=2(a+b)$$，正方形周长$$C=4a$$；几何方程关键：利用公式找等量。2.行程问题核心基础公式：$$s=vt$$相遇问题：路程和＝总距离追及问题：路程差＝初始距离（同地不同时：两人路程相等）高频易错汇总1.几何周长计算漏乘2，长和宽关系列式颠倒；2.行程问题分不清相遇、追及的等量关系；3.同地追及问题，遗漏先行时间，导致路程列式错误；4.应用题不写“解、设、答”，步骤不完整扣分。会用一元一次方程解决关于等积变形与行程的实际问题.
掌握列方程解应用题的一般步骤.
能体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立方程模型.
常见几何体的体积、面积公式：
（1）长方体的体积=长×宽×高；
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长；
（3）圆柱的体积=底面积×高；
（4）长方形的面积=长×宽；
（5）正方形的面积=边长×边长；
（6）梯形的面积= (上底+下底)×高.
一、教学基本信息
1. 授课年级：七年级上册
2. 课时安排：1课时（45分钟）
3. 授课内容：运用一元一次方程解决几何图形的边长、周长、面积相关问题，以及行程问题中的相遇、追及问题
4. 授课教师：[教师姓名]
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 能准确分析几何问题（如长方形、正方形、三角形等）中的数量关系，熟练运用图形的周长、面积公式建立一元一次方程。
2. 掌握行程问题的核心数量关系（路程=速度×时间），能区分相遇问题和追及问题的不同特征，并列方程求解。
3. 提升“审、设、列、解、验、答”的应用题解题能力，强化方程建模思想。
（二）过程与方法
1. 通过实例分析，经历“实际问题—提炼等量关系—建立方程—求解验证”的完整过程，培养抽象概括和逻辑推理能力。
2. 在对比几何问题与行程问题的解题思路中，总结一元一次方程应用的通用方法，养成有序思考的习惯。
（三）情感态度与价值观
1. 感受方程在解决实际问题中的工具性作用，体会数学与生活、几何与代数的紧密联系，激发学习兴趣。
2. 在复杂问题的分析与解决中，培养耐心和严谨的思维品质，提升克服困难的信心。
三、教学重难点
1. 教学重点：几何问题中周长、面积公式的准确运用及等量关系提炼；行程问题中相遇、追及模型的建立与方程列写。
2. 教学难点：几何问题中图形变形后的数量关系分析；行程问题中“同时出发”“不同时出发”“相遇后继续行驶”等复杂情境的梳理。
四、教学准备
多媒体课件（含几何图形示意图、行程问题线段图）、几何公式卡片、行程问题情境动画、练习题单
五、教学过程
（一）情境导入，激活经验（5分钟）
1. 呈现两个生活情境：
（1）几何情境：小明用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，已知长比宽多2cm，这个长方形的长和宽各是多少？
（2）行程情境：小红和小丽分别从相距1200米的两地同时出发，相向而行，小红每分钟走60米，小丽每分钟走40米，几分钟后两人相遇？
2. 引导提问：“这两个问题分别涉及什么数学知识？能否用我们学过的一元一次方程解决？”
3. 引出课题：今天我们就来学习一元一次方程在几何问题和行程问题中的应用，掌握用方程解决这类实际问题的方法。
（二）探究新知，突破几何问题（12分钟）
1. 回顾几何公式，明确等量关系
出示常用几何公式卡片：长方形周长=2×(长+宽)，正方形周长=4×边长，长方形面积=长×宽，三角形面积=底×高÷2。强调：几何问题的等量关系通常隐藏在“周长不变”“面积相等”“边长关系”等条件中。
2. 典型例题讲解：周长问题
例1：用一根长48cm的铁丝围成一个正方形，若将这根铁丝重新围成一个长比宽多6cm的长方形，求长方形的长和宽。
引导学生分析“审、设、列、解、验、答”步骤：
① 审：明确已知条件（铁丝长48cm，即长方形周长=48cm；长-宽=6cm），未知量（长方形的长和宽）。
② 设：设长方形的宽为x cm，则长为(x + 6)cm（设较小量为x，简化计算）。
③ 列：根据长方形周长公式列方程，等量关系：2×(长+宽)=周长，即2[x + (x + 6)] = 48。
④ 解：解方程：2(2x + 6) = 48 → 4x + 12 = 48 → 4x = 36 → x = 9。则长为9 + 6 = 15(cm)。
⑤ 验：验证周长：2×(15 + 9)=48cm，与铁丝长度一致，符合题意。
⑥ 答：长方形的长为15cm，宽为9cm。
3. 变式练习：面积问题
例2：一个长方形花园，长是宽的2倍，若将长减少3m，宽增加3m，就变成一个正方形。求原来长方形花园的面积。
引导画图分析：设宽为x m，则长为2x m，根据“长-3=宽+3”（正方形边长相等）列方程：2x - 3 = x + 3，解得x=6，长=12m，面积=12×6=72(m )。
强调：几何问题中，画图是梳理数量关系的重要工具，能直观呈现边长、周长、面积的联系。
（三）探究新知，突破行程问题（15分钟）
1. 明确核心关系，分类建模
核心公式：路程=速度×时间（变形：速度=路程÷时间，时间=路程÷速度）。
分类梳理：
（1）相遇问题：两人从两地相向而行，总路程=甲走的路程+乙走的路程；若同时出发，两人行驶时间相等。
（2）追及问题：两人同向而行，追及路程=快者走的路程-慢者走的路程；若同地不同时出发，慢者行驶时间=快者行驶时间+先出发时间。
强调：行程问题常用“线段图”表示路程关系，清晰直观。
2. 典型例题1：相遇问题
例3：A、B两地相距240km，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行65km，乙车每小时行55km，几小时后两车相遇？
线段图辅助：画线段表示A、B两地距离240km，甲从A出发，乙从B出发，相遇时两人路程和为240km。
解题步骤：
① 设：设x小时后两车相遇。
② 列：甲车路程=65x，乙车路程=55x，等量关系：65x + 55x = 240。
③ 解：120x = 240 → x = 2。
④ 验：2小时甲车走130km，乙车走110km，和为240km，符合题意。
⑤ 答：2小时后两车相遇。
3. 典型例题2：追及问题
例4：小明和小亮在环形跑道上跑步，跑道一圈长400m，小明每分钟跑200m，小亮每分钟跑160m，两人同时从同一地点同向出发，经过几分钟小明第一次追上小亮？
分析：追及时，小明比小亮多跑一圈（400m），等量关系：小明路程 - 小亮路程 = 400。
解题步骤：
① 设：设经过x分钟小明第一次追上小亮。
② 列：200x - 160x = 400。
③ 解：40x = 400 → x = 10。
④ 答：经过10分钟小明第一次追上小亮。
4. 变式练习：不同时出发的相遇问题
例5：A、B两地相距180km，甲车从A地出发，每小时行60km，1小时后乙车从B地出发，每小时行40km，乙车出发后几小时与甲车相遇？
引导分析：甲车先出发1小时，行驶了60km，剩余路程120km为两车同时行驶的路程和。设乙车出发后x小时相遇，方程：60x + 40x = 180 - 60，解得x=1.2。
（四）巩固练习，强化提升（10分钟）
1. 几何题：一个正方形的边长增加3cm，面积就增加39cm ，求原正方形的边长。（提示：画图表示面积变化）
2. 相遇问题：甲、乙两人分别从相距900米的两地出发，相向而行，甲每分钟走50米，乙每分钟走40米，甲先出发2分钟后乙才出发，乙出发后多久两人相遇？
3. 追及问题：一辆客车从甲地开往乙地，每小时行70km，同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行50km，经过3小时两车相距120km（未相遇），求甲、乙两地的距离。
学生独立完成，指名板演，集体订正时重点讲解几何图形变形的面积关系、行程问题中“先出发”“未相遇”等情境的等量关系梳理。
（五）课堂小结，梳理方法（2分钟）
1. 几何问题解题关键：牢记图形公式，通过画图梳理边长、周长、面积的数量关系，找准等量关系（如周长不变、边长相等）。
2. 行程问题解题关键：抓住“路程=速度×时间”，用线段图分析，区分相遇（路程和=总路程）和追及（路程差=追及距离）模型。
3. 通用步骤：审（找条件）→ 设（未知数）→ 列（方程）→ 解（方程）→ 验（题意）→ 答（规范）。
（六）布置作业，拓展延伸（1分钟）
1. 必做题：教材对应习题，巩固几何问题和行程问题的方程求解。
2. 选做题：设计一个包含几何或行程问题的生活场景，写出题目，画出示意图（线段图或几何图形），列方程并求解，说明你提炼等量关系的思路。
六、板书设计
3.3.1 几何问题与行程问题
一、几何问题
1. 核心公式：长方形周长=2(长+宽)，面积=长×宽
2. 例1：设宽x cm，长(x+6)cm → 2[x+(x+6)]=48 → x=9，长=15
二、行程问题
1. 核心公式：路程=速度×时间
2. 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程（例3：65x+55x=240→x=2）
3. 追及问题：快路程-慢路程=追及距离（例4：200x-160x=400→x=10）
三、通用步骤：审→设→列→解→验→答
七、教学反思
本节课通过生活情境导入，结合画图和线段图辅助分析，有效降低了几何问题和行程问题的抽象性。在例题设计上，从基础模型到变式练习，梯度清晰，帮助学生逐步掌握解题方法。但部分学生在复杂情境（如不同时出发的相遇、图形面积变形）中，仍存在等量关系找不准的问题。后续教学中，需增加“情境拆解”专项训练，引导学生将复杂问题分解为简单要素；同时，强化画图能力的培养，让学生养成“遇几何、行程问题先画图”的习惯，通过直观图形提升等量关系提炼的准确性。
1
等积变形问题
例1 如图，用直径为 200 mm 的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为 300 mm、300 mm 和 90 mm 的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积 = 底面积 高线长. 计算时 取 3.14. 要求结果误差不超过 1 mm）？
合作探究
200
x
90
300
300
问题1 试比较锻造前面后的立体图形，填写下表：
锻压前圆柱体钢 锻压后长方体钢
底面半径 ____________ 底面面积 ____________
高 ____________ 高 ____________
体积 ____________ 体积 ____________
100
x
π×(100)2x
90000
90
8100000
问题2 分析题意，你能找到什么等量关系？
等量关系：圆钢体积 = 长方体毛胚的体积
问题3：如何根据等量关系“圆钢体积 = 长方体毛胚的体积”列出方程？
根据等量关系列出方程，得
解方程，得 x≈258.
答：应截取 258 mm 长的圆柱体钢.
等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变
π×(100)2x＝8100000
归纳总结
实际问题
数学问题
一元一次方程
数学问题的解
一元一次方程的解
解方程
实际问题的答案
找等量关系，列方程
抽象为数学模型
回归于实际问题
检验
你能总结出列一元一次方程解实际问题的一般步骤吗？
合并同类项
系数化 1
典例精析
例2 如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为 4 cm 的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽 5 cm 的长方形纸条. 如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少
4
5
(单位：cm)
解：设正方形的边长是 x cm.
根据题意，得
4x = 5(x - 4).
解方程，得 x = 20.
答：原正方形的边长为 20 cm .
1. 根据图中给出的信息，可得正确的方程是(　A　)
A
D. π×82x＝π×62×5
C. π×82x＝π×62×(x＋5)
B. π×()2x＝π×()2×(x－5)
A. π×()2x＝π×()2×(x＋5)
回顾导入
2
行程问题
例2 某县举办越野赛，选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表:
总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1
8.2 10 3
已知张老师在补给站休息了10 min，用时 1.5 h 完成了比赛. 求补给站与起点的距离.
起点
补给站
终点
跑步
登山
8.2 km
分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为：
路程 = 平均速度×时间；时间=路程÷平均速度.
x
8.2－x
根据题目条件，存在的等量关系：
跑步的时间＋登山的时间＝总时间－休息的时间
解：设补给站离起点 x km. 根据题意，得
答：补给站与起点的距离为 6 km.
解方程，得 x = 6.
想一想，这道题
是不是只有这一
种解法呢？
方法一：直接设元法
方法二：间接设元法
解：设从起点到补给站跑步所用时间为 y h，则补给站离起点 10y km.
根据题意，得
解方程，得 y = 0.6.
所以 10y = 6 .
答：补给站与起点的距离为 6 km.
例3 甲、乙两站相距 480 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 千米，一列快车从乙站开出，每小时行 140 千米．
(1) 慢车先开出 1 小时，快车再开，两车相向而行.
问快车开出多少小时后两车相遇？
解：设快车开出 x 小时后两车相遇．
等量关系：
慢车行驶距离 + 快车行驶距离 = 甲乙两地的距离.
依题意，得 90×1 + 90x + 140x = 480.
解方程，得
解：设相背而行 y 小时两车相距 600 千米．
等量关系：
慢车行驶距离+快车行驶距离+甲乙两地的距离=600 km.
依题意，得 90y + 480 + 140y = 600.
(2) 两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距 600 千米？
解方程，得
解：设 z 小时后快车与慢车相距 600 千米，
等量关系：
快车行驶距离 + 甲乙两地的距离 - 慢车行驶距离= 600 km.
依题意，得 140z + 480 - 90z = 600.
(3) 两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 千米？
解方程，得
解：设 m 小时后快车追上慢车，
等量关系：
慢车行驶距离 + 甲乙两地的距离 = 快车行驶距离.
依题意，得 90m + 480 = 140m.
(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
解方程，得
答： 小时后快车追上慢车.
1.列方程，解下列各题：
（1）一种小麦磨成面粉，出粉率为80%（即20%成为麸子）．为了得到4500 kg面粉，至少需要多少小麦
【教材P104 练习】
解：设至少需要x kg小麦.
根据题意，得x·80％ = 4500.
解方程，得x=5625.
答：至少需要 5625 kg小麦.
（2）甲厂有钢材432t，乙厂有钢材96t．如果每天从甲厂运出20t，乙厂运出4t，几天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍
解：设x天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
根据题意，得432-20x=2(96-4x).
解方程，得x=20.
答：20天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
（3）甲、乙两地相距180km．一人骑自行车从甲地出发，每小时骑行15km．另一人骑摩托车从乙地同时出发．两人相向而行．已知摩托车车速是自行车车速的3倍．多少时间后两人相遇？
解：设x h后两人相遇.
根据题意，得x(15+15×3)=180.
解方程，得x=3.
答：3h后两人相遇.
2.有一根合金圆柱，底面半径为1 dm，高为64 cm，若将其锻造成长方体工件，使长方体工件的长为20π cm，高为32 cm，则长方体工件的宽是多少
解：设长方体工件的宽是x cm.
1 dm=10 cm，
根据题意，得π×102×64=20π×32x，
解得x=10.
答：长方体工件的宽是10cm.
3. 甲、乙两人从相距200km的两地相向而行，甲乘汽车每小时行60km，乙骑自行车每小时行20km. 如果乙先行2h，那么甲出发多长时间后两人相遇
解：设甲出发x h后两人相遇.
根据题意，得60x+20(x+2)=200，解得x=2.
答：甲出发2h后两人相遇.
1.为增加展示作品的质感，需要准备一些相框进行展示，现
将一根木条进行切割制作相框，原计划制作正方形的相框，
现改为制作长方形的相框，若新的长方形相框的宽比原正方
形相框的边长少 ，新的长方形相框的长等于原正方形相
框的边长，且新的长方形相框需要用 长的木条，若设
原正方形相框的边长为 ，则可列方程为______________
_____.
2.为增加展示作品的美感，学校打算用彩纸包装相框.如图，
将一张正方形彩纸剪下一个宽为 的长条后，再从剩下的
长方形彩纸上剪去一个宽为 的长条.如果两次剪下的长
条面积相等，那么每一个长条的面积为_____ .
150
3.(8分)为增加展示现场的氛围感，学校决定购买彩色的地垫，
进行地面装饰.如图，其中一部分图案为用8个相同的小长方
形拼成的大长方形，求1个小长方形的面积.
解：设1个小长方形的宽为 ，根
据题图可知1个小长方形的长为
，则 ，解得
，则
答：1个小长方形的面积为 .
弄清题意，分清____量和____量
设_______，用式子表示相关量
找出相等关系，列出______
解方程，求出________的值
是否为所列方程的___
是否符合_________
根据题意写答案
审
设
列
解
检
答
未知数
已知
未知
方程
未知数
解
实际意义

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