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人教B版 2019 高中数学
期末专题复习
专题02 统计与概率
01
思维导图
考点01 简单随机抽样
可用简单随机抽样抽取样本的依据:
①总体中的个体之间无明显差异；
②总体中个体数N有限；
③抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N；
④每个个体被抽到的可能性均为
壹
考点02分层随机抽样中有关
计算的方法
（1）抽样比==；
（2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
壹
考点03柱形图、折线图、扇形图的应用
1）条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率,根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条,条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率；
（2）扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数；
（3）折线统计图反映数据随时间的变化趋势.
壹
考点04频率直方图的应用
（1）由于频率分布直方图中的纵坐标为 ,因此涉及纵坐标中含参数的问题,应根据频率之和为1列式求解；
（2）根据频率分布直方图(表)求样本数据在某一区间内的频率就是样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量；
（3）若所求区间包含频率分布直方图中非分组的端点,可以利用“比例法”求解.
（4）用频率分布直方图估计总体数字特征的方法:
①众数:最高小长方形底边中点的横坐标；
②中位数:平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；
③平均数:频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.
壹
考点05平均数、标准差、方差性质
（1）若一组数据x1,x2,...xn的平均数为,方差为s2,那么mx1+a,mx2+a,...mxn+a的平均数是m+a ,方差为m2s2
（2）分层方差计算总体方差
若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为m,,n,,;记总的样本平均数为样本方差为s2,则
壹
考点06百分位数
（1）几个数的百分位数计算方式：
第一步，从小排到大；第二步，计算i=p%×n；第三不，如果i不是整数，向上取整到k，取第k个数据；
如果i是整数，取第i个数和第i+1个数的平均值。
（2）频率分布直方图的百分位数计算方式
根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数,首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算方法,其次估计百分位数在哪一组,再应用方程的思想方法及比例法,设出百分位数,利用比例列方程求解.
壹
考点07 知识对标
壹
用样本估计总体
用样本的频率分布估计总体的分布.
考点08 规律方法
壹
1.频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小，总体分布是指总体取值的频率分布规律,我们通常用样本的频率分布表或频率分布直方图去估计总体的分布.
2.频率分布表和频率分布直方图,是对相同数据的两种不同表达方式,用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息,又可以利用图形传递信息.3.样本数据的频率分布表和频率分布直方图,是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律,它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况.并由此估计总体的分布情况.
考点09 用频率估算概率
壹
频率是事件A发生的次数m 与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.。
考点10 互斥、对立、独立事件的辨别
壹
考点11 概率的应用
壹
概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0~1之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.
03
综合训练
一．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件
在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是
（　　）
A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球
C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球
C
【答案】C
【解答】解：对于A，摸出的是3个白球是不可能事件，故A错误；
对于B，摸出的是3个黑球是随机事件，故B错误；
对于C，摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，故C正确；
对于D，摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件，故D错误．
故选：C．
二．事件的互斥（互不相容）及互斥事件
B
【答案】B
【解答】解：由题意可知，事件A为1，2，3，事件B为2，4，6，故A错误，B正确；
事件A，B可以同时发生，故CD错误．
故选：B．
抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝“向上的点数不大于3”，B＝“向上的点数为偶数”，则事件A与事件B的关系是（　　）
A．A B
B．A∩B＝“向上的点数为2”
C．事件A与B是互斥事件
D．事件A与B是对立事件
三．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
B
【答案】B
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有=6种结果，
满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），
∴要求的概率是 ．
故选：B．
从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
四．概率的应用
AC
【答案】AC
【解答】解：，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D错误．
故选：AC．
（多选）对于随机事件A，B，若，，，则
（　　）
A．
B．
C．
D．
五．相互独立事件的概率乘法公式
D
已知随机事件A、B，B表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则P(A)=0.16
【答案】D
【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字，
设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”，
易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，
依次分析选项：
对于A，A B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误；
对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误；
对于D，P（B）＝0.6，则P（B）＝0.4，
若事件A、B相互独立，则A与B也相互独立，则有P（A）＝P（A）P（）＝0.16，D正确．
故选：D．
五．相互独立事件的概率乘法公式
六．抽签法简单随机抽样及其步骤
B
【答案】B
【解答】解：总体和样本容量都不大，采用抽签法．
故选：B．
下列抽样中适合用抽签法的是（　　）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
七．求随机数法抽样的样本
B
【答案】B
【解答】解：选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，
则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14．
故选出的第6个个体编号为14．
故选：B．
总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．14 C．15 D．16
八．分层随机抽样及其适用条件
C
【答案】C
【解答】解：因为初中学生2000人抽取了200人，所以抽样比为；
学校有高中学生3000人，
所以高中生抽取了：3000×=300人．
故选：C．
某学校有高中学生3000人，初中学生2000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了200人，则在高中学生中抽取了（　　）
A．150人 B．200人 C．300人 D．500人
九．分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量
B
【答案】B
【解答】解：由题意，样本中高二学生的人数为．
故选：B．
某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为
（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
十．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
BD
（多选）在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了男职员4人，女职员3人，其中男职员的平均数为56，女职员的平均数为42，则（　 　）
A．总样本的平均数为49
B．总样本的平均数为50
C．总样本的方差小于48
D．总样本的方差不小于48
十．由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
【答案】BD
【解答】解：由题意可知，男职员比例为，女职员比例为，
所以总样本的平均数为×56+×42=50，
考虑极端情况，若男职员锻炼时间均为56，女职员锻炼时间均为42，
此时男职员的方差为0，女职员的方差为0，
所以总样本的方差为×[0+(56 50)2]+×[0+(42 50)2]=48，
实际上若男、女职员锻炼时间存在波动（即层内方差不为0），总方差必然大于48，
所以总样本的方差不小于48．
故选：BD．
十一．普查与抽样
A
【答案】A
【解答】解：对于A选项，了解一个班级学生的身高情况，适合用全面调查；
对于B选项，了解一批水稻种子的发芽率，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于C选项，调查某城市居民的食品消费结构，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于D选项，调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，不适合用全面调查．
故选：A．
在以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
十二．茎叶图
C
甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字状示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（　　）
A．在这5天中，甲加工零件数的极差小于乙加工零件数的极差
B．在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
十二．茎叶图
【答案】C
【解答】解：根据题意，在这5天中，甲加工零件数为18、19、23、27、28，
乙加工零件数为17、19、21、23、25，
依次分析选项：
对于A，在这5天中，甲加工零件数的极差为28﹣18＝10，乙加工零件数的极差25﹣17＝8，A错误；
对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，B错误；
对于C，甲加工零件数的平均数为（18+19+23+27+28）＝23，乙加工零件数的平均数为（17+19+21+23+25）＝21，C正确；
对于，甲加工零件数的方差为（25+16+0+16+25）=，乙加工零件数的方差为（16+4+0+4+16）＝8，D错误．
故选：C．
十三．扇形统计图
D
某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的扇形图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（　　）
A．成绩前200名的学生中，高一人数比高二人数多30人
B．成绩前100名的学生中，高一人数不超过50人
C．成绩前50名的学生中，高三人数不超过32人
D．成绩第51名到第100名的学生中，高二人数比高一人数多
十三．扇形统计图
【答案】D
【解答】解：由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200×（45%﹣30%）＝30，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确；
成绩前50名的50人中，高一人数为200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C正确；
第51到100名的50人中，高一人数为200×45%×0.3＝27，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：D．
十四．平均数
D
【答案】D
【解答】解：由题意，样本数据中的最低分6，
去掉6，剩余数据的平均数为．
故选：D．
样本数据6，12，18，14，16，30去掉一个最低分的平均数为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
十五．中位数
B
【答案】B
【解答】解：样本数据从小到大排列为：6，7，8，8，9，9，10，11，
则中位数为．
故选：B．
样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
十六．众数
16
【答案】16．
【解答】解：由16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，
可得，出现次数最多的数为16，所以众数为16．
故答案为：16．
已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，则众数为　 　 ．
十七．标准差
D
【答案】D
【解答】解：甲队每场比赛平均失球数是1.5，乙队每场比赛平均失球数是2.1，
可知平均说来甲队比乙队的防守技术好，故A不正确；
对于B，因为1.4＞0.4，可知乙队比甲队技术更稳定，故B不正确；
对于C，因为乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，
所以乙队失球数更多，且乙队防守技术更稳定，即乙队很少不失球，故C不正确；
对于D，由B可知甲队防守中有时防守表现较差，有时表现又非常好，故D正确．
故选：D．
在去年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.4：乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，则（　　）
A．平均说来乙队比甲队防守技术更好
B．甲队比乙队防守技术水平更稳定
C．乙队很少失球
D．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又较好
十八．方差
C
【答案】C
【解答】解：数x1，x2，x3，x4的平均数是，方差s2＝2，
由方差、平均数的线性公式可知，2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数为2×4+3＝11，方差为22×2＝8．
故选：C．
已知一组数x1，x2，x3，x4的平均数是，方差s2＝2，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3的平均数和方差分别为（　　）
A．11，4 B．8，8 C．11，8 D．4，2
十九．极差
A
【答案】A
【解答】解：因为数据的极差为6，而11﹣5＝6，
所以所以5≤a≤11，
即a的取值范围是[5，11]．
故选：A．
已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是
（　　）
A．[5，11] B．{5，11} C．{5} D．[6，17]
二十．百分位数
D
【答案】D
【解答】解：某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），
分别为13，9，13，10，8，8，15，14，
将数据从小到大排列有8，8，9，10，13，13，14，15共8项数据，
∴n＝8×0.8＝6.4＜7，∴第80百分数为14．
故选：D．
某同学记录了3月1日到8日每天的最高气温（单位：℃），分别为13，9，13，10，8，8，15，14，则该组数据的第80百分位数为
A．10 B．13 C．13.5 D．14

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