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专题01 抛体运动
题型1 曲线运动的概念和特点 题型2 曲线运动瞬时速度的方向
题型3 物体做曲线运动的条件 题型4 物体运动轨迹、速度、受力(加速度)的相互判断
题型5 合运动与分运动的关系 题型6 两个匀速直线运动的合成
题型7 两个变速直线运动的合成 题型8 分析合运动的轨迹问题
题型9 求分速度的大小和方向 题型10 关联速度问题
题型11 探究平抛运动的特点 题型12 平抛运动在竖直和水平方向上的特点
题型13 平抛运动中的相遇问题 题型14 速度偏转角与位移偏转角
题型15 速度反向延长线的特点 题型16 在斜面上的类平抛运动(物体在斜面上运动)
题型17 在外力作用下的类平抛运动 题型18 斜抛运动
▉考点01 曲线运动的速度方向
1.曲线运动的定义
运动轨迹是曲线的运动叫作曲线运动(curvilinearmotion).
2.曲线的切线
（1）如图5-1-1所示，过曲线上的A、B两点作直线，这条直线叫作曲线的割线.设想B点逐渐沿曲线向A点移动，这条割线的位置也就不断变化.当B点非常非常接近A点时，这如图5-1-2所示，在水平桌面上放一张白纸，白纸上摆一条由几段稍短的弧形轨道组合而成的弯道.使表面沾有红色印泥的钢球以一定的初速度从弯道的C端滚入，钢球从出口A离开后会在白纸上留下一条运动的痕迹，它记录了钢球在A点的运动方向.拆去一段轨道，出口改在B.用同样的方法可以记录钢球在B点的运动方向.结论：白纸上的印迹沿轨道(曲线)出口处的切线方向，这说明钢球脱离轨道时的运动方向总是沿轨道(曲线)在该点的切线方向.
(2)理论分析
假设图5-1-2中的曲线是某一质点的运动轨迹，质点在一段时间内由B点运动到A点，由平均速度公式知曲线运动的平均速度等于时间t内的位移与时间t的比，方向与位移的方向相同，则质点由B点运动到A点的平均速度方向由B指向A.当B点越来越靠近A点时，质点的位移方向越来越接近A点的切线方向，则平均速度方向越来越接近A点的切线方向.当B点与A点的距离接近0时，质点在A点的速度方向沿过A点的切线方向.
(3)探究结果
理论和实验表明：质点在某一点(某一时刻)的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
3.曲线运动性质
速度是矢量，既有大小，又有方向.由于曲线运动中速度方向是变化的，所以曲线运动是变速运动.
▉考点02 物体做曲线运动的条件
1.物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合力方向与物体的速度方向不在同一直线上.
(2)运动学条件：加速度方向与物体的速度方向不在同一直线上.2对物体做曲线运动的条件的理解
(1)无力不转弯，转弯必有力.曲线运动是变速运动，因此必定有加速度，而力是产生加速度的原因，因此做曲线运动的物体受到的合力不为0.
(2)从力的作用效果理解物体做曲线运动的条件
当物体受到的合力的方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，而是成一定角度时，合力产生的加速度方向跟速度方向也成一定角度.把加速度分解到平行速度方向和垂直速度方向，如图5-1-5甲、乙所示.
与速度方向在同一条直线上的加速度a ,使速度v增大(a 与v同向)或减小(a 与v反向);沿垂直速度方向的加速度a ,使速度v的方向改变.所以物体做曲线运动时，a 一定不等于0,合加速度一定与速度不共线.
▉考点03 对曲线运动的进一步理解
1.曲线运动的特点
(1)做曲线运动的物体的位移大小一定小于其路程，其平均速度大小一定小于其平均速率.
(2)曲线运动是变速运动，物体所受合力与轨迹切线方向共线的分力使物体的速度大小发生变化，沿垂直速度方向的分力使物体的速度方向发生变化.
2.物体做曲线运动时合力与轨迹的关系
做曲线运动的物体，其轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，且向合力所指的方
弯曲，即合力指向轨迹的凹侧。
▉考点04 一个平面运动的实例
1实验过程
在一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A,将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图5-2-1甲所示).
把玻璃管倒置 水平方向不动(如图乙) 水平向右匀速运动(如图丙)
观察蜡块的运动 向上匀速运动 向右上方运动
玻璃管水平向右匀速运动时，蜡块既向上做匀速运动，又随着玻璃管的移动向右做匀速运动，那么,蜡块的实际运动情况怎样呢
2研究蜡块的运动
建立坐标系→以蜡块开始匀速运动的位置为原点0,以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图5-2-2所示.蜡块到达任意位置P的坐标为(x,y).
蜡块运动的轨迹→设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为vy,玻璃管水平向右匀速移动的速度为v,从蜡块开始匀速运动的时刻开始计时，则t时刻有x=v t,y=v,t,两式消去t,得y= vx和vy,都是常量，所以代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线.
蜡块运动的速度→根据勾股定理可得蜡块的速度v=,设v与x轴正方向的夹角为θ(如图5-2-2所示),则由三角函数知识可知tanθ=。
3结论
蜡块向右上方的运动，由沿玻璃管向上的匀速直线运动和水平向右的匀速直线运动构成.
▉考点05 运动的合成与分解
1合运动和分运动
(1)合运动与分运动的定义：如果物体同时参与了几个运动，则该物体实际发生的运动叫作那几个运动的合运动，那几个运动叫作这个实际运动的分运动.
(2)合运动与分运动的关系
独立性 一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不会因为有另外的分运动的存在而有所改变，即各分运动是相互独立、互不影响的.
等时性 各个分运动与合运动总是同时开始、同时结束，经历的时间相等.不是同时发生的运动不能进行运动的合成.
等效性 各分运动合成起来的效果和合运动的效果相同，即分运动与合运动可以“等效替代”.
同体性 合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动，一个物体的合运动不能分解为另一个物体的分运动.
矢量性 合运动与分运动的位移、速度和加速度之间的关系均可以进行矢量运算.
2运动的合成与分解
(1)定义
由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成;反之，由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解,即：
(2)规律
运动的合成与分解实质上是对描述物体运动的物理量如位移、速度、加速度的合成与分解，遵从矢量运算法则.
①两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减.
②两个分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成与分解.
▉考点06 合运动的性质和轨迹的判断
1合运动性质的判断方法
F、a一定同向：
F、v方向共线→直线运动→F变化：非匀变速直线运动；F不变：匀变速直线运动
F、v方向不共线→曲线运动→F变化：非匀变速曲线运动；F不变：匀变速曲线运动
2互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a=0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 V0=0
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
▉考点07 平抛运动
1抛体运动
(1)概念：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动.
(2)特点：①初速度不为0;②只受重力作用.
(3)性质：做抛体运动的物体，只受重力作用，加速度始终为重力加速
度，所以抛体运动一定是匀变速运动.
2平抛运动
(1)概念：如果抛体运动的初速度是沿水平方向的，物体所做的运动叫作平抛运动.
(2)性质：平抛运动的加速度为重力加速度，平抛运动是匀变速曲线运动.
(3)条件：物体具有水平方向的初速度且运动过程中只受到重力的作用.
▉考点08 探究平抛运动的特点
1实验思路
(1)提出问题
平抛运动是曲线运动，速度和位移的大小和方向时刻在发生变化.怎么研究这个复杂的曲线运动呢 我们可以将复杂的曲线运动分解为两个简单的直线运动.
(2)科学猜想
由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受重力作用.因此平抛运动可能是水平方向和竖直方向分运动的合成.那么只要研究出这两个分运动的特点，平抛运动的规律就清楚了.
2方案一：频闪照相法
(1)对频闪照片的分析
如图5-3-1甲所示是一个小球做平抛运动时的频闪照片.选第一个小球球心为原点建立坐标系，每3个小球(不计初始位置的球)取1个球测量相对应的横坐标和纵坐标，如图5-3-1乙所示.
根据频闪照相的特点可知，若频闪周期为T,则每相邻两球的时间间隔相等，都是T,即图中OA、AB、BC对应的时间间隔就是3T.
将所测的数据填入表格，分析小球水平方向分运动和竖直方向分运动的特点.
0 A B C
横坐标 0 x1 x2 x3
纵坐标 0 y1 y2 y3
(2)数据处理
①水平方向：数据满足x1-0=x2-x1=x3-x2=…,则说明小球在水平方向做匀速直线运动.
②竖直方向：根据坐标计算每一段时间间隔内的位移，然后计算出相邻相等时间内的位移差，如果满足△y=9gT ,则说明小球在竖直方向上的加速度为g.如果0点是平抛运动轨迹的初始点，则竖直方向初速度为0,小球在竖直方向做自由落体运动.
3方案二：分步研究水平和竖直两个方向的运动规律
(1)步骤1:探究平抛运动竖直分运动的特点
①实验方法
在如图5-3-2所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动.观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后.
分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象.
②实验现象
两个小球落地时只有一个声音，表明两个小球同时落地.
③实验结论
平抛运动的竖直分运动是自由落体运动.
(2)步骤2:探究平抛运动水平分运动的特点
①实验思路
如果我们能够得到平抛运动的轨迹，利用前面探究得出的平抛运动竖直分运动的特点，就可以分析得出平抛运动在水平方向分运动的特点.
②获取轨迹
在如图5-3-3所示的装置中，斜槽M末端水平.钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动.在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板N,钢球飞出后，落到挡板上.实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上.钢球落到倾斜的挡板上后，就会挤压复写纸，在白纸上留下印迹.上下调节挡板N,通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置.最后，用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹.
③处理方法
a.根据步骤1得出的平抛运动在竖直方向是自由落体运动，可得从抛出点开始，连续相等时间内的竖直位移之比为1:3:5:7:…,根据此比例式即可找到一系列“相等的时间间隔”.
b.测量相等的时间间隔内水平运动的位移，若位移相同，则说明水平方向的分运动为匀速直线运动.
④实验结论
平抛运动的水平分运动是匀速直线运动.
▉考点09 利用描迹法探究平抛运动的特点
1实验思路
实验装置如图5-3-6所示.小钢球从斜槽上滚下，从水平槽飞出后做平抛运动.每次都使小钢球在斜槽上同一位置滚下，小钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的，设法用铅笔描出小钢球经过的位置.通过多次实验，在竖直坐标纸上记录小钢球所经过的多图5-3-6个位置，用平滑的曲线连起来就得到小钢球做平抛运动的轨迹.
2实验器材
小钢球、斜槽轨道、木板及竖直固定支架、坐标纸、图钉、重垂线、铅笔、三角板、刻度尺等.
3实验步骤
(1)安装、调整斜槽将斜槽固定在实验桌上，使其末端伸出桌面，斜槽末端的切线水平，如图5-3-7所示.
(2)调整木板并确定坐标原点
用图钉将坐标纸固定在木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小钢球运动轨迹所在的平面平行且靠近.把小钢球放在槽口(斜槽末端)处，用铅笔记下小钢球在槽口时球心在坐标纸上的投影点0,0点即坐标原点.利用重垂线画出过坐标原点的竖直线作为y轴，在水平方向建立x轴.
(3)描点
使小钢球从斜槽上某一位置由静止滚下，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小钢球在某一x值处的y值，然后让小钢球从斜槽上同一位置由静止滚下，移动笔尖在坐标纸上的位置，当小球恰好与笔尖正碰时，用铅笔在坐标纸上描出代表小钢球通过位置的点.用以上方法，在坐标纸上描出一系列代表小钢球通过位置的点.
(4)描绘出平抛运动的轨迹
取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点用平滑曲线连接起来，即可得到小钢球做平抛运动的轨迹.
▉考点10 判断平抛运动的轨迹是不是抛物线
1公式判断法
(1)在已经得到的平抛运动的轨迹曲线上，以抛出点为坐标原点建立直角坐标系，如图5-3-9所示.
(2)在x轴上作出等距离的几个点A 、A 、A 、…,把线段OA 的长记为l,那么OA =21、OA =3l、…,由A 、A 、A 、…向下作垂线，垂线与轨迹曲线的交点记为M 、M 、M …,如果轨迹曲线是一条抛物线，那么M 、M 、M 、…各点的y坐标与x坐标之间的关系应该具有y=ax 的形式(a是一个待定的常量).
(3)用刻度尺测量出几个点的坐标，分别代入y=ax 中求出常量a,看计算得到的a值在误差允许的范围内是否是一个常数.
2图像判断法
建立y-x 坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应的y值和x 值，在y-x 坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上.
▉考点11 平抛运动的速度
1.速度规律
(1)分速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，物体做平抛运动.以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴方向，以竖直向下的方向为y轴方向建立平面直角坐标系，如图所示.
水平分速度vx=v0
竖直方向的分速度Vy=gt.
(2)合速度
合速度大小：
合速度方向：与水平方向的夹角满足
2.速度的变化量
做平抛运动的物体，水平方向分速度保持vx=v。不变，竖直方向加速度恒为g,竖直方向分速度vy=gt.从抛出时刻起，每隔△t时间，速度的矢量关系如图所示.可以得出两个结论：
(1)任意时刻速度的水平分量均等于初速度v0;
(2)任意两个相等的时间间隔△t内速度变化量相同，△v=g△t,方向竖直向下.
▉考点12 平抛运动的位移与轨迹
1平抛运动的位移
如图所示，做平抛运动的物体在x轴方向做匀速直线运动，则水平分位移与时间的关系为x=v0t
在y轴方向做自由落体运动，则竖直分位移与时间的关系是y=gt2.
在任意时刻物体的位置坐标为(v0t,gt2)
合位移大小s=
合位移方向与水平方向的夹角α满足
2平抛运动的轨迹
由x=v0t,y=gt2,消去t,得y=()x2,该式具有y=ax (a为常量)的形式，根据数学知识可知，它的图像是一条抛物线(parabola).
▉考点13 一般的抛体运动
1斜抛运动的定义
如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，这种抛体运动叫斜抛运动.
2斜抛运动的基本规律
做斜抛运动的物体在水平方向上不受外力作用，因此水平方向仍然做匀速直线运动；竖直方向上仅受重力作用，因此竖直方向做加速度为g的匀变速直线运动.设物体斜向上以初速度v0抛出，抛出点与落地点在同一水平面上，如图所示.
(1)速度公式
水平分速度vx=v0cosθ.竖直分速度vy=v0sinθ-gt.
(2)位移公式
水平分位移x=v0tcosθ.
竖直分位移y=v0tsinθ-gt2
(3)轨迹方程
由位移公式可得
即为开口向下的抛物线.
(4)运动时间
在竖直方向由上得上升到最高点的时间
从最高点到落地，物体在竖直方向上做自由落体运动，分析知时间则运动时间
▉考点04 平抛运动的规律和推论
1平抛运动规律的应用
(1)平抛运动的基本公式水平位移x=v0t
下落高度h=gt2
(2)由h=gt2可得运动时间t=
(3)射程(水平位移)平抛运动的射程即抛出点与落地点间的水平距离,x=v0t=v0t=v0
(4)落地速度
①大小
②方向
用θ表示落地速度与初速度方向间的夹角，有
2两个重要推论
(1)平抛运动的物体在任意时刻、任意位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ,位移方向与水平方向的夹角为α,则有tanθ=2tanα.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
一．曲线运动的概念和特点（共5小题）
1．关于曲线运动，下列说法正确的是（　　）
A．做曲线运动的物体，加速度一定是变化的
B．做曲线运动的物体，速度一直在变化
C．匀速圆周运动不是变速运动
D．做匀速圆周运动的物体，加速度不一定指向圆心
【答案】B
【解答】解：A.做曲线运动的物体，加速度一定是变化的这个说法是错误的。曲线运动的物体加速度不一定变化。例如，平抛运动中，物体只受重力作用，加速度恒为重力加速度g，方向竖直向下，是恒定的。因此，曲线运动的加速度可以是恒定的。故A错误；
B.曲线运动中，物体的运动方向在不断改变，即使速度大小不变（如匀速圆周运动），速度方向也在变化，因此速度矢量一定变化。故B正确；
C.匀速圆周运动中，速度方向不断变化，因此速度矢量在变化，属于变速运动。虽然速度大小不变，但方向变化，所以是变速运动。故C错误；
D.匀速圆周运动中，物体的加速度是向心加速度，其方向始终指向圆心，这是匀速圆周运动的基本特征。故D错误。
故选：B。
2．下列说法正确的是（　　）
A．曲线运动不可能是匀变速运动
B．物体处于平衡状态时，其速度为零
C．牛顿首先提出了力不是维持物体运动的原因
D．牛顿第一定律不可以用实验直接验证
【答案】D
【解答】解：A、物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，曲线运动是变速运动，合力不为零，但合力可以不变，例如平抛运动，故A错误；
B、物体处于平衡状态时，状态是静止或匀速直线运动，故B错误；
C、伽利略首先提出了力不是维持物体运动的原因，故C错误；
D、牛顿第一定律是逻辑思维对事实进行分析的产物，不能用实验直接验证，故D正确。
故选：D。
3．北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，飞船入轨后，按照预定程序与空间站组合体进行自主快速交会对接。蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员承担此次飞行任务。下列说法正确的是（　　）
A．“4时27分”指的是时刻
B．研究神舟十九号飞船与空间站进行对接时可将其视为质点
C．神舟十九号飞船绕地球飞行时，飞船里的宇航员所受合力为零
D．以太阳为参考系，神舟十九号飞船绕地球飞行一圈通过的位移为零
【答案】A
【解答】解：A．“4时27分”指的是时刻，故A正确；
B．研究神舟十九号飞船与空间站进行对接时，神舟十九号飞船的形状、大小不能忽略不计，不可以将其视为质点，故B错误；
C.神舟十九号飞船绕地球做圆周运动，飞船里的宇航员所受合力不为零，故C错误；
D.神舟十九号飞船绕地球飞行一圈，同时绕太阳公转，以太阳为参考系通过的位移不为零，故D错误。
故选：A。
4．在第15届国际泳联世界短池游泳锦标赛“跳水表演赛”中，全红婵首次挑战10米台“跳海”，再度上演海上“水花消失术”。图中虚线描述的是全红婵一次10米台“跳海”时头部的运动轨迹。下列正确的是（　　）
A．研究她在空中做翻转动作时，可以把她看成质点
B．她从起跳到入水运动的路程是10米
C．在P点时她头部的速度方向与入水时速度v方向相同
D．她在最高点时处于平衡状态
【答案】C
【解答】解：A．研究全红婵在空中做翻转动作时，她的形状大小不能忽略不计，不可以把她看成质点，故A错误；
B．全红婵从起跳到入水运动的运动轨迹为曲线，可知路程大于10米，故B错误；
C．在P点时她头部的速度方向沿该点的切线方向向下，与入水时速度v方向相同，故C正确；
D．全红婵在曲线轨迹的最高点时存在加速度，不是处于平衡状态，她受到的合外力不能等于零，故D错误。
故选：C。
5．为了行驶安全，司机通常会在弯道处减速，防止出现侧滑。下列图中能表示汽车减速通过弯道过程某处瞬时速度v和加速度a方向关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：在曲线运动中，汽车的速度方向沿轨迹的切线方向，合力指向运动轨迹的凹侧，加速度方向与合力方向相同，汽车在减速，故合力的方向（即加速度方向）与速度方向夹角为钝角。故B正确，ACD错误；
故选：B。
二．曲线运动瞬时速度的方向（共5小题）
6．质量为m的物体在几个恒力作用下以速度v0在水平面上做匀速运动，若把其中一个力F0撤去，其他力保持不变，从此时开始，则有（　　）
A．在相等时间内物体的速度变化量一定相等
B．物体的速度与合力之间的夹角一定不断改变
C．物体运动的轨迹可能是圆
D．经时间t时物体的速度大小一定等于
【答案】A
【解答】解：A．撤去力F0后，物体所受合力为﹣F0（恒力），由于加速度
结合Δv＝aΔt加速度恒定，故相等时间内的速度变化量Δv一定相等，故A正确。
B．合力方向恒定，速度方向未知，若v0与合力共线（如匀变速直线运动），速度方向不变，夹角恒定，若v0与合力不共线（如曲线运动），速度方向变化，夹角改变，故B错误。
C．圆轨迹需合力始终指向圆心且与速度垂直，如果是恒力，方向固定，无法持续提供向心力。轨迹为匀变速曲线（如抛物线）或直线，不可能是圆，故C错误。
D．此公式成立的条件是初速度v0与加速度a方向垂直，若v0与a方向不垂直不成立，故D错误。
故选：A。
7．长袖舞是中国传统文化的一部分。表演时，演员长长的袖子在空中摇摆，某时刻形成美丽的弧线，如图所示。则此时袖子上（　　）
A．某点的切线方向，就是该点的速度方向
B．每一点在不同时刻受到的合力都是恒力
C．每一点受到的合力与袖子上该点的速度方向垂直
D．每一点不同时刻的速度方向是恒定不变
【答案】A
【解答】解：AD、袖子上的某点做曲线运动，曲线运动的速度方向为该点的切线方向，由于每一点均跟随着一起运动，所以每点的切线方向时刻发生变化，故A正确，D错误；
B、当袖子转动时每点的合力提供做圆周运动的向心力，则当点转动时，向心力方向发生变化，合力的方向也发生变化，故B错误；
C、袖子上的每点做曲线运动，根据曲线运动的条件知，曲线运动的合外力与运动方向不共线，所以袖子上的该点的力与速度方向不共线，不一定垂直，故C错误。
故选：A。
8．在2025年5月7日巴基斯坦空军在与印度空军的对抗空战中，使用中国制造的歼﹣10CE，击落了6架印度军机，其中包括3架法国制造的“阵风”战斗机。这场空战也让中国战机的技术实力得到了国际认可。“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。简化模型如下：一小球在光滑的水平面上以初速度v0穿过一段风带，经过风带时风会给小球一个与v0方向垂直、水平向北的恒力，其余区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：根据加速度的方向指向轨迹的凹侧，速度方向为轨迹的切线方向。所以小球在光滑的水平面上以速度v0向右运动，给小球一个向北的水平恒力，则小球会做曲线运动，恒力指向运动轨迹的凹侧，速度方向沿着轨迹的切线方向。故C正确，ABD错误；
故选：C。
9．如图所示的曲线MN是某一质点的运动轨迹，AA′为曲线上A点处的切线。质点从B点运动到A点所发生的位移为x，所用时间为t。下列说法不正确的是（　　）
A．表示质点从B点运动到A点过程的平均速度
B．质点从B点运动到A点的过程，平均速度的方向由B点指向A点
C．若B点越接近A点，则越接近质点在A点时的瞬时速度
D．质点经过A点时所受合力可能沿着AA′的方向
【答案】D
【解答】解：A、因x为由B到A的位移，则表示质点从B点运动到A点过程的平均速度，故A正确；
B、质点从B点运动到A点的过程，平均速度方向与位移方向相同，则平均速度的方向由B点指向A点，故B正确；
C、若B点越接近A点，则t越短，则越接近质点在A点时的瞬时速度，故C正确；
D、AA′的方向是质点在A点的瞬时速度方向，质点做曲线运动，则速度方向与合力方向不共线，则质点经过A点时所受合力不可能沿着AA′的方向，故D错误。
本题是选不正确的，故选：D。
10．跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国运动员多次在国际跳水赛上摘金夺银，被约为跳水“梦之队”，如图是一位跳水队员从高台做“反身翻腾二周半”动作时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水，整个过程中，有几个位置头部的速度方向与入水时v的方向垂直（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解答】解：运动员做曲线运动，入水时速度方向竖直向下；
由于曲线运动的速度方向为该点轨迹的切线方向，图中共有5个位置，头部的速度方向是水平的，故D正确。
故选：D。
三．物体做曲线运动的条件（共5小题）
11．下列说法正确的是（　　）
A．牛顿第一定律也称惯性定律，可以通过实验验证
B．在国际单位制中，力学物理量对应的基本单位是牛顿、米、秒
C．同一物体在地球上和在月球上的惯性一样大
D．若物体所受合外力方向与速度方向在同一直线上，物体仍可能做曲线运动
【答案】C
【解答】解：A.牛顿第一定律也称惯性定律，是真实的实验加上合理的外推，不可以通过实验验证，故A错误；
B.在国际单位制中，力学物理量对应的基本单位是米、秒、千克，没有牛顿，故B错误；
C.同一物体在地球上和在月球上的惯性一样大，质量是衡量惯性的唯一量度，质量相同惯性不变，故C正确；
D.若物体所受合外力方向与速度方向在同一直线上，物体作直线运动，合力和速度不在同一条直线上，物体做曲线运动，故D错误。
故选：C。
12．将一条长为L的纸带扭转180°后连接两端就构成了一个莫比乌斯环，不考虑连接纸带时的长度损失。一只蚂蚁以恒定的速率v从P点沿纸带中线向前爬行，当其再一次来到P点的整个过程中，蚂蚁的（　　）
A．路程为L B．位移的大小为L
C．加速度始终为零 D．平均速度为零
【答案】D
【解答】解：A、一只蚂蚁以恒定的速率v从P点沿纸带中线向前爬行，当其再一次来到P点的整个过程中，蚂蚁的路程大于L，故A错误；
B、初末位置重合，位移的大小为零，故B错误；
C、由于蚂蚁做的是曲线运动，所以加速度不为零，故C错误；
D、平均速度是位移与时间的比值，位移的大小为零，平均速度为零，故D正确。
故选：D。
13．“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐代诗人张志和《渔歌子》中的描写春雨美景的名句。一雨滴由静止开始下落一段时间后，进入如图所示的斜风区域下落一段时间，然后又进入无风区继续运动直至落地，不计雨滴受到的阻力，则图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：A．离开斜风区时雨滴的速度斜向左下方，进入无风区后雨滴只受重力，根据物体做曲线运动的条件，速度和加速度不在一条直线上，不可能做直线运动，故A错误；
BD．离开斜风区时雨滴的速度斜向左下方，轨迹在速度和重力之间偏向重力一侧，故B正确，D错误；
C．离开斜风区时雨滴有水平向左的分速度，所以在落地前雨滴的速度不可能竖直向下，故C错误。
故选：B。
14．如图所示，汽车在水平路面转弯时，车内挂饰偏离了竖直方向。转弯时汽车速度为v，所受合力为F，下列图示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由图中可知，车内的挂饰偏向了右方，由此可知，汽车正在向左转弯，由于汽车做的是曲线运动，所以合力F指向轨迹的内侧，故BCD错误，A正确。
故选：A。
15．某物体在几个恒力的作用下做直线运动，下列说法正确的是（　　）
A．若仅改变其中一个力的大小，物体一定做曲线运动
B．若仅改变其中一个力的方向，物体一定做曲线运动
C．若仅撤去其中一个力，物体可能做匀速直线运动
D．若仅撤去其中一个力，物体一定做曲线运动
【答案】C
【解答】解：AD．若仅改变其中一个力的大小，或仅撤去其中一个力时，合力方向与速度方向仍然可能共线，物体继续做直线运动，所以物体不一定做曲线运动。故AD错误；
B．若仅改变其中一个力的方向，合力方向与速度方向仍然可能共线，物体继续做直线运动，所以物体不一定做曲线运动。故B错误；
C．若仅撤去其中一个力，合力可能变为零，即可能做匀速直线运动。故C正确。
故选：C。
物体运动轨迹、速度、受力（加速度）的相互判断（共5小题）
16．一只小鸟在空中飞行，虚线为小鸟的飞行轨迹，下列四幅图分别画出了小鸟在轨迹上P点所受合力F合的方向，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：曲线运动中，物体运动的轨迹夹在速度方向与所受合力方向之间，且合力指向轨迹的凹侧面。故ABC错误，D正确。
故选：D。
17．在重庆八中篮球比赛中，一队员投出的篮球在空中运动的轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F与速度v的关系可能正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：做曲线运动的篮球受到的合力指向曲线的凹侧，速度方向为曲线在该点的切线方向，故B正确，ACD错误。
故选：B。
18．图甲为研究小铁球做曲线运动条件的装置，小铁球以初速度v0在水平纸面上运动。忽略阻力，观察到小铁球沿图乙中实线的轨迹运动，则磁体可能放在（　　）
A．D位置 B．C位置 C．B位置 D．A位置
【答案】A
【解答】解：磁体对小铁球的作用力为引力，轨迹往引力的方向偏转，所以磁体可能放在D位置，故A正确，BCD错误。
故选：A。
19．滑冰是很多人喜爱的运动。下列各选项能表示运动员在弯道减速的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：运动员做曲线运动，速度沿着轨迹的切线方向，合外力指向轨迹的凹侧，当速率减小时，合外力方向与速度方向的夹角大于90°，故A正确，BCD错误。
故选：A。
20．2025年8月，我国自主研发的一款新型察打一体无人机在试飞场完成高机动性能测试。在某次测试中无人机沿圆弧从M到N大仰角加速爬升，在此过程中，无人机所受合力的方向可能是（　　）
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
【答案】B
【解答】解：做曲线运动的物体，速度方向沿着曲线上点的切线方向；做曲线运动的物体，合力的方向与速度方向不共线，且指向曲线的凹侧。因加速爬升，则合外力方向与速度方向夹角为锐角。故B正确，ACD错误。
故选：B。
五．合运动与分运动的关系（共5小题）
21．老师在可沿水平方向滑动的黑板上用粉笔画线，若粉笔相对于地面向下匀加速直线滑动，同时黑板水平向左匀速滑动，则粉笔在黑板上所画出的轨迹为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则相对而言，粉笔以某一速度水平向右匀速运动，同时开始匀加速向下滑动，根据做曲线运动的物体所受合外力一定指向曲线凹侧，则粉笔在水平方向始终匀速，在竖直方向向下加速，由运动的合成与分解，结合矢量合成法则，故B正确，ACD错误。
故选：B。
22．如题图所示，光滑水平面和光滑固定斜面在B处平滑连接，一小球由A点以一定初速度水平向右匀速运动，最高能到达斜面上C点。则由A点运动到C点过程中，小球的水平速度vx与水平位移x之间的关系图像，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：设BC与水平面的夹角为θ，小球刚开始从A点运动的初速度为v0，重力加速度为g。
小球在光滑水平面从A到B，做匀速直线运动，速度保持不变，则有vx＝v0；
小球从B到C，沿斜面向上做匀减速直线运动，到B点水平方向的初速度突变为
vx＝v0cosθ＜v0
即突变后速度变小。
设水平方向的加速度为ax，根据运动学公式有
可得
即从B到C过程中vx与x是非线性关系。
故ABC错误，D正确。
故选：D。
23．在雪地军事演习中，已知子弹射出时的速度大小为450m/s，射击者坐在以15m/s的速度大小向正西方向行驶的雪橇上，要射中位于他正南方静止的靶子，此时射击应（　　）
A．射击方向南偏东，且偏向角的正弦值为
B．射击方向南偏东，且偏向角的正切值为
C．射击方向南偏西，且偏向角的正弦值为
D．射击方向南偏西，且偏向角的正切值为
【答案】A
【解答】解：子弹射出后的实际速度只能向南，根据运动的合成与分解可知，射击方向应为南偏东，与正南方向的夹角为θ
有
vsinθ＝v0＝15m/s
可知
sinθ
故射击方向南偏东，且偏向角的正弦值为。故A正确，BCD错误。
故选：A。
24．图甲为3D打印机，在水平面上建立如图乙所示的平面直角坐标系。在某次打印过程中，打印机的喷头在某一固定高度处进行打印（高度保持不变），此时位于水平面内的托盘沿x轴正方向以v1＝0.01m/s的速度匀速运动，而喷头以v2＝0.02m/s的速度沿图乙所示方向做匀速直线运动。则在托盘上打印出的图案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，托盘沿x轴正方向运动，喷头与x轴正方向成60°角匀速运动（以地面为参考系），因v2cos60°＝v1，其沿托盘方向相同，则以托盘为参考系的运动速度为v相，为沿y轴正方向的直线。故A正确，BCD错误；
故选：A。
25．如图所示，滑板运动员沿水平地面向前滑行，在横杆前相对于滑板竖直向上起跳，人与滑板分离，分别从横杆的上、下通过，忽略人和滑板在运动中受到的阻力，则运动员（　　）
A．起跳时脚对滑板的作用力水平向右
B．在空中水平方向先加速后减速
C．越过杆后落在滑板的后方
D．越过杆后仍落在滑板上起跳的位置
【答案】D
【解答】解：A、运动员竖直起跳，由于本身就有水平初速度，所以运动员既参与了水平方向上的匀速直线运动，又参与了竖直上抛运动。各分运动具有等时性，水平方向的分运动与滑板的运动情况一样，最终落在滑板的原位置。所以竖直起跳时，对滑板的作用力应该是竖直向下，故A错误；
B、运动员水平方向上做匀速直线运动，故B错误；
CD、人相对于滑板竖直向上起跳后，由于惯性，两者在水平方向上保持原速度不变，故人越杆后仍能落在滑板上起跳的位置，故C错误，D正确。
故选：D。
六．两个匀速直线运动的合成（共5小题）
26．如图，一粗糙的水平木板以速度v1向右做匀速直线运动，一可视为质点的煤块从木板上的某点P以垂直于v1的速度v2滑上木板，则煤块在木板上留下的痕迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可知，木板以速度v1向右做匀速直线运动，相当于煤块在水平方向相对木板从P点有向左运动的速度，根据速度的合成规律可知，等效向左的v1与速度v2的合速度的运动轨迹在P点的左侧斜向后，又煤块在木板上仅受摩擦力，摩擦力方向与相对运动方向相反，因此煤块相对木板做直线运动，则煤块在木板上留下的痕迹可能是A。故A正确，BCD错误。
故选：A。
27．如图所示，一块橡皮擦用细绳悬挂于圆柱体的O点，圆柱体以恒定的角速度滚动，从而使圆柱体匀速向左移动，细绳将缠绕在圆柱体上，使橡皮擦上升。以橡皮擦开始运动的起点为坐标原点，橡皮擦的运动轨迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：圆柱体以恒定的角速度滚动，则竖直方向橡皮擦匀速上升；圆柱体匀速向左移动，则橡皮擦水平方向匀速向左运动，橡皮擦实际运动是向左上方做匀速直线运动，故A正确、BCD错误。
故选：A。
28．在一端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡块，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置蜡块沿玻璃管匀速上升。在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速运动，观察蜡块做（　　）
A．匀速直线运动 B．匀减速直线运动
C．匀变速曲线运动 D．匀加速直线运动
【答案】A
【解答】解：蜡块沿玻璃管匀速上升，同时沿水平方向向右匀速运动，两个方向的加速度均为零，即合加速度仍为零。所以观察蜡块做的是匀速直线运动。故A正确，BCD错误。
故选：A。
29．如图所示，倾角为α＝30°的斜面体A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上。滑轮左端的细线水平，右侧的细线与斜面平行。撤去固定A的装置后，用力推A使其向右做匀速直线运动（B未到达滑轮位置），取sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，以下说法正确的是（　　）
A．A运动的位移为x时，B的位移大小为x
B．A运动的位移为x时，B的位移大小为
C．若A以速度v匀速运动，B以0.97v匀速运动
D．若A以速度v匀速运动，B以0.52v匀速运动
【答案】D
【解答】解：AB、撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动，当A滑动的位移为x时，设B的位移大小s，根据运动的合成与分解，如图所示
依据几何关系有B的水平位移为sx＝x（1﹣cosα），
B的竖直位移为sy＝xsinα，根据位移的合成得B的位移大小为，
代入数据解得B的位移大小，故AB错误；
CD、若A以速度v匀速运动，根据，，
联立解得vB＝2sin15° v＝0.52v，故C错误，D正确。
故选：D。
30．如图所示，在无风的天气里，塔吊正在将一件货物B起吊。某段时间内，动滑轮A拉着连接货物B的绳索将B吊起，同时A和B以相同的水平速度相对于地面匀速运动，A与B之间的距离以l＝H﹣t+t2的规律变化（H为A到地面的距离）。则在这段时间内货物B的受力情况和相对于地面的运动轨迹正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据在某段时间内A、B之间距离以l＝H﹣t﹣t2的规律变化可以知道H﹣L＝t﹣t2，说明货物以初速度为1m/s，加速度为﹣2m/s2，货物匀减速上升，货物在水平方向匀速运动，所以在水平方向上不受力，货物受到合力方向竖直向下，即货物在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向上匀减速上升，故B正确，ACD错误。
故选：B。
七．两个变速直线运动的合成（共5小题）
31．一个圆盘被抛出后，绕垂直盘面并通过中心O的轴顺时针转动，圆盘面保持在竖直面内，某时刻中心O点的速度与水平方向成45°斜向上，如图所示。则关于此刻A、B点的运动（　　）
A．相对于地面速度大小相等
B．相对于地面速度方向相反
C．相对于O点的速度相同
D．相对于O点的角速度相同
【答案】D
【解答】解：CD.AB在同一个圆盘上绕圆心做圆周运动，所以相对圆心角速度相等，半径相同，所以线速度大小相等，但方向相反，故C错误，D正确；
AB.如图所示：
由平行四边形法则可知，vA和vB的大小不同，方向没有必然关系，故AB错误。
故选：D。
32．游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O′为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O′固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O′恰好在同一条直线上。则（　　）
A．A点做匀速圆周运动
B．O′点做匀速圆周运动
C．此时A点的速度小于O′点
D．此时A点的速度等于O′点
【答案】B
【解答】解：AB．底盘以O为转轴在水平面内沿顺时针方向匀速转动，O′点固定在底盘上，故O′点围绕O点做匀速圆周运动。转杯以O′为转轴在水平面内沿顺时针方向匀速转动，故杯上A点相对于O′点做匀速圆周运动，而O′点又相对于O点做匀速圆周运动，故A点的运动轨迹不是圆周，故A点不做匀速圆周运动，故A错误，B正确；
CD．此时刻A点与O、O′恰好在同一条直线上，并且O′点相对于O点与A点相对于O′点做匀速圆周运动的线速度方向相同，故此时A点的速度大小等于O′点相对于O点的速度大小与A点相对于O′点的速度大小之和，故此时A点的速度大于O′点，故CD错误。
故选：B。
33．国产大飞机C919是我国自行研制、具有自主知识产权的喷气式民用飞机，于2017年成功首飞。如图所示，飞机在起飞过程中的某时刻水平分速度为60m/s，竖直分速度为6m/s，已知在此后的1min内，飞机在水平方向做加速度为2m/s2的匀加速直线运动，竖直方向做加速度为0.2m/s2的匀加速直线运动。关于这1min内飞机的运动与受力情况，下列选项中说法正确的是（　　）
A．飞机上的乘客处于失重状态
B．飞机的运动为匀变速曲线运动
C．前20s内，飞机上升的高度为120m
D．前20s内，飞机水平方向的平均速度为80m/s
【答案】D
【解答】解：A.飞机在竖直方向做匀加速直线运动，加速度方向向上，所以乘客处于超重状态，故A错误；
B.假设飞机的实际速度方向与水平方向的夹角为θ，加速度与水平方向的夹角为α，则有
故飞机的实际速度与加速度的方向相同，飞机做匀加速直线运动，故B错误；
C.飞机在竖直方向上做匀加速直线运动，前20s飞机上升的高度，故C错误；
D.在t＝20s时飞机的水平速度v1＝vx+axt＝（60+2×20）m/s＝100m/s
则前20s内的平均速度80m/s
故D正确。
故选：D。
34．风洞实验是进行空气动力学研究的重要方法。如图所示，将小球从O点以某一速度v0竖直向上抛出，经过一段时间，小球运动到O点右侧的B点，A点是最高点，风对小球的作用力水平向右，大小恒定。则小球速度最小时位于（　　）
A．O点 B．A点
C．轨迹OA之间的某一点 D．轨迹AB之间的某一点
【答案】C
【解答】解：小球运动过程中，受到重力和向右的风力，大小恒定，所以小球受到的合力方向为斜向右下方，且方向不变。小球由O点运动到A点的过程中，在O点时刻的速度方向竖直向上，与合力的夹角大于90°，力对小球做负功，在A点时刻的速度方向水平向右，与合力的夹角小于90°，力对小球做正功，可判断小球的动能先减小后增大；小球由A点运动到B点的过程中，速度方向斜向右下方，与合力的夹角小于90°，力对小球做正功，可判断小球的动能增大，故C正确，ABD错误。
故选：C。
35．随着科技的进步，2020年农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，某次无人机在0～5s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图甲、乙所示，规定竖直向上为正方向。无人机及快递总质量为2kg，g取10m/s2，求：
（1）0～2s内的加速度大小；
（2）2～4s内的空气对无人机的作用力大小；
（3）0～5s内的位移的大小。
【答案】（1）0～2s内的加速度大小等于；
（2）2～4s内的空气对无人机的作用力大小等于18N；
（3）0～5s内的位移的大小等于。
【解答】解：（1）由图像可知0～2s内无人机在水平方向和竖直方向的加速度分别为
，
则实际加速度大小为
（2）2～4s内无人机在x方向做匀速直线运动，在y方向做向上匀减速直线运动，以向上为正，则
无人机在竖直方向受空气作用力和重力
F﹣mg＝may
得
F＝18N
（3）0～5s内，根据v﹣t图线与横轴所围的面积表示位移可知，在x方向上的位移为x＝4m，在y方向上的位移为y＝4m，知合位移大小为
答：（1）0～2s内的加速度大小等于；
（2）2～4s内的空气对无人机的作用力大小等于18N；
（3）0～5s内的位移的大小等于。
八．分析合运动的轨迹问题（共3小题）
36．一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：根据题意分析可知，物块从车厢顶部落下后，在水平方向上，由于不计空气阻力，它不受任何水平力作用。根据牛顿第一定律（惯性定律），物块将保持脱离车厢瞬间的水平速度做匀速直线运动。在竖直方向上，物块只受重力作用，做自由落体运动。因此，物块相对地面的运动是平抛运动，其轨迹是一条抛物线。
以车厢为参考系，在物块下落的过程中，车厢在水平方向上向右做匀加速直线运动，而物块在水平方向上做匀速直线运动。因此，物块在水平方向上相对于车厢向左做初速度为零的匀加速直线运动。在竖直方向上，物块相对于车厢做自由落体运动。物块相对于车厢的运动，可以看作是水平方向向左的匀加速直线运动和竖直方向向下的匀加速直线运动的合运动。由于这两个分运动都是从静止开始的，根据运动的合成，其合运动的轨迹是一条过起点的直线，方向指向左下方，故B正确，ACD错误；
故选：B。
37．有一架正在飞行的无人机，其在水平方向（以水平向右为x轴正方向）和竖直方向（以竖直向上为y轴正方向）的速度—时间图像分别如图甲、乙所示。则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据甲乙图可知在第一段时间，x方向、y方向均作匀速直线运动，即a＝0，故合运动为直线运动；
在第二段时间，x方向为匀速直线运动，y方向为匀减速直线运动，即a沿y轴负方向，此时合速度方向必然与a方向不同，故为曲线运动；
根据曲线运动中，合力指向轨迹的凹侧，可知轨迹的凹侧为y轴负方向，故BCD错误，A正确。
故选：A。
38．如图所示，在一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，把玻璃管倒置，在蜡块相对玻璃管匀速上升的同时将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右移动，图中虚线为蜡块的实际运动轨迹，关于蜡块的运动，下列说法正确的是（　　）
A．蜡块水平方向的速度不断增大
B．蜡块速度先增大后减小
C．蜡块的运动的是匀变速曲线运动
D．蜡块运动的加速度先水平向左后水平向右
【答案】B
【解答】解：AB、由图可知，在水平方向上，蜡块受到的合力先向右，后向左，故蜡块水平方向的速度先增大，故减小，而竖直方向匀速上升，故蜡块速度先增大后减小，故A错误，B正确；
CD、蜡块加速度先水平向右后水平向左，故不是匀变速曲线运动，故CD错误。
故选：B。
九．求分速度的大小和方向（共3小题）
39．如图所示，两个相同的光滑立方体放在水平面上，在它们之间再放一个顶角为θ的尖劈，已知尖劈的加速度为a，则立方体的加速度为（　　）
A． B． C．atanθ D．atan
【答案】D
【解答】解：设经过一段时间t，尖劈下降的距离为h，有，单个立方体移动的距离为x，立方体的加速度ax，则有，根据尖劈和立方体的运动关系可得，解得立方体的加速度为，故ABC错误，D正确。
故选：D。
40．如图为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，速度大小分别为2v、v，A、B、C不在一条直线上，角ACB为60度。由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，下列说法正确的是（　　）
A．驳船C的速度方向在CA和CB的夹角范围外
B．驳船C的速度大小为v
C．驳船C的速度大小为2v
D．驳船C的速度大小为
【答案】C
【解答】解：由题，A、B的速度分别为2v和v，而且CA、CB之间的夹角为60°，可知沿AC方向的速度2v在沿BC方向上的投影恰好也是v，可知驳船C的速度恰好沿AC的方向，而且大小也恰好等于拖船A的速度2v，其他的方向与大小都不合适，如图。
故C正确，ABD错误。
故选：C。
41．如图所示，斜坡式自动扶梯与水平面的夹角为θ，运行的速度为v。小华在自动扶梯上站立不动时，竖直方向的分速度为（　　）
A．v B．vsinθ C．vcosθ D．vtanθ
【答案】B
【解答】解：根据速度的合成与分解，将自动扶梯的速度分解为水平和竖直方向，可知竖直方向的分速度为vy＝vsinθ，故ACD错误，B正确。
故选：B。
十．关联速度问题（共5小题）
42．如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m的物体上升。若小车以v1的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，绳对物体的拉力为FT，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．v2＝v1
B．v2＝v1sinθ
C．物体处于超重状态
D．绳对物体的拉力为FT小于mg
【答案】C
【解答】解：AB、小车的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳的方向两个运动，由题意中夹角为θ，由几何关系可得：v2＝v1cosθ，故AB错误；
CD、因v1不变，而当θ逐渐变小，故v2逐渐变大，物体有向上的加速度，当加速上升时，处于超重状态，FT＞mg，故C正确，D错误。
故选：C。
43．2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，舞者巧借威亚展现别样东方美，寓意鱼跃龙门好运连连。如图所示，图甲为吊威亚表演者的照片，图乙为其简化示意图，工作人员A以速度v沿直线水平向左匀速拉轻绳，表演者B在空中升起，则在此过程中（　　）
A．表演者B匀速上升
B．表演者B上升速度越来越小
C．表演者B处于超重状态
D．经过图示位置θ＝30°时，A与B的速度大小之比为
【答案】C
【解答】解：D．根据关联速度可得vB＝vAcosθ
当θ＝30°时，A与B的速度大小之比为2：，故D错误；
ABC．工作人员A以速度v沿直线水平向左匀速拉轻绳，θ角变小，则vB变大，即B加速度向上，处于超重状态，故AB错误，C正确。
故选：C。
44．“一杆挥去人间冷暖，一钩钓尽水中日月。”从古至今，垂钓都能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示，某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从A位置被拉到B位置，线与杆的结点O保持不动。O点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　）
A．若该爱好者匀速收线，则鱼可能做减速运动
B．若该爱好者加速收线，则鱼可能做匀速运动
C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做加速运动
D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动
【答案】C
【解答】解：A．设线与水面的夹角为θ，将鱼实际的速度沿线的方向和垂直于线的方向分解如图
由平行四边形定则可知v1＝vcosθ
若v1不变，θ增大，则cosθ减小，v增大，故A错误；
B．若v1增大，cosθ减小，则v一定增大，故B错误；
CD．若v1减小，cosθ减小，则v可能增大，可能减小，也可能不变，故C正确，D错误。
故选：C。
45．如图所示，一细木棍斜靠在地面与竖直墙壁之间，木棍与水平面之间的夹角为45°。A、B为木棍的两个端点，A点到地面的距离为1m。重力加速度取10m/s2，空气阻力不计。现一跳蚤从竖直墙上距地面0.55m的C点以水平速度v0跳出，要到达细木棍上，v0最小为（　　）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s
【答案】A
【解答】解：跳蚤的运动轨迹如下所示：
AC之间的距离为：1m﹣0.55mm＝0.45m，由图可知：水平位移x＝h+0.45m…①
根据平抛运动规律有：x＝v0t…②
，
联立①②③④解得：v0＝3m/s，故A正确，BCD错误。
故选：A。
46．如图所示，物体A、B质量分别为M和m，通过轻绳跨过轻质定滑轮相连接，B与地面间的动摩擦因数为μ，在水平外力的作用下，B沿水平地面向右运动，A恰以速度v0匀速上升，重力加速度为g。当轻绳与水平方向夹角为α时，B的速度大小为　　 ；若此时水平外力大小为F，则B与地面间的摩擦力大小f＝　μ（mg﹣Mgsinα）　 。
【答案】，μ（mg﹣Mgsinα）。
【解答】将B的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解，如图所示：
沿绳子方向的分速度等于A的速度v0，根据几何关系有v0＝vBcosα，可得。
对B受力分析，如图所示：
竖直方向上，支持力N＝mg﹣Tsinα，其中绳子拉力T＝Mg（因A匀速上升，拉力等于A的重力）。滑动摩擦力f＝μN＝μ（mg﹣Mgsinα）。
故答案为：，μ（mg﹣Mgsinα）。
十一．探究平抛运动的特点（共4小题）
47．用如图所示装置绘制小球做平抛运动的轨迹，关于此实验下列说法错误的是（　　）
A．斜槽轨道必须光滑且末端沿水平方向
B．小球每次需从斜槽上同一位置自由滑下
C．实验中需要记录小球平抛的起点位置
D．为较准确地绘出小球运动轨迹，记录的点应适当多一些，并用平滑曲线把各记录点连起来
【答案】A
【解答】解：A、为确保小球做平抛运动，斜槽轨道末端必须沿水平方向，只要小球每次从斜槽上同一位置自由滑下，到斜槽轨道末端速率相等即可，不必光滑，故A错误；
B、为确保小球每次做平抛运动轨迹重合，小球每次需从斜槽上同一位置自由滑下，故B正确；
CD、为了减小误差，实验中需要记录小球平抛的起点位置，能够较准确地绘出小球运动轨迹，记录的点应适当多一些，并用平滑曲线把各记录点连起来。故CD正确；
本题选择错误的，故选：A。
48．如图所示，在探究平抛运动规律的实验中，忽略空气阻力的影响。用小锤击打弹性金属片，P球沿水平方向抛出，同时Q球被松开而自由下落。再次实验，增加锤子击打金属片的力度，两次实验中关于两球空中运动时间tP和tQ的说法正确的是（　　）
A．tP增大 B．tP减小 C．tQ减小 D．tQ不变
【答案】D
【解答】解：P球沿水平方向抛出后做平抛运动，其在竖直方向上做自由落体运动，Q球做自由落体运动，两者在竖直方向上的运动相同，根据hgt2，两次实验下落高度h均不变，故两球在空中运动时间均不变，故D正确，ABC错误。
故选：D。
49．如图所示，将两个斜滑道固定在同一竖直平面内，最下端水平，把两个质量相等的小钢球，从滑道的同一高度由静止同时释放，滑道2与光滑水平板平滑连接，则他将观察到1球击中2球，这说明（　　）
A．平抛运动在水平方向是匀速运动
B．平抛运动在竖直方向是自由落体运动
C．平抛运动在水平方向做匀加速直线运动
D．平抛运动在竖直方向做匀速运动
【答案】A
【解答】解：把两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度由静止同时释放，滑道2与光滑水平板平滑连接，将观察到的现象是球1落到水平木板上击中球2，知1球在水平方向上的运动规律与2球相同，即平抛运动在水平方向上做匀速直线运动。故A正确，BCD错误。
故选：A。
50．某同学要探究类平抛运动的规律，设计了如图所示实验装置，他将一块足够大的平整方木板的一端放在水面地面上，另一端用支撑物垫起，形成一个倾角为θ的斜面。他先将一个小木块轻轻放在斜面上，放手后发现小木块会沿斜面向下运动；接着该同学将木块置于木板左上角，同时给小木块一个平行木板水平向右的初速度v0，为探究木块的运动轨迹，在木板上沿斜面向下和水平方向建立xOy直角坐标系。木块与木板表面间的动摩擦因数处处相同均为μ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．小木块在斜面上的运动轨迹为一条抛物线，该同学实验方案可行
B．小木块获得初速度v0开始运动的瞬间，其加速度大小为a＝g（sinθ﹣μcosθ）
C．小木块沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动
D．小木块最终沿与y轴平行的方向做匀加速直线运动，加速度大小a＝g（sinθ﹣μcosθ）
【答案】D
【解答】解：ABD．小木块开始运动的瞬间，受重力、支持力、滑动摩擦力，滑动摩擦力的方向与v0方向反向，把重力分解为垂直斜面向下和沿斜面向下的两个力，由顿第二定律有
解得
此后木块在y方向做加速运动，x方向做减速运动，当x方向速度减为零时，x方向不再运动，最终木块在y方向做匀加速直线运动，其加速度大小为
所以木块不是做类平抛运动，故AB错误，D正确；
C．滑动摩擦力的方向从最初与v0方向反向，逐渐变为沿y轴负方向，则小木块沿y轴方向的分运动为先做加速度减小的加速直线运动，后做匀加速直线运动，故C错误。
故选：D。
十二．平抛运动在竖直和水平方向上的特点（共4小题）
51．饲养员将香蕉对准树上的猴子水平抛出，猴子同时自由下落。落地前，猴子观察到香蕉相对于自身做（　　）
A．平抛运动 B．匀速直线运动
C．自由落体运动 D．匀加速直线运动
【答案】B
【解答】解：香蕉被水平抛出做平抛运动，其水平方向做的是匀速直线运动，竖直方向做的是自由落体运动（加速度g）。猴子自由下落，仅竖直方向做自由落体运动（加速度g）。因此，香蕉相对于猴子仅水平方向匀速运动，整体为匀速直线运动。则猴子观察到香蕉相对于自身做匀速直线运动，故B正确，ACD错误。
故选：B。
52．飞机在500米高处水平做匀速直线运动，从飞机上每隔3秒释放一个铁球，当刚释放第五个铁球时，不计空气阻力，g＝10m/s2，则下列选项中符合铁球在空中实际情况的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：依题意可知，释放的铁球做平抛运动，水平方向做匀速运动，所以着地前，铁球总是位于飞机的正下方；铁球竖直方向做自由落体运动，相同时间内的下落高度越来越大。
故D正确，ABC错误。
故选：D。
53．2024年巴黎奥运会开幕式于7月26日晚7点30分开始，备受世界各国关注。由405位运动员组成的中国体育代表团取得了傲人的成绩。有关奥运会的信息，下列说法正确的是（　　）
A．2024年7月26日晚7点30分指的是时间间隔
B．潘展乐在男子100米自由泳比赛中夺冠是因为他的平均速度最大
C．用球拍击打乒乓球时，乒乓球受到的弹力是由于乒乓球发生弹性形变而产生的
D．铅球比赛中，若不计空气阻力，铅球在空中运动的任意相等时间内其速度变化量相同
【答案】D
【解答】解：A.时间是指时间的长度，在时间轴上对应时间段，而时刻是指时间点，在时间轴上对应的是一个点。22024年7月26日晚7点30分是一个具体的时间点，因此它指的是时刻，而不是时间间隔，故A错误；
B.平均速度是位移与时间的比值，常规游泳赛道的直线距离为50m，100m的赛程恰好是一个来回，所以100m应为路程，位移为0，所以平均速度也为0。潘展乐在男子100米自由泳比赛中夺冠是因为他的平均速率最大，故B错误；
C.弹力是发生弹性形变的物体由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力。在用球拍击打乒乓球时，乒乓球受到的弹力是由于球拍发生弹性形变而产生的，而不是乒乓球本身，故C错误；
D.铅球比赛中，若不计空气阻力，铅球只受重力作用，因此它做的是匀变速曲线运动。匀变速运动的特点是加速度恒定，可知在任意相等时间内速度的变化量是相同的，故D正确。
故选：D。
（多选）54．某同学用如图所示的装置。用小锤打击弹性金属片，金属片把球A沿水平方向弹出，同时B球被松开，自由下落，观察到两球同时落地，改变小锤打击的力度，即改变A球弹出时的速度，两球仍同时落地；改变整个装置距地面的高度，重复实验，两球仍同时落地。这个实验（　　）
A．证实了A球在水平方向做匀速运动
B．证实了B球在竖直方向做自由落体运动
C．证实了A球在竖直方向的运动与B球完全相同
D．A、B球只要选取体积、密度均相同的小球即可
【答案】CD
【解答】解：ABC．因为无论是改变A球的初速度，还是改变A球抛出点的高度，都与B球同时落地，表明A球在竖直方向上与B球做相同的运动，又因为B球做自由落体运动，所以证实了A球在竖直方向做自由落体运动，故AB错误，C正确；
D．A、B球只要选取体积、密度均相同的小球，目的是使两个小球在竖直方向上所受的重力、阻力均相同，从而保证两个小球在竖直方向上的运动性质一定相同，故D正确。
故选：CD。
十三．平抛运动中的相遇问题（共4小题）
55．每年的YadnyaKasada节日里，印尼民众都会聚集在当地的火山口，向其中投掷物品祈求好运。如图，有一个截面可看成抛物线形状的小型火山谷MON，M、N为火山口处的两点，且M高于N，O为谷底（抛物线的顶点），O点切线水平。现有两人从M、N两点分别以初速度v1、v2水平抛出两不同物品，同时击中O点（不考虑碰撞），不计空气阻力，则两物品（　　）
A．必须同时抛出
B．初速度v1与v2大小一定相等
C．击中O点时速度大小一定相等
D．在抛出过程中，相同时间内的速度变化量一定不同
【答案】B
【解答】解：D、平抛运动加速度恒为重力加速度g，则相同时间Δt内，速度变化量Δv＝g Δt一定相同，故D错误；
根据题意作图，
由h，结合hM＞hN，可得tM＞tN。要保证两物品同时到达O，M点的物品必须先抛出，故A错误。
B、根据h，x＝vt，解得v＝x
根据抛物线规律，则，代入数据解得1，即v1＝v2，故B正确；
C、从抛出到谷底，根据动能定理
mghmv2，解得v2+2gh
v1＝v2，hM＞hN，则击中O点时，从M抛出的物品速度更大，故C错误；
故选：B。
56．小球A和小球B在同一高度分别以速度5v0和v0水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向（大小不变），水平方向速度方向和大小均不变，小球A从抛出到第一次落地过程中，两小球的轨迹的交点a、b、c、d、e分布如图所示，其中两小球刚好在位置b相遇（不发生碰撞，互不影响各自的运动）。下列说法正确的是（　　）
A．两小球将在c处再次相遇
B．a、c两点的竖直距离与c、e两点的竖直距离之比为1：3
C．b、c两点的水平距离大于c、d两点的水平距离
D．小球A从b到d的平均速度等于它经过c时的瞬时速度
【答案】B
【解答】解：A、从位置b运动至位置c，两球初速度大小不同，水平方向匀速运动时间不同，因此不会在位置c再次相遇，故A错误；
BD、设小球A从a→b、a→c、a→d、a→e的时间分别为t1、t2、t3、t，根据平抛运动规律可知小球B从最高点到最近一次落地或从地面到最近一次最高点的时间均为t。
小球B从a→b的时间等于（2t﹣t1），则有：5v0t1＝v0（2t﹣t1）
小球B从a→c的时间等于（2t+t2），则有：5v0t2＝v0（2t+t2）
小球B从a→d的时间等于（4t﹣t3），则有：5v0t3＝v0（4t﹣t3）
联立解得：t1，t2，t3
可知小球A从a→c的时间是从a→e的时间的一半，由竖直方向自由落体运动，可得a、c两点的竖直距离与c、e两点的竖直距离之比为1：3，故B正确；
C、小球A从b→c的时间为t2﹣t1，从c→d的时间为t3﹣t2，两过程的时间相等，则b、c两点的水平距离等于c、d两点的水平距离，故C错误；
D、小球A经过c的时刻是其从b→d这段时间的中间时刻，则在竖直方向上小球A从b到d的平均速度等于它经过c时的瞬时速度，而小球的速度还有水平速度分量，且水平速度不变，故小球A从b到d的平均速度不等于它经过c时的瞬时速度，故D错误。
故选：B。
57．如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，则（　　）
A．两球抛出时A的速度大于B的速度
B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍
C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍
D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍
【答案】D
【解答】解：A．两个小球都做平抛运动，水平方向都做匀速直线运动，根据x＝v0t，根据题意，A运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，x和t都相等，所以v0相等，故A错误；
B．因为水平速度相等，台阶的宽度也相等，所以两个小球在空中运动的总时间之比为2：1，所以相遇时两球竖直速度之比为2：1，合速度v，其比值一定不等于2：1，故B错误；
C．根据平抛运动竖直方向：
水平方向：x＝v0t
联立解得：
台阶1、3的高度差与台阶2、3高度差之比为
所以，台阶1、2的高度差与台阶2、3高度差之比为
故C错误；
D．设2、3台阶的高度差为h0，则1、3台阶的高度差为4h0，设台阶的宽度x0，根据平抛运动的推论tanα＝2tanβ
得
两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值与B的速度与水平方向的夹角的正切值之比为
故D正确。
故选：D。
（多选）58．如图所示，一节车厢长16m、宽2.4m、高3.2m，它以速度v匀速行驶。一可视为质点的小球以垂直于v的水平速度v0从车厢的右上角A处的一个洞进入车厢，恰好撞击对角B。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，则（　　）
A．v＝10m/s B．v＝20m/s C．v0＝3m/s D．v0＝6m/s
【答案】BC
【解答】解：根据题意分析可知，设小球在时间t内到达地板，竖直方向上有
代入数据解得t＝0.8s
由于v0保持不变，它在0.8s内移动了2.4m的水平距离，所以
车厢必须在0.8s内向前移动16m，所以小球的速度为，故BC正确，AD错误；
故选：BC。
十四．速度偏转角与位移偏转角（共4小题）
59．某质点做平抛运动过程中，设它的位移方向与水平方向的夹角为θ，且tanθ随时间t变化的图像如图所示，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．物体的初速度大小为5m/s
B．物体的初速度大小为10m/s
C．第1s末物体的位移大小为2.5m
D．第1s末物体的速度大小为10m/s
【答案】C
【解答】解：AB.质点做平抛运动，位移偏向角为θ，则，其中ygt2，x＝v0t，可得tanθ t，由图像可知，斜率k＝2，即，解得v02.5m/s，故AB错误；
C.1s末的竖直方向位移y1gt25m，水平方向位移x1＝2.5×1m＝2.5m，
物体的位移大小为，故C正确；
D.1s末速度水平速度vx1＝v0＝2.5m/s，竖直速度vy1＝gt＝10×1m/s＝10m/s，
物体的速度大小为v1，故D错误；
故选：C。
60．如图所示为两同学打排球的情景，甲同学在距离地面高h1＝2.45m处将排球以v0＝12m/s的速度水平击出，乙同学在离地高h2＝0.65m处将排球垫起。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．排球被垫起前在空中运动的时间为0.7s
B．排球从击出到被垫起前运动的水平距离为7.2m
C．排球被垫起前瞬间的速度大小为12m/s
D．排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为30°
【答案】B
【解答】解：A、排球在空中做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，设排球在空中的运动时间为t，则，解得t0.6s，故A错误；
B、排球在水平方向做匀速直线运动，排球从击出到被垫起前运动的水平距离为x＝v0t＝12×0.6m＝7.2m，故B正确；
C、排球被垫起前瞬间的竖直方向速度为vY＝gt＝10×0.6m/s＝6m/s，则排球被垫起前瞬间的速度大小为，解得，故C错误；
D、设排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为θ，则，所以该夹角不是30°，故D错误。
故选：B。
61．如图所示，湖边有倾角为θ的大坝，水面与大坝的交点为O。人站在大坝上A点处以水平初速度v0沿垂直河岸方向向湖里抛石子，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　）
A．初速度v0越大，石子在空中运动时间越长
B．石子在空中运动时速度变化率在不断变大
C．若石子能落入水中，则石子在空中的速度变化量恒定不变
D．若石子不能落入水中，初速度v0越大落到斜面时速度方向与斜面的夹角越大
【答案】C
【解答】解：人站在大坝上A点处以水平初速度v0沿垂直河岸方向向湖里抛石子，若石子恰好落在O点，由平抛运动的规律有，x＝v0t＝LOAcosθ
联立解得
A．当初速度时，石块会落入水中，下落高度恒定，运动时间恒定，故A错误；
C．若石子能落入水中，石子在空中运动时速度变化量Δv＝gt
石子在空中运动时间恒定，则石子在空中的速度变化量恒定不变，故C正确；
B．石子在空中运动时，速度随时间的变化率
加速度恒定不变，故B错误；
D．当初速度时，石子落在大坝的斜面上，位移与水平方向的夹角为θ，根据
设速度方向与水平方向的夹角为α，根据
则推出tanα＝2tanθ
所以落到大坝的斜面上时速度方向与斜面的夹角是定值，与v0无关，故D错误。
故选：C。
（多选）62．如图，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD﹣AB1C1D1，边长为L，从顶点A以不同速率沿不同方向水平抛出同一小球（可视为质点，不计空气阻力）。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　）
A．落点在A1B1C1D1内的小球，运动时间可能不同
B．落点在A1B1C1D1内的小球，击中C1点的小球初速度最大
C．落点在A1B1C1D1内的小球，击中B1、D1点时速度相同
D．运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同
【答案】BD
【解答】解：AB、根据题意分析可知，落点在A1B1C1D1内的小球，运动时间均为
但落到C1点的小球水平位移最大，故其初速度最大，故A错误，B正确；
C、根据题意分析可知，击中D1点，此时初速度方向沿AD方向，故合速度方向在平面AA1D1D内；若击中B1点，此时初速度方向沿AB方向，故合速度方向在平面ABB1A1内；故速度方向不同，则速度不同，故C错误；
D、根据题意分析可知，运动轨迹与AC1相交的小球，位移的偏向角均相同，均为
速度的偏向角
可知速度偏向角都相同，即在与AC1交点处的速度方向都相同，故D正确。
故选：BD。
十五．速度反向延长线的特点（共2小题）
（多选）63．如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　）
A．两球抛出的速率之比为1：3
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中
【答案】ABD
【解答】解：A．根据几何关系如图：
知，Q到O点的水平方向的距离等于Rcos60°＝0.5R，所以M的水平位移：
xM＝R﹣05R＝0.5R
N的水平位移为：xN＝R+0.5R＝1.5R
则落在Q点的水平位移之比为1：3，
由匀变速直线运动的公式：
h，
两个运动竖直方向的位移相等，运动时间相等，根据水平方向是匀速直线运动：
x＝vt
位移之比等于初速度之比为1：3，故A正确；
B．若只增大v1，而v2不变，从水平运动看相遇的时间会变短，而竖直方向的位移会变小，故还没有落到圆弧上，两球可在空中相遇，故B正确；
C．要两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R，则（v1+v2）t＝2R
落点不同，竖直方向位移就不同，t也不同，所以v1+v2也不是一个定值，故C错误；
D．根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，假设小球垂直落在半球型坑中，速度反向延长线过球心O并不是水平位移的中点，两者矛盾，所以假设错误，不可能使小球沿半径方向落在圆弧轨道内，故D正确。
故选：ABD。
64．如图所示，小明参加户外竞技活动，轻绳一端固定在O点，小明站在平台边缘抓住轻绳另一端沿竖直面往下摆，摆到O点正下方B点时突然松手，小明（可视为质点）能安全落到漂浮在水池中的圆形浮漂上。已知，绳长L＝1.6m，浮漂圆心D点与B点的水平距离x＝2.7m，B点到水面的竖直高度y＝2.0m，浮漂半径R＝0.3m，高出水面厚度d＝0.2m，重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）小明摆到B点时的速度在什么范围能保证安全落到浮漂上？
（2）小明落到浮漂的圆心D点的速度方向与水平方向夹角的正切值为多少？
【答案】（1）小明摆到B点时的速度在4m/s≤v≤5m/s范围能保证安全落到浮漂上；
（2）小明落到浮漂的圆心D点的速度方向与水平方向夹角的正切值为。
【解答】解：（1）小明从B点落到浮漂上，竖直方向下落的高度：，代入数据可得t＝0.6s
小明落到浮漂上水平方向的最大位移：xmax＝x+R＝vmaxt
小明水平方向的最小位移：xmin＝x﹣R＝vmint
代入数据可得：vmax＝5m/s，vmin＝4m/s
所以小明的速度在4m/s≤v≤5m/s范围内能保证安全落到浮漂上；
（2）设小明落到浮漂的圆心D点的速度方向与水平方向夹角为θ，由平抛运动的推论：速度反向延长线经过水平位移的中点，可得
代入数据可得。
答：（1）小明摆到B点时的速度在4m/s≤v≤5m/s范围能保证安全落到浮漂上；
（2）小明落到浮漂的圆心D点的速度方向与水平方向夹角的正切值为。
十六．在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）（共3小题）
65．一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（　　）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gsinθ
C．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0
D．小球从A处到达B处所用的时间为
【答案】C
【解答】解：AB、小球在光滑斜面上仅受重力mg与支持力N，合力F合＝mgsinθ沿斜面向下。由牛顿第二定律得加速度a＝gsinθ，方向沿斜面向下。因初速度v0方向与合力垂直，故小球做类平抛运动，轨迹为抛物线，故AB正确；
D、沿斜面向下方向满足，由匀加速运动公式得，解得，故D正确；
C、水平方向位移，与选项表达式不符，故C错误。
本题选不正确的，故选：C。
66．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　）
A．小球运动的加速度为10m/s2
B．小球从B运动到A所用时间为2s
C．小球从B点水平射入时的速度为
D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面
【答案】C
【解答】解：A、依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则物体做匀变速曲线运动，
再根据牛顿第二定律得，物体的加速度为：g′gsinθ＝10m/s2＝5m/s2，故A错误；
BC、根据ag′t2，有：tss
根据b＝v0t，有：
v0m/s＝2m/s，故B错误，C正确；
D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，因水平位移不变，则下落的时间会减小，则不能从底端A点离开斜面，故D错误；
故选：C。
67．跳台滑雪是冬奥会的重要竞技项目。如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出。该运动员两次试滑分别在斜坡上的M、N两点着陆。已知OM＝MN，斜坡与水平面的夹角为θ，不计空气阻力，运动员（含装备）可视为质点，则该运动员两次试滑（　　）
A．着陆在M，N点时速度的方向不同
B．着陆在M、N点时动能之比为
C．着陆在M、N点两过程时间之比为
D．着陆在M，N点两过程离斜坡面最远距离之比为
【答案】C
【解答】解：A．根据平抛运动规律可知，设落点的速度方向与水平方向成α角，位移偏转角正切值的两倍等于速度偏转角的正切值，即2tanθ＝tanα
题图可知两次的位移偏转角相同均为θ，故着陆在M，N点时速度偏转角α相同，即两次落点速度方向相同，故A错误；
B．运动员落点时竖直方向速度
因为OM＝MN，则有hON＝2hOM
可得
因为速度偏转角α相同，则有
可知
根据动能
则
故B错误；
C．以上分析可知
故C正确；
D．将运动员的运动沿斜坡方向和垂直于斜坡方向分解，两次垂直于斜面的速度之比为
则着陆在M，N点两过程离斜坡面最远距离之比
故D错误。
故选：C。
十七．在外力作用下的类平抛运动（共2小题）
68．“风洞实验”指在风洞中安置飞行器或其他物体模型，研究气体流动及其与模型的相互作用，以了解实际飞行器或其他物体的空气动力学特性的一种空气动力实验。在如图所示的风洞中存在大小恒定的水平风力，现将一小球从M点竖直向上抛出，其运动轨迹如图中的实线所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点的动能为9J，在O点的动能为1J，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　）
A．小球受到的重力与受到的风力大小之比为1：3
B．小球落到N点时的动能为13J
C．O点到MN的距离与M、N两点间的距离之比为3：4
D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为0.9J
【答案】A
【解答】解：A、根据和可得vM＝3v1。竖直方向vM＝gt，水平方向v1＝axt，联立解得。根据牛顿第二定律可得小球受到的重力与风力大小之比为3：1，故A错误；
B、由运动合成与分解可知，小球水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，因此M点到O点与O点到N点时间相同。设M点速度为vM，O点速度为v1，水平加速度。O点为轨迹最高点，此时v1＝axt，N点水平速度vNx＝a 2t+2v1。已知，，解得，EN＝13J，故B正确；
C、设O点到MN距离为h，竖直方向，水平方向，联立得，故C正确；
D、最小速度为vM在垂直于合力方向的分量，其中，tanθ＝3，故vmin＝vMcosθ。最小动能，Ekmin＝0.9J，故D正确。
本题选错误选项，故选A。
69．如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度v0，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则初速度v0的大小和恒力F的大小分别为（　　）
A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N
C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N
【答案】D
【解答】解：小球做类平抛运动，根据牛顿第二定律可知，运动的加速度为
小球沿初速度方向为匀速直线运动，故位移为x＝v0t
沿恒力F方向做匀变速直线运动，故位移为
根据几何关系有y＝ssin37°，x＝scos37°，其中：s＝12.5m
联立解得v0＝10m/s，F＝1.5N，故D正确，ABC错误；
故选：D。
十八．斜抛运动（共3小题）
70．某部队在水平地面上训练时，火炮发射的炮弹轨迹如图所示。火炮先以v1发射第一枚炮弹，一段时间后，再以v2发射第二枚炮弹，最终二者同时击中同一目标。已知v1、v2与水平方向夹角分别为α、β，不计炮身高度和空气阻力，则（　　）
A．α一定小于β B．α可能等于β
C．v1一定小于v2 D．v1可能等于v2
【答案】D
【解答】解：两枚炮弹击中同一目标，说明水平射程R相同。由题意，第一枚炮弹先发射且二者同时击中目标，可知第一枚炮弹飞行时间较长，即t1＞t2。竖直方向：由，由于t1＞t2，则v1sinα＞v2sinβ；同时第一枚炮弹上升的最大高度较大，对应图中实线轨迹。水平方向：由R＝（vcosθ）t，由于R相同且t1＞t2，则v1cosα＜v2cosβ。
AB、分析角度：因为v1sinα＞v2sinβ且v1cosα＜v2cosβ，则有。在0＜α，β＜90°范围内，有α＞β，故AB错误；
CD、分析初速度大小：由射程公式可知，当v1＝v2时，若两发射角度互余（即α+β＝90°）且α≠β，两炮弹的射程相同。结合α＞β，此时第一枚炮弹飞行时间确实更长，完全符合题意。因此v1可能等于v2，故C错误，D正确。
故选：D。
71．在同一竖直平面内距离地面高度为hA、hB处的A、B两点，A、B所在竖直线与球网之间的水平距离为L。有两个网球以相同大小的速度v0分别斜向上和斜向下抛出，与水平方向的夹角均为θ，网球恰好均能掠过球网，且轨迹平面与球网垂直，，不计空气阻力。则A、B两点高度差为（　　）
A．L B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设球网高为h，不计空气阻力，两球做斜抛运动，两球在水平方向上做匀速直线运动，则有
对于斜向下抛的网球则有
对于斜向上抛的网球则有
联立解得hA﹣hB＝L，故A正确，BCD错误。
故选：A。
72．如图所示，某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一水平面上的目标O发射炮弹，已知Q处的炮兵先发射炮弹，要求同时击中目标。若忽略空气阻力，目标O可视为质点，下列说法正确的是（　　）
A．两颗炮弹运动的最高点在同一高度
B．从Q处射出的炮弹初速度方向与水平方向的夹角较大
C．从P处射出的炮弹在最高点时的速度较小
D．从射出到击中O点，两炮弹的速度变化量相同
【答案】B
【解答】解：炮弹在飞行过程中，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，两炮弹均击中同一水平面上的目标O。
A、由于Q处的炮弹先发射且两弹同时击中目标，可知Q弹在空中的飞行时间较长，即tQ＞tP
根据上升高度公式
可知时间越长，最高点高度越高，故Q弹的最高点高于P弹，故A错误；
B、设发射角为θ，水平分速度为vx，竖直分速度为vy，则飞行时间
水平位移x＝vxt
由此可得
由图可知水平位移满足xP＞xQ，结合tQ＞tP
可知，即tanθQ＞tanθP，故θQ＞θP，故B正确；
C、炮弹在最高点时的速度即为水平分速度
由于xP＞xQ且tP＜tQ
可知水平速度满足vxP＞vxQ，即P弹在最高点时的速度较大，故C错误；
D、炮弹在空中的速度变化量Δv＝gt，由于两炮弹飞行时间t不同，其速度变化量的大小一定不同，故D错误。
故选：B。专题01 抛体运动
题型1 曲线运动的概念和特点 题型2 曲线运动瞬时速度的方向
题型3 物体做曲线运动的条件 题型4 物体运动轨迹、速度、受力(加速度)的相互判断
题型5 合运动与分运动的关系 题型6 两个匀速直线运动的合成
题型7 两个变速直线运动的合成 题型8 分析合运动的轨迹问题
题型9 求分速度的大小和方向 题型10 关联速度问题
题型11 探究平抛运动的特点 题型12 平抛运动在竖直和水平方向上的特点
题型13 平抛运动中的相遇问题 题型14 速度偏转角与位移偏转角
题型15 速度反向延长线的特点 题型16 在斜面上的类平抛运动(物体在斜面上运动)
题型17 在外力作用下的类平抛运动 题型18 斜抛运动
▉考点01 曲线运动的速度方向
1.曲线运动的定义
运动轨迹是曲线的运动叫作曲线运动(curvilinearmotion).
2.曲线的切线
（1）如图5-1-1所示，过曲线上的A、B两点作直线，这条直线叫作曲线的割线.设想B点逐渐沿曲线向A点移动，这条割线的位置也就不断变化.当B点非常非常接近A点时，这如图5-1-2所示，在水平桌面上放一张白纸，白纸上摆一条由几段稍短的弧形轨道组合而成的弯道.使表面沾有红色印泥的钢球以一定的初速度从弯道的C端滚入，钢球从出口A离开后会在白纸上留下一条运动的痕迹，它记录了钢球在A点的运动方向.拆去一段轨道，出口改在B.用同样的方法可以记录钢球在B点的运动方向.结论：白纸上的印迹沿轨道(曲线)出口处的切线方向，这说明钢球脱离轨道时的运动方向总是沿轨道(曲线)在该点的切线方向.
(2)理论分析
假设图5-1-2中的曲线是某一质点的运动轨迹，质点在一段时间内由B点运动到A点，由平均速度公式知曲线运动的平均速度等于时间t内的位移与时间t的比，方向与位移的方向相同，则质点由B点运动到A点的平均速度方向由B指向A.当B点越来越靠近A点时，质点的位移方向越来越接近A点的切线方向，则平均速度方向越来越接近A点的切线方向.当B点与A点的距离接近0时，质点在A点的速度方向沿过A点的切线方向.
(3)探究结果
理论和实验表明：质点在某一点(某一时刻)的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
3.曲线运动性质
速度是矢量，既有大小，又有方向.由于曲线运动中速度方向是变化的，所以曲线运动是变速运动.
▉考点02 物体做曲线运动的条件
1.物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合力方向与物体的速度方向不在同一直线上.
(2)运动学条件：加速度方向与物体的速度方向不在同一直线上.2对物体做曲线运动的条件的理解
(1)无力不转弯，转弯必有力.曲线运动是变速运动，因此必定有加速度，而力是产生加速度的原因，因此做曲线运动的物体受到的合力不为0.
(2)从力的作用效果理解物体做曲线运动的条件
当物体受到的合力的方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，而是成一定角度时，合力产生的加速度方向跟速度方向也成一定角度.把加速度分解到平行速度方向和垂直速度方向，如图5-1-5甲、乙所示.
与速度方向在同一条直线上的加速度a ,使速度v增大(a 与v同向)或减小(a 与v反向);沿垂直速度方向的加速度a ,使速度v的方向改变.所以物体做曲线运动时，a 一定不等于0,合加速度一定与速度不共线.
▉考点03 对曲线运动的进一步理解
1.曲线运动的特点
(1)做曲线运动的物体的位移大小一定小于其路程，其平均速度大小一定小于其平均速率.
(2)曲线运动是变速运动，物体所受合力与轨迹切线方向共线的分力使物体的速度大小发生变化，沿垂直速度方向的分力使物体的速度方向发生变化.
2.物体做曲线运动时合力与轨迹的关系
做曲线运动的物体，其轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，且向合力所指的方
弯曲，即合力指向轨迹的凹侧。
▉考点04 一个平面运动的实例
1实验过程
在一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A,将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图5-2-1甲所示).
把玻璃管倒置 水平方向不动(如图乙) 水平向右匀速运动(如图丙)
观察蜡块的运动 向上匀速运动 向右上方运动
玻璃管水平向右匀速运动时，蜡块既向上做匀速运动，又随着玻璃管的移动向右做匀速运动，那么,蜡块的实际运动情况怎样呢
2研究蜡块的运动
建立坐标系→以蜡块开始匀速运动的位置为原点0,以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图5-2-2所示.蜡块到达任意位置P的坐标为(x,y).
蜡块运动的轨迹→设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为vy,玻璃管水平向右匀速移动的速度为v,从蜡块开始匀速运动的时刻开始计时，则t时刻有x=v t,y=v,t,两式消去t,得y= vx和vy,都是常量，所以代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的运动轨迹是直线.
蜡块运动的速度→根据勾股定理可得蜡块的速度v=,设v与x轴正方向的夹角为θ(如图5-2-2所示),则由三角函数知识可知tanθ=。
3结论
蜡块向右上方的运动，由沿玻璃管向上的匀速直线运动和水平向右的匀速直线运动构成.
▉考点05 运动的合成与分解
1合运动和分运动
(1)合运动与分运动的定义：如果物体同时参与了几个运动，则该物体实际发生的运动叫作那几个运动的合运动，那几个运动叫作这个实际运动的分运动.
(2)合运动与分运动的关系
独立性 一个物体同时参与两个运动，其中的任一个分运动并不会因为有另外的分运动的存在而有所改变，即各分运动是相互独立、互不影响的.
等时性 各个分运动与合运动总是同时开始、同时结束，经历的时间相等.不是同时发生的运动不能进行运动的合成.
等效性 各分运动合成起来的效果和合运动的效果相同，即分运动与合运动可以“等效替代”.
同体性 合运动和它的分运动必须对应同一个物体的运动，一个物体的合运动不能分解为另一个物体的分运动.
矢量性 合运动与分运动的位移、速度和加速度之间的关系均可以进行矢量运算.
2运动的合成与分解
(1)定义
由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成;反之，由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解,即：
(2)规律
运动的合成与分解实质上是对描述物体运动的物理量如位移、速度、加速度的合成与分解，遵从矢量运算法则.
①两个分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减.
②两个分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成与分解.
▉考点06 合运动的性质和轨迹的判断
1合运动性质的判断方法
F、a一定同向：
F、v方向共线→直线运动→F变化：非匀变速直线运动；F不变：匀变速直线运动
F、v方向不共线→曲线运动→F变化：非匀变速曲线运动；F不变：匀变速曲线运动
2互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a=0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 V0=0
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
▉考点07 平抛运动
1抛体运动
(1)概念：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动.
(2)特点：①初速度不为0;②只受重力作用.
(3)性质：做抛体运动的物体，只受重力作用，加速度始终为重力加速
度，所以抛体运动一定是匀变速运动.
2平抛运动
(1)概念：如果抛体运动的初速度是沿水平方向的，物体所做的运动叫作平抛运动.
(2)性质：平抛运动的加速度为重力加速度，平抛运动是匀变速曲线运动.
(3)条件：物体具有水平方向的初速度且运动过程中只受到重力的作用.
▉考点08 探究平抛运动的特点
1实验思路
(1)提出问题
平抛运动是曲线运动，速度和位移的大小和方向时刻在发生变化.怎么研究这个复杂的曲线运动呢 我们可以将复杂的曲线运动分解为两个简单的直线运动.
(2)科学猜想
由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受重力作用.因此平抛运动可能是水平方向和竖直方向分运动的合成.那么只要研究出这两个分运动的特点，平抛运动的规律就清楚了.
2方案一：频闪照相法
(1)对频闪照片的分析
如图5-3-1甲所示是一个小球做平抛运动时的频闪照片.选第一个小球球心为原点建立坐标系，每3个小球(不计初始位置的球)取1个球测量相对应的横坐标和纵坐标，如图5-3-1乙所示.
根据频闪照相的特点可知，若频闪周期为T,则每相邻两球的时间间隔相等，都是T,即图中OA、AB、BC对应的时间间隔就是3T.
将所测的数据填入表格，分析小球水平方向分运动和竖直方向分运动的特点.
0 A B C
横坐标 0 x1 x2 x3
纵坐标 0 y1 y2 y3
(2)数据处理
①水平方向：数据满足x1-0=x2-x1=x3-x2=…,则说明小球在水平方向做匀速直线运动.
②竖直方向：根据坐标计算每一段时间间隔内的位移，然后计算出相邻相等时间内的位移差，如果满足△y=9gT ,则说明小球在竖直方向上的加速度为g.如果0点是平抛运动轨迹的初始点，则竖直方向初速度为0,小球在竖直方向做自由落体运动.
3方案二：分步研究水平和竖直两个方向的运动规律
(1)步骤1:探究平抛运动竖直分运动的特点
①实验方法
在如图5-3-2所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动.观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后.
分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象.
②实验现象
两个小球落地时只有一个声音，表明两个小球同时落地.
③实验结论
平抛运动的竖直分运动是自由落体运动.
(2)步骤2:探究平抛运动水平分运动的特点
①实验思路
如果我们能够得到平抛运动的轨迹，利用前面探究得出的平抛运动竖直分运动的特点，就可以分析得出平抛运动在水平方向分运动的特点.
②获取轨迹
在如图5-3-3所示的装置中，斜槽M末端水平.钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动.在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板N,钢球飞出后，落到挡板上.实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上.钢球落到倾斜的挡板上后，就会挤压复写纸，在白纸上留下印迹.上下调节挡板N,通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置.最后，用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹.
③处理方法
a.根据步骤1得出的平抛运动在竖直方向是自由落体运动，可得从抛出点开始，连续相等时间内的竖直位移之比为1:3:5:7:…,根据此比例式即可找到一系列“相等的时间间隔”.
b.测量相等的时间间隔内水平运动的位移，若位移相同，则说明水平方向的分运动为匀速直线运动.
④实验结论
平抛运动的水平分运动是匀速直线运动.
▉考点09 利用描迹法探究平抛运动的特点
1实验思路
实验装置如图5-3-6所示.小钢球从斜槽上滚下，从水平槽飞出后做平抛运动.每次都使小钢球在斜槽上同一位置滚下，小钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的，设法用铅笔描出小钢球经过的位置.通过多次实验，在竖直坐标纸上记录小钢球所经过的多图5-3-6个位置，用平滑的曲线连起来就得到小钢球做平抛运动的轨迹.
2实验器材
小钢球、斜槽轨道、木板及竖直固定支架、坐标纸、图钉、重垂线、铅笔、三角板、刻度尺等.
3实验步骤
(1)安装、调整斜槽将斜槽固定在实验桌上，使其末端伸出桌面，斜槽末端的切线水平，如图5-3-7所示.
(2)调整木板并确定坐标原点
用图钉将坐标纸固定在木板的左上角，把木板调整到竖直位置，使板面与小钢球运动轨迹所在的平面平行且靠近.把小钢球放在槽口(斜槽末端)处，用铅笔记下小钢球在槽口时球心在坐标纸上的投影点0,0点即坐标原点.利用重垂线画出过坐标原点的竖直线作为y轴，在水平方向建立x轴.
(3)描点
使小钢球从斜槽上某一位置由静止滚下，先用眼睛粗略确定做平抛运动的小钢球在某一x值处的y值，然后让小钢球从斜槽上同一位置由静止滚下，移动笔尖在坐标纸上的位置，当小球恰好与笔尖正碰时，用铅笔在坐标纸上描出代表小钢球通过位置的点.用以上方法，在坐标纸上描出一系列代表小钢球通过位置的点.
(4)描绘出平抛运动的轨迹
取下坐标纸，将坐标纸上记下的一系列点用平滑曲线连接起来，即可得到小钢球做平抛运动的轨迹.
▉考点10 判断平抛运动的轨迹是不是抛物线
1公式判断法
(1)在已经得到的平抛运动的轨迹曲线上，以抛出点为坐标原点建立直角坐标系，如图5-3-9所示.
(2)在x轴上作出等距离的几个点A 、A 、A 、…,把线段OA 的长记为l,那么OA =21、OA =3l、…,由A 、A 、A 、…向下作垂线，垂线与轨迹曲线的交点记为M 、M 、M …,如果轨迹曲线是一条抛物线，那么M 、M 、M 、…各点的y坐标与x坐标之间的关系应该具有y=ax 的形式(a是一个待定的常量).
(3)用刻度尺测量出几个点的坐标，分别代入y=ax 中求出常量a,看计算得到的a值在误差允许的范围内是否是一个常数.
2图像判断法
建立y-x 坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应的y值和x 值，在y-x 坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上.
▉考点11 平抛运动的速度
1.速度规律
(1)分速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，物体做平抛运动.以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴方向，以竖直向下的方向为y轴方向建立平面直角坐标系，如图所示.
水平分速度vx=v0
竖直方向的分速度Vy=gt.
(2)合速度
合速度大小：
合速度方向：与水平方向的夹角满足
2.速度的变化量
做平抛运动的物体，水平方向分速度保持vx=v。不变，竖直方向加速度恒为g,竖直方向分速度vy=gt.从抛出时刻起，每隔△t时间，速度的矢量关系如图所示.可以得出两个结论：
(1)任意时刻速度的水平分量均等于初速度v0;
(2)任意两个相等的时间间隔△t内速度变化量相同，△v=g△t,方向竖直向下.
▉考点12 平抛运动的位移与轨迹
1平抛运动的位移
如图所示，做平抛运动的物体在x轴方向做匀速直线运动，则水平分位移与时间的关系为x=v0t
在y轴方向做自由落体运动，则竖直分位移与时间的关系是y=gt2.
在任意时刻物体的位置坐标为(v0t,gt2)
合位移大小s=
合位移方向与水平方向的夹角α满足
2平抛运动的轨迹
由x=v0t,y=gt2,消去t,得y=()x2,该式具有y=ax (a为常量)的形式，根据数学知识可知，它的图像是一条抛物线(parabola).
▉考点13 一般的抛体运动
1斜抛运动的定义
如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，这种抛体运动叫斜抛运动.
2斜抛运动的基本规律
做斜抛运动的物体在水平方向上不受外力作用，因此水平方向仍然做匀速直线运动；竖直方向上仅受重力作用，因此竖直方向做加速度为g的匀变速直线运动.设物体斜向上以初速度v0抛出，抛出点与落地点在同一水平面上，如图所示.
(1)速度公式
水平分速度vx=v0cosθ.竖直分速度vy=v0sinθ-gt.
(2)位移公式
水平分位移x=v0tcosθ.
竖直分位移y=v0tsinθ-gt2
(3)轨迹方程
由位移公式可得
即为开口向下的抛物线.
(4)运动时间
在竖直方向由上得上升到最高点的时间
从最高点到落地，物体在竖直方向上做自由落体运动，分析知时间则运动时间
▉考点04 平抛运动的规律和推论
1平抛运动规律的应用
(1)平抛运动的基本公式水平位移x=v0t
下落高度h=gt2
(2)由h=gt2可得运动时间t=
(3)射程(水平位移)平抛运动的射程即抛出点与落地点间的水平距离,x=v0t=v0t=v0
(4)落地速度
①大小
②方向
用θ表示落地速度与初速度方向间的夹角，有
2两个重要推论
(1)平抛运动的物体在任意时刻、任意位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ,位移方向与水平方向的夹角为α,则有tanθ=2tanα.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
一．曲线运动的概念和特点（共5小题）
1．关于曲线运动，下列说法正确的是（　　）
A．做曲线运动的物体，加速度一定是变化的
B．做曲线运动的物体，速度一直在变化
C．匀速圆周运动不是变速运动
D．做匀速圆周运动的物体，加速度不一定指向圆心
2．下列说法正确的是（　　）
A．曲线运动不可能是匀变速运动
B．物体处于平衡状态时，其速度为零
C．牛顿首先提出了力不是维持物体运动的原因
D．牛顿第一定律不可以用实验直接验证
3．北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，飞船入轨后，按照预定程序与空间站组合体进行自主快速交会对接。蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员承担此次飞行任务。下列说法正确的是（　　）
A．“4时27分”指的是时刻
B．研究神舟十九号飞船与空间站进行对接时可将其视为质点
C．神舟十九号飞船绕地球飞行时，飞船里的宇航员所受合力为零
D．以太阳为参考系，神舟十九号飞船绕地球飞行一圈通过的位移为零
4．在第15届国际泳联世界短池游泳锦标赛“跳水表演赛”中，全红婵首次挑战10米台“跳海”，再度上演海上“水花消失术”。图中虚线描述的是全红婵一次10米台“跳海”时头部的运动轨迹。下列正确的是（　　）
A．研究她在空中做翻转动作时，可以把她看成质点
B．她从起跳到入水运动的路程是10米
C．在P点时她头部的速度方向与入水时速度v方向相同
D．她在最高点时处于平衡状态
5．为了行驶安全，司机通常会在弯道处减速，防止出现侧滑。下列图中能表示汽车减速通过弯道过程某处瞬时速度v和加速度a方向关系的是（　　）
A． B．
C． D．
二．曲线运动瞬时速度的方向（共5小题）
6．质量为m的物体在几个恒力作用下以速度v0在水平面上做匀速运动，若把其中一个力F0撤去，其他力保持不变，从此时开始，则有（　　）
A．在相等时间内物体的速度变化量一定相等
B．物体的速度与合力之间的夹角一定不断改变
C．物体运动的轨迹可能是圆
D．经时间t时物体的速度大小一定等于
7．长袖舞是中国传统文化的一部分。表演时，演员长长的袖子在空中摇摆，某时刻形成美丽的弧线，如图所示。则此时袖子上（　　）
A．某点的切线方向，就是该点的速度方向
B．每一点在不同时刻受到的合力都是恒力
C．每一点受到的合力与袖子上该点的速度方向垂直
D．每一点不同时刻的速度方向是恒定不变
8．在2025年5月7日巴基斯坦空军在与印度空军的对抗空战中，使用中国制造的歼﹣10CE，击落了6架印度军机，其中包括3架法国制造的“阵风”战斗机。这场空战也让中国战机的技术实力得到了国际认可。“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。简化模型如下：一小球在光滑的水平面上以初速度v0穿过一段风带，经过风带时风会给小球一个与v0方向垂直、水平向北的恒力，其余区域无风。小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图所示的曲线MN是某一质点的运动轨迹，AA′为曲线上A点处的切线。质点从B点运动到A点所发生的位移为x，所用时间为t。下列说法不正确的是（　　）
A．表示质点从B点运动到A点过程的平均速度
B．质点从B点运动到A点的过程，平均速度的方向由B点指向A点
C．若B点越接近A点，则越接近质点在A点时的瞬时速度
D．质点经过A点时所受合力可能沿着AA′的方向
10．跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国运动员多次在国际跳水赛上摘金夺银，被约为跳水“梦之队”，如图是一位跳水队员从高台做“反身翻腾二周半”动作时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水，整个过程中，有几个位置头部的速度方向与入水时v的方向垂直（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
三．物体做曲线运动的条件（共5小题）
11．下列说法正确的是（　　）
A．牛顿第一定律也称惯性定律，可以通过实验验证
B．在国际单位制中，力学物理量对应的基本单位是牛顿、米、秒
C．同一物体在地球上和在月球上的惯性一样大
D．若物体所受合外力方向与速度方向在同一直线上，物体仍可能做曲线运动
12．将一条长为L的纸带扭转180°后连接两端就构成了一个莫比乌斯环，不考虑连接纸带时的长度损失。一只蚂蚁以恒定的速率v从P点沿纸带中线向前爬行，当其再一次来到P点的整个过程中，蚂蚁的（　　）
A．路程为L B．位移的大小为L
C．加速度始终为零 D．平均速度为零
13．“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐代诗人张志和《渔歌子》中的描写春雨美景的名句。一雨滴由静止开始下落一段时间后，进入如图所示的斜风区域下落一段时间，然后又进入无风区继续运动直至落地，不计雨滴受到的阻力，则图中最接近雨滴真实运动轨迹的是（　　）
A．
B．
C．
D．
14．如图所示，汽车在水平路面转弯时，车内挂饰偏离了竖直方向。转弯时汽车速度为v，所受合力为F，下列图示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
15．某物体在几个恒力的作用下做直线运动，下列说法正确的是（　　）
A．若仅改变其中一个力的大小，物体一定做曲线运动
B．若仅改变其中一个力的方向，物体一定做曲线运动
C．若仅撤去其中一个力，物体可能做匀速直线运动
D．若仅撤去其中一个力，物体一定做曲线运动
物体运动轨迹、速度、受力（加速度）的相互判断（共5小题）
16．一只小鸟在空中飞行，虚线为小鸟的飞行轨迹，下列四幅图分别画出了小鸟在轨迹上P点所受合力F合的方向，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
17．在重庆八中篮球比赛中，一队员投出的篮球在空中运动的轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F与速度v的关系可能正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
18．图甲为研究小铁球做曲线运动条件的装置，小铁球以初速度v0在水平纸面上运动。忽略阻力，观察到小铁球沿图乙中实线的轨迹运动，则磁体可能放在（　　）
A．D位置 B．C位置 C．B位置 D．A位置
19．滑冰是很多人喜爱的运动。下列各选项能表示运动员在弯道减速的是（　　）
A． B．
C． D．
20．2025年8月，我国自主研发的一款新型察打一体无人机在试飞场完成高机动性能测试。在某次测试中无人机沿圆弧从M到N大仰角加速爬升，在此过程中，无人机所受合力的方向可能是（　　）
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
五．合运动与分运动的关系（共5小题）
21．老师在可沿水平方向滑动的黑板上用粉笔画线，若粉笔相对于地面向下匀加速直线滑动，同时黑板水平向左匀速滑动，则粉笔在黑板上所画出的轨迹为（　　）
A． B．
C． D．
22．如题图所示，光滑水平面和光滑固定斜面在B处平滑连接，一小球由A点以一定初速度水平向右匀速运动，最高能到达斜面上C点。则由A点运动到C点过程中，小球的水平速度vx与水平位移x之间的关系图像，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
23．在雪地军事演习中，已知子弹射出时的速度大小为450m/s，射击者坐在以15m/s的速度大小向正西方向行驶的雪橇上，要射中位于他正南方静止的靶子，此时射击应（　　）
A．射击方向南偏东，且偏向角的正弦值为
B．射击方向南偏东，且偏向角的正切值为
C．射击方向南偏西，且偏向角的正弦值为
D．射击方向南偏西，且偏向角的正切值为
24．图甲为3D打印机，在水平面上建立如图乙所示的平面直角坐标系。在某次打印过程中，打印机的喷头在某一固定高度处进行打印（高度保持不变），此时位于水平面内的托盘沿x轴正方向以v1＝0.01m/s的速度匀速运动，而喷头以v2＝0.02m/s的速度沿图乙所示方向做匀速直线运动。则在托盘上打印出的图案是（　　）
A． B．
C． D．
25．如图所示，滑板运动员沿水平地面向前滑行，在横杆前相对于滑板竖直向上起跳，人与滑板分离，分别从横杆的上、下通过，忽略人和滑板在运动中受到的阻力，则运动员（　　）
A．起跳时脚对滑板的作用力水平向右
B．在空中水平方向先加速后减速
C．越过杆后落在滑板的后方
D．越过杆后仍落在滑板上起跳的位置
六．两个匀速直线运动的合成（共5小题）
26．如图，一粗糙的水平木板以速度v1向右做匀速直线运动，一可视为质点的煤块从木板上的某点P以垂直于v1的速度v2滑上木板，则煤块在木板上留下的痕迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
27．如图所示，一块橡皮擦用细绳悬挂于圆柱体的O点，圆柱体以恒定的角速度滚动，从而使圆柱体匀速向左移动，细绳将缠绕在圆柱体上，使橡皮擦上升。以橡皮擦开始运动的起点为坐标原点，橡皮擦的运动轨迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
28．在一端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡块，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置蜡块沿玻璃管匀速上升。在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速运动，观察蜡块做（　　）
A．匀速直线运动 B．匀减速直线运动
C．匀变速曲线运动 D．匀加速直线运动
29．如图所示，倾角为α＝30°的斜面体A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上。滑轮左端的细线水平，右侧的细线与斜面平行。撤去固定A的装置后，用力推A使其向右做匀速直线运动（B未到达滑轮位置），取sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，以下说法正确的是（　　）
A．A运动的位移为x时，B的位移大小为x
B．A运动的位移为x时，B的位移大小为
C．若A以速度v匀速运动，B以0.97v匀速运动
D．若A以速度v匀速运动，B以0.52v匀速运动
30．如图所示，在无风的天气里，塔吊正在将一件货物B起吊。某段时间内，动滑轮A拉着连接货物B的绳索将B吊起，同时A和B以相同的水平速度相对于地面匀速运动，A与B之间的距离以l＝H﹣t+t2的规律变化（H为A到地面的距离）。则在这段时间内货物B的受力情况和相对于地面的运动轨迹正确的是（　　）
A． B． C． D．
七．两个变速直线运动的合成（共5小题）
31．一个圆盘被抛出后，绕垂直盘面并通过中心O的轴顺时针转动，圆盘面保持在竖直面内，某时刻中心O点的速度与水平方向成45°斜向上，如图所示。则关于此刻A、B点的运动（　　）
A．相对于地面速度大小相等
B．相对于地面速度方向相反
C．相对于O点的速度相同
D．相对于O点的角速度相同
32．游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O′为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O′固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O′恰好在同一条直线上。则（　　）
A．A点做匀速圆周运动
B．O′点做匀速圆周运动
C．此时A点的速度小于O′点
D．此时A点的速度等于O′点
33．国产大飞机C919是我国自行研制、具有自主知识产权的喷气式民用飞机，于2017年成功首飞。如图所示，飞机在起飞过程中的某时刻水平分速度为60m/s，竖直分速度为6m/s，已知在此后的1min内，飞机在水平方向做加速度为2m/s2的匀加速直线运动，竖直方向做加速度为0.2m/s2的匀加速直线运动。关于这1min内飞机的运动与受力情况，下列选项中说法正确的是（　　）
A．飞机上的乘客处于失重状态
B．飞机的运动为匀变速曲线运动
C．前20s内，飞机上升的高度为120m
D．前20s内，飞机水平方向的平均速度为80m/s
34．风洞实验是进行空气动力学研究的重要方法。如图所示，将小球从O点以某一速度v0竖直向上抛出，经过一段时间，小球运动到O点右侧的B点，A点是最高点，风对小球的作用力水平向右，大小恒定。则小球速度最小时位于（　　）
A．O点 B．A点
C．轨迹OA之间的某一点 D．轨迹AB之间的某一点
35．随着科技的进步，2020年农村和偏远山区也已经开始用无人机配送快递，某次无人机在0～5s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图甲、乙所示，规定竖直向上为正方向。无人机及快递总质量为2kg，g取10m/s2，求：
（1）0～2s内的加速度大小；
（2）2～4s内的空气对无人机的作用力大小；
（3）0～5s内的位移的大小。
八．分析合运动的轨迹问题（共3小题）
36．一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
37．有一架正在飞行的无人机，其在水平方向（以水平向右为x轴正方向）和竖直方向（以竖直向上为y轴正方向）的速度—时间图像分别如图甲、乙所示。则在0～t2时间内，该无人机的运动轨迹可能为（　　）
A． B．
C． D．
38．如图所示，在一端封闭、长约1m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧，把玻璃管倒置，在蜡块相对玻璃管匀速上升的同时将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右移动，图中虚线为蜡块的实际运动轨迹，关于蜡块的运动，下列说法正确的是（　　）
A．蜡块水平方向的速度不断增大
B．蜡块速度先增大后减小
C．蜡块的运动的是匀变速曲线运动
D．蜡块运动的加速度先水平向左后水平向右
九．求分速度的大小和方向（共3小题）
39．如图所示，两个相同的光滑立方体放在水平面上，在它们之间再放一个顶角为θ的尖劈，已知尖劈的加速度为a，则立方体的加速度为（　　）
A． B． C．atanθ D．atan
40．如图为在平静海面上，两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向，速度大小分别为2v、v，A、B、C不在一条直线上，角ACB为60度。由于缆绳不可伸长，因此C的速度在CA、CB方向的投影分别与A、B的速度相等，下列说法正确的是（　　）
A．驳船C的速度方向在CA和CB的夹角范围外
B．驳船C的速度大小为v
C．驳船C的速度大小为2v
D．驳船C的速度大小为
41．如图所示，斜坡式自动扶梯与水平面的夹角为θ，运行的速度为v。小华在自动扶梯上站立不动时，竖直方向的分速度为（　　）
A．v B．vsinθ C．vcosθ D．vtanθ
十．关联速度问题（共5小题）
42．如图所示，水平面上的小车向左运动，系在车后的轻绳绕过定滑轮，拉着质量为m的物体上升。若小车以v1的速度做匀速直线运动，当车后的绳与水平方向的夹角为θ时，物体的速度为v2，绳对物体的拉力为FT，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．v2＝v1
B．v2＝v1sinθ
C．物体处于超重状态
D．绳对物体的拉力为FT小于mg
43．2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，舞者巧借威亚展现别样东方美，寓意鱼跃龙门好运连连。如图所示，图甲为吊威亚表演者的照片，图乙为其简化示意图，工作人员A以速度v沿直线水平向左匀速拉轻绳，表演者B在空中升起，则在此过程中（　　）
A．表演者B匀速上升
B．表演者B上升速度越来越小
C．表演者B处于超重状态
D．经过图示位置θ＝30°时，A与B的速度大小之比为
44．“一杆挥去人间冷暖，一钩钓尽水中日月。”从古至今，垂钓都能给人们带来悠然自得的乐趣。如图所示，某钓鱼爱好者收线的过程中，鱼沿水平直线从A位置被拉到B位置，线与杆的结点O保持不动。O点与鱼之间的线始终拉直，鱼视为质点，下列说法正确的是（　　）
A．若该爱好者匀速收线，则鱼可能做减速运动
B．若该爱好者加速收线，则鱼可能做匀速运动
C．若该爱好者减速收线，则鱼可能做加速运动
D．无论该爱好者怎样收线，鱼都不可能做匀速运动
45．如图所示，一细木棍斜靠在地面与竖直墙壁之间，木棍与水平面之间的夹角为45°。A、B为木棍的两个端点，A点到地面的距离为1m。重力加速度取10m/s2，空气阻力不计。现一跳蚤从竖直墙上距地面0.55m的C点以水平速度v0跳出，要到达细木棍上，v0最小为（　　）
A．3m/s B．4m/s C．5m/s D．6m/s
46．如图所示，物体A、B质量分别为M和m，通过轻绳跨过轻质定滑轮相连接，B与地面间的动摩擦因数为μ，在水平外力的作用下，B沿水平地面向右运动，A恰以速度v0匀速上升，重力加速度为g。当轻绳与水平方向夹角为α时，B的速度大小为　　 ；若此时水平外力大小为F，则B与地面间的摩擦力大小f＝　　 。
十一．探究平抛运动的特点（共4小题）
47．用如图所示装置绘制小球做平抛运动的轨迹，关于此实验下列说法错误的是（　　）
A．斜槽轨道必须光滑且末端沿水平方向
B．小球每次需从斜槽上同一位置自由滑下
C．实验中需要记录小球平抛的起点位置
D．为较准确地绘出小球运动轨迹，记录的点应适当多一些，并用平滑曲线把各记录点连起来
48．如图所示，在探究平抛运动规律的实验中，忽略空气阻力的影响。用小锤击打弹性金属片，P球沿水平方向抛出，同时Q球被松开而自由下落。再次实验，增加锤子击打金属片的力度，两次实验中关于两球空中运动时间tP和tQ的说法正确的是（　　）
A．tP增大 B．tP减小 C．tQ减小 D．tQ不变
49．如图所示，将两个斜滑道固定在同一竖直平面内，最下端水平，把两个质量相等的小钢球，从滑道的同一高度由静止同时释放，滑道2与光滑水平板平滑连接，则他将观察到1球击中2球，这说明（　　）
A．平抛运动在水平方向是匀速运动
B．平抛运动在竖直方向是自由落体运动
C．平抛运动在水平方向做匀加速直线运动
D．平抛运动在竖直方向做匀速运动
50．某同学要探究类平抛运动的规律，设计了如图所示实验装置，他将一块足够大的平整方木板的一端放在水面地面上，另一端用支撑物垫起，形成一个倾角为θ的斜面。他先将一个小木块轻轻放在斜面上，放手后发现小木块会沿斜面向下运动；接着该同学将木块置于木板左上角，同时给小木块一个平行木板水平向右的初速度v0，为探究木块的运动轨迹，在木板上沿斜面向下和水平方向建立xOy直角坐标系。木块与木板表面间的动摩擦因数处处相同均为μ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．小木块在斜面上的运动轨迹为一条抛物线，该同学实验方案可行
B．小木块获得初速度v0开始运动的瞬间，其加速度大小为a＝g（sinθ﹣μcosθ）
C．小木块沿y轴方向的分运动为匀加速直线运动
D．小木块最终沿与y轴平行的方向做匀加速直线运动，加速度大小a＝g（sinθ﹣μcosθ）
十二．平抛运动在竖直和水平方向上的特点（共4小题）
51．饲养员将香蕉对准树上的猴子水平抛出，猴子同时自由下落。落地前，猴子观察到香蕉相对于自身做（　　）
A．平抛运动 B．匀速直线运动
C．自由落体运动 D．匀加速直线运动
52．飞机在500米高处水平做匀速直线运动，从飞机上每隔3秒释放一个铁球，当刚释放第五个铁球时，不计空气阻力，g＝10m/s2，则下列选项中符合铁球在空中实际情况的是（　　）
A． B．
C． D．
53．2024年巴黎奥运会开幕式于7月26日晚7点30分开始，备受世界各国关注。由405位运动员组成的中国体育代表团取得了傲人的成绩。有关奥运会的信息，下列说法正确的是（　　）
A．2024年7月26日晚7点30分指的是时间间隔
B．潘展乐在男子100米自由泳比赛中夺冠是因为他的平均速度最大
C．用球拍击打乒乓球时，乒乓球受到的弹力是由于乒乓球发生弹性形变而产生的
D．铅球比赛中，若不计空气阻力，铅球在空中运动的任意相等时间内其速度变化量相同
（多选）54．某同学用如图所示的装置。用小锤打击弹性金属片，金属片把球A沿水平方向弹出，同时B球被松开，自由下落，观察到两球同时落地，改变小锤打击的力度，即改变A球弹出时的速度，两球仍同时落地；改变整个装置距地面的高度，重复实验，两球仍同时落地。这个实验（　　）
A．证实了A球在水平方向做匀速运动
B．证实了B球在竖直方向做自由落体运动
C．证实了A球在竖直方向的运动与B球完全相同
D．A、B球只要选取体积、密度均相同的小球即可
十三．平抛运动中的相遇问题（共4小题）
55．每年的YadnyaKasada节日里，印尼民众都会聚集在当地的火山口，向其中投掷物品祈求好运。如图，有一个截面可看成抛物线形状的小型火山谷MON，M、N为火山口处的两点，且M高于N，O为谷底（抛物线的顶点），O点切线水平。现有两人从M、N两点分别以初速度v1、v2水平抛出两不同物品，同时击中O点（不考虑碰撞），不计空气阻力，则两物品（　　）
A．必须同时抛出
B．初速度v1与v2大小一定相等
C．击中O点时速度大小一定相等
D．在抛出过程中，相同时间内的速度变化量一定不同
56．小球A和小球B在同一高度分别以速度5v0和v0水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向（大小不变），水平方向速度方向和大小均不变，小球A从抛出到第一次落地过程中，两小球的轨迹的交点a、b、c、d、e分布如图所示，其中两小球刚好在位置b相遇（不发生碰撞，互不影响各自的运动）。下列说法正确的是（　　）
A．两小球将在c处再次相遇
B．a、c两点的竖直距离与c、e两点的竖直距离之比为1：3
C．b、c两点的水平距离大于c、d两点的水平距离
D．小球A从b到d的平均速度等于它经过c时的瞬时速度
57．如图所示，虚线为A、B两小球从等宽不等高的台阶抛出的运动轨迹，A球从台阶1的右端水平抛出后，运动至台阶2右端正上方时，B球从台阶2的右端水平抛出，经过一段时间后两球在台阶3右端点相遇，不计空气阻力，则（　　）
A．两球抛出时A的速度大于B的速度
B．两球相遇时A的速度大小为B的两倍
C．台阶1、2的高度差是台阶2、3高度差的4倍
D．两球相遇时A的速度与水平方向的夹角的正切值为B的两倍
（多选）58．如图所示，一节车厢长16m、宽2.4m、高3.2m，它以速度v匀速行驶。一可视为质点的小球以垂直于v的水平速度v0从车厢的右上角A处的一个洞进入车厢，恰好撞击对角B。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，则（　　）
A．v＝10m/s B．v＝20m/s C．v0＝3m/s D．v0＝6m/s
十四．速度偏转角与位移偏转角（共4小题）
59．某质点做平抛运动过程中，设它的位移方向与水平方向的夹角为θ，且tanθ随时间t变化的图像如图所示，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．物体的初速度大小为5m/s
B．物体的初速度大小为10m/s
C．第1s末物体的位移大小为2.5m
D．第1s末物体的速度大小为10m/s
60．如图所示为两同学打排球的情景，甲同学在距离地面高h1＝2.45m处将排球以v0＝12m/s的速度水平击出，乙同学在离地高h2＝0.65m处将排球垫起。重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．排球被垫起前在空中运动的时间为0.7s
B．排球从击出到被垫起前运动的水平距离为7.2m
C．排球被垫起前瞬间的速度大小为12m/s
D．排球被垫起前瞬间速度方向与水平方向夹角为30°
61．如图所示，湖边有倾角为θ的大坝，水面与大坝的交点为O。人站在大坝上A点处以水平初速度v0沿垂直河岸方向向湖里抛石子，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　）
A．初速度v0越大，石子在空中运动时间越长
B．石子在空中运动时速度变化率在不断变大
C．若石子能落入水中，则石子在空中的速度变化量恒定不变
D．若石子不能落入水中，初速度v0越大落到斜面时速度方向与斜面的夹角越大
（多选）62．如图，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD﹣AB1C1D1，边长为L，从顶点A以不同速率沿不同方向水平抛出同一小球（可视为质点，不计空气阻力）。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　）
A．落点在A1B1C1D1内的小球，运动时间可能不同
B．落点在A1B1C1D1内的小球，击中C1点的小球初速度最大
C．落点在A1B1C1D1内的小球，击中B1、D1点时速度相同
D．运动轨迹与AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同
十五．速度反向延长线的特点（共2小题）
（多选）63．如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别站在M、N两点，同时将两个小球以v1、v2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知∠MOQ＝60°，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　）
A．两球抛出的速率之比为1：3
B．若仅增大v1，则两球将在落入坑中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中
64．如图所示，小明参加户外竞技活动，轻绳一端固定在O点，小明站在平台边缘抓住轻绳另一端沿竖直面往下摆，摆到O点正下方B点时突然松手，小明（可视为质点）能安全落到漂浮在水池中的圆形浮漂上。已知，绳长L＝1.6m，浮漂圆心D点与B点的水平距离x＝2.7m，B点到水面的竖直高度y＝2.0m，浮漂半径R＝0.3m，高出水面厚度d＝0.2m，重力加速度g＝10m/s2，求：
（1）小明摆到B点时的速度在什么范围能保证安全落到浮漂上？
（2）小明落到浮漂的圆心D点的速度方向与水平方向夹角的正切值为多少？
十六．在斜面上的类平抛运动（物体在斜面上运动）（共3小题）
65．一光滑宽阔的斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以水平速度v0射出，最后从B处离开斜面，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（　　）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为gsinθ
C．小球到达B处的水平方向位移大小s＝v0
D．小球从A处到达B处所用的时间为
66．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　）
A．小球运动的加速度为10m/s2
B．小球从B运动到A所用时间为2s
C．小球从B点水平射入时的速度为
D．若小球从B点以4m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面
67．跳台滑雪是冬奥会的重要竞技项目。如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出。该运动员两次试滑分别在斜坡上的M、N两点着陆。已知OM＝MN，斜坡与水平面的夹角为θ，不计空气阻力，运动员（含装备）可视为质点，则该运动员两次试滑（　　）
A．着陆在M，N点时速度的方向不同
B．着陆在M、N点时动能之比为
C．着陆在M、N点两过程时间之比为
D．着陆在M，N点两过程离斜坡面最远距离之比为
十七．在外力作用下的类平抛运动（共2小题）
68．“风洞实验”指在风洞中安置飞行器或其他物体模型，研究气体流动及其与模型的相互作用，以了解实际飞行器或其他物体的空气动力学特性的一种空气动力实验。在如图所示的风洞中存在大小恒定的水平风力，现将一小球从M点竖直向上抛出，其运动轨迹如图中的实线所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点的动能为9J，在O点的动能为1J，不计空气阻力，下列说法错误的是（　　）
A．小球受到的重力与受到的风力大小之比为1：3
B．小球落到N点时的动能为13J
C．O点到MN的距离与M、N两点间的距离之比为3：4
D．小球从M点运动到N点过程中的最小动能为0.9J
69．如图所示，质量为0.1kg的小球放在光滑水平面上的P点，现给小球一个水平初速度v0，同时对小球施加一个垂直于初速度的水平恒力F，小球运动1s后到达Q点，测得P、Q间的距离为12.5m，P、Q连线与初速度的夹角为37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则初速度v0的大小和恒力F的大小分别为（　　）
A．10m/s，0.5N B．6m/s，0.5N
C．8m/s，1.5N D．10m/s，1.5N
十八．斜抛运动（共3小题）
70．某部队在水平地面上训练时，火炮发射的炮弹轨迹如图所示。火炮先以v1发射第一枚炮弹，一段时间后，再以v2发射第二枚炮弹，最终二者同时击中同一目标。已知v1、v2与水平方向夹角分别为α、β，不计炮身高度和空气阻力，则（　　）
A．α一定小于β B．α可能等于β
C．v1一定小于v2 D．v1可能等于v2
71．在同一竖直平面内距离地面高度为hA、hB处的A、B两点，A、B所在竖直线与球网之间的水平距离为L。有两个网球以相同大小的速度v0分别斜向上和斜向下抛出，与水平方向的夹角均为θ，网球恰好均能掠过球网，且轨迹平面与球网垂直，，不计空气阻力。则A、B两点高度差为（　　）
A．L B． C． D．
72．如图所示，某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一水平面上的目标O发射炮弹，已知Q处的炮兵先发射炮弹，要求同时击中目标。若忽略空气阻力，目标O可视为质点，下列说法正确的是（　　）
A．两颗炮弹运动的最高点在同一高度
B．从Q处射出的炮弹初速度方向与水平方向的夹角较大
C．从P处射出的炮弹在最高点时的速度较小
D．从射出到击中O点，两炮弹的速度变化量相同

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