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高中数学人教A版（2019）
必修第二册
期末专题复习
专题04 统计
01
知识剖析
考点01 简单随机抽样
1
抽样调查的必要性
(1)相关概念
01
名称 定义
全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法.
抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
总体 调查对象的全体.
个体 从总体中抽取的那部分个体.
样本 从总体中抽取的那部分个体.
样本量 样本中包含的个体数.
考点01 简单随机抽样
(2)抽样的必要性
普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：
①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.
②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.
01
考点01 简单随机抽样
简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
01
2
考点01 简单随机抽样
(2)（不放回）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.
④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.
01
考点01 简单随机抽样
两种常见的简单随机抽样方法
(1)抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也
可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回
地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.
01
3
考点01 简单随机抽样
(2)随机数法
先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.
01
考点01 简单随机抽样
(3)两种抽样方法的优缺点
01
抽样方法 优点 缺点 适用范围
抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形.
随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形.
考点01 简单随机抽样
总体平均数与样本平均数
(1)概念
01
4
名称 定义
总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称 为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式 .
样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称 为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数 去估计总体平均数 ； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. 考点01 简单随机抽样
(2)求和符号∑的性质
01
考点02 分层随机抽样
分层随机抽样
(1)分层随机抽样的必要性
简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.
(2)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
01
1
考点02 分层随机抽样
(3)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即
01
考点02 分层随机抽样
(4)分层随机抽样的步骤
①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层.
②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比 .
③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n.
④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本.
01
考点02 分层随机抽样
(5)分层随机抽样的特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；
②分成的各层互不重叠；
③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即 ，其中n为样本容量，N为总体容量;
④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
01
考点02 分层随机抽样
分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量
分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为 ，第1层、第2层的样本平均数分别为 ，总体平均数为 ，样本平均数为 ，则
由于用第1层的样本平均数 可以估计第1层的总体平均数 ，用第2层的样本平均数 可以估计第2层的总体平均数 ，因此可以用
估计总体平均数 .
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2
考点02 分层随机抽样
01
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 估计总体平均数 .
考点03 总体取值规律的估计
1
频率分布直方图
(1)频率分布表与频率分布直方图的意义
为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数.
有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据.
01
考点03 总体取值规律的估计
(2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤
与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.
第一步，求极差
极差为一组数据中最大值与最小值的差.
第二步，决定组距与组数
第三步，将数据分组
通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间.
01
考点03 总体取值规律的估计
第四步，列频率分布表
计算各小组的频率，作出频率分布表.
第五步，画频率分布直方图
画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示
01
考点03 总体取值规律的估计
2
其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图
01
条形图 折线图 扇形图
特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.
作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.
图例
考点04 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计
1
总体百分位数的估计
(1)概念
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
(2)求解步骤
可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i=n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
考点04 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计
2
总体集中趋势的估计
在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下：
考点04 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计
3
总体离散程度的估计
(1)方差和标准差
假设一组数据是 用 表示这组数据的平均数，则我们称
为这组数据的
方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成 的形式.
我们对方差开平方，取它的算数平方根 ，称为这组数据的标准差.
考点04 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计
(2)总体（样本）方差和总体标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为 ，总体平均数为 ，则总体方差
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为
，其中 出现的频数为 ， ，则总体方差为
.
总体标准差：S= .
考点04 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计
(3)标准差与方差的统计意义
①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞）.若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等.
考点04 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计
4
频率分布直方图中的统计参数
(1)频率分布直方图中的“众数”
根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用中点近似代替.
(2)频率分布直方图中的“中位数”
根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.
因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
考点04 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计
(3)频率分布直方图中的“平均数”
平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
统计案例
1
课中探究
为了解某公司员工的身体肥胖情况，我们该如何根据数据表写一份该公司员工身体肥胖情况的统计分析报告 该如何分析公司员工胖瘦程度的整体情况并提出控制体重的建议
(1)教学目标
①通过一个完整案例，经历统计学解决问题的过程，在此过程中，进一步学习数据收集和处理的方法、数据直观图表的表示方法和数据统计特征的刻画方法.
②通过实际操作、计算机模拟等活动，积累数据分析的经验，培养数据分析的素养.
01
考点05 统计案例
(2)教学内容
教学重点：①了解统计报告的组成部分，培养学生数据分析的素养；②体会统计方法的必要性与合理性，正确了解样本和总体的关系.
教学难点：体会统计方法的必要性与合理性，正确了解样本和总体的关系.
01
考点05 统计案例
2
背景与数据
近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数(Body Mass Index，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是
中国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9为正常；24≤BMI<27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖.
01
考点05 统计案例
3
任务与要求
根据上面的数据，写一份该公司员工肥胖情况的统计分析报告.要求：
(1)选择合适的图表展示数据；
(2)比较男、女员工在肥胖状况上的差异；
(3)分析公司员工胖瘦程度的整体情况；
(4)提出控制体重的建议.
01
考点05 统计案例
4
统计报告的主要组成部分
(1)标题
(2)前言
简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况.
01
考点05 统计案例
(3)主题
展示数据分析的全过程：首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息；根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图标描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，用于比较男、女员工在肥胖状况上的差异；通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体.
(4)结尾
对主题部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法，提出控制公司员工体重的建议.
01
02
综合训练
下列情况适合用抽样调查的是（　　）
A．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
B．调查某批次汽车的抗撞击能力
C．调查某班学生的身高情况
D．学校招聘，对应聘人员进行面试
简单随机抽样及其适用条件
01
【答案】B
【解答】解：ACD，样本容量较少，适合用普查，
B，该调查具有损坏性，适合用抽样调查．
故选：B．
简单随机抽样及其适用条件
01
下列抽样试验中，适合用抽签法的是（　　）
A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
抽签法简单随机抽样及其步骤
01
【答案】B
【解答】解：对于A，D，选项中的总体的个体数较大，不适合抽签法，故AD错误；
对于C，甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合抽签法，故C错误；
对于B，总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了，故B正确．
故选：B．
抽签法简单随机抽样及其步骤
01
从10个篮球中任取一个，检查其质量，用随机数法抽取样本，则编号应为（　　）
A．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
B．﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4
C．10，20，30，40，50，60，70，80，90，100
D．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
随机数法简单随机抽样及其步骤
01
【答案】D
【解答】解：∵用随机数法抽样时，编号的位数应相同，并且不能有负数．
∴选项A，B，C均不符合要求，D符合要求．
故选：D．
随机数法简单随机抽样及其步骤
01
某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50．从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第7个数字开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（　　）
A．09 B．05 C．65 D．71
求随机数法抽样的样本
01
【答案】A
【解答】解：从随机数表第1行的第7个数字开始向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，
符合条件的编号有37，14，05，11，09，
所以得到的第5个样本编号是09．
故选：A．
求随机数法抽样的样本
01
忻城县高级中学有1100名高一学生，1000名高二学生，1200名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取33名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（　　）
A．高三每一个学生被抽到的概率最大
B．高三每一个学生被抽到的概率最小
C．高一每一个学生被抽到的概率最大
D．每位学生被抽到的概率相等
分层随机抽样及其适用条件
01
【答案】D
【解答】解：由题意知，抽样比例为
所以33人中，高一要抽11人，高二要10人，高三要12人，
故高一每位学生被抽到的概率为
高二每位学生被抽到的概率为
高三每位学生被抽到的概率为
在比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等，
故每位学生被抽到的概率相等．
故选：D．
分层随机抽样及其适用条件
01
某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张．某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5：3：2，若对这些账单用等比器例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．30
分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量
01
【答案】B
【解答】解：样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为50× =10．
故选：B．
分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量
01
某学校有高中生600人，其中男生400人，女生200人．有人为了获得该校全体高中生的身高信息，采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，女生样本的均值为162．
（1）若男、女生样本量按比例分配，则总样本的均值为多少？
（2）若男、女生的样本量都是100，则总样本的均值为多少？它作为总体均值的估计合适吗？为什么？
由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
01
【答案】（1）170；
（2）168，不合适，原因见解析．
【解答】解：（1）总样本的均值为
（2）若男、女生的样本量都是100，
则总样本的均值为
不能作为总体均值的估计，因为分层随机抽样中未按比例抽样，总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，所以样本的代表性差．
由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
01
以下调查中，适合用全面调查的是（　　）
A．了解一个班级学生的身高情况
B．了解一批水稻种子的发芽率
C．调查某城市居民的食品消费结构
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
普查与抽样
01
【答案】A
【解答】解：对于A选项，了解一个班级学生的身高情况，适合用全面调查；
对于B选项，了解一批水稻种子的发芽率，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于C选项，调查某城市居民的食品消费结构，调查数量较多，不适合用全面调查；
对于D选项，调查某批次汽车的抗撞击能力，具有破坏性，不适合用全面调查．
故选：A．
普查与抽样
01
在一次数学课堂上，郭老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子．
小凉：邯郸市今年“五一”前后的气温；
小爽：判断某种新药是否有效；
小夏：“山西新闻联播”的收视率；
小天：近年来我市普通高中入学人数．
其中，通过调查获取数据的是（　　）
A．小凉 B．小爽 C．小夏 D．小天
调查试验观察查询等其他方法获取统计数据
01
【答案】C
【解答】解：对于小凉：邯郸市今年“五一”前后的气温，通过观察获取数据；
对于小爽：判断某种新药是否有效，通过试验获取数据；
对于小夏：“山西新闻联播”的收视率，通过调查获取数据；
对于小天：近年来我市普通高中入学人数，通过查询获得数据，
所以通过调查获取数据的是小夏．
故选：C．
调查试验观察查询等其他方法获取统计数据
01
一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为（　　）
A．10组 B．9组 C．8组 D．7组
根据统计数据确定极差组距和组数
01
【答案】B
【解答】解：∵数据中的最大值是140，最小值是51，
故该组数据的极差为140﹣51＝89
又∵组距为10，
89÷10＝8.9
故可将该组数据分成9组，
故选：B．
根据统计数据确定极差组距和组数
01
对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下．
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图及频率分布折线图；
（3）估计元件寿命在100～400h以内的在总体中占的比例；
（4）从频率分布直方图可以看出电子元件寿命的众数，平均数和中位数是多少？
列频率分布表及补全频率分布表
01
寿命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600
个 数 20 30 80 40 30
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）样本容量为200，可得样本频率分布表：
（2）频率分布直方图如下：
列频率分布表及补全频率分布表
01
范围 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600
频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15
列频率分布表及补全频率分布表
01
（3）估计电子元件寿命在100﹣﹣400 h以内的在总体中占的比例为1﹣（0.20+0.15）＝0.65．
（4）从频率分布直方图可以看出电子元件寿命的众数，平均数和中位数分别是：
估计该电子元件寿命的众数为
平均数
中位数
频率分布表的应用
01
学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4．
（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；
（2）估计成绩在80分以上（含80分）学生的比例；
（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[90，100]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[40，50）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
样本频率分布表：
频率分布表的应用
01
分组 频数 频率
[40，50） 2 0.04
[50，60） 3 0.06
[60，70） 14 0.28
[70，80） 15 0.30
[80，90） A B
[90，100] 4 0.08
合计 C D
频率分布表的应用
01
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意知：A＝12； B＝0.24； C＝50； D＝1；
（2）估计成绩在80分以上（含80分）的数据包括[80，90）和[90，100]两组数据，
两组数据的频率之和为0.24+0.08＝0.32，
∴成绩在80分以上（含80分）学生的比例为32%；
（3）成绩在[90，100]的学生有4人，成绩在[40，50）的学生有2人，实行“二帮一”小组，共有 种情形，
其中甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的有 种情形，
∴甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为
画频率分布直方图
01
某班50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数如下：
[40，50），2；[50，60），3；[60，70），10；[70，80），15；[80，90），12；[90，100），8．
（1）列出样本的频率分布表；
（2）画出频率分布直方图．
画频率分布直方图
01
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率
[40，50） 2 0.04
[50，60） 3 0.06
[60，70） 10 0.2
[70，80） 15 0.3
[80，90） 12 0.24
[90，100） 8 0.16
画频率分布直方图
01
（2）频率分布直方图如图所示：
补全频率分布直方图
01
某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[350，450]内的学生人数为（　　）
A．300 B．400 C．600 D．1200
补全频率分布直方图
01
【答案】B
【解答】解：由频率分布直方图可得，（0.002+0.004+a+a+0.002）×50＝1，
解得a＝0.006，
所以成绩在[350，450]内的学生人数为1000×（0.006+0.002）×50＝400．
故选：B．
频率分布直方图的应用
01
某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内初一年级在校学生中抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（　　）
频率分布直方图的应用
01
A．该地初一年级学生做作业的时间超过3小时的概率估计为35%
B．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间超过2小
C．估计该地初一年级学生做作业的时间的众数为2.25小时
D．估计该地初一年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
频率分布直方图的应用
01
【答案】D
【解答】解：对于A，超过3小时的概率估计为：（0.3+0.2+0.1+0.1）×0.5＝35%，故A正确；
对于B，超过2小时的概率估计为：（0.5+0.4+0.3+0.2+0.1+0.1）×0.5＝0.8＞0.5，故B正确；
对于C，由图知众数约为 （小时），故C正确；
对于D，时间在2小时至3小时之间的概率估计为：（0.5+0.4）×0.5＝0.45，
所以没有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间，故D错误．
故选：D．
频率分布折线图、密度曲线
01
（多选）甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（　　）
A．甲得分的极差大于乙得分的极差
B．甲得分的平均数大于乙得分的平均数
C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
频率分布折线图、密度曲线
01
【答案】BC
【解答】解：首先整理甲、乙得分数据并排序，
甲：15，16，18，21，30，乙：4，10，16，22，38，
A．极差：甲极差：30﹣15＝15，乙极差：38﹣4＝34，甲极差小于乙，A错误；
B．平均数：甲平均数：
乙平均数： 甲平均数大于乙，B正确；
C．中位数：甲排序后中位数为18，乙排序后中位数为16．甲中位数大于乙，C正确；
D．方差：甲方差：
乙方差： 甲方差小于乙，D错误．
故选：BC．
平均数
01
下列说法正确的是（　　）
A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5
B．若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a＝7
C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
D．若x1，x2， ，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是8
平均数
01
【答案】D
【解答】解：对于A，数据1，8，3，5，6从小到大为1，3，5，6，8，5×0.6＝3，
∴数据1，8，3，5，6的第60百分位数是 故A错误；
对于B，一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，
解得a＝8，故B错误；
对于C，用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率与其它层里的个体被抽到的概率相等，故C错误；
对于D，若x1，x2， ，x10的标准差为4，
则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是 故D正确．
故选：D．
中位数
01
已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（　　）
A．6 B．5 C．3 D．2
中位数
01
【答案】B
【解答】解：由中位数定义可知，从小到大，选择第4个数为作为中位数，即5．
故选：B．
众数
01
某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下：
则下列说法正确的是（　　）
A．得分的众数为34
B．得分的中位数为28
C．得分的75%分位数为33
D．得分的极差为6
班级 1 2 3 4 5 6 7 8
得分 28 34 34 30 26 28 28 32
众数
01
【答案】C
【解答】解：根据表格中数据可知，出现次数最多的是28，所以得分的众数为28，即A错误；
将8个数据从小到大排列为26，28，28，28，30，32，34，34，
所以中位数为 可知B错误；
易知75%×8＝6为整数，
所以第75%分位数为第6个和第7个数的平均值 即C正确；
得分的极差为34﹣26＝8，即D错误．
故选：C．
标准差
01
已知一组数据x1，x2，x3，…，x10的标准差为2，将这组数据x1，x2，x3，…，x10中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．
标准差
01
【答案】C
【解答】解：因为数据x1，x2，x3，…，x10的标准差为2，所以方差为4，
由题意知，得到的新数据为3x1﹣6，3x2﹣6，3x3﹣6，…，3x10﹣6，
这组新数据的方差为4×32＝36，标准差为6．
故选：C．
方差
01
已知x1，x2，…，xn的方差为3，则2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的方差为（　　）
A．6 B．7 C．12 D．18
方差
01
【答案】C
【解答】解：由已知方差为3，
得2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的方差为22×3＝12．
故选：C．
极差
01
已知一组样本数据8，11，9，7，a，5的极差为6，则a的取值范围是（　　）
A．[5，11] B．{5，11} C．{5} D．[6，17]
极差
01
【答案】A
【解答】解：因为数据的极差为6，而11﹣5＝6，
所以所以5≤a≤11，
即a的取值范围是[5，11]．
故选：A．
百分位数
01
制造业采购经理指数（PMI）是衡量制造业经济运行状况的重要指标．现将2024年10月至2025年10月的制造业PMI指数从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，则这组数据的第90百分位数为（　　）
A．50.2 B．50.3 C．50.4 D．50.5
百分位数
01
【答案】B
【解答】解：由题意可知，数据从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，
因为13×90%＝11.7，
所以该组数据的第90百分位数是第12个数据50.3．
故选：B．
如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成不规则形态，图（3）形成“右拖尾”形态，根据所给图形作出以下判断，正确的是（　　）
A．图（1）中平均数＞中位数＝众数
B．图（2）中众数＞平均数
C．图（3）中众数＜中位数＜平均数
D．图（3）中众数＜平均数＜中位数
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01
【答案】C
【解答】解：对于A，因为图（1）的频率分布直方图是对称的，
所以平均数＝中位数＝众数，故A错误；
对于B，图（2）中众数＜平均数，故B错误；
对于C，D，图（3）中众数最小，由“右拖尾”可知平均数大于中位数，
所以众数＜中位数＜平均数，故C正确，D错误．
故选：C．
统计图表获取信息
01
为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，A市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计1200棵，比例如图所示．青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5：3：2，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（　　）
A．60棵 B．100棵 C．144棵 D．160棵
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01
【答案】C
【解答】解：根据统计表可得，梧桐树苗的数量为1200×40%＝480，
又青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5：3：2，
则中年教师应分得梧桐的数量
故选：C．
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01
（多选）人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．如图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（　　）
统计图表获取信息
01
A．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递
B．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为20379元
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01
【答案】AC
【解答】解：对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；
对于B，由题中折线图知，2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；
对于C，2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为39428﹣29599＝9829元，
人均消费支出的极差为24315﹣19014＝5301元，C正确；
对于D，2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为 D错误．
故选：AC．
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01
（多选）2018年至2022年全国快递业务量及其年增长速度如图所示，则（　　）
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01
A．2018年至2022年全国快递业务量逐年增长
B．2018年至2022年全国快递业务量的年增长速度的40%分位数为28.25%
C．2018年至2022年全国快递业务量的年增长速度的45%分位数为26.6%
D．2017年全国快递业务量小于400亿件
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01
【答案】AC
【解答】解：对选项A：2018年至2022年全国快递业务量逐年增长，正确；
对选项B：5×40%＝2，故40%分位数为 错误；
对选项C：5×45%＝2.25，故45%分位数为26.6%，正确；
对选项D：2017年全国快递业务量为507.1÷（1+26.6% ）＝400.6，错误．
故选：AC．
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01
2023年4月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（　　）
条形统计图
01
A．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小
B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
C．去年4月鲜菜价格要比今年4月低
D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%
条形统计图
01
【答案】D
【解答】解：对于A，猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，故A错，
对于B，猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的倍数为34.3%÷8.5%≈4，故B错，
对于C，根据图表可得去年鲜菜价格比今年高，故C错，
对于D，这7种食品价格同比涨幅的平均值约为，（7.6%+3%+8.5%+9.6%+10.4%+34.4%﹣21.2%）÷7≈7.5%，故D对，
故选：D．
条形统计图
01
如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（　　）
（注：同比，指当前的数据与上一年同期进行比对；环比，指当前数据与上个月的数据进行比对．）
折线统计图
01
A．2024年1～2月份，商品零售总额同比增长9.2%
B．2023年3～12月份，餐饮收入总额同比都降低
C．2023年6 10月份，商品零售总额同比都增加
D．2023年12月，餐饮收入总额环比增速为﹣14.1%
折线统计图
01
【答案】C
【解答】解：对于A，2024年1～2月份，商品零售总额同比增长2.9%，故A错误；
对于B，2023年8月份，餐饮收入总额同比增加，故B错误；
对于C，2023年6 10月份，商品零售总额同比都增加，故C正确；
对于D，2023年12月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故D错误．
故选：C．
折线统计图
01
如图所示是国家统计局官网发布的2021年3月到2022年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况：
折线统计图
01
关于这个时间段的折线图，有下列说法：
①所有月份的同比增长率都是正数；
②环比增长率为正数的月份比为负数的月份多；
③9月到10月的同比增长率的增幅等于10月到11月的同比增长率的增幅；
④同比增长率的极差为0.9．
其中正确说法的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
折线统计图
01
【答案】C
【解答】解：根据折线图①②③的说法是正确的，同比增长率的极差为2.3﹣0.4＝1.9，所以④的说法是错误的．
故选：C．
折线统计图
01
已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图①和②所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（　　）
A．160；12 B．120，12 C．160，9 D．120，9
扇形统计图
01
【答案】A
【解答】解：样本容量＝（250+150+400）×20%＝160，
抽取的户主对四居室满意的人数为150×20%×40%＝12．
故选：A．
扇形统计图
01
某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为了更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图扇形图：
则下列结论中错误的是（　　）
扇形统计图
01
A．新农村建设后，养殖收入增加
B．新农村建设后，种植收入减少
C．新农村建设后，养殖收入与种植收入的总和超过了经济收入的一半
D．新农村建设后，其他收入是建设前的4倍
扇形统计图
01
【答案】B
【解答】解：设建设前经济收入为1，建设后经济收入为2，可算出建设前后各部分收入．
A中，建设前养殖收入为1×0.3＝0.3，建设后养殖收入为2×0.3＝0.6，故A正确，
B中，建设前种植收入为1×0.6＝0.6，建设后种植收入为2×0.38＝0.78，故B错误．
C中，养殖收入与种植收入比例总和为0.3+0.38＝0.68＞0.5，超过经济收入一半，故C正确．
D中，建设前其他收入为1×0.02＝0.02，建设后其他收入为2×0.04＝0.08，其他收入是建设前的4倍，故D正确，
故选：B．
扇形统计图
01
已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是 　 　 ．
扇形统计图
01
【答案】0.020．
【解答】解：由频率分布直方图的性质，
得10（0.005+0.015+a+0.035+0.015+0.010）＝1，
解得a＝0.020．
故答案为：0.020．
扇形统计图
01
为比较甲、乙两名学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（　　）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养指标值波动性比乙小
D．甲的六大素养中直观想象最差
其他形式的统计图表
01
【答案】C
【解答】解：根据雷达图得到如下数据：
由数据可知，选项C正确，
故选：C．
其他形式的统计图表
01
数学抽 象 逻辑推 理 数学建 模 直观想 象 数学运 算 数据分 析
甲 4 5 4 5 4 5
乙 3 4 3 3 5 4

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