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高中数学人教A版（2019）
必修第二册
期末专题复习
专题03 立体几何初步
01
思维导图
02
知识剖析
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱 棱锥 棱台
定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面；
(2)侧面：其余各面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面；
(2)侧面：有公共顶点的各个三角形面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面；
(2)下底面：原棱锥的
底面 .
(3)侧面：其余各面.
(4)侧棱：相邻侧面的公共边；
(5)顶点：侧面与底面的公共顶点.
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C )


棱台ABCD-A'B'C'D'
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
结构特征 (1)底面互相平行且全等；
(2)侧面都是平行四边形；
(3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形；
(2)侧面都是三角形；
(3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形；
(2)各侧棱的延长线交于一点；
(3)各侧面为梯形.
分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几
棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
圆柱 圆锥 圆台 球
定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
相关概念 (1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线
(5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面.
(2)下底面：原圆锥的底面.
(3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.
(4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.
(5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心.
(2)半径：连接球心和球面上任意一点
的线段.
(3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO'
球O
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.
(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面.
(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.
(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.
(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.
(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴
的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半
径)的所有点的集合.
(2)球的截面都是圆面.
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
知识点1 空间几何体的结构特征
壹
4．空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
知识点2 简单组合体
壹
1．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
知识点2 简单组合体
壹
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.
知识点2 简单组合体
壹
2．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
知识点2 简单组合体
壹
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示
知识点3 空间几何体的结构特征
壹
1．空间几何体的直观图
(1)直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全
在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其
步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'
轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'= (或) ，它们确定的平面表示水平面.
知识点3 空间几何体的结构特征
壹
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半.
(3)旋转体及其相关概念
斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则.
①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半.
③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
知识点3 空间几何体的结构特征
壹
2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
(1)以三角形为例，则有
.如图所示，
，它的直观图的面积
(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系： =
=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原.
知识点3 空间几何体的结构特征
壹
3．斜二测画法的常用结论：
(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：.
知识点4 空间几何体的结构特征
壹
1．多面体的侧面积、表面积和体积
知识点4 空间几何体的结构特征
壹
1．多面体的侧面积、表面积和体积
知识点4 空间几何体的结构特征
壹
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
知识点4 空间几何体的结构特征
壹
2．旋转体的侧面积、表面积和体积
知识点4 空间几何体的结构特征
壹
3．空间几何体表面积与体积的常见求法
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
(2)求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
知识点5 球的截面、几何体与球的切、接问题
壹
1．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.
知识点5 球的截面、几何体与球的切、接问题
壹
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径
为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有OC2=O'C2+OO'2，即R2=r2+d2.
知识点5 球的截面、几何体与球的切、接问题
壹
2．几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
考点01 平面
1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等，几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所示，常把平行四边形的一边画成竖向.
考点01 平面
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母 ,,, …表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
考点01 平面
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合。点与直线(平面)之间的位置关系用符号“ ”“ ”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“ ”表示。
考点01 平面
3．三个基本事实及其推论
(1)三个基本事实及其表示
考点01 平面
(2)三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
考点01 平面
(2)基本事实1和2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A a a与A共面于平面α，且平面唯一.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=P a与b共面于平面α，且平面唯一.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b 直线a,b共面于平面α，且平面唯一.
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
2．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
3．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
(2)平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
4．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢 三个平面呢
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
考点02 空间点、线、面之间的位置关系
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
考点03 空间中的平行关系
1．直线与直线平行
(1)基本事实4
①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
③作用：判断或证明空间中两条直线平行.
(2)空间等角定理
①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A‘O’B‘中，OA∥O’A‘，OB∥O’B‘，ze∠AOB=∠A’O’B’或∠AOB+∠A‘O’B’=180。 .
壹
考点03 空间中的平行关系
2．直线与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”
壹
考点03 空间中的平行关系
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”
壹
考点03 空间中的平行关系
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
壹
考点03 空间中的平行关系
3．平面与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行””
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
壹
考点03 空间中的平行关系
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
壹
考点03 空间中的平行关系
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语售
, =
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
壹
考点03 空间中的平行关系
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
壹
考点03 空间中的平行关系
【注】
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α//β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α//β，β//γ，则α//γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a//b.
4．若α//β，a α，则a//β.
壹
考点04 平行关系的相互转化及综合应用
1．平行关系的相互转化及综合应用
(1)证明线线平行的常用方法
①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
④利用平行线分线段成比例定理.
⑤利用线面平行的性质定理.
⑥利用面面平行的性质定理.
⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.
考点04 平行关系的相互转化及综合应用
(2)证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
②利用直线与平面平行的判定定理：a ，a∥b，b ，则a∥a .使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥a ，则必须在平面 内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.
③利用面面平行的性质：若平面 ∥平面 ，直线a ，则a∥ .
④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.
考点04 平行关系的相互转化及综合应用
(3)平面与平面平行的判定方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.
③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.
④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.
⑤利用反证法.
考点04 平行关系的相互转化及综合应用
(4)平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.
考点05 直线与直线垂直
1．异面直线所成的角
(1)两条异面直线所成的角的定义
如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
壹
考点05 直线与直线垂直
(2)异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角 必须是锐角或直角，即的范围是0 <.
(3)两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.
壹
考点06 直线与平面垂直
1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面 互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(2)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
考点06 直线与平面垂直
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：, ,
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
考点06 直线与平面垂直
3．直线与平面所成的角
(1)定义
①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.
②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.
③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
考点06 直线与平面垂直
(2)直线与平面所成的角的范围
①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 0 .
②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ..
③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是 0 <.
④直线与平面所成的角的取值范围是0 . .
考点06 直线与平面垂直
4．直线与平面垂直的性质定理
(1)直线与平面垂直的性质定理
①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
②图形语言：如图所示．
③符号语言： a
(2)性质定理的作用
①由线面垂直证明线线平行.
②构造平行线.
考点06 直线与平面垂直
5．点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
考点07 二面角
1．二面角
(1)二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
考点07 二面角
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α-l-β，如图(1).
②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
考点07 二面角
(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
考点07 二面角
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角α的范围是0 . .
考点07 二面角
2．几何法求二面角
作二面角的平面角的方法：
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
考点08 平面与平面垂直
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
考点08 平面与平面垂直
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”
考点08 平面与平面垂直
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言 ,
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
考点08 平面与平面垂直
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为90，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
考点08 平面与平面垂直
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥α b⊥α.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即α∥β，a⊥α a⊥β.
考点08 平面与平面垂直
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
考点08 平面与平面垂直
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
考点08 平面与平面垂直
(5)平行关系与垂直关系的相互转化
考点08 平面与平面垂直
4．点到平面的距离的常见求法
(1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离.
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求.
(3)等体积法.
03
综合训练
考点1 复数的代数形式与三角形式互化
壹
如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、BC的中点，则过点E、F、D1的平面α与侧面BCC1B1的交线长为（　　）
A． B．
C． D．
考点1 复数的代数形式与三角形式互化
壹
【答案】A
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、BC的中点，
设平面α分别交棱CD、BB1于点M、N，
如下图所示：
因为平面EFD1∩平面ABCD＝FM，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面EFD1∩平面A1B1C1D1＝D1E，所以D1E∥FM，
又因为A1D1∥BC，由等角定理及图形可知∠A1D1E＝∠CFM，
则tan∠A1D1E＝tan∠CFM，即A1EA1D1=CMCF=，故CM=CF=，故DM=CD CM=2 =，
考点1 复数的代数形式与三角形式互化
壹
因为平面AA1B1B∥平面CC1D1D，平面EFD1∩平面AA1B1B＝EN，
平面EFD1∩平面CC1D1D＝D1M，所以EN∥D1M，
又因为BB1∥DD1，由等角定理及图形可得∠DD1M＝∠B1NE，
所以tan∠DD1M＝tan∠B1NE，即DMDD1=B1EB1N==，所以B1N=B1E=，
所以BN=BB1 B1N=2 =，故NF=BN2+BF2==．
因此，平面α与侧面BCC1B1的交线长为NF=．
故选：A．
考点2棱锥的结构特征
壹
两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是（　　）
A．一个三棱锥 B．一个四棱锥
C．一个三棱柱 D．一个四棱柱
考点2棱锥的结构特征
壹
【答案】D
【解答】解：根据题意，两个三棱锥和一个四棱锥能否拼成某几何体，可以看该几何体是否可拆割成两个三棱锥和一个四棱锥，
依次分析选项：
对于A，三棱锥ABCD中，分别取BC，BD中点为E，F，EF中点为M，连接AM，则三棱锥A﹣BCD可拆割为三棱锥A﹣BEM，A﹣BFM和四棱锥A﹣CDFE，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个三棱锥，符合题意；
考点2棱锥的结构特征
壹
对于B，取BC、AD的中点分别为E，F，则四棱锥P﹣ABCD可拆割为三棱锥P﹣AFB，P﹣BEF和四棱锥P﹣EFDC，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个四棱锥，符合题意，符合题意；
考点2棱锥的结构特征
壹
对于C，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取B1C1的中点为E，则三棱柱ABC﹣A1B1C1可拆割为三棱锥B1﹣A1BE，C1﹣A1BE和四棱柱B﹣ACC1A1，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个三棱柱，符合题意；
考点3 棱台的结构特征
壹
下列几何体中，有且仅有8个面的是（　　）
A．六棱柱 B．六棱锥 C．八棱锥 D．五棱柱
考点3 棱台的结构特征
壹
【答案】A
【解答】解：根据六棱柱有6个侧面、2个底面，共8个面，可知A项符合题意；
根据六棱锥有6个侧面、1个底面，共7个面，可知B项不符合题意；
根据八棱锥有8个侧面、1个底面，共9个面，可知C项不符合题意；
根据五棱柱有5个侧面、2个底面，共7个面，可知D项不符合题意．
故选：A．
考点4 圆柱的结构特征
壹
以下说法正确的个数为（　　）
①圆柱的所有母线长都相等
②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
③底面是正多边形的棱锥是正棱锥
④棱台的侧棱延长后必交于一点
A．1 B．2
C．3 D．4
考点4 圆柱的结构特征
壹
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，由圆柱的性质知，所以母线相等，故①正确；
对于②，所有棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形，故②正确；
对于③，底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形是正棱锥，故③错误；
对于④，用平行于底面的平面去截棱锥可得到棱台，所以棱台的侧棱延长后必交于一点，故④正确．
故选：C．
考点5 圆锥的结构特征
壹
下列说法正确的是（　　）
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
考点5 圆锥的结构特征
壹
【答案】B
【解答】解：如图所示．
考点5 圆锥的结构特征
壹
对于A，将两个相同的斜平行六面体叠放，符合条件但不是棱柱，如图①，故A错误；
对于B，PA⊥底面ABC，AB是圆O的直径，C是圆上一点，
则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形，如图②，故B正确；
对于C，延长其侧棱不交于一点，符合条件但不是棱台，如图③，故C错误；
对于D，以Rt△ABC的斜边AB为轴旋转得到的是两个对底的圆锥，如图④，故D错误．
故选：B．
考点6 圆台的结构特征
壹
有下列命题，其中错误命题个数是（　　）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形
③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥
④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点6 圆台的结构特征
壹
【答案】C
【解答】解：对于①：圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误；
对于②：过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确；
对于③：以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误；
对于④；平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误．
所以其中错误命题个数为3．
故选：C．
考点7 球的结构特征
壹
下列说法正确的是（　　）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
考点7 球的结构特征
壹
【答案】D
【解答】解：对于选项A：各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故选项A错误；
对于选项B：有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台，
只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，故选项B错误；
对于选项C：直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故选项C错误；
对于选项D：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故选项D正确．
故选：D．
考点8 简单组合体的结构特征
壹
如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被两平面分成三部分，其中EF∥GH∥BC，则这三个几何体中是棱柱的个数为（　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
考点8 简单组合体的结构特征
壹
【答案】D
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1被两平面分成三部分，其中EF∥GH∥BC，
其中两个三棱柱，底面是直角三角形；另一个是底面为5边形的直棱柱，
所以这三个几何体中是棱柱的个数为：3
故选：D．
考点9 中心投影及中心投影作图法
壹
下列物品：①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯 中，所形成的投影是中心投影的是　①②⑤　 ．（填序号）
考点9 中心投影及中心投影作图法
壹
【答案】①②⑤
【解答】解：探照灯、车灯、台灯的光线是由源发出的光线，是中心投影；
太阳、月亮距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影．
故答案为：①②⑤．
考点10 平行投影及平行投影作图法
壹
用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（　　）
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
考点10 平行投影及平行投影作图法
壹
【答案】C
【解答】解：∵各个截面都是圆，
∴这个几何体一定是球体，
故选：C．
考点11 平面图形的直观图
壹
如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．3 B．12
C．8 D．6
考点11 平面图形的直观图
壹
【答案】D
【解答】解：由题意可知，等腰梯形A′B′C′D′中，A′B′＝4，C′D′＝2，
所以等腰梯形A′B′C′D′的高为，
所以等腰梯形A′B′C′D′的面积为S'=×(2+4)×1=3，
所以四边形ABCD的面积是S===6．
故选：D．
考点12 空间几何体的直观图
壹
一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝2，那么原△ABO的面积是（　　）
A．1 B．
C．2 D．4
考点12 空间几何体的直观图
壹
【答案】D
【解答】解：因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO的底OB＝O′B′＝2．
腰A′O′＝2，在△ABO中为直角三角形，且高OA＝2A′O′＝2×2=4．
所以直角三角形△ABO的面积是×2×4=4．
故选：D．
考点13 斜二测法画直观图
壹
已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′＝2，B′C＝1，则四边形ABCD的面积为（　　）
A． B．4
C．6 D．8
考点13 斜二测法画直观图
壹
【答案】B
【解答】解：根据题意，直观图为矩形A′B′C′D′，若A′B′＝2，B′C＝1，则其面积S′＝2×1＝2，
则原图四边形ABCD的面积S＝2S′＝4．
故选：B．
考点14 由斜二测直观图还原图形
壹
如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′＝1，B′C′＝3，则原四边形ABCD的周长为（　　）
A．2+6 B．2+6
C．12 D．2+6
考点15 简单空间图形的三视图
壹
如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，以面BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
考点15 简单空间图形的三视图
壹
【答案】A
【解答】解：从正面看，AA′，BB′重合，故几何体的正视图中没有棱被平面BCC1B1遮挡，排除B，C，
从上面看，几何体的俯视图为矩形，排除D，
故选：A．
考点16 由三视图还原实物图
壹
已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）
A．长方体 B．圆柱
C．四棱锥 D．四棱台
考点16 由三视图还原实物图
壹
【答案】A
【解答】解：∵该几何体的三视图都是矩形，
∴该几何体是长方体，如图所示．
故选：A．
考点17 由三视图求面积、体积
壹
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A． B．3π
C． D．6π
考点17 由三视图求面积、体积
壹
【答案】B
【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图
所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．
故选：B．
考点18 棱柱的侧面积和表面积
壹
已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（　　）
A．40 B．32+16
C．64+16 D．64+16
考点18 棱柱的侧面积和表面积
壹
【答案】C
【解答】解：由于直观图是边长为2的正方形，
考点18 棱柱的侧面积和表面积
壹
所以ABCD是两邻边分别为2与6，高为42的平行四边形，
其周长是2+6+2+6＝16，面积是2×4=8，
所以直四棱柱的表面积是16×4+8×2=64+16．
故选：C．
考点19 棱锥的侧面积和表面积
壹
不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（　　）
A．240π B．220π
C．160π D．176π
考点19 棱锥的侧面积和表面积
壹
【答案】A
【解答】解：因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8，
则底面圆面面积为：π×82＝64π，
因为圆柱的高为6，
所以圆柱的侧面为：2×8π×6＝96π，
根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，
得圆锥母线长为=10，
所以圆锥的侧面为：×10×2×8π=80π，
所以该陀螺的表面积为：64π+96π+80π＝240π．
故选：A．
考点20 棱台的侧面积和表面积
壹
正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是3，则它的侧面积为
（　　）
A．6 B．12 C．24 D．44
考点20 棱台的侧面积和表面积
壹
【答案】C
【解答】解：∵正四棱台的侧面为等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为，
∴侧面梯形的斜高为h'==2，
∴棱台的侧面积为S=4×（a+b）h'＝4×（2+4）×2＝24．
故选：C．
考点21 棱柱的体积
壹
在如图五面体ABC﹣DEF中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离均为1．若AD＝1，BE＝2，CF＝3．则该五面体的体积为
（　　）
A． B．
C． D．
考点21 棱柱的体积
壹
【答案】C
【解答】解：因为五面体ABC﹣DEF中，棱AD，BE，CF互相平行，
且两两之间距离均为1．若AD＝1，BE＝2，CF＝3，
所以对称补形如下：
考点21 棱柱的体积
壹
所以三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，
侧棱长为1+3＝2+2＝3+1＝4，
所以该五面体的体积为VABC DEF=VABC HIJ=××1×1××4=．
故选：C．
考点22 棱锥的体积
壹
已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（　　）
A．36 B．36
C．108 D．108
考点22 棱锥的体积
壹
【答案】A
【解答】解：如图，正四棱锥S﹣ABCD，BC＝6，O为底面正方形中心，E为BC中点，由已知可得4××6×SE=6×6×2，所以 SE＝6，又OE＝3，所以SO==3，
所以正四棱锥的体积为V=×6×6×3=363．
故选：A．
考点23 棱台的体积
壹
已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，2，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（　　）
A．14 B．15
C．16 D．18
考点23 棱台的体积
壹
【答案】A
【解答】解：因为正四棱台的上、下底面的边长分别为2，2，侧棱长为，
所以作出示意图如下：
考点23 棱台的体积
壹
过A1作下底面的投影，垂足为M，
上底面对角线长A1C1=×=2，
下底面对角线长AC=×2=4，
则，可得正四棱台的高为：A1M===3，
所以正四棱台的体积V=(2++8)×3=14．
故选：A．
考点24 圆柱的侧面积和表面积
壹
若圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，记圆柱与球的体积之比为λ，表面积之比为μ，则（　　）
A．λ＝μ B．λ＜μ
C．λ＞μ D．λ，μ的大小不确定
考点24 圆柱的侧面积和表面积
壹
【答案】A
【解答】解：由题意可设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，
则，，
∴λ＝μ．故选：A．
考点25 圆锥的侧面积和表面积
壹
已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（　　）
A．8π B．12π
C．16π D．24π
考点25 圆锥的侧面积和表面积
壹
【答案】C
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的母线长为l＝6，侧面展开图的圆心角为，
根据圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，得2πr，解得r＝2，
所以该圆锥的表面积为S=π×22+××62=16π．
故选：C．
考点26 圆台的侧面积和表面积
壹
如图，伊丽莎白圈是小动物戴在颈子上防止他们自己抓挠伤口和患处或咬伤他人的一种保护器具，其形状可看作上下均无底盖的圆台形物体．某个伊丽莎白圈的上底面直径为4分米，下底面直径为2分米，母线长为3分米，若要在伊丽莎白圈与宠物接触的一面进行涂层，每平方分米需要消耗5克涂层材料，不考虑伊丽莎白圈的厚度与连接处，则制作该伊丽莎白圈需要消耗涂层材料（　　）
A．45π克 B．90π克
C．110π克 D．120π克
考点26 圆台的侧面积和表面积
壹
【答案】B
【解答】解：设r＝2，R＝4，l＝3，
由圆台的侧面积公式得S＝π （r+R）l＝18π，
又每平方分米需要消耗5克涂层材料，
所以该伊丽莎白圈需要消耗90π克涂层材料．
故选：B．
考点27 圆柱的体积
壹
2021年小米重新设计了自己的品牌形象．新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo．类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 ．
考点27 圆柱的体积
壹
【答案】π+32．
【解答】解：因为旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo，
类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，
又将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个“小米正方体”，
所以小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体，12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体．
剩余部分是个类似十字的几何体，可得该几何体的体积为32，
所以“小米正方体”的体积为π×13+3×π×12×2+32=π+32．
故答案为：π+32．
如图所示，用符号语言可表达为（　　）
A
考点28 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示
． ∩ ＝ ， ， ∩ ＝
【答案】A
【解答】解：B中，直线n是集合，所以n α，所以B不正确；
C中A点是元素，所以A∈m，A∈n，所以C不正确；
D中，错在n∈α，
故选：A．
考点28 点直线平面的交点交线及包含关系的符号语言表示
下列条件一定能确定一个平面的是（　　）
A．空间三个点
B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线
D．两条相互平行的直线
D
考点29 点和直线确定平面及其数量
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
由空间中不共线的三点可以确定唯一一个平面，可知A错误；
由空间中一条直线和直线外一点确定唯一一个平面，可知B错误；
两条相互垂直的直线，可能共面垂直也可能异面垂直，可知C错误；
由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．
故选：D．
考点29 点和直线确定平面及其数量
D
考点30 平面的交线及其性质
考点30 平面的交线及其性质
【答案】D
【解答】解：∵直线AB∩＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，
∴β∩γ＝MC，
∴γ与β的交线必通过点C和点M，
故选：D．
如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．空间四边形
C
考点31 平行公理
01
【答案】C
【解答】解：连接AC、BD，则
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF＝GH=1/2 AC，EH＝FG=1/2BD
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC＝BD
∴EF＝EH
∴四边形EFGH是菱形
故选：C．
考点31 平行公理
01
考点32 平面与平面平行
01
设α，β为两个不同的平面，则下列条件不能推出α∥β的是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有一个三角形的三条边均与β平行
C．α，β垂直于同一条直线
D．α，β平行于同一个平面
考点32 平面与平面平行
01
【答案】A
【解答】解：若α内有无数条平行直线与β平行，
则α，β可能平行或相交，故A正确；
若α内有一个△ABC的三条边均与β平行，AB∥β，BC∥β，AC∥β，
又AB∩BC＝B，AB，BC α，
由面面平行的判断定理可得α∥β，故B错误；
若α，β垂直于同一条直线，由线面垂直的性质可得α∥β，故C错误；
若α，β平行于同一个平面，
由面面平行的性质可得α∥β，故D错误．
故选：A．
如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则直线BC1与A1C所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
B
考点33 异面直线及其所成的角
01
【答案】B
【解答】解：记，，，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝90°，
∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
则，，，
又，，
所以，
可得24+4+2×2＝12，
2224+4+4+0﹣2×2﹣2×2＝4，
所以||＝2，||＝2，
可得cos，，
记BC1与A1C所成的角为θ，
则cosθ＝|cos，|．
故选：B．
考点33 异面直线及其所成的角
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线BD1异面的棱有（　　）
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条
C
考点34 异面直线的判定
0
【答案】C
【解答】解：在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中，与对角线BD1异面的棱有：
AD、CD、A1B1、B1C1、AA1、CC1，共有6条．
故选：C．
考点34 异面直线的判定
0
已知直线m，n和平面α，其中m α，则“m⊥n”是“n⊥α”的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
C
考点35 直线与平面垂直
【答案】C
【解答】解：由m α，m⊥n，则可能有n α，n∥α或者n与α相交，不能推出n⊥α，
若n⊥α，m α，则有n⊥m，所以m⊥n是n⊥α的必要不充分条件．
故选：C．
考点35 直线与平面垂直

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